DE THI HOC KY 2 TOAN 11 NANG CAO

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II Năm học 2010 -2011
Môn Toán – Khối 11 – Ban Tự nhiên
Thời gian 90 phút ( Không kể thời gian phát đề )
***************
Câu I : ( 2 điểm )
a). Tìm giới hạn của hàm số
2
1
2 3 1
lim
1
x
x x
x
→
− +
−
b). Một cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 24 và số hạng thứ bảy
gấp 32 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm công bội q và số hạng đầu của cấp số nhân đó?
Câu II : ( 1 điểm ) cho hàm số

2
2 5 3
voi x > 1
( )
1
2m - 1+3x voi x 1
x x
f x
x


− +

=
−


≤

.
Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x = 1
Câu III : ( 3,5 điểm )
1). Tính đạo hàm của hàm số y =
2
3 2sin x
+

2). Giải bất phương trình y’ ≤ 0 với y =
2
( 1)
2
x
x
+
+

3). Cho hàm số f(x) = sin
2
x – m cosx có đồ thị là (C ) . Tìm giá trị của m
để hai tiếp tuyến của ( C ) tại các điểm có hoành độ x =
2

π
−
và x =
3
π
song song
hoặc trùng nhau.
4). Cho hàm số y =
1
3 1x
+
. Hãy tính y
(n).
Câu IV : ( 3,5 điểm )
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo AC’ = 2a ;
AB = AA’ = a và AD = a
2
a). Chứng minh D’C ⊥ AC’
b). Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( ACD’)
c). Xác định đường vuông góc chung của AC’ và CD’. Tính độ dài đường
vuông góc đó .
Hết

LƯỢC GIẢI VÀ THANG ĐIỂM CHẤM
Bài Lược giải Điểm
Câu I
1 a
Ta có
2
2

2
1 1
2 3 1 4 (3 1)
lim lim
1
( 1)(2 3 1)
x x
x x x x
x
x x x
→ →
− + − +
=
−
− + +
1
4 1 5
lim
8
( 1)(2 3 1)
x
x
x x x
→
+
= =
+ + +
0.5
0.5
1b Gọi U

1
, U
2, … ,
U
7
là các số hạng của cấp số nhân
Theo đề bài ta có U
7
= 32 U
2
hay
6
5
7
1
2 1
32 32 32 2
U
U q
q q
U U q
= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Vì U
4
= 24 nên U
1
.q
3
= 24 ⇔
1

3
24 24
3
8
U
q
= = =
0.5
0.5
Câu II TXĐ D= R
Ta có
2
1 1 1
3
2( 1)
2 5 3
2
lim lim lim(2 3) 1
1 1
x x x
x x
x x
x
x x
− − −
→ → →
 
− −
 ÷
− +

 
= = − = −
− −

1
lim(2m - 1+3x) 2 2
x
m
+
→
= −
f(1)= 2m – 2
Để hàm số liên tục tại x = 1 thì 2m – 2 = – 1 ⇔ m =
1
2

0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
III
1
Ta có y =
2
3 2sin x
+

2
2 2 2

(3 2sin )' 4sin cos 2sin 2
'
2 3 2sin 2 3 2sin 2 3 2sin
x x x x
y
x x x
+
⇒ = = =
+ + +
0,5
Câu
III
2
Ta có y =
2
( 1)
2
x
x
+
+
2
2
4 3
'
( 2)
x x
y
x
+ +

⇒ =
+
Vì y’ ≤ 0 nên
2
2
2
4 3
0 4 3 0
( 2)
x x
x x
x
+ +
≤ ⇔ + + ≤
+

⇔ -3 ≤ x ≤ - 1
Vậy tập nghiệm của bpt là S = [-3 ; -1]
0.25
0.25
0.25
0.25
Câu
III
3
Ta có f(x) = sin
2
x – m cosx ⇒ f’(x) = sin2x + msinx
Theo đề bài thì
' '

2 3
f f
π π
   
− =
 ÷  ÷
   
2
sin( ) sin sin sin
2 3 3
m m
π π π
π
     
⇔ − + − = +
 ÷  ÷  ÷
     
⇔
3 3
.
2 2
m m
− = +

3
2 3
m
−
⇔ =
+

0.25
0.25
0.25
0.25
Câu
III
4
Ta có y =
1
3 1x
+

2
1.3
'
(3 1)
y
x
−
=
+

2
3
1.2.3
''
(3 1)
y
x
=

+

3
4
1.2.3.3
'''
(3 1)
y
x
−
=
+

4
(4)
5
1.2.3.4.3
(3 1)
y
x
=
+

0.5
do đó
( )
1
( 1) . !.3
(3 1)
n n

n
n
n
y
x
+
−
=
+
0.5
Câu IV
a
Do AB = AA’ nên DCC’D’ là hình vuông nên D’C ⊥ DC’
Vì AC = AD’ nên ∆CAD’ cân tại A. Gọi I là giao điểm của CD’
và C’D do đó D’C ⊥ AI ⇒ D’C ⊥ ( ADC’)
Vậy D’C ⊥ AC’
0.25
0.5
0.25
b
Trong ( ADC’) Vẽ DH ⊥ AI do D’C ⊥ ( ADC’) nên D’C ⊥ DH
⇒ DH ⊥ ( ACD’) Do đó DH là khoảng cách từ D đến (ACD’)
Ta có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
'DH DA DI DA DD DC
= + = + +
=
2 2 2
2

1 1 1 5
2
( 2)
a a a
a
+ + =


10
5
a
DH
⇒ =
0.25
0.25
0.25
0.25
c
Từ I hạ IJ ⊥ AC’ từ câu a ta được D’C ⊥ IJ
Vậy IJ là đường vuông góc chung của AC’ và D’C
Ta có
'
1
. '
2
AIC
S IJ AC
∆
=
vì

' '
1
2
AIC ADC
S S
∆ ∆
=
1
. ' . '
2
. ' 2. 2
2. ' 2.2 2
IJ AC AD DC
AD DC a a a
IJ
AC a
⇒ =
⇔ = = =
0.25
0.25
0.25
0.25
I
A
A'
D
D'
B
B'
C

D
H
J
Hình vẽ 0.5