Đề + Đáp án Toán hk2 khối 11

Đề thi học kỳ 2 khối 11 (90 phút)
Câu 1: (2đ)
Cho hàm số
2
2 2 4
2
( )
2
2
x x
khi x
f x
x
a khi x

− + +
≠

=
−


=

a) Tính giới hạn hàm số đã cho khi
2x
→
b) Xác định a để hàm số đã cho liên tục tại
0
2x =
Câu 2: (2đ)

Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)
2
3 1
1
x
y
x
−
=
−
b)
( )
3
cos 2010y x= −
Câu 3: (2đ)
Cho hàm số
2
2 3 1y x x= − −
a) Viết phương trình tiếp tuyến của parabol
2
2 3 1y x x= − −
tại điểm có tung độ
0
1y =
b) Giải bất phương trình
1
0
y
g

−
≥
với
1g x= −
Câu 4: (4đ)
Cho tứ diện ABCD. Biết rằng AB, AC, AD đôi một vuông góc và có độ dài bằng a. Gọi M,
N, K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AD, AC.
a) Chứng minh rằng
( )AD ABC⊥
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và BC
c) Tính
·
( )
,AB CD
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu Đáp án Điểm
1a)
1điểm

2
2 2
2
2
2 2 4
lim ( ) lim
2
2( 2)( 1)
lim
2
lim( 2)( 1)

( 2)(2 1) 6
x x
x
x
x x
f x
x
x x
x
x
→ →
→
→
− + +
=
−
− − +
=
−
= − +
= − + = −
0.25
0.25
0.25
0.25
1b)
1điểm
Ta có:
(2)f a=

2
lim ( ) 6
x
f x
→
= −
Để hàm số đã cho liên tục tại
0
2x =
thì

2
(2) lim ( )
6
x
f f x
a
→
=
⇔ = −
Vậy
6a = −
thì hàm số đã cho liên tục tại
0
2x =
0.25
0.5
0.25
2a)
1điểm

2 2
2
2 2
2
2
2
(3 1)'.(1 ) (3 1).(1 )'
'
(1 )
(3 )'.(1 ) (3 1)( )'
(1 )
6 .(1 ) (3 1)
(1 )
x x x x
y
x
x x x x
x
x x x
x
− − − − −
=
−
− − − −
=
−
− + −
=
−
Vậy

2
2
6 .(1 ) (3 1)
'
(1 )
x x x
y
x
− + −
=
−
0.25
0.25
0.25
0.25
2b)
1điểm
2
2
2
' 3.cos ( 2010 ). cos( 2010 ) '
3.cos ( 2010 ).sin( 2010 ).( 2010 )'
3.cos ( 2010 ).sin( 2010 )
2 2010
y x x
x x x
x x
x
 
= − −

 
= − − − −
− −
=
−
Vậy
2
3.cos ( 2010 ).sin( 2010 )
'
2 2010
x x
y
x
− −
=
−
0.25
0.25
0.25
0.25
3a)
1điểm
Ta có:
2
' (2 3 1)' 4 3y x x x= − − = −
Mặt khác:

0
0
0

0
1 2 3 1
2 3 2 0
2
1
2
x x
x x
x
x
= − −
⇔ − − =
=


⇔

= −

• Tại
0
2x =

'(2) 4.2 3 5y⇒ = − =
Vậy phương trình tiếp tuyến là:
1 5( 2)y x− = −
• Tại
0
1
2

x = −

1 1
' 4 3 5
2 2
y
   
⇒ − = − − = −
 ÷  ÷
   
Vậy phương trình tiếp tuyến là:
1
1 5
2
y x
 
− = − +
 ÷
 
0.25
0.25
0.25
0.25
3b)
1điểm
Đặt
2
1 2 3 2
( )
1

y x x
h x
g x
− − −
= =
−
Ta có:
2
2
2 3 2 0
1
2
x
x x
x
=


− − = ⇔

= −


1 0 1x x− = ⇔ =
Lập bảng xét dấu
( )h x
x
−∞

1

2
−
1 2
+∞
2
2 3 2x x− −
+ 0
−

−
0 +
1 x−
+ + 0
−

−
( )h x
+ 0
−
+ 0
−
Dựa vào bảng xét dấu:
]
(
1
( ) 0 ; 1;2
2
h x x



≥ ⇔ ∈ −∞ −




U
0.25
0.5
0.25
4)
Hình vé
0.5điểm


0.5
4a)
1điểm
Ta có:
AD AB
AD AC
⊥


⊥

(giả thiết)
Suy ra
( )AD ABC⊥
(đpcm)
0.5

0.5
4b)
1.5điểm
• Xác định đoạn vuông góc chung của AD và BC:
Ta có:
( )
( )
AD ABC
AD AM
AM ABC
⊥

⇒ ⊥

⊂

(1)
Mặt khác do M là trung điểm của cạnh BC và
ABC
∆
cân tại A
Nên
AM BC⊥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra AM là đoạn vuông góc chung của AD và BC
• Tính độ dài đoạn vuông góc chung AM:
Trong tam giác vuông ABC, có:
2 2 2 2 2 2
2
2

2
2
BC AB AC a a a
BC a
a
BM
= + = + =
⇒ =
⇒ =
Trong tam giác vuông AMB, có:

2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
a a
AM AB BM a
a
AM
= − = − =
⇒ =
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
4c)
1điểm

Ta có:

·
·
/ /
( , ) ( )
/ /
OM AB
AB CD MON
ON CD

⇒ ≡


Trong tam giác MON, ta có:
0.25
·
·
·
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2. . .cos( )
cos( )
2. .
cos( ) (1)
2. .
MN OM ON OM ON MON
OM ON MN
MON

OM ON
OM ON MN
MON
OM ON
= + −
+ −
⇔ =
+ −
⇔ =
Tính độ dài OM, ON, MN:
•
2
2 2
2 2 2
3
2 4 2 2
AD a a a
MN AN AM AM
 
= + = + = + =
 ÷
 
•
2 2
AB a
OM = =

•
2 2 2 2
2

2 2 2 2
CD AD AC a a a
ON
+ +
= = = =
Thay các giá trị vừa tìm được vào (1):
·
·
·
2 2
2
0
2 3
2 2 2
cos( ) 0
2
2. .
2 2
90 ( , )
a a a
MON
a a
MON AB CD
   
 
+ −
 ÷  ÷
 ÷
 
   

= =
⇒ = =
Vậy
·
0
( , ) 90AB CD =
0.25
0.25
0.25
* Cách 2:
Ta có:

·
·
/ /
( , ) ( )
/ /
OM AB
AB CD MON
ON CD

⇒ ≡


Vì O, M lần lượt là trung điểm của AC, BC nên OM là đường trung
bình của tam giác CAB
Suy ra
/ /OM AB
(1)
Mặt khác:

( ) (2)
AB AD
AB ACD
AB AC
⊥

⇒ ⊥

⊥


Từ (1), (2) suy ra:
( )OM ACD⊥
(3)
Ta lại có:
( )ON ACD⊂
(4)
Từ (3) và (4) suy ra
OM ON
⊥
Hay
·
0
90MON =
Vậy
·
0
( , ) 90AB CD =
0.25
0.25

0.25
0.25