Các bài hình học tổng hợp lớp 9 dùng ôn thi lớp 10 rất hay có đáp án chi tiết

CÁC BÀI HÌNH TỔNG HỢP RẤT HAY DÙNG ÔN THI LỚP 10
Bài 1:
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn và AB<AC nội tiếp trong đường tròn tâm
O.Kẻ đường cao AD và đường kính AA’.Gọi E:F theo thứ tự là chân đường vuông
góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’.
1. C/m AEDB nội tiếp.
2. C/m DB.A’A=AD.A’C
3. C/m:DE

AC.
4. Gọi M là trung điểm BC.Chứng minh MD=ME=MF.
I
N
M
F
E
A'
D
O
A
B
C
4)
Gọi N là trung điểm AB.Nên N là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDE. Do M;N là
trung điểm BC và AB MN//AC(Tính chất đường trung bình)
Do DEAC MNDE (Đường kính đi qua trung điểm một dây…)MN là đường trung trực của
DE ME=MD.
 Gọi I là trung điểm ACMI//AB(tính chất đường trung bình)




A'BC A'AC
(Cùng chắn cung A’C).
Do ADFC nội tiếp 


FAC FDC
(Cùng chắn cung FC) 


A'BC FDC
hay DF//BA’ Mà

ABA' 1v
MIDF.Đường kính MIdây cung DFMI là đường trung trực của DFMD=MF.
Vậy MD=ME=MF.
Bài 2:
Cho

ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi M là một điểm
bất kỳ trên cung nhỏ AC.Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M
đến BC và AC.P là trung điểm AB;Q là trung điểm FE.
1/C/m MFEC nội tiếp.
2/C/m BM.EF=BA.EM
3/C/M

AMP∽

FMQ.
4/C/m góc PQM=90
o

.
Q
P
F
E
O
B
A
C
M
I
E
F
D
O
C
B
A
4/C/m góc:PQM=90
o
.
Do góc AMP=FMQ PMQ=AMF PQM∽AFM góc MQP=AFM Mà góc
AFM=1vMQP=1v(đcm).
Bài 3:
Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC.Trên tia AC lấy điểm D sao
cho AB=AD.Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B
cắt đường thẳng DE tại G.
1. C/m BGDC nội tiếp.Xác định tâm I của đường tròn này.
2. C/m


BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp

BCD.
3. C/m GEFB nội tiếp.
4. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cũng nằm trên đường tròn ngoại tiếp

BCD.Có nhận xét gì về I và F
G
F
E
D
C
O
B
A
4/ C/m C;F;G thẳng hàng:Do GEFB nội tiếp Góc BFG=BEG mà BEG=1vBFG=1v.Do BFG
vuông cân ở FGóc BFC=1v.Góc BFG+CFB=2vG;F;C thẳng hàng. C/m G cũng nằm
trên… :Do GBC=GDC=1vtâm đường tròn ngt tứ giác BGDC là FG nằn trên đường tròn ngoại
tiếp BCD. Dễ dàng c/m được I F.
Bài 4:
Cho

ABC có 3 góc nhọn nội tiếp trong (O).Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn cắt
nhau tại D.Từ D kẻ đường thẳng song song với AB,đường này cắt đường tròn ở E và
F,cắt AC ở I(E nằm trên cung nhỏ BC).
1. C/m BDCO nội tiếp.
2. C/m: DC
2
=DE.DF.
3. C/m:DOIC nội tiếp.

4. Chứng tỏ I là trung điểm FE.
3) Ta có: sđgóc BAC=
2
1
sđcung BC(Góc nội tiếp) (1)
Sđ góc BOC=sđcung BC(Góc ở tâm);
OB=OC;DB=DC(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);OD chung
BOD=CODGóc BOD=COD
2sđ gócDOC=sđ cung BC sđgóc DOC=
2
1
sđcungBC (2)
Từ (1)và (2)Góc DOC=BAC.
Do DF//ABgóc BAC=DIC(Đồng vị) Góc DOC=DIC Hai điểm O và I cùng làm với hai đầu
đoạn thẳng Dc những góc bằng nhau…đpcm
H
I
N
M
D
B
O
A
C
4/Chứng tỏ I là trung điểm EF:
Do DOIC nội tiếp  góc OID=OCD(cùng chắn cung OD)
Mà Góc OCD=1v(tính chất tiếp tuyến)Góc OID=1v hay OIID OIFE.Bán kính OI vuông
góc với dây cung EFI là trung điểmEF.
Bài 5:
Trên hai cạnh góc vuông xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA=OB. Một

đường thẳng qua A cắt OB tại M(M nằm trên đoạn OB).Từ B hạ đường vuông góc
với AM tại H,cắt AO kéo dài tại I.
1.C/m OMHI nội tiếp.
2.Tính góc OMI.
3.Từ O vẽ đường vuông góc với BI tại K.C/m OK=KH
4.Khi M thay đổi trên OB thì K di chuyển trên đường nào? Tìm giới hạn hình
mà K di chuyển?.
y
x
K
I
H
B
O
A
M
Bài 6:
Cho (O) đường kính AB=2R;xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường kính
bất kỳ.Gọi giao điểm của AC;AD với xy theo thứ tự là M;N.
1. Cmr:Bốn điểm M, D, C, N cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng tỏ:AC.AM=AD.AN
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm
MN.Cmr:AOIH là hình bình hành.
4. Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường
nào?
3/C/m AOIH là hình bình hành.
Xác định I:I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN
I là giao điểm dường trung trực của CD và MN
IHMN là IOCD.Do ABMN;IHMNAO//IH.
Vậy cách dựng I:Từ O dựng đường vuông góc với CD.

Từ trung điểm H của MN dựng đường vuông góc với MN.
Hai đường này cắt nhau ở I.
Do H là trung điểm MNAH là trung tuyến của vuông AMN
ANM=NAH.Mà ANM=BAM=ACD(cmt)DAH=ACD.
Gọi K là giao điểm AH và DO do ADC+ACD=1vDAK+ADK=1v
hay AKD vuông ở KAHCD mà OICDOI//AH vậy AHIO là hình bình hành.
4/Quỹ tích điểm I:
Do AOIH là hình bình hành IH=AO=R không đổi
CD quay xung quanh O thì I nằm trên đường thẳng // với xy và cách xy một khoảng bằng R
N
M
K
I
A
B
C
Bài 7:
Cho tam giác ABC có A=1v;AB<AC.Gọi I là trung điểm BC;qua I kẻ
IK

BC(K nằm trên AC).Trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho MA=AK.
1. Chứng minh:ABIK nội tiếp được trong đường tròn tâm O.
2. C/m góc BMC=2ACB
3. Chứng tỏ BC
2
=2AC.KC
4. AI kéo dài cắt đường thẳng BM tại N.Chứng minh AC=BN
5. C/m: NMIC nội tiếp.
4/C/m AC=BN
Do AIB=IAC+ICA(góc ngoài IAC) và IAC Cân ở I

IAC=ICA AIB=2IAC(1). Ta lại có BKM=BMK
và BKM=AIB(cùng chắn cung AB-tứ giác AKIB nội tiếp)
AIB=BMK(2) mà BMK=MNA+MAN
(góc ngoài tam giác MNA) Do MNA cân ở M(gt)
MAN=MNABMK=2MNA(3)
Từ (1);(2);(3)IAC=MNA và MAN=IAC(đ đ)…
Bài 8:
Trên đường tròn tâm O lần lượt lấy bốn điểm A;B;C;D sao cho AB=DB.AB và
CD cắt nhau ở E.BC cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn(O) ở Q;DB cắt AC tại K.
1. Cm: CB là phân giác của góc ACE.
2. c/m:AQEC nội tiếp.
3. C/m:KA.KC=KB.KD
4. C/m:QE//AD.
E
Q
K
D
O
A
B
C
Sử dụng cặp góc so le trong bằng nhau QEA bằng EAD
Bài 9:
Cho (O) và tiếp tuyến Ax.Trên Ax lấy hai điểm B và C sao cho AB=BC.Kẻ cát tuyến
BEF với đường tròn.CE và CF cắt (O) lần lượt ở M và N.Dựng hình bình hành
AECD.
1.C/m:D nằm trên đường thẳng BF.
2.C/m ADCF nội tiếp.
3.C/m: CF.CN=CE.CM
4.C/m:MN//AC.

5. Gọi giao điểm của AF với MN là I.Cmr:DF đi qua trung điểm của NI.
I
D
M
N
F
C
O
A
B
E
4. Chứng minh cặp góc so le trong bằng nhau(
 
ACM CMN
)
5. Sử dụng hệ quả talet
Bài 10:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC.Gọi a là một điểm bất kỳ trên nửa đường
tròn;BA kéo dài cắt tiếp tuyến Cy ở F.Gọi D là điểm chính giữa cung AC;DB kéo dài
cắt tiếp tuyến Cy tại E.
1. C/m BD là phân giác của góc ABC và OD//AB.
2. C/m ADEF nội tiếp.
3. Gọi I là giao điểm BD và AC.Chứng tỏ CI=CE và IA.IC=ID.IB.
I
E
D
F
C
O
B

A
3) Chứng minh tam giác ICE có đường cao CD vừa là phân giác
Bài 11:
Cho nửa đtròn (O);đường kính AD.Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao
cho cung AB<AC.AC cắt BD ở E.Kẻ EF

AD tại F.
1. C/m:ABEF nt.
2. Chứng tỏ DE.DB=DF.DA.
3. C/m: E là tâm đường tròn nội tiếp

BCF.
4. Gọi M là trung điểm của ED. C/m tứ giác BCMF nội tiếp
M
I
F
E
D
O
A
B
C
Ta chứng minh góc BCF bằng BMF(Bằng 2 lần hai góc bằng nhau BCA và góc BDA)
D
F
G
H
A
B
C

E
Bài 12:
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy điểm M, Trên AB
lấy điểm C sao cho AC<CB. Gọi Ax; By là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn. Đường
thẳng đi qua M và vuông góc với MC cắt Ax ở P; đường thẳng qua C và vuông góc
với CP cắt By tại Q. Gọi D là giao điểm của CP với AM; E là giao điểm của CQ với
BM.
1/cm: ACMP nội tiếp.
2/Chứng tỏ AB//DE
3/C/m: M; P; Q thẳng hàng.
E
D
Q
P
B
O
A
M
C
3/C/m M;P;Q thẳng hàng:
Do MPC+MCP=1v(tổng hai góc nhọn của tam giác vuông PMC) và PCM+MCQ=1v
MPC=MCQ.
Ta lại có PCQ vuông ở CMPC+PQC=1vMCQ+CQP=1v hay
CMQ=1vPMC+CMQ=2vP;M;Q thẳng hàng.
Bài 13:
Cho

ABC có A=1v;Kẻ AH

BC.Qua H dựng đường thẳng thứ nhất cắt cạnh AB ở

E và cắt đường thẳng AC tại G.Đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ
nhất và cắt cạnh AC ở F,cắt đường thẳng AB tại D.
1. C/m:AEHF nội tiếp.
2. Chứng tỏ:HG.HA=HD.HC
3. Chứng minh EF

DG và FHC=AFE.
4. Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF để EF ngắn nhất
2/Cm: Ta đi chứng minh HCA~HGDđpcm.
3/C/m:EFDG:Sử dụng E là trực tâm tam giác GFD
 C/m:FHC=AFE:
Do AEHF nội tiếp AFE=AHE(cùng chắn cung AE).
Mà AHE+AHF=1v và AHF+FHC=1vAFE=FHC.
4/ Tìm điều kiện của hai đường thẳng HE và HF
để EF ngắn nhất:
Do AEHF nội tiếp trong đường tròn có tâm
là trung điểm EF .Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiêp
tứ giác AEHFIA=IHĐể EF ngắn nhất thì
I;H;A thẳng hàng hay AEHF là hình chữ nhật
HE//AC và HF//AB.
x
y
E
F
D
C
M
O
A
B

N
x
K
I
D
F
E
M
O
B
A
C
Bài 14:
Cho nửa (O) đường kính AB, vẽ các tiếp tuyến Ax và By cùng phía với nửa đường
tròn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kỳ trên đoạn AO.
Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax và By ở D và C.
1. C/m AMN=BMC.
2. C/m

ANM=

BMC.
3. DN cắt AM tại E và CN cắt MB ở F.C/m FE

Ax.
4. Chứng tỏ M cũng là trung điểm DC.
Bài 15:
Từ một điểm M nằm ngoài (O) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn. Trên
cung nhỏ AB lấy điểm C và kẻ CD


AB; CE

MA; CF

MB. Gọi I và K là giao điểm
của AC với DE và của BC với DF.
1. C/m AECD nt.
2. C/m:CD
2
=CE.CF
3. Cmr: Tia đối của tia CD là phân giác của góc FCE.
4. C/m IK//AB.
5. Tìm vị trí của C trên cung AB để AC
2
+ BC
2
đạt nhỏ nhất
4/C/m: IK//AB.
Ta có CBF=FDC=DAC(cmt)
Do ADCE ntCDE=CAE(cùng chắn cung CE)
ABC+CAE(góc nt và góc giữa tt… cùng chắn 1 cung)
CBA=CDI.trong CBA có BCA+CBA+CAD=2v
hay KCI+KDI=2vDKCI nội tiếp KDC=KIC (cùng chắn cung CK)
KIC=BACKI//AB.
5. Gọi N là trung điểm của AB khi đó tính được
2
2 2 2
AB
AC BC CN
2

  
. Vì AB không đổi nên AC
2
+BC
2
nhỏ nhất khi CN nhỏ nhất nên C là
điểm chính giữa cung AB
Bài 16:
Cho tam giác ABC (

0
45BAC 
) nội tiếp trong nửa đường tròn tâm O đường
kính AB. Dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) tại C và gọi H là chân đường vuông
góc kẻ từ A đến tiếp tuyến đó. AH cắt đường tròn (O) tại M ( M

A) . Đường vuông
góc với AC kẻ từ M cắt AC tại K và AB tại P.
a) Chứng minh tứ giác MKCH nội tiếp .
b) Chứng minh

MAP cân .
c) Tìm điều kiện của

ABC để ba điểm M, K, O thẳng hàng.
O
P
K
M
H

A
C
B
N
O
K
I
M
H
C
B
A
A
B
O
O'
M
D
E
P
Q
c) Ta có M; K; P thẳng hàng. Do đó M; K; O thẳng hàng
nếu P

O hay AP = PM
Kết hợp với câu b tam giác MAP cân ở A
suy ra tam giác MAP đều. Do đó

0
30CAB 

.
Đảo lại:

0
30CAB 
ta chứng minh P

O :
Khi

0
30CAB 


0
60MAB 
(do AC là phân giác của

MAB
)
Tam giác MAO cân tại O có

0
60MAO 
nên

MAO đều.
Do đó: AO = AM. Mà AM = AP(do

MAP cân ở A) nên AO = AP.

Vậy P

O .
Trả lời: Tam giác ABC cho trước có

0
30CAB 
thì ba điểm M; K; O thẳng hàng.
Bài 17: Cho tam giác đều ABC, đường cao AH. M là một điểm bất kì trên cạnh BC.
Vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC. Gọi O là trung điểm của AM.
a) Chứng minh 5 điểm A, I, M, H, K cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh tứ giác OIHK là hình thoi.
c) Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để IK có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị đó,
biết AB = a.
c) + Gọi N là giao điểm của OH và IK
=> OH

IK tại N và IK = 2IN
Do đó IK min

IN min.
+ Mà IN = OI.sinION = OI.
3
2
=
AM 3
4
=> IN min

AM min


M trùng H
+ Khi đó IK = 2.
AM 3
4
=
a 3. 3 3a
2.
4.2 4

(Vì AH =
AB 3
2
)
Bài 18:
Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R > R’ cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp
tuyến chung DE của hai đường tròn với D

(O) và E

(O’) sao cho điểm B gần tiếp
tuyến đó hơn so với điểm A.
a) Chứng minh rằng


DAB BDE
.
b) Tia AB cắt DE tại M. Chứng minh
2
.MD MAMB

và M là trung điểm của DE.
c) Đường thẳng EB cắt DA tại P, đường thẳng DB cắt AE tại Q. Chứng minh
rằng PQ song song với DE.
c) Ta có


DAB BDM
,


EAB BEM
(chứng minh trên)

 
PAQ PBQ
=






0
180DAB EAB PBQ BDM BEM DBE     
(tổng 3 góc)
 tứ giác APBQ nội tiếp 


PQB PAB
Bài 19:

H
N
E
K
B
O
C
D
M
Cho nửa đường tròn (O), đường kính BC. Gọi D là điểm cố định thuộc đoạn
thẳng OC (D khác O và C). Dựng đường thẳng d vuông góc với BC tại điểm D, cắt
nửa đường tròn (O) tại điểm A. Trên cung AC lấy điểm M bất kỳ (M khác A và C), tia
BM cắt đường thẳng d tại điểm K, tia CM cắt đường thẳng d tại điểm E. Đường
thẳng BE cắt nửa đường tròn (O) tại điểm N (N khác B).
a. Chứng minh tứ giác CDNE nội tiếp.
b.Chứng minh ba điểm C, K và N thẳng hàng.
c. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BKE.
Chứng minh rằng điểm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định
khi điểm M thay đổi.
c) Lấy H đối xứng với C qua D, Do C,D cố định nên H cố định.
tam giác HKC cân tại K nên


KHC KCH
Mà


BED KCH
(cùng phụ góc EBC)
Vậy



KHC BED
nên tứ giác BEKH nội tiếp suy ra đường tròn ngoại tiếp tức giác BKE đi
qua B và H cố định nên I thuộc đường trung trực của BH.
Bài 20. Cho tam giác ABC có góc A tù. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và (O’)
đường kính AC. Đường thẳng AB cắt (O’) tại điểm thứ hai là D; đường thẳng AC cắt
(O) tại điểm thứ hai là E.
a) Chứng minh: Tứ giác BCDE nội tiếp.
b) Gọi F là giao điểm của (O) và (O’) (F khác A). Chứng minh B, F, C thẳng hàng và
FA là phân giác của góc EFD.
c) Gọi H là giao điểm của EF và AB. Chứng minh: BH.AD = AH.BD
H
E
D
F
O'
O
B
A
C
c) ta có FA là phân giác của góc HFD
AH HF
AD FD
 
.(t/c đường phân giác)
lại có BF vuông góc với AF nên BF là phân giác góc ngoài tam giác HFD
BH HF
BD FD
 

(Tính chất
phân giác ngoài tại F) do đó
AH BH
AH.BD BH.AD
AD BD
  
Câu 21:
M
I
F
E
D
C
B
A
Cho đường tròn tâm O đường kính AB. M là một điểm trên đường tròn (M khác A,
B), kẻ MH vuông góc với AB tại H. Đường tròn tâm M bán kính MH cắt (O) tại C và
D. Đoạn thẳng CD cắt MH tại I. Vẽ đường kính MN của (O), MN cắt CD tại K.
1) Chứng minh tứ giác OKIH nội tiếp
2) Chứng minh: MC
2
= MK.AB
3) Chứng minh: I là trung điểm của MH.
K
N
I
D
C
H
B

O
A
M
Chứng minh MC
2
= MK.MN = 2MK.MO = 2MI.MH = MH
2
=> MH = 2MI => đpcm
Câu 22. Cho tam giác ABC vuông tại A, Trên cạnh AC lấy điểm D. Vẽ đường tròn
tâm D tiếp xúc với BC tại F. Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BE tới (D) (E là tiếp điểm).
Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt BE tại I. Chứng minh:
a) 5 điểm A, E, D, F, B cùng thuộc 1 đường tròn
b)



AEI ACB CBD 
c)
AEI
cân.
c) Theo câu b) ta có



AEB DCB CBD 
(3)
Lại có
 
EAD EBD
(hai góc nội tiếp cùng chắn


ED
)


DAI DCB
(AM là đường trung tuyến trong tam giác vuông)


DBC EBD
t/c tiếp tuyến cắt nhau)




EAD DAI DBC DCB   
Hay



EAI DBC DCB 
(4)
Từ (3) và (4)


EAI AEI 
nên tam giác AIE cân tại I
Câu 23:
Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và C là một điểm nằm trên đường
tròn sao cho CA > CB. Gọi I là trung điểm của OA. Vẽ đường thẳng d vuông góc với

AB tại I, cắt tia BC tại M và cắt đoạn AC tại P; AM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ
hai K.
1) Chứng minh tứ giác BCPI nội tiếp được trong một đường tròn.
2) Chứng minh ba điểm B, P, K thẳng hàng.
-->