ôn tập toán chuyên đề hàm số mũ logarit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (8.12 MB, 92 trang )
Khóa h
ọ
c
Toán 12
–
Th
ầ
y Lê Bá Tr
ầ
n Phương
Lũy thừa
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
1. ðịnh nghĩa
a là số thực tùy ý, n là 1 số nguyên dương. Khi ñó tích của n thừa số a ñược gọi là lũy thừa bậc n của a, kí
hiệu
n
a
.
Như vậy :
. (
n
a a a a n
=
lần)
Trong biểu thức
n
a
thì a ñược gọi là cơ số, n ñược gọi là số mũ.
Chú ý:
+ Với
0
a
≠
thì
0
1
1;
n
n
a a
a
−
= =
+
0
0 ;0
n
−
không có nghĩa.
2. Các phép toán về lũy thừa
+
, ; ,
a b R m n R
+
∈ ∈
khi ñó
1)
.
m n m n
a a a
+
=
2)
m
m n
n
a
a
a
−
=
3)
.
( ) ( )
m n n m m n
a a a
= =
4)
( . ) .
m m m
a b a b
=
5)
m
m
m
a a
b b
=
6) + Nếu
1
a
>
thì
n m
a a n m
> ⇔ >
+ Nếu 0<a<1 thì
n m
a a n m
> ⇔ <
7)
n m
a a n m
= ⇔ =
8)
n n
a b a b
= ⇔ =
, ; ,
a b R m n Z
+ +
∈ ∈
khi ñó
9)
. .
n n n
a b a b
=
10)
n
n
n
a a
b
b
=
11)
m
n m
n
a a
=
12)
.
n
m n m
a a
=
LŨY THỪA
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Lũy thừa thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần
Phương tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững kiến thức phần Lũy thừa, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với
bài giảng này.
Khóa h
ọ
c
Toán 12
–
Th
ầ
y Lê Bá Tr
ầ
n Phương
Lũy thừa
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
3) Bài tập vận dụng
Tính giá trị của biểu thức
a)
3 5
2 5 1 5
15
3 .5
+
+ +
b)
(
)
1 2 2 1 2 2 2
4 16 4
− − +
−
c)
4
1
3
0,75
3
1
81 0,001
8
−
−
−
− +
d)
( )
5
5
1
2
4
3
2 8
3 2
3 27
3 ( 2) 2
8
3
−
−
− − + −
e)
7 3
3
21
729 128 128
+ +
f)
5 7
2 5 5 7 2 7
3 3 3 3
.
a b
a a b b
−
+ +
Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Lũy thừa
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
( )
1 1 2 2 2
2
1 1
( )
1
2
( )
c a b a b c
A
ab
c a b a b c
− −
− −
+ + + −
= +
− + + +
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
1
2
2
1
1
2
1
2( ) .( ) 1
4
a b
A ab a b
b a
−
= + + −
, với a.b >0
Bài 3: Cho
2 4 2 2 2 4
3 3
x x y y x y a
+ + + =
, chứng minh rằng:
2 2 2
3 3 3
a x y
= +
.
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
2 3
a a a a
A
a a a a
− −
− −
− − +
= +
− −
, với
3
0 1;
2
a< ≠
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
LŨY THỪA
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Lũy thừa thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê
Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên
truyền ñạt trong bài giảng Lũy thừa. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các
bài tập trong tài liệu này.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Lũy thừa
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1: Rút gọn biểu thức:
( )
1 1 2 2 2
2
1 1
( )
1
2
( )
c a b a b c
A
ab
c a b a b c
− −
− −
+ + + −
= +
− + + +
Giải:
Ta có:
( )
2 2 2
2
2 2
2
1 1
2
.
1 1
2
( ) 1
.
( )( ) 2 2
a b ab c
c a b
A
ab
a b c
c a b
a b c a b c
a b c a b c ab ab
+
+ + −
+
=
− + +
+
+ + + −
= =
+ − + +
Bài 2:
Rút gọn biểu thức:
1
2
2
1
1
2
1
2( ) .( ) 1
4
a b
A ab a b
b a
−
= + + −
, với a.b >0
Giải:
Ta có:
2 1 2 1
1 2 2
4 4
ab a b ab a b
A
a b b a a b b a
= + + − = + +
+ +
2
2 2
2
ab a b ab ab a b
a b ab a b
ab
+ + +
= =
+ +
a b a b
ab
a b a b
ab
+ +
= =
+ +
Vì a.b > 0 nên a, b > 0 hoặc a, b < 0 do ñó
1 , 0
1 , 0
khi a b
A
khi a b
>
=
− <
Bài 3: Cho
2 4 2 2 2 4
3 3
x x y y x y a
+ + + =
, chứng minh rằng:
2 2 2
3 3 3
a x y
= +
.
Giải:
Ta có:
LŨY THỪA
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Lũy thừa thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê
Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên
truyền ñạt trong bài giảng Lũy thừa. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các
bài tập trong tài liệu này.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Lũy thừa
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
2
4 2 2 4
2 2 2
3 3 3 3
a x x y y x y
= + + +
4 2 2 4 4 2 2 4
2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
2
x x y y x y x x y y x y
= + + + + + +
4 2 2 4 8 4 4 8
2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
2 2
x x y y x y x y x y x y
= + + + + + +
2
4 2 2 4 4 2 2 4
2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
4 2 2 4 4 2 2 4
2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
3 3 3
2 4 2 2 4 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
2
2
3 3
x x y y x y x y x y
x x y y x y x y x y
x x y x y y x y
= + + + + +
= + + + + +
= + + + = +
Suy ra
2 2 2
3 3 3
a x y
= +
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
2
1 1
1 1 1 1
2 2 2 2
4 9 4 3
2 3
a a a a
A
a a a a
− −
− −
− − +
= +
− −
, với
3
0 1;
2
a< ≠
Giải:
Ta có:
2
2
2 2
9 3
4 4
4 9 4 3
3 1
(2 3) ( 1)
2
a a
a a a
a a
A
a a a a
a a
a a
− − +
− − +
= + = +
− −
− −
2 2
2 3 3 3
9
a a a
a
a a a
+ −
= + = =
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa h
ọ
c
Toán 12
–
Th
ầ
y Lê Bá Tr
ầ
n Phương
Logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
1. ðịnh nghĩa
Cho a là số thực dương và khác 1
(0 1)
a
< ≠
, b là 1 số thực dương. Nếu số
α
thỏa mãn ñẳng thức
a b
α
=
thì
α
ñược gọi là logarit cơ số a của b, kí hiệu
log
a
b
.
Như vậy:
log
a
b a b
α
α
= ⇔ =
.
Lưu ý:
Trong biểu thức
log
a
b
thì a gọi là cơ số
(0 1)
a
< ≠
còn b goi là số có logarit (b>0).
Ví dụ:
5
2
2
1 2 2
1
5
1
8
) log 32 5 ì 2 32
1
) log 25 2 ì (5 ) 5 25
5
1 1
) log 1 ì 8
8 8
v
v
v
−
− −
−
+ = =
+ = − = = =
+ = − =
Chú ý:
+ Số âm và số 0 không có logarit.
+
10
10 log log lg
a b b b
= ⇒ = =
(lốc của b)
+
log ln
e
a e b b
= ⇒ =
(loga nêpe của b).
2. Các phép toán – tính chất của logarit
1)log 1 0, 2) log 1; 3) log log
a a a a
a b b
α
α
= = =
log log log
1
4)log log , 6) ; 7)
a b b
b c a
a
a
b b a b a c
α
α
= = =
log
1
8)log , 9) log log .log log ; 10) log ( . ) log log
log log
a
a b a b a a a a
b a
c
b c b c c b c b c
a b
= = ⇔ = = +
11)log log log
a a a
b
b c
c
= −
12)log log
a a
b c b c
= ⇔ =
13)
+ Nếu a > 1 thì log log
a a
b c b c
> ⇔ >
+ Nếu 0 < a < 1 thì log log
a a
b c b c
> ⇔ <
14)
1 0 1
) log 0; ) log 0
1 0 1
a a
a a
b b
b b
> < <
+ ⇒ > + ⇒ >
> < <
LOGARIT
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Logarit thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần
Phương tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững kiến thức phần Logarit, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với
bài giảng này.
Khóa h
ọ
c
Toán 12
–
Th
ầ
y Lê Bá Tr
ầ
n Phương
Logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
1 0 1
) log 0; ) log 0
0 1 1
a a
a a
b b
b b
> < <
+ ⇒ < + ⇒ <
< < >
3. Bài tập vận dụng
Bài 1:
Tính logarit sau:
1)
4
4
2
log 8; 2) log 8
(
)
2
log 3
3
1
3
3)log 3 3 4) 4
3
2
log 2
2log 5
1
2
5) 9 6) 2 log 9
+
6
6
1
log 2 log 5
2
3
1 1 1
3 3 3
1 1
7) 8) 2log 6 log 400 3log 45
6 2
−
− +
5 4
7 15
5 5 4
log 2
log 3
1
9) log 3 .log 7; 10)
log 7 log 6 log 6
+ +
Bài 2:
Chứng minh rằng:
log log
b b
c a
a c=
Bài 3:
Cho
2 3 7
log 3 ; log 5 ; log 2
a b c
= = =
. Tính
140
log 63
theo a, b, c.
Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a.
1
5
2
3
8
2 2
5
1
2
27
6log
9
log 8 9log 2 .
log 2 2
A = − +
b.
5 7
9 125
2
log 6 log 8
1 log 4 log 27
2 log 3
25 49 3
.
3 4 5
B
+
−
+ −
=
+ +
c.
6 9
log 5 log 36
1 l g 2
4
2 2
36 10 3
log log 2
o
C
−
+ −
=
Bài 2:
Tính các logarit sau:
1.
5
2 4
3
4
. .
log
a
a a a
a
2.
5
5
5
5
5 5
log log 5
(n dấu căn)
3.
3
1
log 5
3
1
27
4.
2 4 1
5
log log 16 log 5
3
+
5.
2
2 log 5
10
−
6.
(
)
1 3 2
4
log log 4.log 3
Bài 3 :
Rút gọn biểu thức :
1.
9
125 7
1 1
log 4
log 8 log 2
4 2
81 25 .49
−
+
2.
7 7
5
5
1
log 9 log 6
log 4
2log 72
2
49 5 .5
−
−
+
LOGARIT
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Logarit thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá
Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền
ñạt trong bài giảng Logarit. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập
trong tài liệu này.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
3.
2 2
3 3
1
log 7 log 24
2
1
log 72 log 18
3
−
−
4.
2 2
2 2
log 20 log 8
1
log 10 log 4
2
+
+
5.
(
)
5 3
3
1
ln ln ln 3ln .
e e e e
e
−
+ − −
6.
(
)
(
)
(
)
(
)
20 20
log 5 2 6 log 5 2 6 3log 2 1 log 5 2 7
+ + − + + + −
Bài 4:
Cho
2 2
log 3 à log 5
m v n
= =
. Tính theo m, n giá trị của các biểu thức:
a.
2
log 2250
A
=
b.
6
2
log 360
B =
Bài 5:
Tìm cơ số a biết:
a.
3
5
log 4 2 .
6
a
=
b.
(
)
3
11
log 3. 3. 3
12
a
= −
Bài 6:
Chứng minh các ñẳng thức sau (với giả thiết là chúng có nghĩa):
a.
log log
log ( )
1 log
a a
ax
a
b x
bx
x
+
=
+
b.
2
1 1 1 ( 1)
log log log 2log
n
a a
a a
n n
x x x x
+
+ + + =
Bài 7:
Rút gọn biểu thức:
6 8
1 2
log 2 log 3
4 3A = +
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a.
1
5
2
3
8
2 2
5
1
2
27
6log
9
log 8 9log 2 .
log 2 2
A = − +
Ta biến ñổi biểu thức về dạng:
( )
1
2
3 3
2
1
13
5
2
2
3
3
6
2
2
5
2
13
6log 3
6. .( 2)
2 1
5
log 2 9 log 2 3. 9.
6
9 3
.( 1)
log 2
5
2 1 26 27
A
−
−
−
= − + = − +
−
= − + =
b.
5 7
9 125
2
log 6 log 8
1 log 4 log 27
2 log 3
25 49 3
.
3 4 5
B
+
−
+ −
=
+ +
Ta biến ñổi biểu thức về dạng:
(
)
(
)
( )
( )
5 7
5 7
3
2 3
3 5
3 5
2
2
2 2
log 6 log 8
log 6 log 8
2 2
2 1
2
log 4 log .3
log 4 log 3
2
log 3
2
2
log 3
5 7 3
(5 ) (7 ) 3
4
4
3.3 5
3 3 5
(2 )
2
36 64 3
9
16
6 3
9
B
+ −
+ −
= =
+ +
+ +
+ −
= =
+ +
c.
6 9
log 5 log 36
1 l g 2
4
2 2
36 10 3
log log 2
o
C
−
+ −
=
Ta biến ñổi biểu thức về dạng:
( )
2
3
2
6 3
6
1
2. log 6
2
log 6
log 5
2
log 5
2
log2
1
1
8
4
2 2
2 2
3
2
10
10
(6 ) 3
6 3
10
2
log log 2
log log 2
25 5 6
8
log 2
C
−
+ −
+ −
= =
+ −
= = −
Bài 2:
Tính các logarit sau:
LOGARIT
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Logarit thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá
Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền
ñạt trong bài giảng Logarit. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập
trong tài liệu này.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
1.
( )
5
2 4
3
52 4
3
4
4
. .
log log . . log
a a a
a a a
a a a a
a
= −
5
2 4
3
4
log log log log
1 4 1 173
2
3 5 4 60
a a a a
a a a a
= + + −
= + + − =
2.
5
5
5
5
5 5
log log 5
(n dấu căn)
5
5
5
5 5
1
log log 5
5
=
( n- 1 dấu căn)
( )
5 5 5 5
1 1 1 1
log . . .log 5 log 5 .1 log 5
5 5 5 5
n n
n
− −
= = = = −
3.
3
1
3 3
1
log 5
3
log 5 log 5
1
1 1
3 3 5
27 5
−
−
−
= = = =
4.
2 4 1
2
5 2 4 5
2
log log 16 log 5
log log 4 log 5
log 2 1 0
3 3 3 3 1
+
−
−
= = = =
5.
10
2
100
log
log 4
2 log 5 log100 log25 log4
25
10 10 10 10 10 4
− −
= = = = =
6.
( ) ( )
2
1 3 2 1 3 2 1 2
2
4 4 4
1 1
log log 4.log 3 log 2.log 2.log 3 log 2 log 2 log 2
2 2
−
= = = = − = −
Bài 3:
Rút gọn biểu thức :
1.
3
9
125 7 5 7
1 1
1 1
4 log 2
log 4
log 8 log 2 2log 2 2log 2
4 2
4 2
81 25 .49 3 5 .7
−
−
+ = +
3 5 7
1 log 4 log 4 log 4
3 5 .7
−
= +
3
3 3
3
log
log 3 log 4
4
3
3 4 .4 3 4 .4 4 .4 19
4
−
= + = + = + =
2.
7 7
5
5
1
log 9 log 6
log 4
2log 72
2
49 5 .5
−
−
+
( )
7 7
5 5
2 log 3 log 6
log 2 log 72
7 5 .5
−
−
= +
1
7 7
5
1 1
2.log log
log 2
2 4
1 1 1
7 5 .72 7 .72 .72 54
2 4 2
−
= + = + = + =
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
3.
2
2
2 2 2
2 2
3 3
3 3
3
3 3
3 3
3
72
1 72
log
log 7 log 24 log
log 72 log 24
24
2 24
1
log 72 log 18 72 72
log 72 log 18
log log
3
18 18
−
−
= = =
−
−
3
2
2
2
4
3
3
3
3
2
3
3
log
log 2
9
24
2
4
8
4
log 3
log
3
18
−
−
−
= = = =
−
4.
(
)
( )
( )
2
2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
log 2 .5 3
log 20 log 8 2 log 5 3 5 log 5
2
1 1 1 1
log 2. 5 2
log 10 log 4 log 5 2 5 log 5
2 2 2 2
+
+ + + +
= = = =
+
+ + + +
5.
( )
1
1
5 3 1 5 3
3
3
2
1
ln ln ln 3ln . ln ln ln 3 ln ln
e e e e e e e e e
e
− − −
+ − − = + − − +
1 1 11
1 5 3 3
2 3 2
= − + + − + = −
6.
(
)
(
)
(
)
(
)
20 20
log 5 2 6 log 5 2 6 3log 2 1 log 5 2 7
+ + − + + + −
(
)
(
)
(
)
(
)
20
3
log 5 2 6 5 2 6 log 2 1 . 5 2 7
= + − + + −
(
)
(
)
log1 log 5 2 7 5 2 7 log1 log1 0
= + + − = + =
.
Bài 4:
Cho
2 2
log 3 à log 5
m v n
= =
. Tính theo m, n giá trị của các biểu thức:
a.
2
log 2250
A
=
b.
6
2
log 360
B =
Giải:
a. Ta có:
2 3
2250 2.9.125 2.3 .5
= =
Do ñó:
(
)
2 3 2 3
2 2 2 2 2
log 2250 log 2.3 .5 log 2 log 3 log 5 1 2 3 .
A m n
= = = + + = + +
b. Ta có:
6 6 3 6
360 5.8.9 2. 3. 5
= =
Do ñó:
(
)
6 3 6 3 6
2 2 2 2 2
log 360 log 2. 3. 5 log 2 log 3 log 5
1 1 1
.
2 3 6
B
m n
= = = + +
= + +
Bài 5: Tìm cơ số a biết:
a.
3
5
log 4 2 .
6
a
=
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-
b.
(
)
3
11
log 3. 3. 3
12
a
= −
Giải:
a. Ta có:
5 5
3 3
6 6
5
log 4 2 4 2 4 4
6
a
a a
= ⇔ = = ⇒ =
b. Ta có:
( )
11
1111 11
12
3 3
612 12
11 1
log 3. 3. 3 3. 3. 3 3 9
12 9
1
9
a
a
a
−
−
= − ⇔ = = = =
⇒ =
Bài 6:
Chứng minh các ñẳng thức sau (với giả thiết là chúng có nghĩa):
a.
log log
log ( )
1 log
a a
ax
a
b x
bx
x
+
=
+
b.
2
1 1 1 ( 1)
log log log 2log
n
a a
a a
n n
x x x x
+
+ + + =
Giải:
a. Ta có:
log ( ) log log
log ( )
log ( ) 1 log
a a a
ax
a a
bx b x
bx
ax x
+
= =
+
(ñpcm)
b. Ta có:
( )
1 2 1 ( 1)
1 2
log log log log 2log
a a a a a
n n n
VT n
x x x x x
+
= + + + = + + + = (ñpcm)
Bài 7:
Rút gọn biểu thức:
6 8
1 2
log 2 log 3
4 3
A
= +
Giải:
Ta biến ñổi biểu thức về dạng:
( )
( )
3 32 2
2
2
2log 8 log 8
log 6 log 6
2
(2 ) 3 2 3 36 64 10
A
= + = + = + =
.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa h
ọ
c
Toán 12
–
Th
ầ
y Lê Bá
Tr
ầ
n Phương
Hàm số mũ – Hàm số logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
I. Hàm số mũ
1. ðịnh nghĩa:
,0 1;
x
y a a x R
= < ≠ ∈
, a gọi là cơ số.
2. Tính chất
+
0
x
a
>
với
x R
∀ ∈
+ Hàm số
x
y a
=
- Nếu a > 1 thì hàm số ñồng biến trên R.
- Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên R.
3. ðồ thị của hàm số mũ
x
y a
=
- ðồ thị nằm phái trên Ox, nhận Ox làm tiệm cận ngang
- ðồ thị cắt Oy tại ñiểm (0 ; 1) và ñi qua 2 ñiểm
1
(1; ); 1;
a
a
−
- Hình dạng ñồ thị
II. Hàm số logarit
1. ðịnh nghĩa
0 1
log ,
0
a
a
y x
x
< ≠
=
>
, a gọi là cơ số.
2. Tính chất
+ log
a
x
−∞ < < +∞
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Hàm số mũ – hàm số logarit thuộc khóa học Toán 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững kiến thức phần Hàm số mũ – hàm số logarit,
Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Khóa h
ọ
c
Toán 12
–
Th
ầ
y Lê Bá
Tr
ầ
n Phương
Hàm số mũ – Hàm số logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
+ Hàm số
log
a
y x
=
Nếu a> 1 thì hàm số ñồng biến trên
(0; )
+∞
Nếu 0 < a < 1 thì hàm số nghịch biến trên
(0; )
+∞
3. ðồ thị của hàm
log
a
y x
=
- ðồ thị nằm phía bên phải Oy, nhận Oy làm tiệm cận ñứng
- ðồ thị cắt Ox tại ñiểm (1; 0) và ñi qua 2 ñiểm
1
( ;1); ; 1
a
a
−
- Hình dạng ñồ thị
Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Hàm số mũ – hàm số logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1: So sánh các số a và b biết:
a.
( ) ( )
3
2
2
2 1 à 2 1
a v b= − = +
b.
(
)
(
)
1 3 1 2 3
26 15 3 à 7 4 3a v b
+ −
= + = −
c.
2
3
3
5 1
à
2
4
a v b
= =
Bài 2:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số
2
x
y
=
, từ ñó suy ra ñồ thị:
1
2
x
y =
Bài 3:
So sánh:
a.
2 3 2 3
1
log 2 à log
3
a v b
− +
= =
b.
3 2 2 5 2 7
1
log 3 à log
2
a v b
+ −
= =
Bài 4:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (C):
2
log
y x
=
, từ ñó suy ra ñồ thị hàm số:
a.
2
log
y x
=
b.
2
log
y x
=
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Hàm số mũ – hàm số logarit thuộc khóa học
Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức
ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Hàm số mũ – hàm số logarit. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước
Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Hàm số mũ – hàm số logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1: So sánh các số a và b biết:
a.
( ) ( )
3
2
2
2 1 à 2 1
a v b= − = +
b.
(
)
(
)
1 3 1 2 3
26 15 3 à 7 4 3a v b
+ −
= + = −
c.
2
3
3
5 1
à
2
4
a v b
= =
Giải:
a. Ta có:
( ) ( )
3
3 3
2
2 2
1
2 1 2 1
2 1
b
−
= + = = −
−
Từ ñó vì:
( ) ( )
3
2
2
0 2 1 1
2 1 2 1
3
2
2
a b
−
< − <
⇒ − < − ⇔ <
> −
b. Ta có:
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
1 3 3 1 3
1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3
26 15 3 2 3
7 4 3 2 3 2 3
a
b
+ +
− − − −
= + = +
= − = − = +
Từ ñó vì:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
3 1 3 2 1 2 3
2 3 1
2 3 2 3
3 1 3 2 1 2 3
a b
+ − −
+ >
⇒ + > + ⇔ >
+ > − −
c. Ta có:
2
3
2
3
3
2
3
1 1 1 1
.
2
4
2
2
b
= = = =
Từ ñó vì:
2
2
3
3
5 1
5 1
2 2
2 2
2
0
3
a b
>
⇔ > ⇔ >
>
Bài 2:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số
2
x
y
=
, từ ñó suy ra ñồ thị:
1
2
x
y =
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Hàm số mũ – hàm số logarit thuộc khóa học
Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức
ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Hàm số mũ – hàm số logarit. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước
Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Hàm số mũ – hàm số logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
Giải:
Tập xác ñịnh: D = R
Hàm số ñồng biến trên R, ta có bảng biến thiên:
x
-
∞
+
∞
y
+
∞
-
∞
ðồ thị:
Ta lấy thêm các ñiểm
1
1; , (0;1), (1;2)
2
A B C
−
Ta có:
1
2
2
x
x
y
−
= =
, do ñó ñồ thị nhận ñược bằng cách lấy ñối xứng (C) qua trục Oy.
Bài 3:
So sánh:
a.
2 3 2 3
1
log 2 à log
3
a v b
− +
= =
b.
3 2 2 5 2 7
1
log 3 à log
2
a v b
+ −
= =
Giải:
a. Ta có:
2 3 2 3 2 3
1
log 2 log 2 log .
2
a
− + +
= = − =
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Hàm số mũ – hàm số logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
Do ñó:
2 3 2 3
2 3 1
1 1
log log
1 1
2 3
2 3
a b
+ +
+ >
⇒ > ⇔ >
>
.
b. ta có:
( )
( ) ( )
2
3 2 2
2 1 2 1
2 1
1
log 3 log 3 log 3 log 3
2
a
+
+ +
+
= = = =
( ) ( )
( ) ( )
3 3
3
5 2 7
2 1 2 1
2 1 2 1
1 1 1 1
log log log log 2 log 2
2 2 2 3
b
−
−
+ +
− +
= = = = =
Do ñó:
( ) ( )
3
2 1 2 1
3
2 1 1
log 3 log 2
3 2
a b
+ +
+ >
⇒ > ⇔ >
>
Bài 4:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (C):
2
log
y x
=
, từ ñó suy ra ñồ thị hàm số:
a.
2
log
y x
=
b.
2
log
y x
=
Giải:
Tập xác ñịnh
(0; )
D
= +∞
Hàm số ñồng biến trên D, ta có bảng biến thiên:
x
0 +
∞
y
+
∞
-
∞
ðồ thị: Ta lấy thêm các ñiểm A(1; 0); B(2; 1); C(4; 2).
a. Ta có:
2
2
2
log 1
log
log 0 1
x khi x
y x
x khi x
≥
= =
− < <
Do ñó ñồ thị
2
log
y x
=
gồm:
+ Phần từ trục hoành trở lên của ñồ thị (C).
+ ðối xứng phần ñồ thị phía dưới trục hoành của (C) qua trục hoành.
b.
Ta có:
2
2
2
log 0
log
log ( ) 0
x khi x
y x
x khi x
>
= =
− <
và
2
log
y x
=
là hàm chẵn nên ñồ thị có trục ñối xứng là Oy. Do ñó ñồ thị
2
log
y x
=
gồm:
+ Phần bên phải Oy của ñồ thị (C).
+ ðối xứng phần ñồ thị trên qua Oy.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa h
ọ
c
Toán 12
–
Th
ầ
y Lê Bá Tr
ầ
n Phương
Hàm số mũ – Hàm số logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
III. Các công thức tính ñạo hàm
1)
(
)
' ln
x x
a a a
=
2)
(
)
( ) ( )
' '( ). .ln
u x u x
a u x a a
=
3)
(
)
'
x x
e e
=
4)
(
)
( ) ( )
' '( ).
u x u x
e u x e
=
5)
( )
1
log '
ln
a
x
x a
=
6)
[ ]
'( )
log ( ) '
( )ln
a
u x
u x
u x a
=
7)
( )
1
ln '
x
x
=
8)
( )
'( )
ln ( ) '
( )
u x
u x
u x
=
Ví dụ 1:
Tính ñạo hàm của
1)
2
cos 3
3 5
x x x x x
y e e e
−
= + + + −
2)
5 4
3 2
log sin log (3 )
y x x
= +
3)
2
ln ln tan ln ln (ln )
2
x
y x x
= − +
4)
(3 1)
log (2 3)
x
y x
+
= −
Ví dụ 2:
(
ðHKB – 2009
). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số:
2
ln
x
y
x
= trên
3
1;
e
IV. Hai giới hạn cơ bản
a)
Công thức:
( ) 0
( ) 1
lim 1
( )
u x
u x
u x
→
−
=
(
)
( ) 0
ln 1 ( )
lim 1
( )
u x
u x
u x
→
+
=
b)
Ví dụ:
Tính giới hạn
1.
2
0
1
lim
1 1
x
x
e
x x
→
−
+ − −
2.
sin2 sin
0
lim
sin
x x
x
e e
x
→
−
3.
0
2 3
lim
x x
x
x
→
−
4.
1
lim .
x
x
L x e x
→+∞
= −
5.
3
0
log (1 2012 )
lim
x
x
x
→
+
6.
ln 1
lim
x e
x
L
x e
→
−
=
−
Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT (Tiếp theo)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Hàm số mũ – hàm số logarit thuộc khóa học Toán 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững kiến thức phần Hàm số mũ – hàm số logarit,
Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Hàm số mũ – hàm số logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Phần I: Các bài tập có hướng dẫn giải
Bài 1: Tính giới hạn
1.
2
2
0
3 cos
lim
x
x
x
x
→
−
2.
2
2
2
lim
2
x
x
x
x
→
−
−
3.
0
ln( os2 )
lim
ln( os3 )
x
c x
c x
→
4.
2
3
2 2
2
0
1
lim
ln(1 )
x
x
e x
x
−
→
− +
+
Bài 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
a)
1
x
y e x
= − −
b)
ln 3
y x x
= − +
Bài 3:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
2
3 3
x y
P
= +
biết
0, 0, 1
x y x y
≥ ≥ + =
Bài 4:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của:
2
1 1
5
x
y
− −
=
Phần II: Một số bài tập tự giải:
Tính ñạo hàm của hàm số:
(
)
2
1) 2 ln 1 1
x
y x
= − + +
(
)
2
2) ln 1
x x
y e e
= + +
4
3) (3 5).log
y x x
= −
7 4
4) log (3 )
y x
=
2
2
1
5) ln
1
x
y
x
−
=
+
(
)
3 2
6) 3 1 ln 2
e
x
y x
= + +
7)
ln
x
y
x
=
(
)
1
8
8) log 8 5
x
y
−
= −
5 3
9) . 2
x
y x e
= +
(
)
10) ln ln 2 .cos
x
y x
=
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT (Tiếp theo)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Hàm số mũ – hàm số logarit thuộc khóa học
Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức
ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Hàm số mũ – hàm số logarit. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước
Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Hàm số mũ – hàm số logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1: Tính giới hạn
1.
2 2 2
ln3 ln3
2 2 2
0 0 0
3 cos cos 1 1 cos
lim lim lim
x x x
x x x
x e x e x
x x x
→ → →
− − − + −
= =
2
2
ln3
2 2
0 0
2
ln3
2
2
0 0
1 1 cos
lim lim
2sin
1 1
2
ln3.lim lim ln 3
ln3 2
4
2
x
x x
x
x x
e x
x x
x
e
x
x
→ →
→ →
− −
= +
−
= + = +
2.
(
)
(
)
2 2 2
2 2
2 2 2 2
4 2 1 4 4 2 1
2 4
lim lim lim lim
2 2 2 2
x x
x
x x x x
x
x x
x x x x
− −
→ → → →
− + − −
− −
= = −
− − − −
( 2).ln2
2
1
4 2.lim 4 4ln 2 4
( 2).ln 2
x
x
e
ln
x
−
→
−
= − = −
−
3.
[
]
[ ]
0 0
ln 1 ( os2 1)
.( os2 1)
ln( os2 )
os2 1
lim lim
ln 1 ( os3 1)
ln( os3 )
.( os3 1)
os3 1
x x
c x
c x
c x
c x
c x
c x
c x
c x
→ →
+ −
−
−
=
+ −
−
−
0 0
2
2
2
0 0
2 2
2
os2 1 1 os2
lim lim
os3 1 1 os3
sin
2sin 4 4
lim lim
3 3
9 9
2sin sin
2 2
3
2
x x
x x
c x c x
c x c x
x
x
x
x x
x
→ →
→ →
− −
= =
− −
= = =
4.
2
2
3
2 2
32 2
2 2
2
2
0 0
2
1 1 1
1
lim lim
ln(1 )
ln(1 )
x
x
x x
e x
e x
x x
x
x
x
−
−
→ →
− − +
+
− +
=
+
+
(
)
2
32 2
2
2 2
0 0
2
0
3
2 2 2 2
3
2
0
1 1 1
2lim lim
2
2 lim
ln(1 )
1 1 (1 )
lim
x
x x
x
x
e x
x
x x
x
x x x
x
−
→ →
→
→
− − +
− +
−
−
= = − +
+
+ + + +
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT (Tiếp theo)
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Hàm số mũ – hàm số logarit thuộc khóa học
Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức
ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Hàm số mũ – hàm số logarit. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước
Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Hàm số mũ – hàm số logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
3 2 2 2
0
3
1 1 7
2 lim 2
3 3
1 1 (1 )
x
x x
→
−
= − + = − − = −
+ + + +
Bài 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
a)
1
x
y e x
= − −
b)
ln 3
y x x
= − +
Giải:
a) Tập xác ñịnh: R
Ta có:
' 1; ' 0 1 0
x x
y e y e x
= − = ⇔ = ⇔ =
Bảng biến thiên:
x
-
∞
0 +
∞
y’ - 0 +
y
0
Từ bảng biến thiên suy ra
min 0 0
x R
y khi x
∈
= =
b) Tập xác ñịnh:
x
> 0
Ta có:
1 1
' 1 , ' 0 1 0 1
x
y y x x
x x
−
= − = = ⇔ − = ⇔ =
Bảng biến thiên :
x
0 1 +
∞
y’ - 0 +
y
4
Từ bảng biến thiên suy ra :
0
min 4 1
x
y khi x
>
= =
Bài 3:
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
2
3 3
x y
P
= +
biết
0, 0, 1
x y x y
≥ ≥ + =
Giải:
2 2 1 2
3
3 3 3 3 3
3
x y x x x
x
P
−
= + = + = +
ðặt
3
x
t
=
, theo giả thiết ta có:
0 1 1 3
x t
≤ ≤ → ≤ ≤
Khi ñó bài toán tương ñương với bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm
2
3
( )f t t
t
= +
trên
[
]
1;3
Ta có:
3
2 2
3 2 3
'( ) 2
t
f t t
t t
−
= − =
3
3
3
'( ) 0 2 3 0
2
f t t t
= ⇔ − = ⇔ =
Khóa h
ọc Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Hàm số mũ – hàm số logarit
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
3
3
3 9
(1) 4; (3) 10;
2
3
2
2
f f f
= = =
Do ñó:
[ ]
3
1;3
3
9 3
) min ( )
2
3
2
2
t
f t khi t
∈
+ = =
Suy ra
3
3
3
3
3
3
3
log
3
9
3
2
min
2
3
3
2
1
1 log
2
2
x
x
P khi
x y
y
=
=
= ⇔
+ =
= −
+
[ ]
1;3
( ) 10 3
t
max f t khi t
∈
= =
Suy ra:
1
3 3
10
0
1
x
x
MaxP khi
y
x y
=
=
= ⇔
=
+ =
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của:
2
1 1
5
x
y
− −
=
Giải:
ðiều kiện:
2
1 0 1 1
x x
− ≥ ⇔ − ≤ ≤
Bài toán tương ñương tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của
2
1 1
5
x
y
− −
=
trên [-1; 1]
Ta có:
2
1 1
2
' .5 .ln5
1
x
x
y
x
− −
=
−
(
)
2
1 1
5 .ln5 0
x− −
>
Nên
' 0 0
y x
= ⇔ =
y’ không xác ñịnh khi
1
x
= ±
(0) 1; ( 1) 5; (1) 5
y y y
= − = =
Suy ra:
[ ]
1;1
min 1 0
x
y khi x
∈ −
= =
[ ]
1;1
5 1
x
max y khi x
∈ −
= = ±
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa h
ọ
c
Toán 12
–
Th
ầ
y Lê Bá Tr
ầ
n Phương
Phương trình mũ
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
I. Phương trình cơ bản
1.
x
a b
=
- Nếu
0
b
≤
thì phương trình vô nghiệm
- Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất
log
a
x b
=
Vậy
log , 0
x
a
a b x b b
= ⇔ = >
2.
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x
= ⇔ =
Ví dụ:
Giải các phương trình
2
1
3 4 2 11 4 3
1 2 3 1 2
2
8
6 1 1
1. 3 5
2. 12 3 .4
3. 4 4 4 9.6 6 6
2.3 2
4. 1
3 2
3 5 3 5
5.
2 2
6. 2 13.2 3.2
x x
x x x
x x x x x x
x x
x x
x
x x x x
−
+ + −
+ + + + +
+
− − − +
=
=
+ + = + +
−
=
−
+ −
=
= −
Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
PHƯƠNG TRÌNH MŨ (Phần 01)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Phương trình mũ thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá
Trần Phương tại website Hocmai.vn. ðể có thể nắm vững kiến thức phần Phương trình mũ, Bạn cần kết hợp xem tài
liệu cùng với bài giảng này.
