Đề thi kiểm tra HSG 8 và đán án

TRƯỜNG THCS TRẦN QUỐC TOẢN THI KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN
TỔ TOÁN NH: 2010 – 2011
MÔN TOÁN 8
Bài 1: Giải phương trình: (1,5 điểm)
a)
2
3 2
1 2x 5 4
1 1 1x x x x
−
+ =
− − + +
b) |x
2
– 3x + 3| = 3x – x
2
- 1
Bài 2:(1 điểm) a) Tìm x thỏa :
3 2
2
6x 7x 5x+2
5
2x 1
x
x
+ +
= −
+ +
b) Tìm các giá trị m để phương trình (ẩn số x):
4x - 1
3

x-1
m= +
có nghiệm số âm.
Bài 3: (1 điểm)Cho biểu thức A =
1
1
x
y
y
x
+
+
.
a) Rút gọn A.
b) Tìm các cặp giá trị nguyên dương của x, y với x + y ≤ 50 và A có giá trị bằng 8.
Bài 4: (1,5 điểm)a) Với a, b là các số dương. Chứng minh rằng: 4(a
3
+ b
3
) ≥ (a + b)
3
b) Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
.
bc ac ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
Bài 5: (1 điểm)
a)Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình : y(x – 1) = x
2

+ 2.
b) Tìm giá trị lớn nhất của B = - x
2
– y
2
+ xy + 2x + 2y.
Bài 6: (1 điểm)Hiệu số đo chu vi của hai hình vuông là 32m và hiệu số đo diện tích của chúng
là 464m
2
. Tìm số đo các cạnh của mỗi hình vuông này.
Bài 7: (1,5 điểm)Cho ∆ABC nhọn, M là điểm thuộc miền trong của tam giác, các đường thẳng
AM, BM, CM lần lượt cắt các cạnh BC, AC, AB lần lượt tại Q, N, P. Chứng minh rằng tổng :
MQ MN MP
AQ BN CP
+ +
không phụ thuộc vào vị trí của điểm M thuộc miền trong của ∆ABC.
Bài 8: (1,5 điểm)Cho ∆ABC có các đường cao AH, BD, và CE. Gọi hình chiếu của H trên các
đường thẳng AB, BD, CE và AC lần lượt là M, N, P, Q. Chứng minh các điểm M, N, P, Q
cùng nằm trên một đường thẳng.
- Hết -
ĐÁP ÁN:
Bài 1: Giải phương trình:
a) S = {0}
b) Vì x
2
– 3x + 3 = (x – 3/2)
2
+ ¾ > 0 với mọi x
=> x
2

– 3x + 3 = 3x – x
2
– 1
 2x
2
- 6x + 4 = 0
 (x – 1)(x – 2) = 0
S = {1; 2}
Bài 2: a) Ở VT lấy tử chia mẫu được thương là 3x + 2 dư bằng 0.
 3x + 2 = x – 5  x = -7/2.
b) Đk: x ≠ 1
Biến đổi pt về dạng: (m – 1)x = m + 2
Với m – 1 ≠ 0  m ≠ 1 thì x =
2
1
m
m
+
−
Phương trình có nghiệm âm 
2
0
1
2
1
1
m
m
m
m

+

<


−

+

≠

−

 -2 < m< 1.
Bài 3: Cho biểu thức A =
1
1
x
y
y
x
+
+
.
a) Rút gọn A = x/y
b) A = 8 => x / y = 8  x = 8y vì x + y ≤ 50  9y ≤ 50  y ≤ 5.
 (8; 1) , (16; 2), (24; 3), (32; 4), (40; 5)
Bài 4: a) Chứng minh rằng: 4(a
3
+ b

3
) ≥ (a + b)
3
Biến đổi tương đương  3(a + b)(a – b)
2
≥ 0 đúng
Vậy 4(a
3
+ b
3
) ≥ (a + b)
3
Dấu “=”  a = b
b) Với a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
.
bc ac ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
Ta có :
2
bc ac b a
c c
a b a b
 
+ = + ≥
 ÷
 
;
2

ac ab c b
a a
b c b c
 
+ = + ≥
 ÷
 
2
bc ab c a
b b
a c a c
 
+ = + ≥
 ÷
 
 2(
) 2( ).
bc ac ab
a b c
a b c
+ + ≥ + +
 dấu ‘ = ‘  a = b= c > 0.
Bài 5: a) Ta có : y(x – 1) = x
2
+ 2(1) .
Nếu x – 1 = 0 => (1) : 0 = 3 vô lí.
Nếu x -1 ≠ 0 => (1) y =
2
2 3
1

1 1
x
x
x x
+
= + +
− −
X, y thuộc số nguyên => x – 1 thuộc Ư(3)
 x = -2; 4; 0; 2 y = -2; 6; -2; 6
b) B = - x
2
– y
2
+ xy + 2x + 2y
 2B = - 2x
2
– 2y
2
+ 2xy + 4x + 4y
 2B = 8 – [(x – y)
2
+ (x – 2)
2
+ (y – 2)
2
] ≤ 8
 B ≤ 4
Bài 6: goi số đo mỗi cạnh của hình vuông nhỏ là a (m, x > 0)
số đo mỗi cạnh của hình vuông nhỏ là (4a + 32):4 = a + 8
ta có pt: (a + 8)

2
– a
2
= 464  a = 25
Bài 7:
Chứng minh:
1
MQ MN MP
AQ BN CP
+ + =
Kẻ AH, MK cùng vuông góc BC
Ta có:
MBC
ABC
S
MQ MK
QA AH S
= =
Tương tự c/m:
;
AMC BMC
ABC ABC
S S
MN MP
BN S CP S
= =
1
AMB BMC AMC
ABC
S S S

MQ MN MP
AQ BN CP S
+ +
+ + = =
Bài 8: Cho ∆ABC có các đường cao AH, BD, và CE. Gọi hình chiếu của H trên các đường
thẳng AB, BD, CE và AC lần lượt là M, N, P, Q. Chứng minh các điểm M, N, P, Q cùng nằm
trên một đường thẳng.
C/m :
// D
D
CQ CP CH
PQ E
C CE CB
= = =>
C/m tương tự : MN // ED.
c/m ∆AQH ∼ ∆AHC => AH
2
= AQ. AC
∆AMH ∼ ∆AHB => AH
2
= AM. AB
 AQ. AC = AM. AB

AQ AB
AM AC
=
Mặt khác: ∆ABD ∼ ∆ACE =>
AD AB
AE AC
=

=>
AD AQ
AE AM
=
=>
D//MQ
AD AE
E
AQ AM
= =>
=> đpcm.