Chuyên đề Hàm Số Mũ - Logarit

Lũy thừa với số mũ hữu tỉ.............................................................................................................................................
1. Lũy thừa với số mũ nguyên:.............................................................................................................................................................
Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm:............................................................................................................................................................
So sánh các luỹ thừa.................................................................................................................................................................................................
2. Căn bậc n và luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:..........................................................................................................................................
Căn bậc n:..................................................................................................................................................................................................................
Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:.......................................................................................................................................................................................
Lũy thừa với số mũ thực................................................................................................................................................
1.Khái niệm:.........................................................................................................................................................................................
2. Tính chất:..........................................................................................................................................................................................
3.Ứng dụng vào bài toán thực tế - Tính lãi kép theo định kì:..............................................................................................................
Một số ví dụ:.............................................................................................................................................................................................................
LOGARIT.........................................................................................................................................................................
1.Định nghĩa:........................................................................................................................................................................................
Hệ quả:......................................................................................................................................................................................................................
Công thức đổi cơ số:...............................................................................................................................................................................................
3.Logarit thập phân và ứng dụng:......................................................................................................................................................
Định nghĩa:..............................................................................................................................................................................................................
Tính chất:................................................................................................................................................................................................................
Bài tập:....................................................................................................................................................................................................................
Ứng dụng: ...............................................................................................................................................................................................................
*Tính các phép tính liên quan đến lũy thừa..........................................................................................................................................................
*Tìm số các chữ số của 1số trong hệ thập phân:..................................................................................................................................................
Bài tập:....................................................................................................................................................................................................................
BÀI 4: Số e và Logarit Tự nhiên....................................................................................................................................
1/Khái niệm:.......................................................................................................................................................................................
Bài tập:....................................................................................................................................................................................................................
Lãi kép liên tục và số e:...........................................................................................................................................................................................
2.Logarit tự nhiên:.............................................................................................................................................................................
*ĐN:.........................................................................................................................................................................................................................
*Tính chất: ..............................................................................................................................................................................................................

Hàm số mũ...................................................................................................................................................................
1.Định nghĩa ......................................................................................................................................................................................
2.Một số giới hạn liên quan...............................................................................................................................................................
3.Sự biến thiên ..................................................................................................................................................................................
4. Bài tập hàm số mũ .......................................................................................................................................................................
A.Dựa vào đồ thị suy ra số nghiệm của phương trình..........................................................................................................................................
B.Áp dụng hàm số để tính diện tích của hình phẳng ...........................................................................................................................................
Hàm số logarit..............................................................................................................................................................
1. Định nghĩa: ....................................................................................................................................................................................
2.Tính chất :........................................................................................................................................................................................
3.Một số giới hạn liên quan...............................................................................................................................................................
4.Sự biến thiên ..................................................................................................................................................................................
Tịnh tiến đồ thị............................................................................................................................................................
Hàm số lũy thừa..........................................................................................................................................................
1.Định nghĩa:......................................................................................................................................................................................
2.Tính chất:........................................................................................................................................................................................
3.Đạo hàm của hàm số lũy thừa:.......................................................................................................................................................
4.Sự biến thiên:..................................................................................................................................................................................
Phương trình mũ.........................................................................................................................................................
4.Dạng cơ bản : .................................................................................................................................................................................
2.đưa về cùng cơ số : ........................................................................................................................................................................
3.lấy logarit hai vế (logarit hoá): .......................................................................................................................................................
4.đặt thừa số chung, đưa về phương trình tích:...............................................................................................................................
4.Đoán nghiệm duy nhất : .................................................................................................................................................................
5.pp đặt ẩn phụ:.................................................................................................................................................................................
Phương trình logarit....................................................................................................................................................
1.Đưa về cùng cơ số ..........................................................................................................................................................................
2.chứng minh nghiệm duy nhất.........................................................................................................................................................
3.pp đặt ẩn phụ:.................................................................................................................................................................................
Hệ phương trình mũ- logarit........................................................................................................................................

1.Phương pháp chung :......................................................................................................................................................................
2.Giải các hệ sau ................................................................................................................................................................................
1.Giải dựa vào số mũ:.............................................................................................................................................................................................
2.Giải dựa vào cơ số...............................................................................................................................................................................................
3. Phương pháp đồng nhất .....................................................................................................
Pp1: biến đổi đưa về cùng cơ số, làm mất cơ số, đưa về hệ đại số quen thuộc.................................................................................................
Pp2: dùng pp thế :...................................................................................................................................................................................................
Pp: đặt ẩn phụ ........................................................................................................................................................................................................
Pp: đưa về .............................................................................................................................................................................................................
Pp: dùng khảo sát hàm số......................................................................................................................................................................................
Pp: dùng tính chẵn của ẩn......................................................................................................................................................................................
Pp: điều kiện cần và đủ..........................................................................................................................................................................................
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ...................................................................................................................................................................
1.Kiến thức cơ bản:............................................................................................................................................................................
2.Một số ví dụ một số dạng toán thường gặp:..................................................................................................................................
a.Dạng đưa về cùng cơ số:.....................................................................................................................................................................................
b.Dạng dùng phương pháp đặt ẩn phụ:................................................................................................................................................................
c.Dạng lấy logarit hai vế:........................................................................................................................................................................................
d.Dạng đoán nghiệm:.............................................................................................................................................................................................
B.BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT:......................................................................................................................................................
1.Kiến thức cơ bản:............................................................................................................................................................................
2.Một số ví dụ:...................................................................................................................................................................................
a.Dạng đưa về cùng cơ số:.....................................................................................................................................................................................
b.Dùng phương pháp đặt ẩn phụ:.........................................................................................................................................................................
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
1. Lũy thừa với số mũ nguyên:
Cho số thực a, số nguyên dương n

n
n thuaso

1
a a.a.........a (n 1)
a a
= >
=
14 2 43
Lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm:
Với
a 0,n 0≠ =
hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của a là số
n
a xác định bởi

1 1 1 1
0 0
2y 1 1 y 2y 1 1 y
2 3y
0
(2y 1)(1 y)
1 2
y hay y 1
2 3
> > ⇔ − >
− − − −
−
⇔ >
− −
⇔ < < >
* CHÚ Ý:
1) Các kí hiệu

0 n
0 ; 0
(Với n nguyên âm) không có nghĩa.
2) Với
a 0
≠
và n nguyên, ta có:
n
n
1
a
a
−
=
So sánh các luỹ thừa
Cho m, n là những số nguyên. Khi đó:
1) Với a>1 thì
m n
a a> khi và chỉ khi m > n
2) Với 0< a <1 thì
m n
a a> khi và chỉ khi m < n
i. Hệ quả 1:
Với 0 < a < b và m là số nguyên thì:
1)
m m
a b< khi và chỉ khi m > 0
2)
m m
a b> khi và chỉ khi m < 0

ii. HỆ QỦA 2:
Với a < b và n là số tự nhiên lẻ thì:
n n
a b<
2. Căn bậc n và luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
Căn bậc n:
* Định nghĩa 2:
Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho: b
n
= a.
* Nhận xét:
1) Căn bậc 1 của số a chính là a.
2) Căn bậc n của số 0 là 0.
3) Số âm không có căn bậc chẵn vì luỹ thừa bậc chẵn của 1 số thực bất kì là số không
âm.
4) Với n nguyên dương lẻ, ta có:

n
n
a 0 khi a 0;
a 0 khi a 0.
> >
< <
5)
( )
n
n
a khi n 2k 1
a k
a khi n 2k.

= +


= ∈

=


¢
Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ:
Định nghĩa 3:
Cho a là 1 số thực dương và r là 1 số hữu tỉ. Giả sử
m
r
n
=
, trong đó m là 1 số nguyên
còn n là 1 số nguyên dương. Khi đó, luỹ thừa của a với số mũ r là số a
r
xác định bởi
m
r m
n
n
a a a= =
.
Ví dụ1: đơn giản các biểu thức sau:
5
5
5

5 5
8. 4 8.4 2 2= = =
4
4
4 4
1 81 3 3
5
16 16 2 2
 
= = =
 ÷
 
3
5
3
3
5 3
3
5 5
27 3 3 3= = =
6 63 6
64 8 8= =
Ví dụ2: so sánh
3
2 & 3
Ta có:
( )
( )
6
3

6
2
3
2 2 8
3 3 9
= =
= =
3 3
3 30 & 63+
Ta có :
3 3 3
3 3
3 1
3 30 4 64 63
30 27 3

>

⇒ + > = >

> =


3 3
7 15 & 10 28+ +
Ta có:
3 3
3
7 8 2
7 15 6

15 16 4

< =

⇒ + <

< =


Ta lại có:
3
3 3
10 9 3
10 28 6
28 27 3

> =

⇒ + >

> =


Ví dụ3: cm:
4 2 3 4 2 3 2+ − − =
( ) ( )
( ) ( )
2 2
VT 4 2 3 4 2 3
3 1 3 1

3 1 3 1
2
= + − −
= + − −
= + − −
=
Lũy thừa với số mũ thực
1.Khái niệm:
Cho a là số thực dương ,α là một số vô tỉ.
Xét dãy số hữu tỉ r
1
,r
2
,…, r
n
, mà lim r
n
= α
Lũy thừa của a với số mũ α (kí hiệu là a
α
)
n
r
x
a lim a
α
→+∞
⇔ =
Chú ý:
i) Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ âm thì cơ số phải khác 0.

ii) Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
2. Tính chất:
Lũy thừa với số mũ thực (của mộ số dương) có đầy đủ tính chất như lũy thừa với số
mũ nguyên.
3.Ứng dụng vào bài toán thực tế - Tính lãi kép theo định kì:
N
C A(1 r)= +
Với: A:Số tiền gửi ban đầu
C:Số tiền cả vốn lẫn lãi sau N kì
r:Lãi suất mỗi kì
N:Số kì
Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức:
2 8
2 2 1
1) A (0.5 )
1
2) B a ( )
a
−
=
=
Giải:
2 8 2. 8 4
1
1) A (0.5 ) (0,5) (0.5)
16
= = = =
2 2 1 2 2 1
1

2) B a ( ) a .a a
a
− − +
= = =
Ví dụ 2: Giải phương trình:
4
x x 2+ =
Giải:
4
x x 2+ =
Đặt
4
t x(t 0)= >
phương trình (1) trở thành:
2
t 1
t t 2
t 2
=

+ = ⇔

= −

Vì t >0 nên
4
t 1 x 1 x 1= ⇒ = ⇔ =
Kết luận:
Phương trình có nghiệm x=1
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:

10
x 2≥
Giải
10
10
10
x 2
x 2
x 2

≥
≥ ⇔

≤ −


Ví dụ 4: Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 1năm
với lãi suất 7,56%
Một năm.Giả sử lãi suất không thay đổi, hỏi số tiền ngưới đó thu được (cả vốn lẫn lãi)
sau 5 năm là bao nhiêu trệu đồng?
Giải:
Áp dụng công thức tính lãi suất,ta được lãi suất sau 5 năm là:
15.10
6
.(1+7,56%)
5
=21,595,000(đồng)
LOGARIT
1.Định nghĩa:
Cho

0 a 1< ≠
,
b 0>
: số thực
α
để a b
α
= được gọi là logarit cơ số a của b.
Kí hiệu:
a
log b a b
α
α = ⇔ =
Chú ý:
i)
0 a 1< ≠
và
b 0>
.
ii) Do
a 0,
α
> ∀α∈ ⇒¡
không có logarit của số 0 và số âm.
Ví dụ:
2
10
-2
10
log 100 2 vì 10 100;

1 1
log 2 vì 10 .
100 100
= =
= − =
Hệ quả:
ﻩ
a
log 1 0=
,
a
log a 1=
;
ﻩ
b
a
log a b, b= ∀ ∈ ¡
;
ﻩ
a
log b
a b, b , b 0= ∀ ∈ >¡
.
Ví dụ:
2
3
3
10 10
2
log 100 log 10

3
= =
;
( )
( )
3
3 3
2
log 4
log 12 log 4
2 2
9 3 3 4 16.= = = =
SAI [ 12
2
= 144]
2.Tính chất:
a) So sánh 2 logarit cùng cơ số:
Cho
0 a 1
< ≠
,
b,c 0>
. Ta có:

a a
a a
i) Khi a 1 thì log b log c b c;
ii) Khi 0 a 1 thì log b log c b c.
> > ⇔ >
< < > ⇔ <

Hệ quả:
Cho
0 a 1
< ≠
,
b,c 0>
. Ta có:
a
a
a a
i) Khi a 1 thì log b 0 b 1
ii) Khi 0 a 1 thì log b 0 b 1
iii)log b log c b c
> > ⇔ >
< < > ⇔ <
= ⇔ =
Ví dụ:
So sánh:
0.5 0.5
5 5
1
1) log 4 & log
16
2) log 125 & log 25
Giải
0.5 0.5
0.5 0.5
5 5
5 5
1

1) log 4 & log
16
0 0.5 1
1
Do nên log log 4
1
16
4
16
2) log 125 & log 25
5 1
Do nên log 125 log 25
125 25
< <


<

<


>


<

<


[s]

b) Các quy tắc tính logarit :
Cho
0 a 1< ≠
,
b,c 0>
. Ta có:

( )
a a
a a a
a a a
a a
log c log b
i) log b.c log b log c
b
ii) log log b log c
c
iii) log b log b
iv) b c
α
= +
 
= −
 ÷
 
= α
=
Hệ quả:
a a
n

a a
1
i) log log b
b
1
ii) log b log b
n
 
= −
 ÷
 
=
Ví dụ:
( )
5 5 5 5 5 5
5 5
5 5 5
2
5 5
1
log 3 log 12 log 50 log 3 log 2 3 log 50
2
3
log log 50
2 3
1 1
log log 50 log 50.
2 2
log 25 log 5 2
− + = − +

= +
 
= + =
 ÷
 
= = =
Công thức đổi cơ số:
Cho
0 a,b 1< ≠
,
c 0>
. Ta có:
a
b a a b
a
log c
log c hay log c log b.log c
log b
= =
Hệ quả 1:
Cho
0 a,b 1< ≠
, ta có:
a a b
b
1
log b hay log b.log a 1
log a
= =
Hệ quả 2:

Cho
0 a 1< ≠
,
c 0>
và
0α ≠
, ta có:

a
a
1
log c .log c
α
=
α
→
a
a
log c .log c
α
β
β
=
α
Ví dụ:
3
2
6
3 3
3

6
log 729 log 3 4
3
2
= = =
3.Logarit thập phân và ứng dụng:
Định nghĩa:
Logarit cơ số 10 của 1 số dương x gọi là Logarit thập phân của x.
Kí hiệu: lg x
Tính chất:
Là tính chất của logarit với cơ số lớn hơn 1.
VÍ Dụ: a/Biết
log3 0,4771≈
, tính
81
log 90
.
b/Biết
log 2 0,3010≈
,
ln10 2,3026≈
, tính
ln 2
.
Giải:
a/
( )
2
81
4

log90 log(3 .10) 2log3 1
log 90 1,024
log81 4log3
log 3
+
= = = ≈
b/
e e 10
ln 2 log 2 log 10.log 2 ln10.log 2 0,6931= = = ≈
Bài tập:
Bài 1:
a/Cho a=log3;b=log2. Tính theo a,b giá trị:
125
A log 30=
b/ Cho a=log3;b=log2. Tính theo a,b giá trị:
30
B log 8=
Giải:
a/
125
log30 log3 log10 log3 1 a 1
A log 30
log125 3log5 3(1 log 2) 3(1 b)
+ + +
= = = = =
− −
b/Tương tự:
30
3b
B log 8

1 a
= =
+
Bài 2:
Biết log3=p; log 5=q. CM:
15
1 p
log 30
p q
+
=
+
Bài 3: Tìm x, biết:
a/
1
log x log5a 3log b 4logc
2
= − +
b/
2 1
log x 5log m log n log p
3 4
= + −
ĐS: a/
( )
1
4
2
3
5a .c

x
b
=
b/
2
5
3
1
4
m .n
x
p
=
Ứng dụng:
*Tính các phép tính liên quan đến lũy thừa.
VÍ Dụ1: Tính
3,2
2,1
log
3,2
2,1
=
3,2log 2,1 1,0311≈
3,2 1,0311
2,1 10 10,7424⇒ ≈ ≈
VÍ Dụ2:
Một người gửi 15 triệu đồng vào Ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 quý với lãi
suất 1.65%/năm. Hỏi sau bao lâu người gửi sẽ có ít nhất 20 triệu đồng từ số tiền gửi ban
đầu(Giả sử lãi suất ko thay đổi)?
Giải

Theo công thức lãi kép:
N
C A(1 r)= +
(triệu đồng)
A=15
r=1,65%=0,0165
C=20
N:Số kì
N
20 15(1 0,0165)⇒ = +
log 20 log15 N log1,0165
log 20 log15
N 17,58
log1,0165
⇒ = +
−
⇒ = ≈
Vậy sau 17.58 quý = 4 năm 2 quý thì người đó có ít nhất 20 triệu đồng từ vốn ban đầu.
*Tìm số các chữ số của 1số trong hệ thập phân:
VÍ Dụ3: Tìm số chữ số của
1000
2
trong hệ thập phân.
Giải
Số chữ số của
1000
2
:
[ ]
1000.log2 1 [1000.0,3010] 1 [301] 1 302+ = + = + =

(Chữ số)
Bài tập:
Bài 1: 1 số nguyên tố dạng
p
p
M 2 1= −
.
Trong đó p là 1 số nguyên tố (SNT Mersenne).
Euler phát hiện M
31
năm 1750; Lucas phát hiện M
127
năm 1876; M
1398269
được phát hiện
năm 1996. Hỏi nếu viết 3 số đó trong hệ thập phân thì mỗi số có bao nhiêu chữ số?
ĐS: M
31
có 10 CS
M
127
có 39 CS
M
1398269
có 421 CS
Bài 2: Năm 1992, người ta biết số
756839
p 2 1= −
là 1 SNT. Nếu viết trong hệ thập phân,
SNT đó có bao nhiêu chữ số?

ĐS:228 chữ số.
BÀI 4: Số e và Logarit Tự nhiên
1/Khái niệm:
x
x
e lim (1 )
x
→+∞
1
= +
e là số vô tỉ có giá trị xấp xỉ bằng 2,718281828...
x
e
log ln x=
:Logarit cơ số e của x hay Logarit tự nhiên của x.
VÍ Dụ: Cho a=ln2; b=ln5. Tính theo a&b:
a/ln500:
ln500 ln 4 ln125 (2ln 2) (3ln 5) 2a 3b= + = + = +
b/
16
ln
25
:
16
ln ln16 ln 25 4ln 2 2ln5 4a 2b
25
= − = − = −
c/ln6,25:
ln 6,25 ln 25 ln 4 2ln5 2ln 2 2(b a)= − = − = −
d/

1 2 98 99
ln ln ... ln ln
2 3 99 100
+ + + +
:
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 2 98 99
ln ln ... ln ln
2 3 99 100
ln1 ln 2 ln 2 ln3 ... ln98 ln99 ln 99 ln100
ln100 ln 4.25
2ln 2 2ln5
2 a b
+ + + +
= − + − + + − + −
= − = −  
 
= − +
= − +
Bài tập:
Bài 1: Cho a=ln2, biểu diễn theo a:
( )
a / ln16;
b / ln 512;
c / ln 0,125 ;
1 1 1 1
d / ln ln ;

8 4 4 8
e / ln 72 2ln3
−
−
ĐS:
a / 4ln 2
b / 9ln 2
c / 3ln 2
ln 2
d / .
2
e / 3ln 2
−
Bài 2: Cho a=ln2;b=ln3; biểu diễn theo a&b:
( )
( )
a / ln36;
1
b / ln ;
12
c / ln 2,25 ;
d / ln 21 2ln14 3ln 0,875+ −
ĐS:
a / 2(a b)
b / 2a b
c / 2(b a)
d /11a b
+
− +
−

+
Bài 3: Chứng minh:
( ) ( ) ( )
7 25
ln 3 2 2 4ln 2 1 ln 2 1 0
16 8
+ − + − − =
Bài 4: Tính giá trị biểu thức:
a/
1
ln e ln
e
+
b/
( )
1 2
5lne 4ln e e
−
+
ĐS:
1
a /
2
b / 5
−
Bài 4: Rút gọn:
a/
( )
2
2 2

a a
A ln a log e ln a log e= + + −
b/
a
a
3 2
B 2ln a 3log e
ln a log e
= + − −
ĐS:
2
a / 2(ln a 1)
b / 0
+
Lãi kép liên tục và số e:
*Nếu đem gửi Ngân hàng theo thể thức lãi kép:
+Số vốn ban đầu: A
+Lãi suất mỗi năm: r
+Số năm: N
=>Số tiền thu về là:
N
C A(1 r)= +
*Già sử :
+Ta chia mỗi năm thành m kì.
+Giữ nguyên lãi suất mỗi năm là r
=>lãi suất mỗi kỳ là
r
m
Số tiền thu được sau N năm (Nm kì) là:
Nm

r
C A(1 )
m
= +
VÍ Dụ: Cho A=100 triệu đồng;
r =8%=0,08;
N=2.
Tính Số tiền sau 2 năm người đó nhận được theo các định kì sau:
M=1(ĐK năm)
M=2(ĐK 6tháng)
M=4(ĐK quý)
M=12(ĐK tháng)
M=52(ĐK tuần)
M=365(ĐK ngày)
Đáp số: Các giá trị C
m
theo định kì năm đến định kì ngày:
1
2
4
12
52
365
C 116,64
C 116,98
C 117,17
C 117,29
C 117,34
C 117,35
=

=
=
=
=
=
(triệu đồng)
Từ đó ta thấy khi tăng số kì m trong 1 năm thì số tiền thu được sau N năm cũng tăng
theo. Tuy nhiên nó vẫn không thể tăng lên vô hạn được.
Xét GH của dãy số:
Nm
m
r
S A(1 )
m
= +
Ta có:
Nr
m
r
Nm
m
r 1
S A(1 ) A 1 (1)
m
m
r
 
 
 
 ÷

 
= + = +
 ÷
 
 ÷
 
 
 
 
Xét:
m
r
x
m x
1 1
lim 1 lim 1 2,718281828...(2)
m
x
r
→+∞ →+∞
 
 ÷
 
+ = +
 ÷
 ÷
 
 ÷
 
;

Vì vậy GH của S
m
là 1 số vô tỉ và kí hiệu là e=2,718281828...
(1)&(2)=> lim S
m
=Ae
Nr
Thể thức lãi khi
m → +∞
là Lãi kép liên tục.
Vậy số tiền thu về cả vốn lẫn lãi là: S
m
=Ae
Nr
(3) ( Công thức lãi kép liên tục).
(3) còn gọi là Công thức tăng trưởng mũ.
VÍ Dụ: A: Dân số của năm làm mốc.
S: Số dân sau N năm.
r: Tỉ lệ tăng dân số hằng năm.
Biết r=1,32%.
1998: DS TG vào khoảng 5926,5 triệu người.
2008: DS TG là bao nhiêu.
Giải:
Nr 10.0,0132
S Ae 5926,5e 6762,8= = ≈
(triệu người)
2.Logarit tự nhiên:
*ĐN:
Logarit cơ số e của 1 số nguyên dương a gọi là logarit tự nhiên của số a và Kí hiệu là
lna.

*Tính chất:
Đầy đủ tính chất của logarit cơ số lớn hơn 1.
*VÍ Dụ : Sự tăng trưởng của 1 loại vi khuẩn tuân theo công thức: S=Ae
rt
, trong đó A là
số lượng vi khuẩn ban đầu, r: tỉ lệ tăng trưởng(r>0), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng
ban đầu lượng vi khuẩn là 100 con, sau 5 giờ có 300 con, hỏi :
+sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn?
+bao nhiêu lâu lượng vi khuẩn tăng gấp đôi?
Giải:
a/ Ban đầu lượng vi khuẩn là 100 con, sau 5 giờ có 300 con:
+Áp dụng công thức :
rt
S Ae=
5r
5r
300 100.e
e 3
⇒ =
⇒ =
ln3
r
5
⇒ =
+Vậy sau 10 giờ có
rt
S Ae= =
10r 5r 2 2
100.e 100.(e ) 100.3 900= = =
(con)

b/Lượng VK lúc sau tăng gấp đôi:
ln3
t
5
ln3
t
5
200 100.e
e 2
ln3
t ln 2
5
ln 2
t 5. 3.15h 3h9 min
ln3
⇒ =
⇒ =
⇒ =
⇒ = ≈ ≈
Hàm số mũ
1.Định nghĩa
Với a là một số dương khác 1thì hàm số dạng y=a
x
là hàm số mũ cơ số a .
(hàm số mũ)
2.Một số giới hạn liên quan
Hàm số y= a
x
liên tục trên
¡

thỡ :
x
x 0
e 1
lim 1
x
→
−
=
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thi hàm số y = a
u(x)
có đạo hàm trên J và
( a
u(x)
)’= u’(x) . a
u(x)
. lna
t t
x x
1 1
lim 1 e; lim 1 e
t t
→+∞ →−∞
   
+ = + =
 ÷  ÷
   

Chứng minh :
Đặt

( )
1
x
x 0
1
x . lim 1 x e (1)
t
→
= ⇒ + =
1
x
x 0 x 0
ln(1 x)
lim limln(1 x) ln e 1
x
→ →
+
= + = =
Đặt t = e
x
= t => e
x
= t + 1 => x = ln(1 + t )
Khi x  0 khi và chỉ t  0
Đs: x < 1, x > 1
3.Sự biến thiên
4. Bài tập hàm số mũ
A.Dựa vào đồ thị suy ra số nghiệm của phương trình
Đề: 1)Cho 0 < a < 1 . Với giá trị nào của x thì hàm số y = a
x

a) Nằm phía trên đường thẳng y = a

b) Nằm phía dưới đường thẳng y = a

2) Vẽ đồ thị hàm số (C)
0.5
y log x=
. Dựa vào đồ thị giải các bất phuơng trình :
a)
0.5
log x
> 0
b) -3
≤
0.5
log x
≤
-1
Đồ thị (C) chính là đồ thị hàm số
2
y log x= −
nên ta có nghiệm kết luận từ đồ thị :

B.Áp dụng hàm số để tính diện tích của hình phẳng
Đề:
6
5
4
3

2
1
-1
-2
-3
-4
-8 -6 -4 -2 2 4 6
f x
()
= 5
x
O
y = a
x
( 1 > a >
0 )
y = a
x
( a > 1)