DE CUONG ON TAP TOAN 9(2011)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN HỌC KÌ II NĂM HỌC 2010 - 2011
PHẦN I: LÝ THUYẾT
A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I/ Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
Dạng tổng quát:
ax by c
a 'x b' y c'
+ =


+ =

(với a, b, c, a’, b’, c’
∈
R và a, b; a, b’ không đồng thời bằng 0)
II/ Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
1) Phương pháp thế:
- Bước 1: Rút x theo y (hoặc y theo x) từ một phương trình của hệ rồi thay vào phương trình còn lại.
- Bước 2: Giải phương trình một ẩn x (hoặc y).
- Bước 3: Thay giá trị x (hoặc y) vừa tìm vào phương trình còn lại để suy ra giá trị của ẩn còn lại.
- Bước 4: Kết luận.
2) Phương pháp cộng đại số:
Chú ý: Hệ số của cùng một ẩn bằng thì trừ, đối thì cộng, khác thì nhân.
B. HÀM SỐ y=ax
2
(a
≠
0)
I/ Tính chất của hàm số y=ax
2
(a

≠
0):
1/ TXĐ:
∀
x
∈
R
2/ Tính chất biến thiên:
* a>0 thì hàm số y=ax
2
đồng biến khi x>0 và nghịch biến khi x<0.
* a<0 thì hàm số y=ax
2
đồng biến khi x<0 và nghịch biến khi x>0.
3/ Tính chất về giá trị:
* Nếu a>0 thì y
min
= 0
⇔
x=0 * Nếu a<0 thì y
max
= 0
⇔
x=0
II/ Đồ thị của hàm số y=ax
2
(a
≠
0):
1/ Đồ thị của hàm số y=ax

2
(a
≠
0):
- Đỉnh O(0;0); - Nhận Oy làm trục đối xứng
- Nếu a>0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành Ox; Nếu a<0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành Ox
2/ Các bước vẽ đồ thị của hàm số y=ax
2
(a
≠
0):
- Lập bảng giá trị tương ứng:
x x
1
x
2
0 x
4
x
5
y=ax
2
y
1
y
2
0 y
4
y
5

- Biểu diễn các điểm có tọa độ (x;y) vừa xác định ở trên lên trên mặt phẳng tọa độ.
- Vẽ (P) đi qua các điểm đó.
III/ Quan hệ giữa (P): y=ax
2
(a
≠
0) và đường thẳng (d): y=mx+n:
Phương trình hoành độ giao điểm của (P): y=ax
2
và đường thẳng (d): y=mx+n là:
ax
2
= mx+n
⇔
ax
2
- mx-n=0 (*)
1/(P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt
⇔
phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
⇔
∆
>0 (hoặc
'∆
>0)
2/(P) tiếp xúc (d)
⇔
phương trình (*) có nghiệm kép
⇔
∆

=0 (hoặc
'∆
=0)
3/(P) và (d) không có điểm chung
⇔
phương trình (*) vô nghiệm
⇔
∆
<0 (hoặc
'∆
<0)
C. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
I/ Khái niệm ph. trình bậc hai một ẩn số (x): là ph.trình có dạng: ax
2
+ bx + c = 0 (với a,b,c
∈
R và a
≠
0)
II/ Cách giải phương trình bậc hai một ẩn số:
1. Dạng khuyết c (c=0) – Dạng ax
2
+ bx = 0:
ax
2
+ bx = 0
⇔
x.(ax+b)=0
⇔
0

0
0
x
x
b
ax b
x
a
=

=


⇔


+ =
= −


2. Dạng khuyết b (b=0) – Dạng ax
2
+ c = 0:
* Trường hợp c>0: phương trình vô nghiệm (vì khi đó ax
2
+ c > 0
∀
x )
* Trường hợp c<0, ta có: ax
2

+ c = 0
⇔
2 2
ax
c
x
c
a
c x
a
c
x
a

= −


=− ⇔ = − ⇔

= − −


3. Dạng đầy đủ – Dạng ax
2
+ bx + c = 0 (với a, b, c
≠
0 :
o
B
A

D
C
- Bước 1: Xác định hệ số a,b,c.
- Bước 2: Lập ∆ = b
2
- 4ac (hoặc ∆' = b'
2
– ac) rồi so sánh với 0
(Trong trường hợp ∆>0 (hoặc ∆'>0) ta tính
∆
(hoặc tính
'∆
)
- Bước 3: Xác định và kết luận nghiệm theo bảng sau:
C«ng thøc nghiÖm tổng quát
C«ng thøc nghiÖm thu gän
∆ = b
2
- 4ac
-NÕu ∆ > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
2
1
∆+−
=
;
a
b

x
2
2
∆−−
=
- NÕu ∆ = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp :

a
b
xx
2
21
−
==
- NÕu ∆ < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
∆' = b'
2
- ac (víi b’ =
2
b
2b')
- NÕu ∆' > 0 : Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:
a
b
x
''
1
∆+−
=
;

a
b
x
''
2
∆−−
=
- NÕu ∆' = 0 : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:

a
b
xx
'
21
−
==
- NÕu ∆' < 0 : Ph¬ng tr×nh v« nghiÖm
* Chú ý: Nếu a.c < 0 thì phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt (trái dấu)
III/ Định lí Vi-ét:
1/ Vi-ét thuận: NÕu x
1
, x
2
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0) th×:
1 2
1 2
.
b

S x x
a
c
P x x
a
−

= + =




= =


2/ Vi-ét đảo: Hai sè u vµ v thỏa mãn u + v = S; u.v = P thì u,v là nghiệm của ph¬ng tr×nh:
x
2
- Sx + P = 0 (§iÒu kiÖn: S
2
- 4P ≥ 0)
3/ NhÈm nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0):
*/ NÕu a + b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x
1
= 1 ; x
2
=
c

a
*/ NÕu a - b + c = 0 th× ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x
1
= -1 ; x
2
=
c
a
−
* Chú ý: NÕu x
1
, x
2
lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh bËc hai ax
2
+ bx + c = 0 (a≠0) th×:
ax
2
+ bx + c = a(x-x
1
)(x-x
2
)
IV/ Giải các phương trình quy được về phương trình bậc hai:
1/ Phương trình tích:
( ) 0
( ). ( ) 0
( ) 0
A x
A x B x

B x
=

= ⇔

=

2/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu:
- Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình (là ĐK của ẩn để tất cả các mẫu đều khác 0)
- Bước 2: Qui đồng và khử mẫu hai vế
- Bước 3: Giải phương trình nhận được trong bước 2
- Bước 4: Đối chiếu giá trị ẩn vừa tìm được với ĐKXĐ và kết luận nghiệm
3/ Phương trình trùng phương: ax
4
+ bx
2
+ c = 0 ( a
≠
0 )
+ Đặt : x
2
= y
≥
0 , ta có PT đã cho trở thành : ay
2
+ by + c = 0 (*)
+ Giải phương trình (*)
+ Chọn các giá trị y thỏa mãn y
≥
0 thay vào: x

2
= y
⇔
x=
y±
+ Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu
4/ Phương trình sau khi đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai:
+ Đặt ẩn phụ, đặt điều kiện của ẩn phụ nếu có.
+ Giải phương trình ẩn phụ.
+ Chọn các giá trị ẩn phụ thỏa mãn điều kiện thay vào chỗ đặt để suy ra giá trị ẩn ban đầu.
+ Kết luận nghiệm của phương trình ban đầu.
D. HÌNH HỌC
I. Quan hệ cung và dây. Góc với đường tròn:
1. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau,
o
C
A
B
I
M
o
B
A
D
o
B
A
C
x
o

A
B
x
o
A
B
C
E
o
A
B
D
C
F
M
o
A
B
C
B
o
A
C
E
o
C
D
A
B
B

A
o
E
C
D
hai cung bng nhau cng hai dõy bng nhau:
ằ
ằ
AB CD AB CD
= =
2. ng kớnh i qua im chớnh gia ca mt cung thỡ i qua trung im ca dõy cng cung y

ằ
ằ
MA MB IA IB= =

3. ng kớnh i qua im chớnh gia ca mt cung thỡ vuụng gúc vi dõy cng cung y
v ngc li
ằ
ằ
MA MB OM AB=
4. ng kớnh i qua trung im ca mt dõy khụng i qua tõm thỡ vuụng gúc vi dõy y
v chia cung b cng ra hai phn bng nhau
ằ
ằ
;IA IB OI AB MA MB= =
5. ng kớnh vuụng gúc vi mt dõy thỡ i qua trung im ca dõy y v chia cung b cng
ra hai phn bng nhau
ằ
ằ

;OI AB IA IB MA MB = =
6. Hai cung chn gia hai dõy song song thỡ bng nhau
ằ
ằ
/ /AB CD AC BD =
7. S o ca gúc tõm bng s o ca cung b chn
ã
ằ
=BOC sd BC

8. S o ca gúc ni tip bng na s o ca cung b chn
ã
ằ
1
2
=BAC sd BC
9. S o ca gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung bng na s o ca cung b chn

ã
ằ
1
2
=BAx sd AB
10. Trong mt ng trũn :
a) Cỏc gúc ni tip bng nhau chn cỏc cung bng nhau
ã
ã
ằ
ằ
ACB DFE AB DE= =

b) Cỏc gúc ni tip cựng chn mt cung thỡ bng nhau
ã
ã
AMB ACB=
(cựng chn
ằ
AB
)
c) Cỏc gúc ni tip chn cỏc cung bng nhau thỡ bng nhau
ằ
ằ
ã
ã
AB DE ACB DFE= =
d) Gúc ni tip nh hn hoc bng 90
o
cú s o bng na s o ca gúc tõm cựng
chn mt cung
ã
ã
1
2
ACB AOB=
(cựng chn cung
ằ
AB
)

e) Gúc ni tip chn na ng trũn l gúc vuụng v ngc li, gúc vuụng ni tip
thỡ chn na ng trũn

ã
90
o
ACB =
( gúc ni tip chn na ng trũn)


f) Gúc to bi tia tip tuyn v dõy cung v gúc ni tip cựng chn mt cung thỡ bng nhau

ã
ã
BAx BCA=
( cựng chn cung AB)
11.S o ca gúc cú nh bờn trong ng trũn bng na tng s o hai cung b chn


ã
ằ
ằ
1
( )
2
= +BED sd BD AC
(gúc cú nh bờn trong ng trũn)
12. S o ca gúc cú nh bờn ngoi ng trũn bng na hiu s o hai cung b chn


ã
ằ
ằ

1
( )
2
= CED sd CD AB
(gúc cú nh bờn ngoi ng trũn)
II. Tứ giác nội tiếp:
a) Tính chất: Tổng hai góc đối của tứ giác bằng 180
0
.
b) Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp:
- Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180
0
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
- Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dới một góc .
III. Độ dài đ ờng tròn - Độ dài cung tròn:
- Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung tròn n
0
bán kính R :
180
Rn
l

=
IV. Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn:
- DiÖn tÝch h×nh trßn: S = πR
2
- DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn b¸n kÝnh R, cong n
0
:

2
360 2
R n lR
S
π
= =
V. C ác công thức hình học không gian :
1. Hình trụ: S
xq
= C
đáy
.h (C
đáy
: chu vi đáy; h: chiều cao), S
xq
=2
π
r.h (r: bán kính đáy)
V= S
đáy
.h (S
đáy
: diện tích đáy; h: chiều cao), V=
π
r
2
.h (r: bán kính đáy)
2. Hình nón: S
xq
=

π
rl (l: đường sinh), V=
1
3
S
đáy
.h , V=
1
3
π
r
2
.h
3. Hình cầu: S
xq
=4
π
r
2
, V=
4
3
π
r
3
PHẦN II: BÀI TẬP
Dạng 1: Giải hệ phương trình.
a)
3x y 3
2x y 7

+ =


− =

b)
2x 5y 8
2x 3y 0
+ =


− =

c)
4x 3y 6
2x y 4
+ =


+ =

d)
2x 3y 2
3x 2y 3
+ = −


− = −

e)

2 x 3 y 1
x 3 y 2

− =


+ =


i)
1 1
2
x 2 y 1
2 3
1
x 2 y 1

+ =

− −



− =

− −

Dạng 2: Một số bài toán quy về giải hệ phương trình.
Bài 1: Tìm a, b: 1/ để hệ phương trình
2x by a

bx ay 5
− =


+ =

có nghiệm (1;3).
2/ để hệ phương trình
ax 2y 2
bx ay 4
+ =


− =

có nghiệm (
2
;-
2
).
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(1;3) và B(3;2).
Dạng 4: Xác định hệ số a và vẽ đồ thị hàm số y=ax
2
(a
≠
0)
Bài 1: a) Vẽ đồ thị hàm số y=x
2
và y=
1

2
−
x
2
trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Cho hàm số y=ax
2
. Xác định hệ số a, biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm A(1;-1). Vẽ đồ thị của
hàm số trong trường hợp đó.
Dạng 5: Quan hệ giữa (P): y=ax
2
(a
≠
0) và đường thẳng (d): y=mx+n:
Bài 1: Cho hàm số y=x
2
(P) và y=3x-2 (d)
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ
b) Xác định tọa độ của (P) và (d) bằng phương pháp đại số.
c) Lập phương trình của đường thẳng (d’), biết (d’)// (d) và (d’) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 3.
Bài 2: Cho hàm số y=
2
6
x
(P) và y=x+m (d)
a) Vẽ (P).
b) Tìm m để (P) và (d): - Cắt nhau tại hai điểm phân biệt; - Tiếp xúc nhau; - Không có điểm chung.
Dạng 6: Giải phương trình:
Bài 1: Giải phương trình: a) 2x
2

+ 5x = 0 b) x - 6x
2
= 0 c) 2x
2
+ 3 = 0 d) 4x
2
-1 = 0
e) 2x
2
+ 5x + 2 = 0 f) 6x
2
+ x + 5 = 0 g) 2x
2
+ 5x + 3 = 0 h)
2
25x 20x 4 0− + =
Bài 2: Giải phương trình: a) 3x
4
+ 2x
2
– 5 = 0 b) 2x
4
- 5x
2
– 7 = 0 c)
4 2
3x 5x 2 0− − =
d) 16 x
3
– 5x

2
– x = 0 e)
( ) ( )
2 2
2 2
x 3x 5 2x 1 0+ − − − =
f)
−
+ = −
− +
3x 2 6x 5
x 5 x 5 4
g)
( ) ( )
2
x 3x 5 1
x 3
x 3 x 2
− +
=
−
− +
h)
7
16
2
1
2
1
=

−
−
+ xx
Bài 4: Giải phương trình: a) x – 7
x 8 0− =
b)
x 5 5 x 1 0+ − − =
c)
( ) ( )
2
2 2
2x x 13 2x x 12 0+ − + + =
Dạng 7: Không giải phương trình tính tổng, tích hai nghiệm; tính nghiệm còn lại khi biết trước một nghiệm
của PTBH:
Bài 1: Cho phương trình:
2
x 8x 15 0− + =
, không giải phương trình hãy tính:
a)
1 2
x x+
b)
1 2
.x x
c)
2 2
1 2
x x+
d)
( )

2
1 2
x x+
e)
1 2
1 1
x x
+
f)
1 2
2 1
x x
x x
+
Bi 2: Cho phng trỡnh:
2
x 3x 15 0+ + =
, khụng gii phng trỡnh hóy tớnh: a)
1 2
x x+
b)
1 2
.x x
Bi 3: a) Cho phng trỡnh:
2
x 2mx 5 0 + =
cú mt nghim bng 2, hóy tỡm m v tớnh nghim cũn li.
b)Cho phng trỡnh:
2
x 5x q 0+ + =

cú mt nghim bng 5, hóy tỡm q v tớnh nghim cũn li.
Dng 8: Tỡm hai s khi bit tng v tớch ca chỳng. Lp phng trỡnh bc hai khi bit hai nghim:
Bi 1: Tỡm hai s u v v bit:
a) u+v=3 v u.v=2 b) u+v= -3 v u.v=6 c) u-v=5 v u.v=36 d) u
2
+v
2
=61 v u.v=30
Bi 2: Lp phng trỡnh bc hai cú hai nghim l: a)
1
8x =
v
2
3x =
b)
1
5x =
v
2
7x =
Dng 9: Tỡm iu kin ca tham s tha món v s cú nghim ca phng trỡnh bc hai:
Bi 1: Cho phng trỡnh:
2
x 2x m 1 0 + =
, tỡm m phng trỡnh:
a) Cú hai nghim phõn bit. b) Cú nghim kộp. c) Vụ nghim.
d) Cú hai nghim trỏi du. e) Cú hai nghim x
1
v x
2

tha món
2 2
1 2
5x x+ =
Bi 2: Cho phng trỡnh:
2
3x 2x m 1 0 + =
, tỡm m phng trỡnh:
a) Cú nghim . b) Cú hai nghim trỏi du. c) Cú hai nghim dng.
Dng 10: Chng minh phng trỡnh bc hai luụn cú hai nghim phõn bit (cú nghim kộp; vụ nghim) vi
mi tham s:
Bi 1: a) Chng minh rng phng trỡnh:
2 2
x 2x m 4 0 =
luụn cú hai nghim phõn bit

m.
b) Chng minh rng phng trỡnh:
( )
2
x 2 m 1 x m 4 0 + + =
luụn cú hai nghim phõn bit

m.
c) Chng minh rng phng trỡnh:
( )
2
x 2 m 2 x 4m 12 0+ + =
luụn cú nghim

m.
d) Chng minh rng phng trỡnh:
( )
2 2 2 2 2 2
c x a b c x b 0+ + =
vụ nghim vi a, b, c l di ba cnh ca
mt tam giỏc.
Dng 11: Toỏn tng hp:
Bi 1: Cho phng trỡnh:
( )
2
x 2 m 1 x 4m 0 + + =
.
a) Xỏc nh m phng trỡnh cú nghim kộp. Tớnh nghim kộp ú.
b) Xỏc nh m phng trỡnh cú mt nghim bng 4. Tớnh nghim cũn li.
c) Xỏc nh m phng trỡnh cú hai nghim trỏi du.
d) Xỏc nh m phng trỡnh cú hai nghim x
1
v x
2
tha món: x
1
= 2x
2
.
e) Xỏc nh m phng trỡnh cú hai nghim x
1
v x
2
tha món:

2 2
1 2
5x x+ =
.
f) Xỏc nh m phng trỡnh cú hai nghim x
1
v x
2
sao cho A=
2 2
1 2 1 2
2 2 .x x x x+
t giỏ tr nh nht.
GII BI TON BNG CCH LP PHNG TRèNH, H PHNG TRèNH
- Bc 1: Chn n (kốm theo n v) v t iu kin thớch hp cho n.
- Bc 2: Biu th cỏc i lng cha bit thụng qua n v cỏc i lng ó bit.
- Bc 3: Lp phng trỡnh (h phng trỡnh) biu din s tng quan gia cỏc i lng.
- Bc 4: Gii phng trỡnh (h phng trỡnh).
- Bc 5: i chiu giỏ tr n va tỡm c vi K v tr li
A. DNG TON CHUYN NG.
L u ý: + Qđờng = Vtốc . Tgian; Tgian = Qđờng : Vtốc; Vtốc = Qđờng : Tgian
+ v(xuôi)= v(riêng)+v(nớc); v(ngợc)= v(riêng)-v(nớc)
+ v(riêng)= [v(xuôi) + v(ngợc)]:2; v(nớc)= [v(xuôi) - v(ngợc)]:2
* Chú ý: - Vận tốc dòng nớc là vận tốc của đám bèo trôi, của chiếc bè trôi.
- Vận tốc thực của canô còn gọi là vận tốc riêng (hay vận tốc của canô khi nớc yên lặng).
Bi 1: Mt ngi i xe p t A n B cỏch nhau 36 km. Khi i t B tr v A, ngi ú tng vn tc thờm 3
km/h, vỡ vy thi gian v ớt hn thi gian i l 36 phỳt. Tớnh vn tc ca ngi i xe p khi i t A n B.
Giaỷi: Gi x (km/h ) l vn tc ca ngi i xe p khi i t A n B (K: x > 0)
Khi ú: vn tc ca ngi ú khi i t B v A l : x + 3 (km/h)
Thi gian ngi ú i t A n B l:

x
36
(h); Thi gian ngi ú i t B v A l:
3
36
+x
(h)
Theo ủe baứi toaựn ta coự phửụng trỡnh:
36 36 3
3 5x x
=
+

Bin i phng trỡnh trờn ta c: x
2
+ 3x - 180 = 0
Gii phng trỡnh trờn ta c: x
1
= 12 (tho món iu kin ca n)
x
2
= -15 (khụng tho món iu kin ca n)
Vy vn tc ca ngi ú i t A n B l 12 km/h.
Bi 2: Hai thnh ph A v B cỏch nhau 50km. Mt ngi i xe p t A n B. Sau ú 1gi 30 phỳt, mt
ngi i xe mỏy cng i t A v n B sm hn ngi i xe p 1gi. Tớnh vn tc ca mi ngi bit rng
vn tc ca ngi i xe mỏy ln hn vn tc ca ngi i xe p l 18km/h.
Gi x(km/h) l vn tc ca ngi i xe p, ta cú phng trỡnh:
50 50 5
18 2x x
- =

+
Bi 3: Một ca nô chy xuôi dòng từ bến A đến bến B, sau đó chy ngợc dòng từ B về A hết tổng thời gian là 5
giờ . Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 km và vận tốc dòng nớc là 5 km/h . Tính vận tốc thực của ca nô.
Gi x(km/h) l vn tc ca ca nụ, ta có PT:
60
5x +
+
60
5x
= 5
Bi 4: Mt xe mỏy i t A n B trong mt thi gian d nh. Nu vn tc tng thờm 14km/gi thỡ n sm 2
gi, nu gim vn tc i 4km/gi thỡ n mun 1 gi.Tớnh vn tc d nh v thi gian d nh.
Gii: Gi thi gian d nh l x(h) v vn tc d nh l y(km/h) (K: x > 0, y > 0)
* Quóng ng AB di l: x.y (km)
* Nu vn tc gim i 4km/h thỡ thi gian i s tng thờm 1 gi nờn ta cú:
(x + 1)(y - 4) = x.y

-4x + y = 4
* Nu vn tc tng thờm 14km/h thỡ thi gian i s bt i 2 gi nờn ta cú:
(x - 2)(y + 14) = x.y

14x - 2y = 28
Theo bi ta cú h phng trỡnh:
4x y 4 8x 2y 8 x = 6
14x 2y 28 14x 2y 28 y = 28
+ = + =



= =

(TMK)
Vy : Thi gian d nh l 6 gi v vn tc d nh l 28km/h.
Bi 5: Một ngời đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 78 km. Sau đó 1 giờ ngời thứ hai đi từ tỉnh B đến tỉnh A hai
ngời gặp nhau tại địa điểm C cách B 36 km. Tính thời gian mỗi ngời đã đi từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau,
biết vận tốc ngời thứ hai lớn hơn vận tốc ngời thứ nhất là 4 km/h.
Gọi x (h) là thời gian của ngời đi từ A đến C (K: x> 0), ta cú phng trỡnh:
36
1x
-
x
42
=4
C. DNG TON LM CHUNG LM RIấNG.
Bi 1: Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ, ngời thợ
thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm đợc 25% khối lợng công việc. Hỏi mỗi ngời thợ làm một mình công việc đó
trong bao lâu.
Giải: Gọi x(giờ) là thời gian để ngời thứ nhất làm một mình xong công việc.
Gọi y(giờ) là thời gian để ngời thứ hai làm một mình xong công việc (ĐK: x > 16; y > 16).
Trong 1 giờ, ngời thứ nhất làm đợc:
x
1
(công việc) ; Trong 1 giờ, ngời thứ hai làm đợc:
y
1
(công việc)
Trong 1 giờ, cả hai ngời làm đợc:
1
16
(công việc).

Theo đề bài ta có hệ phơng trình:







=+
=+
.
4
163
16
111
yx
yx

Giải hệ phơng trình ta đợc:



=
=
48
24
y
x
( thỏa mãn điều kiện )
Vậy: thời gian để ngời thứ nhất làm một mình xong công việc là: 24 ( giờ ).

thời gian để ngời thứ hai làm một mình xong công việc là: 48 ( giờ).
Bi 2: Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đờng trong 4 giờ thì xong . Nếu làm riêng thì tổ 1 làm
nhanh hơn tổ 2 là 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ?
Giải : Gọi x( giờ ) là thời gian một mình tổ 1 sửa xong con đờng ( ĐK: x >4 )
Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đờng là x + 6 ( giờ )
Trong 1 giờ, tổ 1 sửa đợc:
x
1
( con đờng ); Trong 1 giờ, tổ 2 sửa đợc:
6
1
+x
(con đờng )
Trong 1 giờ, cả hai tổ sửa đợc:
4
1
(con đờng )
Theo bài ra ta có hệ phơng trình:
x
1
+
6
1
+x
=
4
1

Bin i phng trỡnh trờn ta c:
2

2 24 0x x =
Gii phng trỡnh trờn ta c: x
1
= 6 (tho món iu kin ca n)
x
2
= -4 (khụng tho món iu kin ca n)
Vậy: một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày
một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày
Bi 3: Hai vũi nc cựng chy vo mt b (ban u khụng cha nc) thỡ sau 6 gi y b. Nu chy mt mỡnh
cho y b thỡ vũi I cn nhiu thi gian hn vũi II l 5 gi. Hi nu chy mt mỡnh y b thỡ mi vũi cn
bao nhiờu thi gian ?
Gọi x( giờ ) là thời gian vũi II chy mt mỡnh y b( ĐK: x >6 ) , phng trỡnh :
1
x 5+
+
1
x
=
1
6
D. DNG TON PHN CHIA U.
Bi 1: Mt on hc sinh gm cú 180 học sinh đợc điều về thăm quan diễu hành. Nếu dùng loại xe lớn chuyên
chở một lợt hết số học sinh thì phải điều động ít hơn dùng loại xe nhỏ là 2 chiếc. Biết rằng mỗi xe lớn nhiều
hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi. Tính số xe lớn ?
Giải: Gọi số xe lớn là x (chiếc) (K: x nguyên dơng).
Số xe nhỏ là: x + 2. ( chiếc )
Số hc sinh mỗi xe lớn chở đợc là:
x
180

( Hs); Số hc sinh mỗi xe nhỏ chở đợc là:
2
180
+x
( Hs).
Vì mỗi xe lớn nhiều hơn mỗi số xe nhỏ là 15 chỗ ngồi, do đó ta có phơng trình:
x
180
-
2
180
+x
= 15
Bin i phng trỡnh trờn ta c:
2
2 24 0x x+ =
Gii phng trỡnh trờn ta c: x
1
= 4 (tho món iu kin ca n)
x
2
= -6 (khụng tho món iu kin ca n)
Vậy số xe lớn là 4 chiếc
Bi 2: Trong một buổi lao động trồng cây ,một tổ học sinh đợc trao nhiệm vụ trồng 56 cây .Vì có 1 bạn trong tổ
đợc phân công làm việc khác nên để trồng đủ số cây đợc giao ,mỗi bạn còn lại trong tổ đều trồng tăng thêm 1
cây với dự định lúc đầu Hỏi tổ học có bao nhiêu bạn biết số cây đợc phân cho mỗi bạn đều bằng nhau.
Gi x l s hc sinh ca t (x nguyờn v x>1), ta cú phơng trình :
56 56
1
1x x

=

Bi 3: Một phòng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng dãy và số ghế của từng dãy đều nh nhau. Nếu số dãy
tăng thêm 1 và số ghế của mỗi dãy tăng thêm 1, thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi trong phòng họp có bao nhiêu
dãy ghế, mỗi dãy có bao nhiêu ghế.
Gọi x(dãy) là số dãy ghế ban đầu, phơng trình:
400 360
1
1x x
=
+
Bi 4: Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công. Hãy tính số công nhân của đội,
biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.
Gi x l s cụng nhõn ca i (x nguyờn v dng), phơng trình:
x
420
-
5
420
+x
= 7
E. DNG TON Cể NI DUNG HèNH HC.
Bi 1: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng biết rằng nếu chiều dài
giảm 3 lần và chiều rộng tăng 2 lần thì chu vi thửa ruộng không đổi.
Bi 2: Một hình chữ nhật có chu vi là 160m và diện tích là 1500m
2
. Tính chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ấy
Bi 3: Tìm hai cạnh của một tam giác vuông biết cạn huyền bằng 13 cm và tổng hai cạnh góc vuông bằng 17.
Gi¶i: Gäi c¹nh gãc vu«ng thø nhÊt cđa tam gi¸c lµ x ( cm ), (ĐK: 0< x < 17 ).
Ta cã: c¹nh gãc vu«ng cßn l¹i lµ: ( 17 - x ) ( cm).

V× c¹nh hun cđa tam gi¸c vu«ng lµ 13cm, do ®ã ta cã ph¬ng tr×nh:
x
2
+ ( 17 - x )
2
= 13
2
⇔
x
2
- 17x + 60 = 0
Gi¶i PT trªn ta ®ỵc: x
1
= 12, x
2
= 5. ( tháa m·n ®iỊu kiƯn )
VËy ®é dµi c¸c c¹nh gãc vu«ng lÇn lỵt lµ 12 cm, 5 cm.
F. MỘT SỐ DẠNG TỐN KHÁC.
Bµi 1: B¹n H¶i ®i mua trøng gµ vµ trøng vÞt. LÇn thø nhÊt mua n¨m qu¶ trøng gµ vµ n¨m qu¶ trøng vÞt hÕt
10.000®. LÇn thø hai mua ba qu¶ trøng gµ vµ b¶y qu¶ trøng vÞt hÕt 9.600®. Hái gi¸ mét qđa trøng mçi lo¹i lµ
bao nhiªu?
Bµi 2: Tỉng sè c«ng nh©n cđa hai ®éi s¶n st lµ 125 ngêi. Sau khi ®iỊu 13 ngêi tõ ®éi thø I sang ®éi thø II th× sè
c«ng nh©n cđa ®éi thø I b»ng 2/3 sè c«ng nh©n ®éi thø II. TÝnh sè c«ng nh©n cđa mçi ®éi lóc ban ®Çu.
BÀI TẬP HÌNH HỌC:
Bài 1: Cho ∆ABC vng tại A (AB < AC), vẽ AH ⊥ BC. Gọi D là điểm đối xứng của B qua H, E là hình chiếu
của C trên AD. Chứng minh:
a) Tứ giác AHEC nội tiếp, xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp tứ giác này. b) ∆AHE cân.
c) Biết BC = 2a, ACB = 30
0
, tính theo a:

c
1
) Diện tích xung quanh và thể tích của hình tạo bởi khi quay ∆ABC vng tại A quanh cạnh AB.
c
2
) Diện tích hình giới hạn bởi các đoạn AC, CH và cung AH của (O).
Bài 2: Cho đường tròn (O; 10cm) và điểm A nằm bên ngồi đường tròn. Qua A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B,
C là tiếp điểm) sao cho góc BAC = 45
0
.
a) Tính độ dài các cung AB của đường tròn (O);
b) Tia CO cắt AB ở D, chứng minh: ∆BOD và ∆ACD là các tam giác vng cân;
c) Tính độ dài đoạn AC; d) Tính d.tích hình giới hạn bởi các đoạn AC, AB và cung BC của (O).
Bài 3: Cho tam giác ABC vng tại A. Đường phân giác góc C cắt AB tại E. Kẻ AH vng góc với BC và AK
vng góc với CE, gọi I là giao điểm của AH và CE. Chứng minh:
a/ Bốn điểm A, K, H, C cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn.
b/ OK vng góc AH c/ Tam giác AEI cân
Bài 4: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC bằng 2a và góc B bằng 60
0
. Trên cạnh AC lấy một
điểm M ( M khác A;C). Vẽ đường tròn tâm I đường kính MC. Đường tròn này cắt tia BM tại D và cắt cạnh
BC tại điểm thứ hai là N .
a. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp được trong một đường tròn.
b. Chứng minh DB là tia phân giác của góc ADN .
c. Khi tứ giác ABCD là hình thang , tính diện tích hình tròn tâm I theo a .
Bài 5: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Kẻ đường cao AH. Trên đoạn AH lấy điểm M. Đường tròn tâm O
đường kính AM cắt AB ở D và AC ở E.
a) Cm: tứ giác MECH nội tiếp. b) Chứng minh :
·
·

AMD ABC=
c) Cm: AD.AB =
AE.AC
d) Cho
·
30
o
HAC =
, AM= 3 cm. Tính diện tích phần của hình tròn ( O) nằm ngồi tam giác AEM (lấy
π
= 3,14)
Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp (O;R). Gọi M là một điểm bất kỳ trên cung nhỏ
»
AC
. Đường thẳng
AM cắt đường thẳng BC tại S
a) Chứng minh:
·
·
SMC ACB=
b) Cm: AC
2
= AM.AS
c) Trường hợp
A
ˆ
= 60
0
. Tính độ dài
¼

BAC
, độ dài dây AB và d.tích phần h.tròn nằm ngồi
∆
ABC theo R
Bài 7: Cho ∆ABC nội tiếp (O;
BC
2
) có AB>AC, Hai tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt nhau ở M.
a) C/m: Tứ giác MAOB nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn đó. b) Chứng minh:
·
·
OAB IAM=
.
c) Đường cao AH của ∆ABC cắt CM ở N. Chứng minh : N là trung điểm của AH.
d) Giả sử
·
ACB
= 60
0
. Tính diện tích hình giới hạn bởi dây AC và cung nhỏ AC của (O) theo R.
ƠN TẬP TỐN 9 – HỌC KÌ 2
A. LÍ THUYẾT
Câu 1: Hàm số y = ax
2
(a khác 0): Tính chất và đồ thị?
Câu 2: Công thức nghiệm của PT bậc 2 một ẩn.(Khi hệ số b chẵn và khi hệ số b lẻ)
Câu 3: Hệ thức Vi-et: Phát biểu và ứng dụng.
Câu 4: Giải bài toán bằng cách lập PT: (toán năng suất, chuyển động và quan hệ số)
Câu 5: Góc ở tâm và góc nội tiếp: Tính nghĩa, số đo, tính chất?
Câu 6: Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung, góc có đỉnh ở bên trong, bên ngoài đường tròn: Định nghĩa, số

đo, tính chất?.
Câu 7: Liên hệ giữa cung và dây: Phát biểu định lí, vẽ hình, chứng minh.
Câu 8: Cung chứa góc:
- Quỹ tích các Điểm M nhìn đoạn thẳng AB một góc 90
0
.
- Quỹ tích các Điểm M nhìn đoạn thẳng AB một góc
α
( 0 <
α
< 180
0
)
Câu 9: Tứ giác nội tiếp:
- Định nghĩa, tính chất?
- Các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.
Câu 10: Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn: Vẽ hình, viết công thức tính.
B. BÀI TẬP
*DẠNG 1 TOÁN RÚT GỌN BIỂU THỨC:
Bài 1: Cho biểu thức P=








++
+

−








−
−
−
+
1
2
1:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx
a) Rút gọn P b/Tính
P
khi x=30 +
510
Bài 2: Cho biểu thức:P=
12

.
1
2
1
12
1
−
−








−
+−
−
−
−+
+
a
aa
aa
aaaa
a
aa
a) Rút gọn P b) Chứng minh rằng P >
3

2
c) Cho P=
61
6
+
, tìm giá trị của a?
Bài 3: Cho biểu thức :P=
1
2
1
2
+
+
−
+−
+
a
aa
aa
aa
a) Rút gọn P b) Biết a >1 Hãy so sánh P với
P

c) Tìm a để P=2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4: Cho biểu thức:P=
( )
( )
baba
baa
babbaa

a
baba
a
222
.1
:
133
++
−−








−
+
−
−
++
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 5: Cho biểu thức: P=









−
+
−
−
+






−
− 1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P >

2
1
Bài 6: Cho biểu thức :P=
x
x
yxyxx
x
yxy
x
−
−
−−+
−
− 1
1
.
22
2
2
3
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y=625 và P<0,2
*DẠNG 2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN VÀ ÁP DỤNG HỆ THỨC
VI-ET:
Bài 1
Cho phương trình
( )
0122
2
=+++− mxmx

.
Giải phương trình khi m =2
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm.
b) Gọi
21
; xx
là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để:
2
1221
)21()21( mxxxx =−+−
Bài 2 Cho phương trình :
( )
03412
22
=+−++− mmxmx

a) Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu
b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều nhỏ hơn không.
c) Gọi
21
; xx
là hai nghiệm nếu có của phương trình . Tính M =
2
2
2
1
xx +
theo m. Tìm giá trị nhỏ nhất của M
( nếu có)
Bài 3 Cho phương trình:

0122
2
=−+− mmxx
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm
21
; xx
với mọi m.
b) Đặt A=
21
2
2
2
1
5)(2 xxxx −+
.
b1) Chứng minh rằng: A=
9188
2
+− mm
b2) Tìm m sao cho A= 27.
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Bài 4 Cho phương trình
03
2
=−++ nmxx
(1) (n , m là tham số)
a) Cho n = 0. CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m và n để hai nghiệm: x
1
; x

2
của phương trình (1) thoả mãn hệ:



=−
=−
7
1
2
2
2
1
21
xx
xx
Bài 5 Cho phương trình :
( )
0332
22
=−+−− mmxmx
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm
21
, xx
thoả mãn
50
21
<<< xx
Bài 6 Cho phương trình

( )
010212
2
=+++− mxmx
(với m là tham số )
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là
21
; xx
; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa
21
; xx

mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để
2
2
2
121
10 xxxx ++
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 7 Cho phương trình
0834
2
=+− xx
có hai nghiệm là
21
; xx
.
Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức :

2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
M
+
++
=
*DẠNG 3 CÁC BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 2 ẨN:
Bài 1 Tìm giá trị của m để hệ phương trình ;
( )
( )



=−+
+=−+
21
11
ymx
myxm

Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x + y nhỏ nhất
Bài 2Cho hệ phương trình :



=+
=−+
ayxa
yxa
.
3)1(
a) Giải hệ phương rình khi a= -
2
b) Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện: x + y > 0
Bài 3 Cho a và b thoả mãn hệ phương trình :



=−+
=+−+
02
0342
222
23
bbaa
bba

Tính
22

ba +
*DẠNG 4 CÁC BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC HAI VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = ax
2
( a
≠
0 )
Bài 1: Cho (P)
2
xy =
và đường thẳng (d) y=2x+m
a) Vẽ (P)
b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số: y =
2
1
x
2
a) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A 2 ; -2 ) và B 1 ; - 4 )
b) Tìm giao điểm của đường thẳng vừa tìm được với đồ thị trên .
Bài 3: Cho (P)
4
2
x
y −=
và (d): y=x+ m
a) Vẽ (P)
b) Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung độ
bằng - 4
Bài 4 Cho (P)

2
4
1
xy =
và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lượt là -2 và 4
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
b) Viết phương trình đường thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ
[ ]
4;2−∈x
sao cho tam giác MAB có diện tích
lớn nhất.
(Gợi ý: cung AB của (P) tương ứng hoành độ
[ ]
4;2−∈x
có nghĩa là A(-2;
A
y
) và B(4;
B
y
)
⇒
tính
BA
yy ;
;
)
Bài 5
Cho đường thẳng (d):

2)2()1(2 =−+− ymxm

a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P)
2
xy =
tại hai điểm phân biệt A và B
b) Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m
c) Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi
d) * Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.
Bài 6Cho (P)
2
xy −=

a) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng
2
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp
xúc với (P)
Bài 7 Cho (P)
4
2
x
y −=
và điểm M (1;-2)
a) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
b) Chứng minh rằng: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
c) Gọi
BA
xx ;
lần lượt là hoành độ của A và B .Xác định m để
22

BABA
xxxx +
đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá
trị đó
d) Gọi A' và B' lần lượt là hình chiếu của A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B.
d1) Tính S theo m
d2) Xác định m để S =
)28(4
22
+++ mmm
*DẠNG 5 GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH:
Bài 1 Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km . Ô tô thứ nhất mỗi giờ chạy nhanh hơn
ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ . Tính vận tốc mỗi xe ô tô .
Bài 2 Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản xuất 1200 sản phẩm. Trong 12 ngày đầu họ làm theo đúng kế hoạch đề
ra, những ngày còn lại họ đã làm vượt mức mỗi ngày 20 sản phẩm, nên hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi
theo kế hoạch mỗi ngày cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm.
Bài 3 Một đoàn xe vận tải dự định điều một số xe cùng loại để vận chuyển 40 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành
đoàn xe được giao thêm 14 tấn hàng nữa do đó phải điều thêm 2 xe cùng loại trên và mỗi xe chở thêm 0,5 tấn
hàng. Tính số xe ban đầu biết số xe của đội không quá 12 xe.
Bài 4Một ca nô đi xuôi từ bến A đến bến B, cùng lúc đó một người đi bộ cũng đi từ bến A dọc theo bờ
sôngvề hướng bến B. Sau khi chạy được 24 km, ca nô quay chở lại gặp người đi bộ tại một địa điểm D
cách bến A một khoảng 8 km. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết vận tốc của người đi bộ và
vận tốc của dòng nước đều bằng nhau và bằng 4 km/h
Bài 5
Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể chứa không có nước thì sau 2 giờ 55 phút sẽ đầy bể . Nếu chảy riêng
thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao
lâu ?
Bài 6Một cơ sở đánh cá dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá, nhưng đã vượt mức được 6 tấn
mỗi tuần nên chẳng những đã hoàn thành kế hoạch sớm 1 tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 tấn. Tính mức kế
hoạch đã định

Bài 7Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch trong 26 ngày. Nhưng do cải tiến kỹ thuật nên mỗi
ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy do đó chẳng những đã hoàn thành kế hoạch đã định trong 24 ngày mà còn
vượt mức 104 000 đôi giầy. Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch.
*DẠNG 6 TỨ GIÁC NỘI TIẾP :
Câu 1 Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB. Hạ BN và DM cùng vuông
góc với đường chéo AC.
Chứng minh:
a) Tứ giác CBMD nội tiếp.
b) Khi điểm D di động trên trên đường tròn thì
DMB
ˆ
+
DCB
ˆ
không đổi.
c) DB . DC = DN . AC
Câu 2 Cho đường tròn tâm O. A là một điểm ở ngoài đường tròn, từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN với đường tròn,
cát tuyến từ A cắt đường tròn tại B và C ( B nằm giữa A và C ) . Gọi I là trung điểm của BC.
1) Chứng minh rằng 5 điểm A, M, I, O, N nằm trên một đường tròn.
2) Một đường thẳng qua B song song với AM cắt MN và MC lần lượt tại E và F. Chứng minh tứ giác
BENI là tứ giác nội tiếp và E là trung điểm của BF
Câu 3 Cho tam giác ABC , góc B và góc C nhọn. Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại D. Một
đường thẳng qua A cắt đường tròn đường kính AB, AC lần lượt tại
E và F.
1) Chứng minh B , C , D thẳng hàng.
2) Khi E F vuông goc với AD. ̀Chứng minh B, C , E , F nằm trên một đường tròn.
3) Xác định vị trí của đường thẳng qua A để EF có độ dài lớn nhất.
Câu 4Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại
E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh:
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD.

b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một đường tròn.
c) AC song song với FG.
d) Các đường thẳng AC, DE và BF đồng quy.
Câu 5Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. M là một điểm trên cung AC ( không chứa B ) kẻ MH
vuông góc với AC ; MK vuông góc với BC.
1) Chứng minh tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh góc AMB = góc HMK.
3) Chứng minh ∆ AMB đồng dạng với ∆ HMK.
Câu 6 Cho đường tròn tâm O và điểm A nằm ngoài đường tròn đó. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến
ADE tới đường tròn (B và C là tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của DE.
a) CMR: A,B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm của đường tròn đó.
b) CMR: HA là tia phân giác của góc BHC.
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE. CMR: AB
2
= AI.AH
BH cắt (O) ở K. Chứng minh rằng: AE song song CK.
Câu 7Cho ∆ ABC ( AC > AB ;
CAB
ˆ
> 90
0
). I, K theo thứ tự là các trung điểm của AB, AC. Các đường tròn
đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) tại điểm thứ hai E; tia CA cắt
đường tròn (I) tại điểm thứ hai F.
a) CMR ba điểm B, C, D thẳng hàng
b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp được
c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đường tròn ngoại tiếp ∆AEF. Hãy so sánh độ dài các đoạn
thẳng DH, DE.
Câu 8Cho đường tròn (O; R) và điểm A với OA =

2R
, một đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) tại M, N;
gọi I là trung điểm của đoạn MN.
a) CMR: OI ⊥ MN. Suy ra I di chuyển trên một cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O)
b) Tính theo R độ dài AB, AC. Suy ra A , O , B , C là bốn đỉnh của hình vuông.
c) Tính diện tích của phần mặt phẳng giới hạn bởi đoạn AB , AC và cung nhỏ BC của (O)