đề thi thử vào 10 toán chuyên khoa học tự nhiên lần 1 năm 2015 (có đáp án)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 9 NĂM 2015
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề
M«n: to¸n (To¸n chuyªn)
Câu I. 1) Giải phương trình 

− 8− 3 +6
√
2+ 3=0.
2) Giải hệ phương trình



+ 2

1 − =3
2 +

1 − =1.


Câu II. 1) Tìm các cặp số nguyên  sao cho 
(
+ 2
)
là lũy thừa của 2.
2) Với mỗi số nguyên dương  ta đặt 

=2 +

√
3

+ 2 −
√
3

. Chứng
minh rằng 

là số nguyên dương với mọi  nguyên dương và 

không
chia hết cho 2016.
Câu III. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AD, BE,
CF đồng quy tại H với D, E, F lần lượt thuộc các đoạn BC, CA, AB. CH cắt
(O) tại G khác C. GD cắt (O) tại K khác G.
a) Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm M của DE.
b) Gọi N là trung điểm DF. AN cắt (O) tại L khác A. Chứng minh
rằng M, N, L, K cùng thuộc một đường tròn.
Câu IV. Các số nguyên dương từ 1 đến  được viết lên bảng theo thứ tự tăng
dần từ trái sang phải (≥2). A và B chơi một trò chơi luân phiên như sau: A đi
trước; đến lượt ai đi, người đó xóa hai số liên tiếp bất kỳ trên bảng và thay thế
bằng tổng hoặc tích của chúng. Hai bạn chơi cho đến khi còn lại một số. Nếu số
còn lại là số lẻ thì A thắng, trái lại thì B thắng. Tìm tất cả các số nguyên dương
 mà A có cách chơi để chắc chắn thắng.
HẾT

ĐÁP ÁN Toán chuyên (tóm tắt)
Câu I. 1) Đk ≥−3. Ta có
(


− 2−3
)
− 6

 −
√
2 +3

=0
Với =−1 không thỏa mãn
Với ≠−1 khi đó nhân liên hợp ta có
(


− 2 − 3
)


1 −


√


=0
TH1. 

− 2− 3=0⟹=3.
TH2. +
√
2+ 3= 6⟹=3.
Cách 2. =
√
2+ 3⟹ 

− 22

+ 24 + 45=0⟹=3.
2) Đặt =

1 −  ta có hệ 


+ 2=3
2 − 2

+ =1.


hay 


+ 2=3
2

− =1


Suy ra 

+ 2 − 3
(
2

− 
)
=0 hay
(
− 
)(
 +6
)
=0.
TH1. =⟹== 1 ℎ = 1,=0.
TH2. =−6⟹=


√


, =−

√

⟹=


.
Câu II. 1) Vì (+ 2) là lũy thừa của 2 nên tồn tại hai số tự nhiên < sao cho
=2

,+ 2= 2

⟹2

− 2

=2 hay 2


2

− 1

=2 vì 2

− 1 lẻ nên 2

=

2,2

− 1=1⟹=1,=2 nên =2.
2) Do 

+ 

=
(


+ 

)(
 + 
)
−
(


+ 

)
, chọn =2+
√
3,=2 −
√
3.
Ta có ngay 


=4

− 

, mà 

=4,

=14. Do đó 

là số nguyên với mọi .
Khi đó ta có 

+ 

⋮4 mà 

chia 4 dư 2 nên 

chia 4 dư 2 với mọi .
Tương tự 

+ 

⋮8 mà 

chia 8 dư 4 nên 

chia 8 dư 4 với mọi  nên



không chia hết cho 8 nên cũng không chia hết cho 2016.
Câu III. a) Ta thấy các tứ giác AEDB, BFHD nội tiếp nên
∠
AED = 180ᵒ –
∠
ABD =
∠
FHD và
∠
DFH =
∠
DBH =
∠
DAE. Từ đó
△
 ~
△
. Dễ thấy G là đối
xứng của H qua BC suy ra


=


suy ra


=


/
hay


=


. Từ đó
△
HGD
̴

△
EAM. Suy ra
∠
EAM =
∠
HGD =
∠
CAK suy ra ≡.






b) Gọi BH cắt (O) tại P khác B . Tương tự phần
a) suy ra LD đi qua P . Dễ thấy P là đối xứng của H qua CA suy ra AG = AH = AP
suy ra GP ⊥ OA ⊥ EF. Từ đó GP ‖
EF

‖
MN
. Gọi
AL
cắt
GP
tại
Q
. Ta có
∠
MNA

= ∠
AQP

=

∠
AGQ
+ ∠
QAG
=

∠
APG
+ ∠
QAG
= ∠
AKG
+ ∠

GKL
=

∠
AKL.
Suy ra tứ giác
MKNL
nội tiếp.
Câu IV. Nếu  lẻ thì A đi bước cuối thì dù bước trước B thế nào thì A vẫn chọn được
cách để thu được số chẵn nên chắc chắn thắng. Nếu  chắn. Thay dãy trên bảng bởi dãy
1, 0, 1, 0, . . . , 1, 0. Bước 1, A chọn 2 số cuối cùng tạo thành số 1 và được dãy 1, 0, 1, 0,
. . . , 0, 1. Ta gọi những dãy như thế này là “có lợi cho A”. Đến lượt B đi và bước tiếp
theo A sẽ có cách tạo ra được dãy có lợi cho mình.Thật vậy, B phải chọn hai số cạnh
nhau là 0 và 1 nên chỉ có thế tạo thành số 0 hoặc 1, bước tới A sẽ đi như sau: Nếu sau
khi B đi có 2 số 0 cạnh nhau thì A chọn 2 số này để lấy tổng của chúng thì thu được
1 số 0 và dãy còn lại là dãy có lợi; nếu sau khi B đi có hai số 1 cạnh nhau thì A kết hợp
một số 1 với một số 0 cạnh nó để có được số 0 và dãy thu được vẫn là dãy có lợi. Như
vậy sau một số bước sẽ thu được dãy 1, 0, 1 và đến lượt B đi, kết quả của B chỉ có thể
là 0, 1 hoặc 1, 0 hoặc 1, 1 thì A luôn có cách chuyển về số 1 và A thắng.