ham so sieu hay

Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số
1. Mẫu: Có 4 hàm cơ bản : B3; B4 ;
1
2
1
1
;
B
B
B
B
( B
4
là hàm trùng phơng)
*. TXĐ : D=R-
{ }
*.Sự biến thiên:
-Chiều biến thiên.
+ Tính y=
+ Giải y =0, x=?
+Xét dấu y
+y<0 ; hsnb : x
+ y>0 ; hsđb : x
-Cực trị:
+CĐ tại x=
+CT tại x=
-Giới hạn:
+
lim
x

y

=
tiệm cận ngang: y=
+
lim ;
x a
y

=
tiêm cận đứng: x=
+
( )
( )
lim 0 ;
x
y ax b

+ =
tiệm cận xiên : y=ax+b.
- Tính lồi lõm ; điểm uốn.
+y=
+ y=0 , x=
+Bảng xét dấu y:
-Bảng biến thiên:
*Đồ thi:
-Giao điểm với trục tung x=0; y=
-Giao điểm với trục hoành y=0 ; x=
-Đồ thị qua A(?) ; B(?)
-Vẽ đồ thị :

_Nhận xét tâm ; trục đối xứng.

2. Biến đổi đồ thị: Cho ( C ) : y = f(x) ; suy ra đồ thị các hàm số:
a. (C
1
): y = - f(x); (C
1
) đối xứng với (C) qua Ox.
b. ( C
2
): y = f( -x); ( C
2
) đối xứng với (C) qua Oy
c. (C
3
): y = f(x) +a ; ( C
3
) tịnh tiến (C) theo trục Oy đến đơn vị chiều âm
d. ( C
4
): y =f( x+a); (C
4
) tịnh tiến (C) theo trục Ox đến đơn vị chiều âm
+ +
_

+

e. (C
5

): y = f(x) giữ nguyên phần của (C) với x

0 và phần đối xứng với phần này qua Oy
g. (C
6
) : y = | f(x) | giữ nguyên phần f(x)

0 của (C) và lấy đối xứng phần f(x) < 0 của (C) qua
Ox
h. (C
7
): Đối xứng với (C) qua x =a; (C
7
) có pt: y = - f(x) +2a
i. (C
8
): Đối xứng với (C) qua y = b; (C
8
) có pt: y = f(2b-x)
k. (C
9
) có pt: | y| = f(x) :bỏ phần đồ thị phía dới 0x, giữ nguyên phần f(x) > 0 của ( C) và phần lấy
đối xứng phần trên qua Ox.
2. Ví dụ:
2.1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số :
2
5
3
2
2

4
+= x
x
y
* TXĐ : R
* Chiều biến thiên:
+ y = 2x
3
- 6x
y = 0



=
=

3
0
x
x
Dấu của y : x

3
0
3
+
y - 0 + 0 - 0 +
Hàm số đồng biến trong
);3()0;3( +
Nghịch biến trong

)3;0()3;(
Hàm số đạt cực tiểu tại
3=x
và y
ct
= y(
2)3 =
Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y
cđ
= y(0) = 5/2
+ y = 6x
2
6
y = 0
1= x
Dấu của y: x

-1 1
+
y + 0 - 0 +
(du) (du)
lõm (-1;0) lồi (1;0) lõm
+ Nhánh vô cực :
+=+=
+
limlim
;
xx
* Bảng biến thiên:
x

3
0
3
+
y - 0 + 0 - 0 +
+
y
cđ=5/2
+
y y
ct = -2
y
ct = -2
* Vẽ đồ thị :
+ giao của đồ thị với Oy: x = 0
2
5
= y
+ giao của đồ thị với Ox : y = 0
5&1 == xx
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
Vi dụ 2: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số :
y =
2
3 4
1
x x
x
+ +

+
suy ra đồ thị các hàm số :
2
2 2 2 2
2
2
2 2 2
3 4
3 4 3 4 3 4 3 4
, , , ,
1 1 1 1 1
3 4
3 4
3 4 3 4 3 4
, , , ,
1 1 1 1 1
x x
x x x x x x x x
y y y y y
x x x x x
x x
x x
x x x x x x
y y y y y
x x x x x
+ +
+ + + + + + +
= = = = =
+ + + + +
+ +

+ +
+ + + + +
= = = = =
+ + + +
giải: Ta có : y =
2
3 4
1
x x
x
+ +
+
= x+2+
1
2
+x
* TXĐ : R \
{ }
1
* Chiều biến thiên:
210';
)1(
2
1'
2
==
+
= xy
x
y

Dấu của y
x

-1-
2
-1 -1+
2
+

y + 0 - - 0 +
Hàm số đồng biến (

,-1-
2
) và ( -1+
2
, +

)
Hàm số nghịch biến trong(-1-
2
, -1) và (-1 , -1+
2
)
Hàm số đạt cực đại tại x = -1-
2
; y
cđ
= y(-1-
2

) = 1-2
2
Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1+
2
; y
ct
= y( -1+
2
) = 1+2
2

* Nhánh vô cực :
==



yy
x
x
limlim
1

+==
+

+
yy
x
x
limlim

1
|

* Tiệm cận:
Đồ thị có tiệm cận đứng x = -1 vì
=

y
x
lim
1

Đồ thị có tiệm cận xiên y = x+2 vì
0
1
2
))2((
limlim
=
+
=+

x
xy
xx

* Bảng biến thiên:
x

-1-

2
-1 -1+
2
+


y + 0 - - 0 +
y
cđ =
1-2
2
+

+


y



y
ct =
1+2
2

* Đồ thị:
các bài toán liên quan đến đồ thị
1. Sự tơng giao của 2 đồ thị:y=f(x) và y=g(x).
*Chúng cắt nhau tại k điểm nếu phơng trình hoành độ giao điểm: f(x)=g(x). có k nghiệm phân
biệt.

*Tiếp xúc nhau nếu hệ :
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
=


=

có nghiệm .
vd1:Tìm m để các đồ thị sau tiếp xúc nhau:
( ) ( )
2
2
2 2
2
1
:
1
1 1 : 2
x x
y va y x m
x
y x x va y x m
+
= = +

= + = +

Vd2)Cho y=x
3
+3x
2
+mx+1
a)CMR đồ thị luôn cắt y=x
3
+2x
2
+7 tại 2 điểm phân biệt với mọi m.
b)Tìm m để đồ thị cắt y=1 tại 3 điểm C(0;1) và D ,E mà tiếp tuyến tại D, E vuông góc.
Ví dụ3 : Tìm m để ĐT : y =x
4
2(m+1)x
2
+ 2m+1 (1) cắt Ox tại 4 điểm cách đều nhau ( Hoành
độ là cấp số cộng )
Giải: t = x
2

0

t
(1) trở thành: y = t
2
2( m+1) t + 2m+1 (2)
Nhận xét : Với 1 giá trị của t: t > 0 cho ta 2 giá trị x =
t
Với t = 0 cho ta giá trị x = 0.
Vậy ycbt

(2) có 2 nghiệm phân biệt dơng






<<
2112
2121
;,;
0:,
tttt
tttt
là cấp số cộng
vì
1212211112
93)()( tttttttttt ====





=
=

===
===






>+=
>+=
=






=
>+=
>+=+

9
4
4
9
4
;1;
9

1
4;9;1
0129
0)12(10
9
9
012.
0)1(2
21
21
2
1
1
12
12
21
21
m
m
mtt
mtt
mt
mt
tt
tt
mtt
mtt
Kết luận : m =4 & m = -4/9
Ví dụ 4: Tìm m để ĐT : y = x
3

3x
2
9x + m cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau
( hoành độ lập thành cấp số cộng)
+ ĐK cần: ĐT Ox tại 3 điểm ( x
1
,y
1
); ( x
2
,y
2
); ( x
3
, y
3
) cách đều nhau: x
1
< x
2
< x
3

và x
2
= x
1
+d; x
3
= x

2
+d;
y
1
+y
3
= 2y
2
3221
yyyy =
[ ]
[ ]
1033
03)((
33
9)(39)(3
9)(3)(
9)(3)(
32
23131
332
2
3121
2
1
3232
2
3
2
22121

2
2
2
1
3232
2
3
2
232
2121
2
2
2
121
==
=++
+=+
+++=+++
+++=
+++
xx
xxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
x
3
= 1 suy ra điểm uốn thuộc Ox
119310

=+=
mm
+ ĐK đủ : m = 11
1193
23
+= xxxy
y=0





+=
=
=

121
1
)/(121
3
2
1
x
x
mtx
Kết luận : m =11
* Bài tập:
1) Tìm m để đt : y = x
4
+ 2x

2
+ m cắt Ox theo 4 điểm cách đều nhau
2) Tìm a,b để đt : y = x
3
3x
2
- 9x + 1 cắt đt : y = ax + b tại 3 điểm cách đều nhau
( HD: Đa về đt: y = x
3
3x
2
(9+a) x b +1 cắt Ox tại 3 điểm cách đều nhau.
Vd4)Cho :
2
2 2
1
x x
y
x
+
=


a)Tìm m để y=-x+m cắt đồ thị tai 2 điểm A , B với A , B đối xứng qua y=x+3
b) Tìm m để y=-x+m cắt đồ thị tai 2 điểm A , B với A , B thuộc 2 nhánh .
c)Tìm k để trên đồ thị có 2 điểm P , Q mà:

P P
Q Q
x y k

x y k
+ =



+ =


CMR khi đó P , Q thuộc cùng 1 nhánh.
Vd5)y=x
3
-3x
2
-9x+1 tìm điều kiện của a, b để y=ax+b cắt đồ thị tại 3 điểm A,B,C
Mà B là trung điểm.
Vd6: Tìm m để y=x
3
-3(m-1)x
2
+(2m
2
-3m+2)x-m(m-1)
a) Cắt 0x tại 3 điểm phân biệt.
b)Cắt 0x tại 3 điểm phân biệt có hoành độ dơng.
c)Tiếp xúc Ox.
Vd7) Tìm m để y=2x
3
-3(m+3)x
2
+18mx-8

a)Tiếp xúc Ox.
b)Trên đồ thị có cặp điểm đối xứng qua O.
c) Cmr trên đồ thị có 2 điểm mà y=x
2
không thể đi qua mọi m.
vd8) y=x
3
-(m-1)x
2
-(2m
2
-3m+2)x+2m(2m-1) tiếp xúc y=-49x+98
vd9)Tìm m để y=1 tiếp xúc với :
( )
( )
2
1 2 4m x x m
y
mx m
+ +
=
+
vd10)Tìm m để y=m(x
2
-1) cắt y=-2x
3
+x+1 tại 3 điểm.
Vd11) Tìm m để y=
2
x x m

x m
+ +
+
cắt y=x-1 tại 2 điểm phân biệt A; B . Tìm hệ thức liên hệ của : y
A

và y
B
không phụ thuộc m.
Vd112)Cho
1
2
1
y x
x
= + +

Tìm trên đồ thị các điểm cách đều 2 trục tọa độ.Tìm m để trên đồ thị
có 2 điểm M(x
1
;y
1
) và N(x
2
;y
2
) mà x
1
+y
1

=x
2
+y
2
=m, cmr khi đố M,N thuộc cùng 1 nhánh.
Vd 13)Tìm m để
2
1
mx x m
y
x
+ +
=

cắt 0x tại 2 điểm A, B
a) mà AB=4
b) có hoành độ dơng.
Vd 14)Tìm m để y=mx+2-2m cắt đồ thị
2
2 4
2
x x
y
x
+
=

tại 2 điểm thuộc cùng 1 nhánh.
*Bài tập:
1. Tìm a để (C): f(x) =

1
1
2

+
x
xx
(C): g(x) = x
2
+ a tiếp xúc nhau
2. Tìm b, c để (C): f(x) = x
2
+ bx + c tiếp xúc nhau (1,1)
(C): g(x) = x
3. Chứng minh rằng: (C): f(x) = x
2
2x +3
(C): g(x) = ( x
2
- 2x + 3) Sinax
Tiếp xúc nhau
4. Tìm đờng thẳng cố định và tiếp xúc:
(Cm): f(x) = x
2
+(2m+1)x + m
2
-1 ,
Rm
Giải: Đờng thẳng y = ax + b tiếp xúc (Cm) ,
Rm

(*)
<-> Hệ x
2
+ (2m +1)x + m
2
1 = ax + b có nghiệm
2x + (2m+1) = a
m


<-> x
2
+ ( 2m +1 )x + m
2
-1 = (2x+ ( 2m+1))x + b
Có nghiệm
m

<-> x
2
+ (b m
2
+1) = 0 có nghiệm
m

<-> b m
2
+ 1

0 ,

m

<-> b

m
2
-1 ,
m

<-> b

-1
Khi đó:a = (2m + 1)

2
)1(
2
bmm
,
m
vì x=

)1(
2
bmm
<->
( )
[ ]
( )
[ ]

1412
2
2
+=+ bmma
,
m

<-> 4(1-a)m +
( )
( )
[ ]
0112
2
=+++ baa
,
m
<-> 1 a = 0 <-> a = 1
(a - 1)
2
+ (b + 1) = 0 b = -1
5)Cmr các đồ thị của họ sau tiép xúc nhau:
a) y=x
3
+mx
2
-(2m+1)x+m-1 b) y=mx
3
+2(3m+1)x
2
+(12m-1)x+8m+5

6)Cmr y=x
3
-2x
2
+mx+(1-m
2
)/4 tiếp xúc đờng cong cố định.
7)Cmr y=x
3
+4x
2
+mx+m
2
/2 tiếp xúc h/s cố định.(Đạo hàm F(m)=0,m=g(x) thay)
.
2. Biện luận số nghiệm của phơng trình:
* Cách làm: Biện luận số nghiệm của pt: f(x) = g(m)
Ví dụ 1: Biện luận số nghiệm của phơng trình:
mx
x
=+
2
5
3
2
2
4

4
2

5
3
2 2
x
x m + =
Căn cứ vào đồ thị ta có :
+ m >
5
2
phơng trình có 2 nghiệm đơn
+ m =
2
5
phơng trình có 2 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép
+ -2< m <
2
5
phơng trình có 4 nghiệm đơn
+ m=-2 phơng trình có 2 nghiệm kép
+ m< - 2 phơng trình vô nghiệm
2) Biện luận số nghiệm của phơng trình :
)1(
1
43
1
43
22

+
++

=
+
++
k
k
kk
x
xx
đặt m =
1
43
2
+
++
k
kk
phơng trình trở thành :
m
x
xx
=
+
++
1
43
2
xem (C) : y =
1
43
2

+
++
x
xx
+




<
+>
221
221
m
m
phơng trình có 2 nghiệm đơn
+




=
+=
221
221
m
m
phơng trình có 1 nghiệm kép
+ 1-2
2212 +<< m

phơng trình vô nghiệm
Nhng m =
1
43
2
+
++
k
kk
nên ta lại sử dụng đồ thị để tìm k theo m
+




<
+>
221
221
m
m





+++

)1;21()21;(
);21()21;1(

k
k

21221
21221
==+
+=+=+
km
km
+<< 2121 m
không có giá trị nào của k
Kết luận :
Với
{ }
21;21;1\ + Rk
phơng trình có nghiệm đơn
Với
21=k
phơng trình có 1 nghiệm kép.
* Bài tập:
1) Biện luận số nghiệm của pt: x
3
+ 3x
2
+4 = 2k
2
-1
2) Biện luận số nghiệm của pt:
1
1

1
2
+=
+

m
x
xx
HD: vẽ đồ thị :
1
1
:
1
1
2
2
+

=
+

=
x
xx
yDT
x
xx
y
3) Biện luận số nghiệm pt: e
2t

+ ( 3-m).e
t
+ 2 ( 3-m) =0 theo m
HD: vẽ (C) :
2
63
2
+
++
=
x
xx
y
đặt x = e
t
> 0
4) Biện luận số nghiệm :
k
x
xx
=
+
++
)1(3
43
2
theo k
5)Khảo sát y=
2
4 3

4
x
x

.Tìm m để pt:
6 6
sin cos sin 2x x m x+ =
có nghiệm.
6) Từ đồ thị y=2x
3
-9x
2
+12x-4 biện luận số nghiệm pt:
a)2x
3
-9x
2
+12x+m=0
b)2x
3
-9x
2
+n=0
c)2x
3
-9x
2
+(12-k)x=0
7) Dùng đồ thị
1

1
x
y
x
+
=

biện luận số nghiệm : 2x
2
-(m+1)x+m+1=0 và viết pttt song song
2x+y-1=0.
8) Dùng đồ thị
2
2 5 4
1
x x
y
x
+
=

biện luận số nghiệm: 2x
4
(5+m)x
2
+4+m=0
( ) ( ) ( )
[ ]
2 2
2 5 4 0 : 2sin 5 6 0 ; 0;2x m x m va x m cosx m x

+ + + = + + + =
9)Dùng đồ thị
2
2
1
x x
y
x
+
=

biện luận số nghiệm:
( ) ( )
[ ]
2
cos 1 2 0 ; 0;x m cosx m x

+ + + =
10)Dùng đồ thị
2
1
x
y
x
=

biện luận số nghiệm: x
4
-mx

3
+(m+2)x
2
-mx+1=0.
biện luận số nghiệm:
1 1 1
( ) 1
2
sinx cosx tanx cotx m
sinx cosx
+ + + + + =
11)Từ y=x
3
-3x biện luận số nghiệm: x
3
-(m+3)x+m-2=0.
12)Từ :
3
2 1
x
y
x
+
=

biện luận số nghiệm ; 2x
2
-2(k+1)x+k+3=0.
13) Từ :
( ) ( )

2
0
1
: ; : 2 2 1 3 2 0
1
x x
y n x cos x m cosx m
x

+ +
= + + =
+
3. Biện luận theo tham số để phơng trình có n nghiệm ( n cho trớc )
* Cách làm : Dung BBT hoặc ĐT để suy ra kết quả.
Ví dụ 3: Tìm a để x
3
3x
2
a = 0 có 3 nghiệm phân biệt mà có đúng 2 nghiệm lớn hơn 1.
Pt
23
3xxa =
Vẽ đồ thị (C): y =x
3
3x
2
+ Đờng thẳng x =1 cắt (C) tại (1; -2)
Suy ra -4 < m < -2: Phơng trình có 3
nghiệm phân biệt và đúng 2 nghiệm lớn hơn 1
Ví dụ 4: Tìm m để :

mxx
4
24
log12 =
có 6 nghiệm phân biệt
HD: Tự vẽ :(C) y = x
4
2x
2
-1
suy ra (C): y =
12
24
xx
căn cứ vào (C) ta có : Phơng trình có 6 nghiệm phân biệt
1642log1
4
<<<< mm
Vd:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
3 2
2 2
1
3 2 2 ; 1 2 1 0 ;
1 2 1 2
m
x x x m

m
x x m m

+
+ = + =
ữ

+ = +
* Bài tập :
1) Cho pt: cos4x + 6 sinx cosx = m. Tìm m để pt
có 2 nghiệm phân biệt/






4
;0

đặt t = sin2x
2) Tìm m để 2cosx. cos2x. cos3x + m = 7.cosx 2x
có hơn 1 nghiệm /

8
;
8
3

đặt t = cos2x
3) Tìm m để ( cos3x cos 2x + m. cosx -1) = 0 có đúng 7 nghiệm trong









2;
2
( đặt t = cosx )
4)Điều kiện tồn tại cực trị và đờng thẳng cực tri hàm đa thức:
y=y(mx+n)+ax+b thì đờng thẳng qua các điểm cđ-ct là y=ax+b.
Ví dụ 1: y=x
3
-3mx
2
+9x+3m-5 ; y=x
3
-6x
2
+3(m+2)x-m-6

( )
3 2 2 3 2
3 3 1y x mx m x m m= + + +
và y=x
3
-2mx
2
+mx.
a)Tìm m để h/s có CĐ-CT viết phơng trình đ/t qua 2 điểm CĐ-CT.
b)Tìm m để các h/s đạt CĐ tại x=2.
c)tìm m để h/s có CĐ-CT thuộc (0;2)
d) Tìm m để h/s có CĐ-CT thuộc 2 phía 0y
e) Tìm m để h/s có CĐ-CT thuộc 2 phía 0x
g) Tìm m để h/s có CĐ-CT :
2 2
4
cd ct
x x+ =
h)Tìm mđể có CĐ-CT nằm trên đ/t : y=4x-2
k)Tìm m để có CĐ-CT vuông góc với y=3x-7
m)Tìm m để có CĐ-CT đối xứng qua y=x-2
n) Tìm m để có CĐ-CT ở về 2 phía đ/t y=-x+1
Chú ý: Đồ thị hàm y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d ( a # 0 )
+ Cắt trục hoành tại 3 điểm :

Có 2 cực trị
y
cđ
. y
ct
< 0
+ Cắt trục hoành tại 2 điểm

có 2 cực trị và 1 cực trị bằng 0
+ Cắt trục hoành tại 1 điểm

Không có cực trị
Có 2 cực trị cùng dấu
+ Cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ lớn hơn

&0> a
Có 2 cực trị trái dấu: x
cđ
, x
ct
>

y(

) < 0
hoặc a< 0 & Có 2 cực trị trái dấu: x
cđ
, x
ct
>

y(

) > 0
Ví dụ 2: Tìm m để đt: y =x
3
3mx
2
+ 3( m
2
-1 ) x (m
2
-1) cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ d-
ơng
Giải :
ycbt

y = 0 có 2 nghiệm dơng phân biệt
y
cđ
. y
ct
< 0
y(0) < 0
213
0)1()0(
0)12)(3)(1(.
0
2
3

2
09)99(9'
0)1(9)0(.3
2
222
22
'
2
+<<











<=
>=
>=
>==
>=
m
my
mmmmyy
mS
mm

my
ctcd
y
Ví dụ 8: Tìm m để đt : y = x
3
( 3m+1)x
2
+ 2(m
2
+ 4m+1).x 4m(m+1) cắt Ox tại 3 điểm có
hoành độ lớn hơn 1.
Giải :
Dễ có: đthị cắt Ox tại x =2
có nghĩa là y = 0
0)1(2).13()(2(
2
=+++ mmxmxx



=+++=
=

(*)0)1(2).13(
2
2
mmxmxf
x
Ycbt

(*) có 2 nghiệm lớn hơn 1 khác 2
1
2
1
0)142()2(
1
2
13
2
02)1(.1
012)1(8)13(
2
2
22
<









=
>
+
=
>=
>+=++=

m
mmf
ms
mmf
mmmmm
Ví dụ 9) Cho y=x
3
-3mx+m
a)Tìm m để có CĐ-CT
b)Viết pt đ/t cực trị.
c)Tìm mđể đồ thị cắt 0x tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x>-1
* Bài tập:
1) Tìm a để đt: y = x
3
x
2
+ 18ax 2a cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành đọ dơng
2) CMR: phơng trình: ( x+a)
3
+ (x+b)
3
+ x
3
= 0 không có 3 nghiệm phân biệt
3) Cho y = x
3
+ mx
2
-1
a. Chứng tỏ y = 0;

Rm

luôn có một nghiệm dơng
b. Tìm m để y = 0 có nghiệm duy nhất
4) Cho y = x
2
(m-x) m (C) và y = kx + k +1 (

)
a. Chứng tỏ (

) và (C) cùng đi qua điểm cố định
b. Tìm k để (

) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt
5)Tìm m để y=mx
4
+(m
2
-9)x
2
+10 có 3 cực trị.
6)Tìm m để y=x
4
+2(m+1)x
2
+1 có CĐ-CT , viết pt đờng cong qua các điểm cực trị.
7) Cho :y=x
4
-2(m+1)x

2
+2m+1 , tìm m để:
a)Có CĐ-CT lập thành một tam giác đều.
b) Có CĐ-CT lập thành một tam giác vuông cân.
c) Có CĐ-CT lập thành một tam giác có diện tích bằng 8.
d)Có CT mà không có CĐ.
e)Có CĐ-CT mà O(0;0) là trọng tâm tam giác tạo bởi 3 cực trị.
8) Cho
( ) ( )
3 2
2 2 3 3 2 3y x m x m x= + + +
Cmr đồ thị cắt 0x tại 3 điểm với mọi m
Tìm m để h/s nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng
m
9)Tìm m để :
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y x m x m x= + +
có CĐ-CT mà x
1
+2x
2
=1
10)Viết phơng trình parabol qua 3 điểm cực trị của: y=x
4
-6x
2

+4x+6.
3 2
4 2
2
3
. 6 4 6
6 4 6
3 3 6
' 0
3 1
y x x x x
y x x x
y x x
y
x x

= + + +

= + +

= + +

=
=



5)Điều kiện tồn tại cực trị và đờng thẳng cực tri hàm phân thức:
( )
( )

u x
y
v x
=
có cực trị khi hàm không suy biến và y=0 có 2 nghiệm phân biệt #mẫu.
đờng thẳng cực trị là :
( )
'( )
'
u x
y
v x
=
Vd1) Tìm m để các hàm số sau có cđ-ct:
( )
2
2 2 2 2
2 2
3 2 1 2
; ;
1 1 1
x m x
mx mx m x m x m
y y y
x x x
+
+ + + + +
= = =
+
a) Tùy ý

b) Ơ về 2 phía Ox ; Oy ; góc 1/4 thứ I và III.
c)Đối xứng qua y=x.
d)
4
cd ct
y y >
e) Viết pt đ/t qua các điểm CĐ-CT
g)không có cực trị.
Vd2) a)cmr :
( )
2 2 4
1 1x m m x m
y
x m
+ +
=

có cđ-ct với mọi m.
b)Tìm m để 1/x
cđ
+1/x
ct
=1
c)để
8
cd ct
y y =
d)Cmr trên mf tọa độ tồn tại duy nhất một điểm mà điểm đó vừa là điểm CĐ ứng với một
giá trị nào đó của m , vừa là điểm CT ứng với giá trị khác của m.
(là giao điểm của quĩ tích điểm CĐ và CT)

Vd3: Cho
2
2 3 2
2
x x m
y
x
+ +
=
+

a)Cmr nếu h/s đạt CĐ-CT tại x
1
, x
2
thì :
( ) ( )
1 2 1 2
4y x y x x x =
viết pt đ/t qua 2 điểm CĐ-CT.
b)Tìm m để y
CĐ
.y
CT
nhỏ nhất.
c)Tìm m để CĐ-CT cùng thuộc góc phần t (I).
Vd 4) Cmr khi h/s
2 2 2
2
1

x m x m
y
x
+ +
=
+
có CĐ-CT thì đồ thị không thể cắt 0x tại 2 điểm phân
biệt.Với mỗi giá trị m trên tìm hệ ssố góc tiếp tuyến qua A(-1;0).
Vd 5: Tìm m để :
2
2 5
1
x mx
y
x
+
=

có CĐ-CT ở về 2 phía đ/t :(d): y=2x.
(Gọi
;K d=
là đ/t cực trị thì x
K
=m/2, y=0 có 2 nghiệm x
1
<x
K
<x
2
nên:1.g(x

K
)<0.

6) Tiếp tuyến với đồ thị:
* Cách làm :
Dạng1) Tiếp tuyến tại 1 điểm M(x
0
;y
0
) trên đồ thị dùng: y-y
0
= y
x0
(x-x
0
)
Dạng 2:Tiếp tuyến đi qua A(x
1
;y
1
) cho trớc với đồ thị (C)
Tiếp tuyến có dạng : y-y
1
=k(x-x
1
)
+Cách 1:

x
0

là nghiệm của phơng trình y
1
=
0
( ) 1 0 0
( ) ( )
x
ý x x y x +
Giải tìm x
0
và quay về
dạng 1.
+Cách 2;
Sử dụng hệ pt : f(x) = k(x-x
1
)+y
1
có nghiệm
f(x) = k
từ đó tìm k suy ra phơng trình của tiếp tuyến.
Dạng 3:Tiếp tuyến biết hệ số góc k.
Có dạng y=kx+b
+Cách 1;gọi tiếp điểm là M(x
0
;y
0
) thì giải pt: y(x
0
)=k tìm x
0

và quay về dạng 1.
+cách 2: Giải hệ pt tiếp xúc để tìm b.
Ví dụ 1: Viết pt tiếp tuyến của (C): y = x
3
3x
2
+2
a) Tại M(-1;-2)
b)Tại điểm có hoành độ x=2
c)Tại điểm uốn, tại giao điểm với trục tung, trục hoành.
d) Đi qua A(23/9, -2)
e)Song song y=9x+3
f)Vuông góc y=1/3x+2
h) Tại giao điểm với trục tung.
g) Qua A(-1;-2)
m)Tìm trên đ/t y=-2 các điểm kẻ đợc 2 tiếp tuyến với đồ thị vuông góc nhau.
n) Tìm trên 0x các điểm có thể kẻ đợc 3 tiếp tuyến với đồ thị.
Giảid) Phơng trình tiếp tuyến tại (x
0
, y
0
)

(C) có dạng:
y = (3x
0
2
6x
0
)(x x

0
) + (x
0
3
3x
0
2
+ 2). Tiếp tuyến đi qua A(
)2,
9
23

nên
-2 = (3x
0
2
6x
0
)(
9
23
x
0
) + (x
0
3
3x
0
2
+ 2). Vậy x

0
là nghiệm của pt:
-2x
0
3
+
3
32
x
0
2
-
3
46
x
0
+ 4 = 0







=
=
=

3
2

3
1
0
0
0
x
x
x


các tiếp tuyến là :







+=
=
=

27
61
3
5
259
2
xy
xy

y
Ví dụ 2: Tìm tiếp tuyến của (C): y = x
3
9x
2
+ 17x + 2 qua A(-2; 5)
Giải: x
0
là nghiệm pt: 5 = f(x)(-2-x) + f(x)

(x - 1)(2x
2
x - 37) = 0.
Phơng trình có 3 nghiệm phân biệt

có 3 tiếp tuyến.
Ví dụ 3:Viết pttt với :
2
1x x
y
x
+ +
=
qua A(2;1)
Giải: pttt qua A(2;1) có dạng: y=k(x-2)+1 , ta có hệ:
( )
( )
2
1
1 ( 2) 1 1

1
1 2
x k x
x
k
x
ỡ
ù
ù
+ + = - +
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
- =
ù
ù
ù
ợ
suy ra:
( )
( )
1
1 ( 2) 1 1
1
3
x k x
x

x kx
x
ỡ
ù
ù
+ + = - +
ù
ù
ù
ớ
ù
ù
- =
ù
ù
ù
ợ
Lấy (1) trừ (3) có: 1/x= thế vào (2) tìm
1 5
1
2
k
-
= <
nên 2 ttuyến vuông góc.
Vd3) y=x
3
-3x+1 qua M(2/3; -1)
Vd4)Tìm trên 0x các điểm kẻ đến y=x
3

-3x
2
+2 đợc 3 tiếp tuyến.Viết pttt qua A(-1;-2)
Vd5) y=x
2
(x
2
-2) qua 0.
Vd6) Viết pttt với :
2
1x x
y
x
+ +
=
qua A(2;1)
2 2
2 2 2
;
1 1
x x x x
y y
x x
+ +
= =

qua A(2;2).
Vd7)Tìm m để trên y=4 kẻ 2 ttuyến tạo góc 45
0
với :

2
1
x
y
x
=

Vd8) Tìm m để y=-1 và y=
2
2
x x m
x m
+
+
cắt nhau tại 2 điểm A , B mà tiếp tuyến tại A và B vuông
góc.
Vd8)Khảo sát : y=x
3
-2x
2
+x .
a) Viết pttt song song y=x.
b) Biện luân số nghiệm và dấu các nghiệm pt:
X
3
-2x
2
-m=0
Vd9)Viết pttt với y=x
4

-2x
2
+1 qua A(0;1) , từ đó biện luân số nghiêm pt:
X
4
-2x
2
-ax=0
Vd10) Viết pttt với y=x
4
-4x
3
+3 vuông góc với y=1/8x+3 suy ra số nghiệm pt:
X
4
-4x
3
+8x+m=0
Vd11) Tìm trên đồ thị y=
1
1
1
x
x
+ +

các điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc tiệm cận xiên.Biện
luận số nghiệm x
0;
2

ữ

của pt:
1 1 1
1
2
sinx cosx tanx cotx m
sinx cosx

+ + + + + =
ữ

Vd 12: Tìm tập hợp các điểm kẻ đợc đến đồ thị :
2
1x
y
x
+
=
hai ttuyến vuông góc.
Vd 13: Cho :
2
x mx m
y
x
- +
=

a) Với m=1 viết pttt qua A(2;-1) và tính góc tạo bởi 2 ttuyến.
b) Tìm m để qua A(2;-1) kẻ đợc 2 ttuyến vuông góc.
(Chú ý cách viết pttt qua điểm của hàm phân thức làm theo ví dụ 3)
*Bài tập :
1) Tìm tiếp tuyến qua A(0; -1) của y = 2x
3
+ 3(m-1)x
2
+ 6(m-2)x 1
Cmr tiép tuyến tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất.
2) Tìm A

Ox có thể kẻ 3 tiếp tuyến tới y = x
3
3x + 2
3) Tìm điểm trên y = 2 có thể kẻ 3 tiếp tuyến với y = -x
3
+ 3x
2
-2
4) Cho (C): y = x
4
ax
3
(2a+1)x
2
+ ax +1
a. Khảo sát và vẽ đồ thị với a =0
b. Tìm A

Oy có thể kẻ 3 tiếp tuyến với (C) (a=0)
5) Cho y = x
3
+3x
2
+mx + 1 (C
m
)
a. Tìm m để (C
m
) cắt y = 1 tại 3 điểm phân biệt
b. Giả sử trong 3 điểm có 2 gđ D, E có hoành độ khác 0. Tìm m để tiếp tuyến tại D, E với (C
m
)
vuông góc với nhau.
6) Cho y = -x
3
/3 + 3x (C) và

: y = m(x-3)
a. Tìm m để

tiếp xúc với (C).
b. Tìm m để (C) cắt

tại 3 điểm phân biệt trong đó có B, C ( hoành độ khác 3) mà tíêp tuyến tại
B, C vuông góc.
7) Cho y =
)(

1
12
2
C
x
xx

+
a. Biện luận số tiếp tuyến của (C) đi qua 1 điểm trên y = 7
8) Cho y = x
3
+ 3x
2
+ 3x + 5 (C) và k
R
. Tìm số tiếp tuyến của (C) vuông góc với y = kx
10) Chứng tỏ qua mỗi điểm của (C):
1
1
B
B
hoặc
1
2
B
B
chỉ có 1 tiếp tuyến của (C)
11) Chứng tỏ qua mỗi điểm của đờng cong bậc 3 khác điểm uốn có 2 tiếp tuyến của đồ thị ( 1 tại
và 1 đi qua )
12)

2
3 6
:
1
x x
Cho y
x
+
=


a)cmr trên đồ thị tồn tại vô số các cặp điểm mà tiêp tuyến tại các điểm đó song song.
b)cmr tiếp tuyến tại 1 điểm bất kỳ cắt 2 tiêm cận tại tại A và B thì I là trung điểm.
13) Cho :
2
2x mx m
y
x m
+
=
+
cmr nếu đồ thị cắt Ox tại điểm x=x
0
thì hệ số góc tiếp tuyến tại đó là
:
0
0
2 2x m
k
x m

=
+
Tìm m để đồ thị cắt 0x tại 2 điểm mà tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc.
14)Tìm m để tiếp tuyên tại điểm M có hoành độ x=-1 của h/s:
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= +
Song song với đ/t : 5x-y=0.
15)Viết pttt với
2
3 3
2
x x
y
x
+ +
=
+
a) vuông góc với đ/t : x-3y-6=0.
b)vuông góc với tiệm cận xiên ,cmr tiếp điểm là trung điểm đ/t bị chắn bởi 2 tiệm cận.
16) Viết pttt với y=x
4
+x
2
-2 song song với 6x+y-1=0.
17)tìm những điểm có hoành độ x>1 trên
2

1
x
y
x
=

mà tiếp tuyến tại đó tạo với 2 tiệm cận một
tam giác có chu vi nhỏ nhất.
7)Khoảng cách:
+Khoảng cách giữa 2 điểm : A(x
1
;y
1
) và B(x
2
;y
2
) :
( ) ( )
2 2
2 1 2 1
AB x x y y= +
+Khoảng cách từ M(x
0
;y
0
) đến:
-trục 0x :
1 0
d y=

-trục 0y :
2 o
d x=
-đ/t : x=a :
0
x a
-đ/t : y=b :
0
y b
-đ/t : y=ax+b :
0 0
2
1
ax y b
d
a
+
=
+
1) Tìm điểm M trên đồ thị :
2 1
1
x
y
x
+
=
+
có tổng k/c đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
2)Cho :

2
5 15
3
x x
y
x
+ +
=
+
Tìm những điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên và những điểm có k/c đến
0x bằng 2 lần k/c đến 0y.
3) Tính k/c từ gốc tọa độ 0 đến tiệm cận xiên của h/s:
2
2 sin 1
2
x cos x
y
x

+ +
=

và tìm

để k/c đó
lớn nhất.
4) Cho h/s :
1
1
x

y
x

=
+
cmr y=x+2 và y=-x là 2 trục đối xứng của đồ thị và tìm điểm M trên đồ
thị có tổng k/c đến 2 trục tọa độ nhỏ nhất.
5) Tìm điểm M trên đồ thị:
2
3
2
x
y
x

=

có tổng k/c đến 2 trục tọa độ nhỏ nhất.
6)Tìm điểm M trên : y=x
2
-1 để OM ngắn nhất , cmr khi đó OM vuông góc với tiếp tuyến tại M
7)Tìm m để tiệm cận xiên của
2
1
1
x mx
y
x
+
=

cắt 2 trục tọa độ thành 1 tam giác có diện tích
bằng 8.Tìm m để y=m cắt đồ thị tại 2 điểm A , B mà OA vuông OB.
8)Cmr k/c giữa CĐ và CT của h/s :
( )
2
1 4
1
x m x m
y
x
+ +
=

không phụ thuộc m.
Tìm m để đồ thị cắt 0x tại 2 điểm A, B mà AB=4
9)Cmr y=1/3x
3
-mx
2
-x+m+1 có CĐ-CT mọi m,tìm m để k/c CĐ-CT bé nhất . và tìm m để có CT
tại x=1
10) Tìm m để y=mx+1/x có CT cách tiệm cận xiên 1 khoảng:
1
2
11)Tìm m để y=m cắt
( )
2
3 3
2 1

x x
y
x
+
=

tại 2 điểm A ,B mà AB=1
12)Tìm m để k/c giữa CĐ-CT của
( )
2
1 1
20
1
x m x m
y la
x
+ + + +
=
+

8)Tâm và trục đối xứng:
Điểm M(x
0
;y
0
) là tâmđối xứng khi phép đổi trục:
0
0
X x x
Y y y

= +


= +

thành Y=f(X) là hàm lẻ.
( hoạc:f(x+x
0
)+f(x
0
-x)=2y
0
, mọi x.
Đờng thẳng x=x
0
là trục đối xứng nếu phép đổi trục:
0
X x x
Y y
= +


=

thành Y=f(X) là hàm chẳn.
( hoặc : f(x
0
+x)=f(x
0
-x) mọi x.

1)Tìm tâm đối xứng của:
2
3 2
2 5 4 2 1
, , 3 2
1 1
x x x
y y y x x
x x
+ +
= = = +


2)Tìm trục đối xứng : y=x
4
+4x
3
+3x
2
-2x , y=x
4
-4x
3
-2x
2
+12x-1 và giao điểm với 0x.
3)Tìm m để :y=x
3
-3mx
2

-6x-m+1 có I(1;-8) và
3
2
3 2
x
y mx
m
= +
có I(1;0) là tâm đối xứng.
4)Tìm m để :y=x
4
+4mx
3
-2x
2
-12mx và y=x
4
+4x
3
+mx
2
có trục đối xứng //oy.
5)Tìm m để trên đồ thị các h/s sau có cặp điểm đối xứng qua 0.

( )
2 2 2
3 2 3 2
2
2 3 3 18 8 , ; 3
1

x m x m
y x m x mx y y x x m
x
+ +
= + + = = +
+
6)Tìm trên đồ thị
2
1
x
y
x
=

cặp điểm đối xứng qua:I(2;3) ; đ/t : x=-1 ; đ/t : y=2
Y=x-1.
7)Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số:
2
1
x
y
x
=

qua:I(2;3) ; đ/t : x=-1 ; đ/t :
y=2
8)Cho h/s :
2
3 4
2 2

x x
y
x
+
=

tìm trên đ/thị 2 điểm đối xứng qua y=x ; y=-x
I là giao 2 tiệm cận , một tiếp tuyến tại điểm M bất kì cắt 2 tiệm cận tại A và B.CMR:
a) Mlà trung điểm AB.
b)Diện tích tam giác AIB khômg đổi.Suy ra IA.IB không đổi.
c)Diện tích hình bình hành tạo bởi 2 tiệm cận và 2 đ/t qua M song song 2 tiệm cận không
đổi.
d)Hai điểm thuộc 2 nhánh có k/c ngắn nhất nằm trên đờng phân giác góc tạo bởi 2 tiệm
cận.
e)Tích k/c từ M đến 2 tiệm cận không đổi.
9)Cmr y=x+2 và y=-x là 2 trục đối xứng của
1
1
x
y
x

=
+
10)Tìm m để
( )
2
2
1
x m x m

y
x
+ +
=
+
cắt đ/t y=-x-4 tại 2 điểm đối xứng qua y=x.
11)Tìm m để y=x
3
-3mx
2
+4m
3
có CĐ-CT đối xứng qua y=x.
9)Điểm cố định và điểm không bao giờ qua của họ đồ thị:
Để tìm điểm cố định của họ đồ thị y=f(m,x) ta giả sử điểm cố định là M(x
0
;y
0
), khi đó đẳng thức
y
0
=f(m,x
0
) thõa mãn với mọi m, đa về đa thức ẩn m:
Am
k
+Bm
k-1
+ +Em+F=0 thõa mãn mọi m khi:A=B= =E=F từ đó tìm đợc x
0

,y
0.
Điểm không bao giờ qua thì y
0
=f(m,x
0
) không thõa mãn với mọi m,Khi A=B= =E=0 , F#0.
( hoặc
0
<
V
)
Ví dụ: Tìm điểm cố định của các họ:
1)y=x
3
-(m+1)x
2
-(2m
2
-3m+2)x+2m(2m-1)
( )
( )
( )
( )
2 2
2
3 2 2
3 2
3)
2 1 1

4)
5) 3 1 2 4 1 4 ( 1)
6) 2 2 5 3 5
x m x m
y
x m
x m x m
y
x m
y x m x m m x m m
y x m x mx m
+
=

+ + +
=

= + + + + +
= +

7)
( )
3 2 2
4 ( 2)y x m x m x= + +

tìm điểm cố định và điểm không qua trên đ/t: x=2
2 2
1
8)
m x

y
x
+
=
tìm điểm cố định và điểm không qua trên đ/t: y=1.
9)
( )
2
2 2
1
x m x
y
x
+
=

tìm trên mf tọa độ các điểm mà đthị không bao giờ qua.
( )
( )
2
2 2 4
10)
m x m m
y
x m
+
=

tìm trên mf tọa độ các điểm mà đthị không bao giờ qua.
11) Tìm trên đ/t x=1 các điểm có ít nhất một đồ thị của y=x

3
+m
2
x-2m+1 đi qua.
12)Cmr trên y=x
2
có 2 điểm mà đồ thị của y=2x
3
-3(m+3)x
2
+18mx-8 không qua với mọi m.
13)Tìm trên đ/t x=3 các điểm mà y=x
3
-2mx
2
+(2m
2
-1)x+m
2
-5m+2 không bao giờ qua.
14)Tìm trên đ/t x=2 các điểm mà y=x
3
+(m
2
+1)x
2
-4m
a)Có đúng 1 đồ thị qua.
b)Đúng 2 đồ thị qua.
c)Đúng 3 đồ thị qua.

10)Quĩ tích đại số:
Tìm quĩ tích của một điểm M , thì tìm tọa độ điểm M
+Nếu cả 2 tọa độ đều chứa m thì khử m từ 2 tọa độ sẽ có phơng trình quĩ tích điểm M.
+Nếu 1 trong 2 tọa độ không chứa m thì tìm điều kiện có nghiệm m cho phơng trình tọa
độ còn lại.
Ví dụ:
1)Tìm m để y=mx cắt y=x
2
-4x+3 tại 2 điểm, tìm quĩ tích trung điểm.
2)tìm quĩ tích đỉnh : y=(m+1)x
2
-2mx+m
2
-1
3)Tìm quĩ tích tâm đối xứng của:
( )
3 2
2 3 2 ( 1)
3
2
y x m x m x m
mx
y
x m
= +
+
=
+
4)Tìm quĩ tích các điểm cực trị của
( )

2 2 4
2
1 1
2 3
,
2
x m m x m
x x m
y y
x x m
+ +
+
= =

5)Tìm quĩ tích giao điểm với các trục tọa độ của:
( )
2 2
2 2
2 2 2
2 1
4 2 2
,
2 3 4 5
x m x m m
x mx m m
y y
x m m x m m
+ +
+ +
= =

+ + + + + +