Tài liệu ôn thi thpt quốc gia môn toán (rất hay và đầy đủ chuyên đề theo cấu trúc đề thi)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (14.34 MB, 354 trang )
Sở GD – ĐT Đồng Tháp
HỘI ĐỒNG BỘ MÔN
Tổ Toán
TÀI LIỆU ÔN THI KÌ THI
THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
ĐỒNG THÁP, NĂM 2015
HUỲNH CHÍ HÀO (Chủ biên)
HUỲNH BÁ TRUNG, VÕ THÀNH NHUNG, VÕ MINH HOÀNG, NGUYỄN
VĂN RINH, TRẦN NHỰT HOÀNG PHONG, ĐÀO TRỌNG HỮU, ĐINH
CÔNG PHƯỚC, DƯƠNG HOÀNG SƠN, NGUYỄN HỒNG LẬP, NGUYỄN
THỊ THU VÂN, PHẠM VĂN NHỜ, NGUYỄN TRẦN MỸ PHƯƠNG TRANG,
NGUYỄN THÀNH NAM, NGUYỄN VĂN CHƯỞNG, BÙI NGỌC HẠO.
(HỘI ĐỒNG BỘ MÔN-TỔ TOÁN-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP)
TÀI LIỆU ÔN THI KÌ THI
THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
3
TÀI LIỆU ÔN THI KÌ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN
LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm giúp các em học sinh chuẩn bị tốt cho kì thi THPT Quốc Gia. Chúng tôi biên soạn cuốn: “TÀI LIỆU
ÔN THI KÌ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN”. Cuốn sách gồm 12 chủ đề
Chủ đề 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Ứng dụng của đạo hàm và đồ thị hàm số
Chủ đề 2: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của tích phân
Chủ đề 3: Công thức lượng giác, phương trình lượng giác
Chủ đề 4: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarít
Chủ đề 5: Số phức
Chủ đề 6: Tổ hợp, xác suất
Chủ đề 7: Hình học không gian
Chủ đề 8: Phương pháp tọa độ trong không gian
Chủ đề 9: Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Chủ đề 10: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số
Chủ đề 11: Toán tổng hợp
Chủ đề 12: Một số đề tham khảo
Mỗi chủ đề gồm các phần
A. Tóm tắt lý thuyết
B. Phương pháp giải toán – Các ví dụ
C. Bài tập
Cuốn: “TÀI LIỆU ÔN THI KÌ THI THPT QUỐC GIA MÔN TOÁN” này do các giáo viên có kinh
nghiệm thuộc HĐBM – Tổ Toán của Sở Giáo dục và Đào tạo Đồng Tháp tham gia biên soạn. Tuy nhiên, do
nhiều yếu tố khách quan, khó có thể tránh được một số thiếu sót. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của các bạn đồng nghiệp và các em học sinh để cuốn sách sẽ ngày càng hoàn chỉnh hơn trong những lần tái
bản sắp tới. Hi vọng cuốn sách sẽ là cẩm nang cho học sinh, là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên Trung
học phổ thông trong việc ôn tập cho kì thi THPT Quốc Gia.
Mọi ý kiến đóng góp xin được gởi về địa chỉ sau:
HĐBM - TỔ BỘ MÔN TOÁN
8
Chủ đề 1
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Nội dung 1: Tính đơn điệu của hàm số
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định lý 1: Cho hàm số
y f(x)
có đạo hàm trên K.
a) Nếu hàm số
f(x)
đồng biến trên K thì
f '(x) 0
với mọi
xK
b) Nếu hàm số
f(x)
nghịch biến trên K thì
f '(x) 0
với mọi
xK
[ f(x) đồng biến trên K]
[
f '(x) 0
với mọi
xK
]
[ f(x) nghịch biến trên K]
[
f '(x) 0
với mọi
xK
]
[
f '(x) 0
với mọi
xK
]
[ f(x) không đổi trên K]
2) Định lý 2: Cho hàm số
y f(x)
có đạo hàm trên K.
a) Nếu
f ' x 0
với mọi
xK
thì hàm số
f(x)
đồng biến trên K
b) Nếu
f ' x 0
với mọi
xK
thì hàm số
f(x)
nghịch biến trên K
c) Nếu
f ' x 0
với mọi
xK
thì hàm số
f(x)
không đổi trên K
[
f '(x) 0
với mọi
xK
]
[ f(x) đồng biến trên K]
[
f '(x) 0
với mọi
xK
]
[ f(x) nghịch biến trên K]
3) Định lý 3: (Định lý mở rộng) Cho hàm số
y f(x)
có đạo hàm trên K.
a) Nếu
f ' x 0
với mọi
xK
và
f ' x 0
chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số
f(x)
đồng biến trên K.
b) Nếu
f ' x 0
với mọi
xK
và
f ' x 0
chỉ tại một số điểm hữu hạn thuộc K
thì hàm số
f(x)
nghịch biến trên K.
4) Định lý 4: Cho hàm số bậc ba
32
y f x ax bx cx d a 0
, ta có
2
f ' x 3ax 2bx c
.
a) Hàm số
32
y f x ax bx cx d a 0
đồng biến trên
2
f ' x 3ax 2bx c 0 x
b) Hàm số
32
y f x ax bx cx d a 0
nghịch biến trên
2
f ' x 3ax 2bx c 0 x
NHẮC LẠI
Định lý: Cho tam thức bậc hai
2
( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ¹
ta có:
0
( ) 0 x
a0
fx
ì
D£
ï
ï
³ " Î Û
í
ï
>
ï
î
¡
0
( ) 0 x
a0
fx
ì
D£
ï
ï
£ " Î Û
í
ï
<
ï
î
¡
9
B. Phương pháp giải toán
Dạng : Định giá trị tham số để hàm số đơn điệu trên tập hợp X cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định:
?D=
B2. Tính
'?y =
B3. Lập luận:
·
y
đồng biến trên X
Û
' 0,y x X³ " Î
·
y
nghịch biến trên X
Û
' 0,y x X£ " Î
Chú ý quan trọng: Trong điều kiện trên dấu bằng xảy ra khi phương trình
'0y =
có hữu hạn
nghiệm, nếu phương trình
'0y =
có vô hạn nghiệm thì trong điều kiện sẽ không có dấu bằng.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số
2 3 2
1
( ) 2 3 1
3
y m m x mx x
. Tìm
m
để hàm số luôn đồng biến trên .
Bài giải:
♦ Tập xác định:
D
♦ Đạo hàm:
22
' ( ) 4 3y m m x mx
♣ Hàm số luôn đồng biến trên
'0y
x
♥ Trường hợp 1: Xét
2
0
0
1
m
mm
m
+ Với
0m
, ta có
' 3 0,yx
, suy ra
0m
thỏa.
+ Với
1m
, ta có
3
' 4 3 0
4
y x x
, suy ra
1m
không thỏa.
♥ Trường hợp 2: Xét
2
0
0
1
m
mm
m
, khi đó:
♣
'0y
x
2
2
' 3 0
0
mm
mm
30
01
m
mm
30m
♦ Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị
m
cần tìm là
30m
.
Ví dụ 2. Cho hàm số
3 2 2
3 3( 1) 2 3y x mx m x m
. Tìm
m
để hàm số nghịch biến trên khoảng
1;2
.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D
♦ Đạo hàm:
22
' 3 6 3( 1)y x mx m
♣ Hàm số nghịch biến trên khoảng
1;2
'0y
1;2x
10
Ta có
22
' 9 9( 1) 9 0,m m m
Suy ra
'y
luôn có hai nghiệm phân biệt
12
1; 1x m x m
12
()xx
Do đó:
'0y
1;2x
12
12xx
1
2
1
2
x
x
11
12
m
m
12m
♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
12m
.
Bài tập tương tự hoctoancapba.com
Cho hàm số
32
2 3 2 1 6 1 1y x m x m m x
. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
2;
.
Đáp số:
1m£
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
32
32y x x mx
. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
0;
.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D
♦ Đạo hàm:
2
' 3 6y x x m
♣ Hàm số đồng biến trên khoảng
0;
'0y
,
0;x
(có dấu bằng)
2
3 6 0x x m
,
0;x
2
36x x m
,
0;x
(*)
♣ Xét hàm số
2
( ) 3 6f x x x=-
,
0;x
, ta có:
'( ) 6 6f x x=-
;
'( ) 0 1f x x= Û =
Bảng biến thiên:
x
0 1
+¥
'( )fx
-
0
+
()fx
0
+¥
3-
♣ Từ BBT ta suy ra: (*)
Û
3m£-
♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
3m£-
.
Bài tập tương tự
Cho hàm số
32
3 3 1y x x mx
. Tìm
m
để hàm số nghịch biến trên khoảng
0;
.
Đáp số:
1m£-
.
Ví dụ 4. Cho hàm số
78mx m
y
xm
. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Bài giải
11
♦ Tập xác định:
\Dm
♦ Đạo hàm:
2
2
78
'
mm
y
xm
. Dấu của
'y
là dấu của biểu thức
2
78mm
.
♣ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
Û
'0y
,
xD
(không có dấu bằng)
Û
2
7 8 0mm
Û
81m- < <
♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
81m- < <
.
Ví dụ 5. Cho hàm số
78mx m
y
xm
. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
( )
3;+¥
.
Bài giải
♦ Tập xác định:
\Dm
♦ Đạo hàm:
2
2
78
'
mm
y
xm
. Dấu của
'y
là dấu của biểu thức
2
78mm
.
♣ Hàm số đồng biến trên khoảng
( )
3;+¥
Û
'0y
,
3;x
(không có dấu bằng)
Û
2
7 8 0
3
mm
m
Û
81
3
m
m
ì
- < <
ï
ï
í
ï
£
ï
î
Û
83m- < £
♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
83m- < £
.
C. Bài tập
Bài 1: Cho hàm số
32
1
(1 ) 2(2 ) 2(2 ) 5
3
y m x m x m x
. Tìm
m
để hàm số luôn nghịch biến trên
Đáp số:
23m££
.
Bài 2: Cho hàm số
2 3 2
1
( 4) ( 2) 2 3
3
y m x m x x
. Tìm
m
để hàm số luôn đồng biến trên
Đáp số:
2m£-
hoặc
6m³
.
Bài 3: Cho hàm số
32
2 3 3( 1) 1y x mx m x
. Tìm
m
để hàm số luôn đồng biến trên
( )
1; +¥
Đáp số:
1m£
.
Bài 4: Cho hàm số
2
3
mx
y
xm
. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Đáp số:
1m<
hoặc
2m>
.
12
Bài 5: Cho hàm số
9mx
y
xm
. Tìm
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
;2
Đáp số:
23m<<
.
Bài 6: Cho hàm số
2
1
mx
y
xm
. Tìm
m
để hàm số nghịch biến trên khoảng
1;
Đáp số:
2m<-
.
Nội dung 2: Cực trị của hàm số
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) Định lý 1: (điều kiện cần để hàm số có cực trị)
Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm
0
x
. Khi đó nếu f có đạo hàm tại
0
x
thì
0
'( ) 0fx=
2) Định lý 2: (điều kiện đủ thứ I để hàm số có cực trị). Quy tắc 1
Giả sử hàm số
()y f x=
liên tục trên khoảng
( )
;ab
chứa điểm
0
x
và có đạo hàm trên các khoảng
( )
0
;xa
và
( )
0
;xb
. Khi đó
a) Nếu
'( ) 0fx<
với mọi
( )
0
;x a xÎ
và
'( ) 0fx>
với mọi
( )
0
x ;bxÎ
thì hàm số
()fx
đạt cực tiểu tại điểm
0
x
.
b) Nếu
'( ) 0fx>
với mọi
( )
0
;x a xÎ
và
'( ) 0fx<
với mọi
( )
0
x ;bxÎ
thì hàm số
()fx
đạt cực đại tại điểm
0
x
.
3) Định lý 3: (điều kiện đủ thứ II để hàm số có cực trị). Quy tắc 2
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng
( )
;ab
chứa điểm
0
x
,
0
'( ) 0fx=
và f có đạo hàm cấp hai khác
không tại điểm
0
x
. Khi đó
a) Nếu
0
''( ) 0fx<
thì hàm số
()fx
đạt cực đại tại điểm
0
x
b) Nếu
0
''( ) 0fx>
thì hàm số
()fx
đạt cực tiểu tại điểm
0
x
4) Định lý 4:
a) Hàm số
32
y f x ax bx cx d a 0
có hai điểm cực trị
2
f ' x 3ax 2bx c 0
có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số
42
y f x ax bx c a 0
có ba điểm cực trị
3
f ' x 4ax 2bx 0
có ba nghiệm phân biệt.
B. Phương pháp giải toán
13
Dạng 1: Định giá trị tham số để hàm số bậc ba (trùng phương) có 2 cực trị (có 3 cực trị).
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định:
?D=
B2. Tính
'?y =
B3. Lập luận:
Lưu ý:
a) Hàm số
32
y f x ax bx cx d a 0
có hai điểm cực trị
2
f ' x 3ax 2bx c 0
có hai nghiệm phân biệt.
b) Hàm số
42
y f x ax bx c a 0
có ba điểm cực trị
3
f ' x 4ax 2bx 0
có ba nghiệm phân biệt.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số
2 3 2
1
( 1) ( 1) 3 5
3
y m x m x x
. Tìm
m
để hàm số có hai điểm cực trị.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D
♦ Đạo hàm:
22
' ( 1) 2( 1) 3y m x m x
'0y =
Û
22
( 1) 2( 1) 3 0m x m x
♣ Hàm số có hai điểm cực trị
Û
'0y
có hai nghiệm phân biệt
Û
2
22
10
' ( 1) 3( 1) 0
m
mm
ì
ï
-¹
ï
í
ï
D = + - - >
ï
î
Û
2
1
2 2 4 0
m
mm
ì
¹±
ï
ï
í
ï
- + + >
ï
î
Û
11
1 2 1 2
mm
mm
ìì
¹ ± ¹
ïï
ïï
Û
íí
ïï
- < < - < <
ïï
îî
♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
1
12
m
m
ì
¹
ï
ï
í
ï
- < <
ï
î
.
Bài tập tương tự
Cho hàm số
32
32y x x mx m
. Tìm
m
để hàm số có hai điểm cực trị.
Đáp số:
3m<
Ví dụ 2. Cho hàm số
4 2 2
( 9) 10y mx m x
. Tìm
m
để hàm số có 3 điểm cực trị.
Bài giải hoctoancapba.com
14
♦ Tập xác định:
D
♦ Đạo hàm:
3 2 2 2
' 4 2( 9) 2 .(2 9)y mx m x x mx m
'0y =
Û
22
0
2 9 0 (1)
x
mx m
é
=
ê
ê
+ - =
ë
♣ Hàm số có ba điểm cực trị
Û
'0y
có ba nghiệm phân biệt
Û
(1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
Û
2
2
0
' 2 ( 9) 0
90
m
mm
m
ì
¹
ï
ï
ï
ï
D = - - >
í
ï
ï
ï
-¹
ï
î
Û
0
3
03
3
m
m
m
m
ì
¹
ï
ï
ï
ï
é
<-
ï
ï
ê
í
ê
ï
<<
ë
ï
ï
ï
¹
ï
ï
î
Û
3
03
m
m
é
<-
ê
ê
<<
ë
♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
3
03
m
m
é
<-
ê
ê
<<
ë
.
Bài tập tương tự
Cho hàm số
42
( 1) 2 1y x m x m
. Tìm
m
để hàm số có 3 điểm cực trị.
Đáp số:
1m<-
.
Dạng 2: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm x
0
.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định:
?D=
B2. Tính
'?y =
B3. Lập luận:
a) Điều kiện cần: Hàm số có cực trị tại x
0
Þ
0
'( ) 0yx =
Þ
Giá trị của tham số m.
b) Điều kiện đủ: Thay giá trị tham số vào
'y
thử lại. Khi thử lại có thể dùng quy tắc 1 hoặc
quy tắc 2.
2. VÍ DỤ
Ví dụ . Cho hàm số
3 2 2 2
1
2 (3 1) 5
3
y x m m x m x m
.
Tìm
m
để hàm số đạt cực tiểu tại
2x=-
.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D
15
♦ Đạo hàm:
2 2 2
' 2 2 3 1y x m m x m
a) Điều kiện cần:
Hàm số đạt cực tiểu tại
2x=-
Þ
'( 2) 0y -=
Û
2
4 3 0mm- + - =
Û
1
3
m
m
é
=
ê
ê
=
ë
b) Điều kiện đủ:
♣ Với
1m=
, ta có:
2
' 4 4y x x= + +
,
' 0 2yx= Û = -
Bảng biến thiên
x
-¥
2-
+¥
'y
+
0
+
y
Từ BBT ta suy ra
1m=
không thỏa.
♣ Với
3m=
, ta có:
2
' 16 28y x x= + +
,
14
'0
2
x
y
x
é
=-
ê
=Û
ê
=-
ë
Bảng biến thiên
x
-¥
14-
2-
+¥
'y
+
0
-
0
+
y
CĐ
CT
Từ BBT ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại
2x=-
.
♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
3m=
.
Bài tập tương tự
Cho hàm số
32
32y x mx x
. Tìm
m
để hàm số đạt cực tiểu tại
2x=
. Đáp số:
15
4
m =
Dạng 3: Định giá trị tham số để hàm số đạt cực trị thỏa điều kiện cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Tập xác định:
?D=
B2. Tính
'?y =
B3. Lập luận
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số
32
(2 1) (2 ) 2y x m x m x
.
16
Tìm
m
để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D
♦ Đạo hàm:
2
' 3 2(2 1) 2y x m x m
'0y =
Û
2
3 2(2 1) 2 0x m x m
♦ Hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương
Û
'0y =
có hai nghiệm dương phân biệt
Û
2
' (2 1) 3(2 ) 0
2
0
3
2(2 1)
0
3
mm
m
P
m
S
ì
ï
ï
ï
D = - - - >
ï
ï
ï
-
ï
ï
=>
í
ï
ï
ï
ï
-
ï
=>
ï
ï
ï
î
Û
2
4 5 0
20
2 1 0
mm
m
m
ì
ï
- - >
ï
ï
ï
->
í
ï
ï
->
ï
ï
î
5
1
4
2
1
2
mm
m
m
ì
ï
ï
< - Ú >
ï
ï
ï
ï
ï
Û<
í
ï
ï
ï
ï
>
ï
ï
ï
î
Û
5
2
4
m<<
♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
5
2
4
m<<
.
Ví dụ 2. Cho hàm số
3 2 2
22
2(3 1)
33
y x mx m x
.
Tìm
m
để hàm số có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
sao cho
1 2 1 2
2( ) 1x x x x+ + =
.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D
♦ Đạo hàm:
22
' 2 2 2(3 1)y x mx m
'0y =
Û
22
2 2 2(3 1) 0x mx m
(1)
♦ Hàm số có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
Û
'0y =
có hai nghiệm phân biệt
Û
22
' 4(3 1) 0mmD = + - >
Û
2
2 13 2 13
13 4 0
13 13
m m m- > Û < - Ú >
(*)
Vì
1
x
và
2
x
là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có:
12
2
12
13
x x m
x x m
ì
+=
ï
ï
í
ï
=-
ï
î
17
Do đó:
1 2 1 2
2( ) 1x x x x+ + =
Û
22
0
1 3 2 1 3 2
2
3
m
m m m m
m
é
=
ê
ê
- + = Û - + Û
ê
=
ê
ë
(**)
♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị
m
cần tìm là
2
3
m =
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
32
11
( 1) 3( 2)
33
y mx m x m x
. Tìm
m
để hàm số có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
sao cho
12
21xx+=
.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D
♦ Đạo hàm:
2
' 2( 1) 3( 2)y mx m x m
'0y =
Û
2
2( 1) 3( 2) 0mx m x m
(1)
♦ Hàm số có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
Û
'0y =
có hai nghiệm phân biệt
Û
2
0
' 2 4 1 0
m
mm
ì
¹
ï
ï
í
ï
D = + + >
ï
î
Û
0
2 6 2 6
22
m
m
ì
¹
ï
ï
ï
ï
í
-+
ï
<<
ï
ï
ï
î
(*)
Vì
1
x
và
2
x
là nghiệm của (1) nên theo định lý Viet ta có:
12
12
2( 1)
(2)
3( 2)
(3)
m
xx
m
m
xx
m
ì
-
ï
ï
+=
ï
ï
ï
í
ï
-
ï
=
ï
ï
ï
î
Theo đề bài :
12
21xx+=
(4)
Từ (2) và (4) suy ra
1
2
34
2
m
x
m
m
x
m
ì
-
ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
-+
ï
=
ï
ï
ï
î
(5). Thay (5) và (3) ta được:
2
2
3 4 2 3( 2)
6 16 8 0
3
2
m
m m m
mm
m m m
m
é
æ öæ ö
ê
=
- - -
÷÷
çç
ê
= Û - + = Û
÷÷
çç
÷÷
çç
ê
è øè ø
=
ê
ë
(**)
♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị
m
cần tìm là
2
3
m =
và
2m=
.
Ví dụ 4. Cho hàm số
3
31 y x mx
(1), với m là tham số thực. Cho điểm
(2;3)A
. Tìm m để đồ thị hàm
số (1) có hai cực trị
B
và
C
sao cho tam giác
ABC
cân tại
A
.
Bài giải
18
♦ Tập xác định:
D
♦ Đạo hàm:
2
' 3 3y x m
'0y =
Û
2
3 3 0xm
(1)
♦ Đồ thị hàm số (1) có hai cực trị
B
và
C
Û
'0y =
có hai nghiệm phân biệt
Û
0m>
(*)
Khi đó
'0y =
có hai nghiệm phân biệt là
xm=±
♣ Với
xm=
Þ
3
21ym= - +
♣ Với
xm=-
Þ
3
21ym=+
Tọa độ các điểm cực trị
B
và
C
là
( ) ( )
33
;2 1 , ; 2 1B m m C m m- + - +
♦ Tam giác
ABC
cân tại
A
Û
AB AC=
Û
22
AB AC=
Û
( )
( )
( )
( )
22
22
33
2 2 2 2 2 2m m m m+ + - = - + +
Û
3
0
4 8 0
1
2
m
mm
m
é
=
ê
ê
- + = Û
ê
=
ê
ë
(**)
♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị
m
cần tìm là
1
2
m =
.
Ví dụ 5. Cho hàm số
4 2 4
22y x mx m m
(1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có
ba điểm cực trị
,,A B C
đồng thời các điểm
,,A B C
tạo thành một tam giác vuông.
Bài giải
♦ Tập xác định:
D
♦ Đạo hàm:
32
' 4 4 4 ( )y x mx x x m
'0y =
Û
2
0x
xm
(1)
♦ Đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị
,,A B C
Û
'0y =
có ba nghiệm phân biệt
Û
0m>
(*)
Khi đó
'0y =
có ba nghiệm phân biệt là
0x =
,
xm=±
♣ Với
0x =
Þ
4
2y m m=+
♣ Với
xm=±
Þ
42
2y m m m= - +
Tọa độ các điểm cực trị
,,A B C
là
19
( )
( ) ( )
4 4 2 4 2
0;2 ; ; 2 ; ; 2A m m B m m m m C m m m m+ - - + - +
Suy ra:
( ) ( )
22
; ; ;AB m m AC m m= - - = -
uuur uuur
♦ Tam giác
ABC
vuông
Û
Tam giác
ABC
vuông tại
A
Û
.0AB AC =
uuur uuur
Û
4
0
0
1
m
mm
m
é
=
ê
- + = Û
ê
=
ë
(**)
♦ Từ (*) và (**) ta suy ra giá trị
m
cần tìm là
1m=
.
C. Bài tập
Bài 1: Cho hàm số
2 3 2
1
( 1) ( 1) 3 5
3
y m x m x x
. Tìm
m
để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Đáp số:
12m- < <
và
1m¹
. hoctoancapba.com
Bài 2: Cho hàm số
3 2 2
2
( 1) ( 4 3) 1
3
y x m x m m x
. Tìm
m
để hàm số có cực đại, cực tiểu và các
điểm cực trị của đồ thị hàm số có hoành độ dương.
Đáp số:
53m- < < -
.
Bài 3: Cho hàm số
32
( 1) (3 4) 5y x m x m x
. Tìm
m
để hàm số đạt cực tiểu tại
1x
Đáp số:
3m=
.
Bài 4: Cho hàm số
32
( 1) (2 1) 2 y x m x m x m
. Tìm
m
để hàm số có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
sao
cho
22
1 2 1 2
1x x x x
.
Đáp số:
Bài 5: Cho hàm số
32
( 2) ( 1) 4y mx m x m x
. Tìm
m
để hàm số có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
sao
cho
2 2 2 2
1 2 1 2
1 1 1
16
x x x x
.
Đáp số:
Bài 6: Cho hàm số
32
2 3( 1) 6 2 1y x m x m x
. Tìm
m
để hàm số có hai điểm cực trị
1
x
và
2
x
sao
cho
12
2xx
.
Đáp số:
1m=-
.
Bài 7: Cho hàm số
3 2 2 2
3 3( 1) 3 1y x x m x m
. Tìm
m
để hàm số có cực đại cực tiểu và các điểm
cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ
O
.
Đáp số:
1
2
m =±
.
20
Bài 8: Cho hàm số
4 2 2
22y x mx m
. Tìm
m
để hàm số có 3 điểm cực trị và các điểm cực trị của đồ
thị hàm số là ba đỉnh của một tam giác vuông .
Đáp số:
1m=
.
Bài 9: Cho hàm số
32
34y x x
. Tìm
m
để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tiếp
xúc với đường tròn
22
:( ) ( 1) 5C x m y m
Đáp số:
Bài 10: Cho hàm số
3 2 2
2 9 12 1y x mx m x
. Tìm
m
để hàm số đạt cực đại tại x
CĐ
, đạt cực tiểu tại x
CT
thỏa mãn x
2
CĐ
= x
CT
.
Đáp số:
2m=-
.
Bài 11: Cho hàm số
32
3y x x m
. Tìm
m
để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị
,AB
sao cho
·
0
120AOB =
(
O
là gốc tọa độ)
Đáp số:
12 2 3
3
m
-+
=
.
Nội dung 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
A. Tóm tắt lí thuyết & phương pháp giải toán
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1) ĐỊNH NGHĨA: Giả sử hàm số
y f x
xác định trên tập hợp D.
Số M được gọi là GTLN của hàm số
y f x
trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn
00
i) f x M x D
ii) x D:f x M
Ký hiệu:
xD
M Max f x
Số m được gọi là GTNN của hàm số
y f x
trên tập D nếu các điều sau được thỏa mãn
00
i) f x m x D
ii) x D:f x m
Ký hiệu:
xD
m minf x
Quy ước: Ta quy ước rằng khi nói GTLN hay GTNN của hàm số f mà không nói "trên tập D" thì ta
hiểu đó là GTLN hay GTNN trên TẬP XÁC ĐỊNH của nó.
Đối với GTLN và GTNN đối với hàm nhiều biến cũng có định nghĩa tương tự.
2) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
a) Phương pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức
(hay phương pháp dùng định nghĩa).
Một số kiến thức thường dùng:
a)
22
( ) ( )
24
b
f x ax bx c a x
aa
b) Bất đẳng thức Cô-si:
21
Với hai số a, b không âm
a,b 0
ta luôn có:
ab
ab a b 2 ab
2
Dấu "=" xảy ra khi
ab
Với ba số a, b, c không âm
a,b,c 0
ta luôn có:
33
a b c
abc a b c 3 abc
3
Dấu "=" xảy ra khi
a b c
c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng
1)
22
22
2
2
ab
a b ab ab
2)
2
2
()
( ) 4
4
ab
a b ab ab
3)
2
2 2 2 2 2
()
( ) 2( ) a
2
ab
a b a b b
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số
2
f x 2x 8x 1
.
Bài giải
♥ Tập xác định:
D = ¡
♥ Ta có
·
2
2
f x 2x 8x 1 9 2 x 2 9, x D
·
Dấu “=” xảy ra khi
2xD=Î
♥ Vậy
max ( ) 9
xD
fx
Î
=
.
Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số
2
f x 2x 4x 12
.
Bài giải
♥ Tập xác định:
D = ¡
♥ Ta có
·
2
2
f x 2x 4x 12 = 2 x 1 10 10 , x D
·
Dấu “=” xảy ra khi
1xD=Î
♥ Vậy
min ( ) 10
xD
fx
Î
=
.
Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số
2
f x x
x1
với
x 1;
.
Bài giải
♥
( )
1;D = + ¥
♥ Theo bất đẳng thức Cô-si ta có:
·
2 2 2
f x x x 1 1 2 x 1 . 1 2 2 1, x 1;
x 1 x 1 x 1
·
Dấu “=” xảy ra khi
( )
2
2
1 1 2 1 2
1
x x x D
x
- = Û - = Û = + Î
-
♥ Vậy
min ( ) 2 2 1
xD
fx
Î
=+
.
Bài tập tương tự
Tìm GTNN của hàm số
7
f(x) x 3
x3
22
b) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
(hay phương pháp miền giá trị).
Cơ sở lý thuyết của phương pháp: Cho hàm số xác định bởi biểu thức dạng
y f x
Tập xác định của hàm số được định nghĩa là :
D
{
x|
f(x) có nghĩa}
Tập giá trị của hàm số được định nghĩa là :
T = {
y|
Phương trình f(x) = y có nghiệm
xD
}
Do đó nếu ta tìm được tập giá trị T của hàm số thì ta có thể tìm đựơc GTLN và GTNN của
hàm số đó.
Một số kiến thức thường dùng:
a) Phương trình
2
ax bx c 0 a 0
có nghiệm
0
b) Phương trình
acosx bsin x c a,b 0
có nghiệm
2 2 2
a b c
CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số
2
2
x x 2
y
x x 2
. (1)
Bài giải
♥ Tập xác định:
D = ¡
♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:
2
22
2
x x 2
y yx yx 2y x x 2
x x 2
( ) ( )
2
1 1 2 2 0y x y x yÛ - - + + - =
(2) (Dạng
2
ax bx c 0
)
+ Trường hợp 1: Với
1y=
thì (2) có nghiệm
0x=
+ Trường hợp 2: Với
1y¹
thì (2) có nghiệm
Û
0D³
Û
2
7 18 7 0yy- + - ³
Û
9 4 2 9 4 2
77
y
-+
££
Suy ra tập giá trị của hàm số là
9 4 2 9 4 2
;
77
T
éù
-+
êú
=
êú
êú
ëû
.
♥ Vậy
9 4 2 9 4 2
min ;max
77
xD
xD
yy
Î
Î
-+
==
.
Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số
1 sin x
y
2 cos x
. (1)
Bài giải
♥ Tập xác định:
D = ¡
♥ Xem (1) là phương trình theo ẩn x ta có:
1 2y ycosx 1 sinx
cos sin 1 2y x x yÛ - = -
(2) (dạng
acosx bsinx c
)
(2) có nghiệm
Û
222
a b c+³
Û
( ) ( )
22
2
1 1 2yy+ - ³ -
Û
2
3 4 0yy-£
Û
3
0
4
y££
Suy ra tập giá trị của hàm số là
3
0;
4
T
éù
êú
=
êú
ëû
.
♥ Vậy
3
min 0; max
4
xD
xD
yy
Î
Î
==
.
c) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích).
Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:
23
Định lý: Hàm số liên tục trên một đoạn
a;b
thì đạt được GTLN và GTNN trên đoạn đó.
Phương pháp chung: Muốn tìm GTLN và GTNN của hàm số
y f x
trên miền D, ta lập
BẢNG BIẾN THIÊN của hàm số trên D rồi dựa vào BBT suy ra kết quả.
Phương pháp riêng:
Trong nhiều trường hợp, có thể tìm GTLN và GTNN của hàm số trên một đoạn mà không cần
lập bảng biến thiên của nó. Giả sử hàm số
f
liên tục trên đoạn
;ab
và có đạo hàm trên
khoảng
;ab
, có thể trừ một số hữu hạn điểm . Nếu
'( ) 0fx
chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc
;ab
thì ta có quy tắc tìm GTLN và GTNN của hàm
f
trên đoạn
;ab
như sau:
Quy tắc
1) Tìm các điểm
12
, , ,
m
x x x
thuộc
;ab
mà tại đó hàm số
f
có đạo hàm bằng
0
hoặc không có
đạo hàm.
2) Tính
12
( ), ( ), , ( ), ( ), ( )
m
f x f x f x f a f b
.
3) So sánh các giá trị tìm được.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của
f
trên đoạn
;ab
.
Số nhỏ nhất trong các giá trị đó là GTNN của
f
trên đoạn
;ab
.
CÁC VÍ DỤ
i. XÉT HÀM TRỰC TIẾP
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
32
2 3 12 2y x x x= + - +
trên đoạn
1;2
éù
-
ëû
.
Bài giải
♥
1;2D
éù
=-
ëû
♥ Ta có:
2
' 6 6 12y x x= + -
2
'0
1
xD
y
xD
é
= - Ï
ê
=Û
ê
=Î
ë
Do
( ) ( ) ( )
1 15; 2 6; 1 5 y y y- = = = -
Þ
min 5; max 15
xD
xD
yy
Î
Î
= - =
♥ Vậy
min 5; max 15
xD
xD
yy
Î
Î
= - =
.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
2
1
x
y e x x= - -
trên đoạn
0;2
éù
ëû
.
Bài giải
♥
0;2D
éù
=
ëû
♥ Ta có:
( )
2
'2
x
y e x x= + -
2
'0
1
xD
y
xD
é
= - Ï
ê
=Û
ê
=Î
ë
Do
( ) ( ) ( )
2
0 1; 2 ; 1 y y e y e= - = = -
Þ
2
min ; max
xD
xD
y e y e
Î
Î
= - =
♥ Vậy
2
min ; max
xD
xD
y e y e
Î
Î
= - =
.
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
4y x x= - -
.
Bài giải
♥
2;2D
éù
=-
ëû
24
Ta cú:
2
2
4
'
4
xx
y
x
-+
=
-
' 0 2y x D= = - ẻ
Do
( ) ( )
( )
2 2; 2 2; 2 2 2y y y- = - = - = -
ị
min 2 2; max 2
xD
xD
yy
ẻ
ẻ
= - =
Vy
min 2 2; max 2
xD
xD
yy
ẻ
ẻ
= - =
.
ii. I BIN (T N PH)
Vớ d 4: Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca hm s
2
2sin cos 1y x x= - +
.
Bi gii
Tp xỏc nh:
D = Ă
t
costx=
vi
1;1t
ộự
ẻ-
ởỷ
, hm s tr thnh:
2
23y t t= - - +
Ta cú:
' 4 1yt= - -
;
1
' 0 1;1
4
yt
ộự
= = - ẻ -
ởỷ
Do
( ) ( )
1 25
1 2; 1 0;
48
y y y
ổử
ữ
ỗ
ữ
- = = - =
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ị
25
min 0; max
8
xD
xD
yy
ẻ
ẻ
==
Vy
min 2 2; max 2
xD
xD
yy
ẻ
ẻ
= - =
.
BI TP
Bi 1: Tỡm GTLN v GTNN ca cỏc hm s sau:
1)
2
16 2 12y x x
trờn on
1
0;
4
2)
2
9
4
y x x
trờn on
4
1;
3
3)
32
y x 3x 9x 35
trờn on
4,4
4)
3
2
2 3 4
3
x
y x x
trờn on
4,0
5)
x2
y
x2
trờn on
0;2
6)
3
2
x
y
x
trờn on
1;2
7)
2
2 3 3
1
xx
y
x
trờn on
0;2
8)
2
2 5 4
2
xx
y
x
trờn on
1;1
Bi 2: Tỡm GTLN v GTNN ca cỏc hm s sau:
1) y sin2x x
trờn on
;
22
2)
63yx
trờn on
1;1
3)
2x
y x e
trờn on
1;0
4)
2
ln x
y
x
trờn on
3
1;e
Bi 3: Tỡm GTLN v GTNN ca cỏc hm s sau:
1)
2
lny x x
trờn on
1;e
2)
2
1
1
x
y
x
trờn on
1;2
3)
2
3 lny x x x
trờn on
1;2
4)
2
y x ln(1 2x)
trờn on
2;0
Bi 4: Tỡm GTLN v GTNN ca cỏc hm s sau:
1)
2
4y x x
2)
2
28y x x
3)
y 2 x 4 x
4)
2
y x 4 x
5)
2
11y x x
6)
22
11y x x
25
7)
2
4y x x= - -
8)
22
1
4
4
y x x x x= - - -
9)
22
4 21 3 10y x x x x
(Khối D-2010)
Bài 5: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
1)
3
4
y 2sin x sin x
3
trên đoạn
0;
2)
42
y cos x 6cos x 5
3)
3
62
41y x x
trên đoạn
1;1
4)
44
sin cos 2y x x
Nội dung 4: Sự tương giao của hai đồ thị
A. Tóm tắt lí thuyết
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Bài toán tổng quát
Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thị hai hàm số :
1
2
(C ) : y f(x)
(C ) : y g(x)
(C
1
) và (C
2
) không có điểm chung (C
1
) và (C
2
) cắt nhau (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau
Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số đã cho:
f(x) = g(x) (1)
* Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) mà ta kết luận về số điểm chung
của hai đồ thị (C
1
) và (C
2
) .
Lưu ý:
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị (C
1
) và (C
2
).
Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thị (C
1
) và (C
2
).
Chú ý 1 :
* (1) vô nghiệm
(C
1
) và (C
2
) không có điểm điểm chung
* (1) có n nghiệm
(C
1
) và (C
2
) có n điểm chung
Chú ý 2 :
* Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C
1
) và (C
2
).
Khi đó tung độ điểm chung là y
0
= f(x
0
) hoặc y
0
= g(x
0
).
x
y
y
y
x
x
O
O
O
)(
1
C
)(
2
C
)(
1
C
)(
2
C
1
x
2
x
1
M
2
M
2
y
1
y
0
M
)(
2
C
)(
1
C
x
y
0
y
0
x
O
26
B. Phng phỏp gii toỏn
Dng 1: Tỡm ta giao im ca hai th
1
2
( ) : ( )
( ): ( )
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
C y f x
C y g x
.
1. PHNG PHP
B1. Lp phng trỡnh honh giao im:
( ) ( )f x g x=
(1)
B2. Gii phng trỡnh (1) tỡm
x
ị
y
B3. Kt lun
2. V D
Vớ d . Tỡm ta giao im ca ng cong (C):
2x 1
y
2x 1
v ng thng
y x 2
.
Bi gii
Phng trỡnh honh giao im:
21
2
21
x
x
x
+
=+
-
(1)
iu kin:
1
2
x ạ
Khi ú:
(1)
2 1 (2 1)( 2)x x x+ = - +
2
2 3 0xx + - =
1
3
2
x
x
ộ
=
ờ
ờ
ờ
=-
ờ
ở
Vi
31
22
xy= - ị =
Vi
13xy= ị =
Vy ta giao im cn tỡm l
31
;
22
ổử
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
v
( )
1;3
.
Dng 2: Tỡm tham s hai th
1
2
( ) : ( )
( ): ( )
ỡ
=
ù
ù
ớ
ù
=
ù
ợ
C y f x
C y g x
ct nhau ti 2( 3, 4) im phõn bit.
1. PHNG PHP
B1. Lp phng trỡnh honh giao im:
( ) ( )f x g x=
(1)
B2. Lp lun
Lu ý:
S nghim ca phng trỡnh (1) chớnh l s giao im ca hai th.
27
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1. Cho hàm số
2x 1
y
x1
có đồ thị là (C). Tìm m để đường thẳng (d):
y x m
cắt đồ thị (C) tại
hai điểm phân biệt.
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:
21
1
x
xm
x
-
= - +
-
(1)
Điều kiện:
1x¹
♦ Khi đó:
(1)
Û
2 1 ( )( 1)x x m x- = - + -
Û
2
( 1) 1 0x m x m- - + - =
(2)
♦ (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt
Û
(1) có hai nghiệm phân biệt
Û
(2) có hai nghiệm phân biệt khác
1
Û
( ) ( )
( )
2
1 4 1 0
1 1 .1 1 0
mm
mm
ì
ï
éù
D = - - - - >
ï
ëû
í
ï
- - + - ¹
ï
î
Û
2
6 5 0mm- + >
15mmÛ < Ú >
♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
15mm< Ú >
.
Ví dụ 2. Cho hàm số
32
28y mx x x m= - - +
có đồ thị là
( )
m
C
. Tìm m đồ thị
( )
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm
phân biệt.
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:
32
2 8 0mx x x m- - + =
(1)
Û
( )
2
2 (2 1) 4 0x mx m x m
éù
+ - + + =
êú
ëû
Û
2
2
(2 1) 4 0 (2)
x
mx m x m
é
=-
ê
ê
- + + =
ë
♦
( )
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Û
(1) có ba nghiệm phân biệt
Û
(2) có hai nghiệm phân biệt khác
2-
Û
2
0
12 4 1 0
12 2 0
m
mm
m
ì
¹
ï
ï
ï
ï
D = - + + >
í
ï
ï
+¹
ï
ï
î
28
Û
0
11
62
1
6
m
m
m
ì
ï
ï
ï
¹
ï
ï
ï
ï
ï
- < <
í
ï
ï
ï
ï
ï
¹-
ï
ï
ï
î
Û
0
11
62
m
m
ì
¹
ï
ï
ï
í
ï
- < <
ï
ï
î
♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
0
11
62
m
m
ì
¹
ï
ï
ï
í
ï
- < <
ï
ï
î
.
Ví dụ 3. Cho hàm số
4 2 2
(3 4)y x m x m= - + +
có đồ thị là
( )
m
C
. Tìm m đồ thị
( )
m
C
cắt trục hoành tại bốn
điểm phân biệt.
Bài giải
♦ Phương trình hoành độ giao điểm:
4 2 2
(3 4) 0x m x m- + + =
(1)
Đặt
2
tx=
( )
0t ³
, phương trình (1) trở thành:
22
(3 4) 0t m t m- + + =
(2)
♦
( )
m
C
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
Û
(1) có bốn nghiệm phân biệt
Û
(2) có hai nghiệm dương phân biệt
Û
2
2
5 24 16 0
0
3 4 0
mm
Pm
Sm
ì
ï
D = + + >
ï
ï
ï
=>
í
ï
ï
= + >
ï
ï
î
Û
4
4
5
0
4
3
mm
m
m
ì
ï
ï
< - Ú > -
ï
ï
ï
ï
ï
¹
í
ï
ï
ï
ï
>-
ï
ï
ï
î
Û
4
5
0
m
m
ì
ï
ï
>-
ï
í
ï
ï
¹
ï
î
♦ Vậy giá trị
m
cần tìm là
4
5
0
m
m
ì
ï
ï
>-
ï
í
ï
ï
¹
ï
î
.
Dạng 3: Tìm tham số để hai đồ thị
1
2
( ) : ( )
( ): ( )
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
î
C y f x
C y g x
cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt thỏa điều kiện
cho trước.
1. PHƯƠNG PHÁP
B1. Lập phương trình hoành độ giao điểm:
( ) ( )f x g x=
(1)
B2. Lập luận
29
Lu ý:
ã
S nghim ca phng trỡnh (1) chớnh l s giao im ca hai th.
ã
Nghim x
0
ca phng trỡnh (1) chớnh l honh im chung ca (C
1
) v (C
2
).
Khi ú tung im chung l y
0
= f(x
0
) hoc y
0
= g(x
0
).
2. CC V D
Vớ d 1. Cho hm s
1
2
mx
y
x
-
=
+
cú th l
( )
m
C
. Tỡm m ng thng (d):
21yx=-
ct th
( )
m
C
ti hai im phõn bit
,AB
sao cho
10AB =
.
Bi gii
Phng trỡnh honh giao im:
1
21
2
mx
x
x
-
=-
+
(1)
iu kin:
2xạ-
Khi ú:
(1)
1 (2 1)( 2)mx x x- = - +
2
2 ( 3) 1 0x m x- - - =
(2)
(d) ct
( )
m
C
ti hai im phõn bit
,AB
(1) cú hai nghim phõn bit
(2) cú hai nghim phõn bit khỏc
2-
( )
2
3 8 0
8 2 6 1 0
m
m
ỡ
ù
ộự
ù
D = - - + >
ởỷ
ớ
ù
+ - - ạ
ù
ợ
1
2
m ạ-
(*)
t
( ) ( )
1 1 2 2
;2 1 ; ;2 1A x x B x x
vi
12
,xx
l hai nghim ca phng trỡnh (2).
Theo nh lý Viet ta cú:
12
12
3
2
1
2
m
xx
xx
ỡ
-
ù
ù
+=
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
=-
ù
ù
ù
ợ
Khi ú:
( ) ( )
22
1 2 1 2
4 10AB x x x x= - + - =
( )
2
1 2 1 2
5 4 10x x x x
ộự
+ - =
ờỳ
ởỷ
2
3
22
2
m
ổử
-
ữ
ỗ
+=
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
3m=
[tha món (*)]
Vy giỏ tr
m
cn tỡm l
3m=
.
Vớ d 2. Cho hm s
32
3 ( 1) 1y x x m x= - + - +
cú th l
( )
m
C
. Tỡm m th
( )
m
C
ct ng thng
( ) : 1d y x=+
ti ba im
( )
0;1 , ,A B C
sao cho
10BC =
.
Bi gii
