On Thi TN THPT 2011

T TỐN
T TỐNT TỐN
T TỐN









Môn Toán
Môn ToánMôn Toán
Môn Toán


2011
Ôn tập Tốt nghiệp
TRANG GHI CHÚ
℡

Phn
PhnPhn
Phn

I
II
I. KHO SÁT
. KHO SÁT . KHO SÁT
. KHO SÁT HÀM S
HÀM SHÀM S

HÀM S



1. Sơ đồ khảo sát, vẽ đồ thị hàm số bậc ba và hàm số trùng phương
1
11
1 Tập xác định:
D = »

2
22
2 Tính
y
′

3
33
3 Cho
0y
′
=
để tìm các nghiệm
0
x
(nếu có)
4
44
4 Tính hai giới hạn:
lim ; lim

x x
y y
→−∞ →+∞

5
55
5 Vẽ bảng biến thiên (phải điền đầy đủ chi tiết của BBT)
6
66
6 Nêu kết luận về sự ĐB, NB và cực trị (nếu có) của hàm số.
7
77
7 Tìm điểm uốn (đối với hàm bậc ba)


 Tính
y
′′
. Cho
0y
′′
=
tìm
u
x
rồi tìm
u
y
, suy ra điểm uốn I.
8

88
8 Giao điểm với trục hoành: cho y = 0, tìm x (nếu có)
Giao điểm với trục tung: cho x = 0, tìm y.
9
99
9 Lập bảng giá trị


 Tiến hành vẽ: điểm cực trị (nếu có), điểm trên bảng giá trị. Cuối
cùng vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét.
2. Sơ đồ khảo sát, vẽ đồ thị hàm số nhất biến
( 0, 0)
ax b
y c ad cb
cx d
+
= ≠ − ≠
+

1
11
1 Tập xác định: D = R\{– d/c}
2
22
2 Tính
2
( )
ad bc
y
cx d

−
′
=
+
và khẳng định
y
′
dương (hay âm), ∀x ∈D
3
33
3 Suy ra, hàm số đã cho ĐB (hay NB) trên từng khoảng xác định
của nó và không đạt cực trị.
4
44
4 Tìm 2 tiệm cận bằng cách:


 Tính
lim
x
a
y
c
→−∞
=
và
lim
x
a
y

c
→+∞
=
.
Suy ra,
a
y
c
=
là phương trình tiệm cận ngang.


 Tính
( )
lim ?
d
c
x
y
−
→ −
= ∞ và
( )
lim ?
d
c
x
y
+
→ −

= ∞ .
Suy ra,
d
x
c
= − là phương trình tiệm cận đứng.
5
55
5 Vẽ bảng biến thiên
6
66
6 

 Giao điểm với trục hoành: cho y = 0, tìm x.


 Giao điểm với trục tung: cho x = 0, tìm y.
7
77
7 Lập bảng giá trị
8
88
8 Vẽ đồ thị: vẽ 2 tiệm cận, vẽ 4 điểm trên bảng giá trị và vẽ đồ thị.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
a. Dạng 1: Viết pttt của đồ thị hàm số tại điểm M
0.

 Chỉ rõ x
0
, y

0
(hoành độ & tung độ của điểm M
0
)
 Tính
0
( )f x
′

 Áp dụng công thức viết pttt:
0 0 0
( )( )y y f x x x
′
− = −

b. Dạng 2: Viết pttt biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước
 Lập luận để có được
0
( )f x k
′
=
(*)
 Thay
0
( )y x
′
vào (*) và tìm
0
x

 Có
0
x
, tìm
0
y
và dùng công thức viết pttt.
4. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C ):y = f(x)
1
11
1 Đưa phương trình về dạng: ( ) ( )f x BT m=
2
22
2 Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao
điểm của đồ thị
( ) : ( )C y f x=
và đường thẳng
: ( )d y BT m=
.
3
33
3 Vẽ 2 đường đó lên cùng 1 hệ trục toạ độ và lập bảng kết quả



Lưu ý: nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có
đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng KQ như trên.
5. Tính diện tích hình phẳng
a.Giới hạn bởi các đường:
( )y f x=

, Ox,
,
x a x b= =
(a b≤ )

( )
b
a
S f x dx=
∫

Lưu ý: Khi cho ( ) 0f x =
(1)
để tìm nghiệm của nó:
☺
☺☺
☺ Nếu
(1)
không có nghiệm trên đoạn [a;b] thì
( ) ( )
b b
a a
S f x dx f x dx= =
∫ ∫

☺
☺☺
☺ Nếu
(1)
có đúng 1 nghiệm

[ ];c a b∈
thì
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
S f x dx f x dx f x dx= = +
∫ ∫ ∫

☺
☺☺
☺ Nếu
(1)
có đúng 2 nghiệm
[ ]
1 2
, ;c c a b∈
(và
<
1 2
c c
) thì

1 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
b c c b
a a c c
S f x dx f x dx f x dx f x dx= = + +
∫ ∫ ∫ ∫

m BT(m) Số giao điểm… Số nghiệm pt…
… … …. ….
TRANG GHI CHÚ


℡
℡℡
℡



b)Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục của hình trụ
và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.
Bài 9 :Cho một hình trụ có bán kính r và chiều cao
3h r=

a)Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ
b)Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.
Bài 10
:Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC vuông góc với nhau từng
đôi một. Biết SA = a,

3AB BC a= =
. Tính thể tích của khối
chóp và tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Bài 11 :Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, (a >0).
Tam giác SAC cân tại S góc SAC bằng 60
0
,(SAC) ⊥ (ABC) . Tính
thể tích của của khối chóp S.ABC theo a.
Bài 12 : Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp tứ giác đều có
độ dài cạnh bên bằng 2a và gấp đôi độ dài cạnh đáy.
Bài 13 :Cho hình chóp tứ giác đều, tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể
tích hình chóp S.ABCD
Bài 14 :Tính tỉ số thể tích giữa tứ diện đều và hình cầu ngoại tiếp nó.

Bài 15 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên
2SA a=
và vuông góc với mặt đáy, góc giữa SC và mặt đáy
bằng 45
0
.Tính thể tích của khối chóp.

Hy vng Tài liu này
s giúp ích đc phn
nào cho các em vt
qua đc K thi Tt
nghip sp ti. Hãy
c gng ôn tp tht
tt, làm tht k các đ
thi mu và … c lên!
b.H.phẳng giới hạn bởi:
( )y f x=
,
( )y g x=
,
,x a x b= =
(a b≤ )

( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
∫

Lưu ý: Để tính tích phân trên ta cũng cho

( ) ( ) 0f x g x− =
(2)
để tìm nghiệm thuộc [a;b]
rồi chia tích phân cần tính thành 1 hoặc nhiều
tích phân trên các đoạn con của đoạn [a;b]
6. Tính thể tích vật thể tròn xoay
Hình H: ( )y f x= , Ox,
,x a x b= =

quay quanh trục hoành Ox

2
[ ( )]
b
a
V f x dxπ=
∫

7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a;b] cho trước
1
11
1 Ghi nhận xét: hàm số
( )y f x=
liên tục trên đoạn [a;b] đã cho.
2
22
2 Tính
y
′

3
33
3 Cho
0y
′
=
để tìm các nghiệm
[ ; ]
i
x a b∈
(nhớ loại
[ ; ]
j
x a b∉
)
4
44
4 Tính các
( )
i
f x
, và
( ), ( )f a f b

5
55
5 Chọn GTLN và GTNN cho hàm số từ các kết quả ở bước 4.
8. Điều kiện để hàm số có cực trị (Tóm tắt)
1
11

1  Nếu
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x

′

=


′′

<



thì ( )y f x= đạt cực đại tại
0
x

 Nếu
0
0
( ) 0
( ) 0
f x
f x


′

=


′′

>



thì ( )y f x= đạt cực tiểu tại
0
x

2
22
2 Hàm số bậc ba có hai cực trị
0
y
′
⇔ ∆ >

9. Biện luận số giao điểm của (C):y = f(x) với (H): y = g(x)
 Lập PTHĐGĐ của hai đường đã cho, tức là:
( ) ( )f x g x=
(*)
 Lập luận:
( )C

và
( )H
cắt nhau tại n điểm ⇔ (*) có n nghiệm.
Dựa vào điều kiện tương đương trên để biện luận cho bài toán.
Ví dụ:
( ) :
ax b
C y
cx d
+
=
+
và
:
d y mx n
= + , (
0, 0
c ad cb
≠ − ≠ )
 PTHĐGĐ của ( )C và d là:
ax b
mx n
cx d
+
= +
+
(*)
 ( )C và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt ⇔ (*) có 2 nghiệm pb.

II. BÀI TẬP MINH HOẠ

Bài 1 : Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau đây:
a)
3 2
6 9 1
y x x x
= − + + b)
2
( 1) (2 )
y x x
= + −
Bài giải
Câu a: Hàm số
3 2
6 9 1
y x x x
= − + +

 TXĐ: D = R
 Đạo hàm:
2
3 12 9
y x x
′
= − +
 Cho
2
0 3 12 9 0 1; 3
y x x x x
′
= ⇔ − + = ⇔ = =

 Giới hạn:

lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
 Bảng biến thiên:
x –∞ 1 3 +∞
y
′

+ 0 – 0 +
y
5 +∞
–∞ 1
 Hàm số ĐB trên các khoảng (–∞;–1) và (1;+∞)
NB trên khoảng (–1;1)
Hàm số đạt cực đại bằng 5 tại
CÑ
1
x
=
đạt cực tiểu bằng 1 tại
CT
3
x
=


6 12. 0 2 3
y x y x y
′′ ′′
= − = ⇔ = ⇒ = . Điểm uốn (2; 3)I
 Giao điểm với trục hoành:
3 2
0 6 9 1 0
y x x x
= ⇔ − + + =
Giao điểm với trục tung:
0 1
x y
= ⇒ =
 Bảng giá trị:
x
0 1 2 3 4
y
1 5 3 1 5
 Đồ thị hàm số là một đường cong như hình vẽ






II. BÀI TẬP VỀ DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH
Bài 1 :Cho hình chóp đều S.ABC có M là trung điểm cạnh AB, AM = a.
a)Chứng minh rằng
AB SC
⊥

b)Tính thể tích của khối chóp S.ABC biết
S
2
A a
=
Bài 2 :Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
Gọi I là trung điểm BC.
a)Chứng minh rằng
( )BC SAI⊥

b)Tính thể tích của khối chóp S.ABC
c)Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc với mặt đáy, SC tạo với mặt đáy một góc 60
0
.
a)Chứng minh rằng
( ) ( )SAC SBD⊥

b)Tính thể tích khối chóp S.BCD
c)Chứng minh rằng trung điểm cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp S.ABCD, từ đó xác định diện tích của nó.
Bài 4 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a,AD = 2a.
Hai mặt bên (SAB),(SAD) cùng vuông góc với đáy và SAD là tam
giác vuông cân.
a)Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b)Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Bài 5 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, SAC là tam
giác đều cạnh a,
5

SB SD a
= = .
a)Chứng minh rằng
( )SO ABCD⊥

b)Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài 6 :Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, Hai mặt bên
(SAB),(SAC) cùng vuông góc với (ABC). Gọi I là trung điểm BC.
Cho BC = a,
3
SA a
= và góc giữa 2 mặt phẳng (SBC),(ABC)
bằng 30
0
.
a)Chứng minh rằng ( ) ( )SAI SBC⊥
b)Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 7 :Cho lăng trụ tam giác đều
.
ABC A B C
′ ′ ′
có cạnh đáy bằng a, A′B
tạo với mặt đáy một góc 60
0
. Gọi I là trung điểm BC.
a)CMR, ( )
BC A AI
′
⊥ b)Tính thể tích lăng trụ.
Bài 8 :Cho một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa

hai mặt đáy bằng 7 cm.
a)Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ
được giới hạn bởi hình trụ đó.
c. Hỡnh lng tr - hỡnh hp:

Lng tr Lng tr ng Hỡnh hp
tam giỏc tam giỏc ch nht
d. Hỡnh cu hỡnh tr - hỡnh nún

2. Cỏc cụng thc tớnh din tớch th tớch
a. Th tớch (din tớch) khi chúp khi nún


Cụng thc tớnh th tớch:

1
.
3
V B h=



Din tớch xung quanh mt nún:

noựn( )
. .
xq
S r l=

Lu ý: din tớch hỡnh trũn bỏn kớnh r l:
2
.S r=

b. Th tớch (din tớch) khi lng tr khi tr


Cụng thc tớnh th tớch:
.V B h=


Din tớch xung quanh mt tr:

truù
( )
2. . .
xq
S r l=



Din tớch ton phn ca hỡnh tr:

truù ủaựy
( )
2.
tp xq
S S S= +

c. Th tớch (din tớch) khi cu


Cụng thc tớnh th tớch:

3
4
.
3
V R=



Din tớch mt cu:
m.cau
2
4S R=

Cõu b: H.s
2 2 3
( 1) (2 ) ( 2 1)(2 ) 3 2y x x x x x x x= + = + + = + +

HS t gii theo 10 bc ó nờu cú c th hm s:

Bi 2 : a)Kho sỏt v v th ( )C ca hm s:
3
1y x x= +

b) Vit pttt vi th
( )C

ti im cú honh bng 1
c) Vit pttt vi th
( )C
bit tip tuyn cú h s gúc bng 4.
Bi gii
Cõu a: HS t gii theo 9 bc ó nờu cú c th bờn di
Túm tt bi gii
TX:
D =
ằ


2
3 1 0,y x x

= + >

Cho
0y

=
: vụ nghim
Gii hn:
lim ; lim
x x
y y
+
= = +

Bng bin thiờn

KL: hs luụn B, hs khụng cú cc tr.
Giao vi 2 trc to
im un: I(0;1)
Bng giỏ tr
th (nh hỡnh bờn)

Cõu b:
3
0 0
1 1 1 1 1x y= = + =


2
0
( ) (1) 3.1 1 4f x f

= = + =

Vy, pttt ti
0
2x =
l:
0 0 0
( )( )y y f x x x

=

1 4( 1)
4 3
y x

y x
=
=



Câu c: Vì tiếp tuyến có hệ số góc bằng 4 nên
2
0 0 0
( ) 4 3 1 4 1f x x x
′
= ⇔ + = ⇔ = ±


0
1x = ⇒
pttt:
4 3y x= −
(KQ câu b)

0
1x = − ⇒
pttt:
4 1y x= +
(HS tự giải giống câu b)
Bài 3 : a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số:
4 2
2y x x= −

b) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ x thoả mãn
( ) 20f x
′′
=

Bài giải
Câu a:Hàm số
4 2
2y x x= −

 TXĐ: D = R
 Đạo hàm:
3
4 4y x x
′
= −

 Cho
3
0 4 4 0 0; 1y x x x x
′
= ⇔ − = ⇔ = = ±

 Giới hạn:

lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞

 Bảng biến thiên:
x
–
∞
–1 0 1 +
∞

y
′

– 0 + 0 – 0 +
y
+
∞
0 +
∞

–1 –1
 Hàm số ĐB trên (–1;0), (1;+
∞
) và NB trên (–
∞
;–1),(0;1)
Hàm số đạt cực đại

CÑ
0y =
tại
CÑ
0x =

đạt cực tiểu
CT
1y = −
tại
CT
1x = ±

 Giao điểm với trục hoành:
0 0; 2y x x= ⇔ = = ±

Giao điểm với trục tung:
0 0x y= ⇒ =

 Bảng giá trị:
x

2−
–1 0 1
2

y
0 –1 0 –1 0
 Đồ thị hàm số:
Câu b: Đáp số:

0
2x = ±
, pttt:
4 2 8y x= ± −

I
C
B
A
D
S
Phn VI. HÌNH HC KH
Phn VI. HÌNH HC KHPhn VI. HÌNH HC KH
Phn VI. HÌNH HC KHÔNG GIAN
ÔNG GIANÔNG GIAN
ÔNG GIAN

I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Một số hình không gian thường gặp
a. Hình chóp tam giác:

Hình 1: dùng cho các loại hình chóp:


 Chóp tam giác có 1 cạnh vuông góc với mặt đáy.


 Chóp tam giác có 3 cạnh đôi một vuông góc nhau.
Hình 2: dùng cho các loại hình chóp:



 Chóp tam giác đều.


 Tứ diện đều (6 cạnh đều bằng nhau).
b. Hình chóp tứ giác:
Hình 1: Hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) và đáy ABCD là:


 Hình bình hành.


 Hình chữ nhật.


 Hình vuông.


 Hình thoi.
Chú ý: sẽ chứng minh được:


 4 mặt bên là các tam giác vuông


 BC
⊥
(SAB) và CD
⊥
(SAD)



 Tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm I của SC
Hình 2: Hình chóp S.ABCD có SO⊥(ABCD) và đáy ABCD là:


 Hình bình hành.


 Hình chữ nhật.




 Hình vuông.


 Hình thoi.
Đặc biệt: với hình chóp đều:


 4 cạnh bên bằng nhau, 2 mặt chéo vuông góc nhau


 Tâm mặt cầu ngoại tiếp nằm trên SO.


Hình 1
Hình 2
Bài 30 : Cho

( ) : 3 2 5 0x y z
α
− − + =
và
1 7 3
:
2 1 4
x y z
d
− − −
= =

a)CMR, d α b)Tính khoảng cách giữa d và α
Bài 31
: Cho A(1;0;0) và H là hình chiếu của A lên
2 1
:
1 2 1
x y z− −
∆ = =

a)Tìm tọa độ điểm H. Từ đó tính khoảng cách từ điểm A đến
∆
.
b)Tìm tọa độ điểm
A
′
đối xứng với A qua đường thẳng ∆.
Bài 32

:
Cho
: 1 2
6 3
x t
d y t
z t


=



= +



= +



và
1
: 2
3
x t
d y t
z t



′
= +



′ ′
= − +



′
= −



.
a)CMR: d và
d
′
chéo nhau.
b)Lập phương trình mặt phẳng qua O và song song với d và
d
′

Bài 33

:
Cho A(3;2;1) và đường thẳng d:
3
2 4 1

x y z +
= =

a)Viết ptmp ( )α đi qua A và chứa d.
b)Viết pt đường thẳng d
′
qua A, vuông góc d và cắt d.
Bài 4 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số:
4 2
4 3
y x x= − + −
b) Dùng đồ thị
( )C
biện luận số nghiệm pt sau:
4 2
4 0
x x m− + =
Bài giải
Câu a: HS tự giải để có được đồ thị:

Câu b: Biến đổi phương trình ta được:

4 2 4 2 4 2
4 0 4 4
x x m x x m x x m− + = ⇔ − = − ⇔ − + =
4 2
4 3 3
x x m⇔ − + − = − (*)

 Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị
4 2
( ) : 4 3
C y x x= − + − và đường thẳng
: 3
d y m= −
 Ta có bảng kết quả:
m m – 3
Số giao điểm
của
( )C
và d
Số nghiệm của
phương trình (*)
m > 4 m – 3 > 1 0 0
m = 4 m – 3 = 1 2 2
0 < m < 4 – 3 < m – 3 < 1 4 4
m = 0 m – 3 = – 3 3 3
m < 0 m – 3 < – 3 2 2

Bài 5 : Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số sau đây:
2 1
1
x
y
x
+
=
+

Bài giải
Hàm số
2 1
1
x
y
x
+
=
+

 TXĐ:
\ { 1}D = −
»

 Đạo hàm:
2
1
0,
( 1)
y x D
x
′
= > ∀ ∈
+

 Hàm số ĐB trên các khoảng xác định và không đạt cực trị
 Giới hạn và tiệm cận:

lim 2 ; lim 2

x x
y y
→−∞ →+∞
= = ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang.

( 1) ( 1)
lim ; lim
x x
y y
− +
→ − → −
= +∞ = −∞ ⇒
1
x = − là tiệm cận đứng.
 Bảng biến thiên:
x –
∞
1
− +∞
y
′

+
+
y
+∞
2
2
−∞
 Giao điểm với trục hoành:

1
0
2
y x= ⇔ = −

Giao điểm với trục tung:
0 1
x y= ⇒ =
 Bảng giá trị:
x –2
3
2
− –1
1
2
0
y 3 4 || 0 1
 Đồ thị hàm số:

Bài 6 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số sau đây:
3
2
x
y
x
−
=
−

b) Viết pttt của ( )C biết tiếp tuyến song song với y x= −
c) Tìm ĐK của m để
:
d y x m= − + cắt
( )C
tại 2 điểm phân biệt.
Bài giải
Câu a: Tóm tắt bài giải
 TXĐ: {\ 2}D = »

2
1
0,
(2 )
y x D
x
−
′
= < ∀ ∈
−

 Hàm số NB …… và không đạt cực trị
 TCĐ: x = 2 ; TCN: y = –1
 Bảng biến thiên
 Giao với Ox, giao với Oy
 Bảng giá trị và đồ thị hàm số:
Bài 22 :Cho điểm M(1;4;2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0.
a)Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).
b)Viết ptmp đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (α)

Bài 23 :Cho A(6; 2; –5), B(–4; 0; 7).
a)Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB
b)Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A.
Bài 24
:Viết phương trình mặt phẳng (α):
a)Đi qua A(1;2;3) và song song với mp(Oxy)
b)Đi qua A(1;2;3) và song song với mặt phẳng: x + y + z = 0.
Bài 25 :Cho (α): 3x – 2y – z + 5 = 0 và ∆:
1 7 3
2 1 4
x y z− − −
= =

a)Chứng tỏ rằng ∆ song song với (α).
b)Tính khoảng cách giữa ∆ và (α).
Bài 26 :Viết PTTS của đường thẳng
a)Đi qua M(5; 4; 1) và có vectơ chỉ phương
(2; 3;1)a = −


b)Đi qua N(2; 0; –3) và song song với đường thẳng
1 2
3 3
4
x t
y t
z t


= +




= − −



=




c)Đi qua A(2; –1;3) và vuông góc với (α): x + y – z + 5 = 0.
d)Đi qua P(1;2;3) và Q(5;4;4).
Bài 27 : Cho điểm A(1;0;0) và đường thẳng ∆:
2
1 2
x t
y t
z t


= +



= +




=




a)Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đthẳng ∆.
b)Tìm tọa độ
A
′
đối xứng với A qua đường thẳng ∆
c)Viết phương trình mặt phẳng chứa A và
∆

Bài 28 : Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0.
a)Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của M trên (α).
b)Tìm tọa độ
M
′
đối xứng với M qua mặt phẳng (α).
c)Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với (α).
Bài 29 :Cho A(–2;6;3), B(1;0;2), C(0;2;–1), D(1;4;0)
a)Viết phương trình mặt phẳng (BCD).
b)CMR,
∆
BCD vuông, từ đó tính diện tích tam giác BCD.
c)Tính thể tích khối chóp ABCD.
Bài 13
:
Cho
: 11 2

16
x t
d y t
z t


=



= − +



= −



và
5 2 3
:
2 1 6
x y z
d
− − −
′
= =
.
CMR: d cắt
d

′
.Viết phương trình mặt phẳng chứa d và
d
′

Bài 14 :Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6)
a)Viết ptmp(ABC) và chứng minh A,B,C,D không đồng phẳng.
b)Tính khoảng cách từ điểm D đến mp(ABC)
c)Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mp(ABC).
d)Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của D lên (ABC).
Bài 15 :Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4)
a)Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b)Viết PTTS của đường thẳng qua A và song song với BC.
b)Viết PTTS của đường thẳng qua A và vuông góc với mp(ABC)
Bài 16 :Cho A(1;–1;3), B(3;0;1), C(0;4;5)
a)Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với BC.
b)Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (α)
Bài 17 :Cho A(1;–1; 3), B(3;0;1), C(0;4;5)
a)Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua C và vuông góc với AB.
b)Viết PTTS của đường thẳng đi qua C và vuông góc với (α).
Bài 18 :Cho A(1;2;3),B(1;6;2) và mặt phẳng (β): 2x + y – 2z – 1 = 0.
a)Viết phương trình mặt cầu
1
( )S
có tâm A và tiếp xúc với mp(β).
b)Viết phương trình mặt cầu
2
( )S
có tâm B và đi qua điểm A.
c)Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt

phẳng (β). Từ đó, tìm toạ độ giao điểm của d và (β).
Bài 19 :Viết phương trình mặt cầu (S) biết:
a)(S) có đường kính AB với A(1;2;3), B(3;2;1)
b)(S) có tâm I(1;1;1) và tiếp xúc mặt phẳng (α): 3y + 4z + 1 = 0.
Bài 20 :Cho m.cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
– 9 = 0 và mp(α): x + 2y – 2z + 9 = 0
a)Xác định toạ độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu. Tính
khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P).
b)Viết ptmp(β) tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt
phẳng (α). Xác định toạ độ tiếp điểm của (S) và (β)
Bài 21 : Cho A(1; –1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 0)
a)Chứng minh tam giác ABC vuông và tính diện tích của nó.
b)Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
c)Tính khoảng cách từ điểm D(1;1;1) đến mặt phẳng (ABC), từ đó
suy ra thể tích của tứ diện ABCD.
Câu b: Vì biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y x= −
nên có hệ số
góc:
0
2
0
1
( ) 1 1
(2 )

f x
x
−
′
= − ⇔ = −
−

2
0
0 0
0
1
(2 ) 1 2 1
3
x
x x
x

=

⇔ − = ⇔ − = ± ⇔

=



Đáp số:
1y x= − −
và
3y x= − +

Câu c: PTHĐGĐ của
( )C
và d:
3
2
x
x m
x
−
= − +
−

2
3 (2 )( ) ( 3) 2 3 0x x x m x m x m⇔ − = − − + ⇔ − + + + =


( )C
và d cắt nhau tại 2 điểm pb
2
0 2 3 0m m⇔ ∆ > ⇔ − − >

 Đáp số: 1m < − hoặc 3m >
Bài 7 :a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số:
3 2
3 1y x x= − + −

b) Dựa vào đồ thị

( )C
, tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm
phân biệt:
3 2
3 1 log 0x x m− + + =

c) Tìm ĐK của k để
: 1d y kx= −
cắt
( )C
tại 3 điểm phân biệt
Bài giải
Câu a: Đồ thị của hàm số
3 2
3 1y x x= − + −
như sau:

Câu b:
3 2 3 2
3 1 log 0 3 1 logx x m x x m− + + = ⇔ − + − =

Đáp số:
1 3
1 log 3 10 10m m
−
− < < ⇔ < <

Câu c: PTHĐGĐ của ( )C và d là:
3 2
3 1 1x x kx− + − = −

(*)

3 2 2
2
0 (1)
3 0 ( 3 ) 0
3 0 (2)
x
x x kx x x x k
x x k

=

⇔ − + = ⇔ − + = ⇔

− + =




( )C
và d cắt nhau tại 3 điểm pb
⇔
pt (*) có 3 nghiệm pb
⇔
pt(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0
2
0
0 3.0 0k



∆ >


⇔


− + ≠



.
 ĐS:
9
4
k < và 0k ≠
Bài 8 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số sau đây trên đoạn đã chỉ ra:
a)
3 2
8 16 9y x x x= − + − trên đoạn [1;3]
b)
2
4 ln(1 )y x x= − − trên đoạn [– 2;0]
c)
2
( 1)
x
y e x x= − − trên đoạn [0;2]
d)
2

( 3)
x
y e x= −
trên đoạn [–2;2]
Bài giải
Câu a: Hàm số
3 2
8 16 9y x x x= − + −
liên tục trên đoạn [1;3]

2
3 16 16y x x
′
= − +
 Cho
loại
nhận
2
4 [1;3] ( )
0 3 16 16 0
4
[1; 3] ( )
3
x
y x x
x

= ∉



′
= ⇔ − + = ⇔

= ∈




; ;
4 13
(1) 0 (3) 6
3 27
f f f
 



= = = −




 

 Vậy,
[1;3]
min 6
x
y
∈

= −
khi
3x =

[1;3]
13
; max
27
x
y
∈
=
khi
4
3
x =

Câu b: Hàm số
2
4 ln(1 )y x x= − −
liên tục trên đoạn [– 2;0]

2
4 2 2 4
2
1 1
x x
y x
x x
− + +

′
= + =
− −

 Cho
(nhận)
(loại)
2
1 [ 2;0]
0 2 2 4 0
2 [ 2; 0]
x
y x x
x

= − ∈ −

′
= ⇔ − + + = ⇔

= ∉ −




; ;
( 1) 1 4 ln 2 ( 2) 4 4 ln 3 (0) 0f f f− = − − = − =

 Vậy,
[ 2;0]

min 1 4 ln 2
x
y
∈ −
= −
khi
1x = −
[ 2;0]
; max 0
x
y
∈ −
=
khi x = 0
Câu c: Đáp số:
[0;2]
min y e= −
khi
1x =

2
[0;2]
; max y e=
khi
2x =

Câu d: Đáp số:
[ 2;2]
min 2y e
−

= −
khi
1x =

2
[ 2;2]
; max y e
−
=
khi
2x =

Câu b: d đi qua điểm
0
( 1; 3; 0)M −
, có vtcp
(1; 1; 3)u = −


∆
2
đi qua điểm
0
(2; 8;1)M
′
, có vtcp
(1; 2; 4)u
′
= −


 Ta có,
1 3 3 1 1 1
[ , ] ; ; (2; 1; 1) 0
2 4 4 1 1 2
n u u
 
− −




′
= = = − − ≠




− −



 

  

Nên
,u u
′
 

khơng cùng phương với nhau.
 Ngồi ra,
0 0
(3;5;1)M M
′
=


và cắt nhau
0 0 2
. 2.3 1.5 1.1 0n M M d
′
⇒ = − − = ⇒ ∆



Câu c: d đi qua điểm
0
( 1;3;0)M −
, có vtcp
(1; 1; 3)u = −


∆
3
đi qua điểm
0
( 1; 4; 1)M
′
− −

, có vtcp
( 2;1;3)u
′
= −


 Ta có


1 3 3 1 1 1
[ , ] ; ; ( 6; 9; 1) 0
1 3 3 2 2 1
n u u
 
− −




′
= = = − − − ≠




− −



 


  

Nên
,u u
′
 
khơng cùng phương với nhau.
 Ngồi ra,
0 0
(0;1; 1)M M
′
= −


và chéo nhau
0 0 2
. 8 0n M M d
′
⇒ = − ≠ ⇒ ∆



III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 9 : Cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6)
a)Viết PTTQ của mp(ACD) và chứng minh B khơng thuộc (ACD)
b)Viết PTTQ của mp(α) đi qua AB và song song với CD.
c)Viết phương trình mặt cầu đường kính BD.
Bài 10 :a)Viết pt mặt cầu (S) có tâm I(5;–3;7) và đi qua M(1;0;7).
b)Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M.

c)Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P).
Bài 11 :Cho I(–2;1;1) và mặt phẳng (α): x + 2y – 2z + 5 = 0
a)Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I và tiếp xúc mp(α)
b)Viết ptmp đi qua điểm I và song song với mặt phẳng (α).
Bài 12 : Viết PTTS của đường thẳng d:
a)Đi qua A(–2;3;1) và có vtcp
(2; 0; 3)a =


b)Đi qua A(4;3;1) và song song với đường thẳng
1 2
: 3
3 2
x t
y t
z t


= +



∆ = −



= +




Bài giải
Câu a: Thay x,y,z từ PTTS của d vào PTTQ của
( )
α
ta được

3(1 ) 4(2 ) (2 ) 6 0t t t− + + − − =

3 3 8 4 2 6 0 5 0 5t t t t t⇔ − + + − − = ⇔ − + = ⇔ =

 Thay t = 5 trở lại vào PTTS của d, ta được
1 5 4
: 2 5 7
2.5 10
x
d y
z


= − = −



= + =



= =





 Vậy, giao điểm của d và (α) là
( 4;7;10)H −

Câu b: Dạng PTTS của d:
1
( )
4 3
x t
y t
z t


= − +



= − ∗



= +




 Thay x,y,z từ

( )∗
vào PTTQ của
( )
α
ta được
11
2
t = −

 Thay
11
2
t = − trở lại vào
( )∗
, ta được g.điểm
13 11 25
; ;
2 2 2
H
 



− −




 

Bài 8 :Xét vị trí tương đối của đường thẳng
1 3
:
1 1 3
x y z
d
+ −
= =
−
với
a. :
1
1 2
2
3 6
x t
y t
z t


= +



∆ = −



= +




b. : 8
2
2
2
1 4
x t
y t
z t


= +



∆ = −



= +



c. : 4
3
1 2
1 3
x t
y t

z t


= − −



∆ = +



= − +




Bài giải
Câu a: d đi qua điểm
0
( 1; 3; 0)M −
, có vtcp
(1; 1; 3)u = −


∆
1
đi qua điểm
0
(1;0; 3)M
′

, có vtcp (2; 2;6)u
′
= −


 Ta có,
1 3 3 1 1 1
[ , ] ; ; (0; 0; 0) 0
2 6 6 2 2 2
n u u
 
− −




′
= = = =




− −



 

  

Nên
u

và
u
′

cùng phương với nhau.
 Hơn nữa,toạ độ điểm M
0
không thoả mãn phương trình ∆
1

 Do đó,
0 1
M ∉ ∆
và d || ∆
1
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Bài tập về hàm số bậc ba
Bài 9 : Cho hàm số:
3
– 3 1y x x= + có đồ thị là
( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C

tại điểm thuộc
( )C
có hoành độ bằng 2.
c) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.
d) Biện luận số nghiệm của phương trình:
3
– 3 1 2 0x x m+ + =
.
Bài 10 : Cho hàm số:
2
3 2
2 1
( 1) 2
2 2
m m
y x x m x
+
= − + + − − (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số khi m = 1
b) Viết pttt với
( )C
song song với đường thẳng d:
9
2
2
y x= − +

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )C
và trục hoành.
d) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 2.
Bài 11 : Cho hàm số:
3 2
2 3 1y x x= + −
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C

b) Viết pttt với
( )C
tại giao điểm của
( )C
với trục hoành.
c) Viết pttt với
( )C
biết t.tuyến song song với : 12 1d y x= −
d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình:
3 2
2 3 2 0x x m+ + =
Bài 12 : Cho hàm số:
3 2
1 3 5
3 2 2
y x x= − + − , có đồ thị là
( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

( )C
của hàm số.
b) Tìm m để pt sau có 3 nghiệm pb:
3 2
2 9 9 6 0x x m− + + =
c) Viết pttt với
( )C
tại giao điểm của
( )C
với đ.thẳng 2 0y − = .
d) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ x thoả 1y
′′
=
Bài 13 : Cho hàm số:
3 2
1y x mx m= − + − , m là tham số.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số khi
3m =
.
b) Viết pttt của
( )C
vuông góc với đường thẳng d:
1 1
3 3

y x= −
c) Tìm các giá trị của a để phương trình sau đây có đúng 1 nghiệm:
3 2
3 2 0x x a− − + =
d) Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm 2x = .
Bài 14 :Cho hàm số:
3 2
1
3
y x x= −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt của
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng 0.
c) Viết pttt của
( )C
song song với đường thẳng 8 3y x= −
d) Biện luận theo m số nghiệm của pt:
3 2
3 0x x m− − =

Bài 15 : Cho hàm số:
3 2 2
( 1) (2 ) 1y mx m x m x= − − + − −
(*)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số khi m = 2.
b) Tìm toạ độ giao điểm của
( )C
với đường thẳng d: 1y x= − −
c) Viết pttt của
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng 3.
d) Tìm m để hàm số (*) đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ bằng 1.
Bài 16 : Cho hàm số:
3 2
3 2y x x= − + −
, có đồ thị
( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ với
( )C
tại điểm A(0; –2)
c) Viết pttt của
( )C
biết tiếp tuyến song song với 9 4 4 0x y− − =
d) Biện luận theo m số giao điểm của
( )C
và : 2d y mx= −

Bài 17 : Cho hàm số:
3
4 3 1y x x= − −
, có đồ thị là
( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tìm m để pt:
3
4 3 1x x m− − =
có 3 nghiệm phân biệt.
c) Viết pttt với
( )C
tại giao điểm của
( )C
với trục hoành.
d) Viết pttt với
( )C
biết t.tuyến v.góc với :
72
x
d y = −
Bài 18 : Cho hàm số:
3 2 2
2 3( 1) 6 2y x m x mx m= − + + −

a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C

của hàm số khi 1m = .
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )C
, Ox , 1, 2x x= =
c) Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại x = 1. Khi đó, xác định
giá trị cực trị của hàm số tại đó.
2. Bài tập về hàm số trùng phương
Bài 19 : Cho hàm số:
2 2
(2 )y x x= −
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của pt:
4 2
2 0x x m− + =
c) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ bằng 2
. 2.0 2.( 2) 4.( 1) 0AB AC⇒ = − − − + − =
 

 Suy ra tam giác ABC vuông tại A.
 Diện tích tam giác ABC:
1 1
. .2 6. 5 30
2 2
ABC

S AB AC
∆
= = =

Câu b: Viết PTTS của trung tuyến AM
 Điểm M là trung điểm BC nên
1
2
(0;1; )M −

 vtcp của AM:
3
2
( 1; 2; )u AM= = − −



 PTTS của trung tuyến AM:
0
0
3
0
2
1
3 2 ( )
2
x x at x t
y y bt y t t
z z ct
z t

 
 
= + = −
 
 


= + ⇔ = − ∈






= +

= − +





»
Câu c: Viết PTTQ của mặt phẳng (ABC)
 Điểm trên (ABC):
(1;3; –2)A

Hai véctơ: ( 2; 2; 4)AB = − −


(0; 2; 1)AC = − −


 vtpt của (ABC):


2 4 4 2 2 2
[ , ] ; ; (10; 2; 4)
2 1 1 0 0 2
n AB AC
 
− − − −




= = = −




− − − −



 
 


 PTTQ của (ABC):

0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

10( 1) 2( 3) 4( 2) 0 5 2 2 0x y z x y z⇔ − − − + + = ⇔ − + + =

Câu d: Khoảng cách từ điểm M(2;1;2) đến mặt phẳng (ABC)
2 2 2
5.2 1 2.2 2 15 30
( ,( ))
2
30
5 ( 1) 2
d M ABC
− + +
= = =
+ − +

Bài 7 : Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (α) biết:
a)
1
: 2
2
x t
d y t
z t


= −




= +



=



và
( ) : 3 4 6 0x y z
α
+ − − =

b)
1 4
:
1 1 3
x y z
d
+ −
= =
−
và
( ) : 3 2 2 0x y z
α
− − − =

Bài 5 :Cho
(0;1;2), ( 3;1;4), (1; 2; 1)A B C− − −

. Viết PTTS của đ.thẳng d:
a) d đi qua điểm A và trung điểm I của đoạn thẳng BC
b) d đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC)
Bài giải
Câu a: Điểm trên d là trung điểm đoạn BC:
1 3
1; ;
2 2
I
 



− −




 

 vtcp của d:
3 1
1; ;
2 2
n AI
 



= = − − −





 



 PTTS của đường thẳng d (hayAI)
0
3
0
2
1
0
2
1 ( )
2
x t
x x at
y y bt y t t
z z ct
z t



= −

= +






 
= + ⇔ = − ∈
 




= +
 
= −
 



»

Câu b: Điểm trên d:
(1; 2; 1)C − −

Hai véctơ: ( 3;0;2), (4; 3; 5)AB BC= − = − −
 

 vtpt của mặt phẳng (ABC):


0 2 2 3 3 0

[ . ] ; ; (6; 7; 9)
3 5 5 4 4 3
n AB BC
 
− −




= = = −




− − − −



 
 


 vtcp của d: (6; 7;9)
d
u n= = −
 

 PTTS của d:
0
0

0
1 6
2 7 ( )
1 9
x x at x t
y y bt y t t
z z ct z t
 
 
= + = +
 
 
 
= + ⇔ = − − ∈
 
 
 
= + = − +
 
 
 
»

Bài 6 : Cho A(1;3;–2), B(–1;1;2), C(1;1;–3)
a) CMR, ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC.
b) Viết PTTS của đường trung tuyến AM của tam giác ABC.
c) Viết PTTQ của mặt phẳng (P) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC.
d) Tính khoảng cách từ điểm M(2;1;2) đến mặt phẳng (ABC)
Bài giải
Câu a: CMR,

∆
ABC vuông, tính diện tích của nó

2 2 2
( 2; 2; 4) ( 2) ( 2) 4 2 6AB AB= − − ⇒ = − + − + =


(0; 2; 1) 5AC BC= − − ⇒ =


d) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24.
e) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng – 8.
Bài 20 :Cho hàm số:
4 2
2 3y x x= + −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt của
( )C
tại giao điểm của
( )C
với

2
( ) : 3 1P y x= −
.
c) Viết pttt của
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng 5.
d) Tìm ĐK của m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm:
4 2
2 3 0x x m+ + + =

Bài 21 :Cho hàm số:
4 2
1 3
3
2 2
y x x= − +
có đồ thị
( )C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm thuộc
( )C
có hoành độ
0

2x =
.
c) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng – 4.
d) Tìm
m
để pt sau có 4 nghiệm phân biệt
4 2
6 1 0x x m− + + =

Bài 22 :Cho hàm số:
2 2
(1 ) 6y x= − −
có đồ thị
( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của pt:
4 2
2 0m x x− + =

c) Viết pttt của
( )C
biết tiếp tuyến vuông góc với
1
:
24

d y x= −

d) Viết pttt với
( )C
tại các điểm trên
( )C
có tung độ bằng 3.
Bài 23 :Cho hàm số:
4 2
1
2 1
4
y x x= − + −
đồ thị
( )C

a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tìm m để pt
4 2
8 4x x m− + =
có đúng 2 nghiệm.
c) Viết pttt của
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ bằng 1.
d) Viết pttt của
( )C

, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
: 8 231 1 0d x y− + =

Bài 24 :Cho hàm số:
4 2
1
2
4
y x x= −
có đồ thị
( )C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
.
b) Viết pttt của
( )C
song song với
1
: 15 2010d y x= +
.
c) Viết pttt của
( )C
vuông góc với
2
8
: 2010
45
d y x= − +

d) Tìm m để pt sau có 4 nghiệm pb:
4 2
8x x m− + =

Bài 25 :Cho hàm số:
4 2
( 1)y x mx m= − − +
có đồ thị
( )Cm

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm
( 1; 4)M −

b) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số khi
2m = −
.
c) Gọi
( )H
là hình phẳng giới hạn bởi
( )C
và trục hoành. Tính thể
tích vật thể tròn xoay tạo ra khi quay
( )H
quanh trục hoành.
Bài 26 :Cho hàm số:
4
2
2y x mx= − +

có đồ thị
( )Cm

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số khi
1m =
.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C
1
) tại điểm
( 2; 0)A
.
c) Xác định m để hàm số
( )Cm
có 3 cực trị.
Bài 27 :Cho hàm số:
4 2 2
(1 2 ) 1,y x m x m= − − + −

m
là tham số.
a) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại
1x =
. Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số với m vừa tìm được.
b) Dùng đồ thị
( )C
biện luận theo m số nghiệm của phương trình

4 2
4 8 3 0x x k− − − =

3. Bài tập về hàm số nhất biến
Bài 28 :Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3.
c) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng
7
2

d) Tìm m để
( )C
cắt đ.thẳng d:
( 1) 3y m x= + +
tại 2 điểm p.biệt.
Bài 29 :Cho hàm số:
3( 1)
2
x
y
x
+
=
−

( )C
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại giao điểm của
( )C
với trục tung.
c) Viết pttt với
( )C
tại các giao điểm của
( )C
với

: 2 4d y x= − −

d) Tìm m để
: 7 2y x m∆ = − +
cắt
( )C
tại 2 điểm phân biệt.
e) Tìm tất cả các điểm trên
( )C
có toạ độ nguyên.
Bài 4 : Cho mặt cầu
2 2 2
( ) : 2 6 8 1 0S x y z x y z+ + − + − + =
và hai điểm
(0;3;2), (1; 1; 1)A B − −

a) Xác định toạ độ tâm I và bán kính R của mặt cầu.
b) Viết phương trình mp(α) đi qua cạnh AB và tâm I của m.cầu.
c) Viết phương trình mp(β) tiếp xúc với mặt cầu tại điểm
(1;1;1)M

Bài giải
Câu a: Ta có
2 2 1
2 6 3
2 8 4
1 1
a a
b b
c c

d d
 
 
− = − =
 
 
 
− = = −
 
 
⇔
 
 
− = − =
 
 
 
= =
 
 
 
. Nên toạ độ tâm mc là:
(1; 3; 4)I −

 Bán kính mc:
2 2 2 2 2 2
1 ( 3) 4 1 5R a b c d= + + − = + − + − =

Câu b: Điểm trên (α):
(0;3;2)A

Hai véctơ:
(1; 4; 3)AB = − −



(0; 2;5)BI = −


 vtpt của (α):

4 3 3 1 1 4
[ , ] ; ; ( 26; 5; 2)
2 5 5 0 0 2
n AB BI
 
− − − −




= = = − − −




− −




 
 


 PTTQ của (α):
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

26 5( 3) 2( 2) 0
26 5 15 2 4 0
26 5 2 19 0
26 5 2 19 0
x y z
x y z
x y z
x y z
⇔ − − − − − =
⇔ − − + − + =
⇔ − − − + =
⇔ + + − =

Câu c: Điểm trên (β):
(1;1;1)M

 vtpt của (β):
(0;4; 3)n AM= = −



 PTTQ của (β):

0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

0 4( 1) 3( 1) 0
4 4 3 3 0
4 3 1 0
x y z
y z
y z
⇔ + − − − =
⇔ − − + =
⇔ − − =


Bài 3 : Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau đây:
a) (α) đi qua 3 điểm
(0;1;2), ( 3;1; 4), (1; 2; 1)A K D− − −
.
b) (α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD, biết
(1;1;1), (2;1;2), ( 1;2;2), (2;1; 1)A B C D− −

c) (α) là mp trung trực của đoạn MN, với
(2; 3;1), ( 4;1;5)M N −

Bài giải
Câu a: Điểm trên (α):
(0;1;2)A

Hai véctơ:
( 3; 0;2)AK = −




(4; 3; 5)KD = − −


 vtpt của (α):


0 2 2 3 3 0
[ . ] ; ; (6; 7;9)
3 5 5 4 4 3
n AK KD
 
− −




= = = −




− − − −



 
 



 PTTQ của (α):
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

6 7( 1) 9( 2) 0
6 7 9 11 0
x y z
x y z
⇔ − − + − =
⇔ − + − =

Câu b: Điểm trên (α):
(1;1;1)A

Hai véctơ:
(1;0;1)AB =



(3; 1; 3)CD = − −


 vtpt của (α):

0 1 1 1 1 0
[ . ] ; ; (1; 6; 1)
1 3 3 3 3 1
n AB CD

 




= = = −




− − − −



 
 


 PTTQ của (α):
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

1( 1) 6( 1) 1( 1) 0
1 6 6 1 0
6 6 0
x y z
x y z
x y z
⇔ − + − − − =
⇔ − + − − + =

⇔ + − − =

Câu c: Điểm trên (α):
( 1;2; 3)I −
là trung điểm đoạn MN
 vtpt của (α):
( 6; 2; 4)n MN= = − −



 PTTQ của (α):
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

Đáp số:
3 2 7 0x y z+ − + =

Bài 30 : Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x
+
=
+
có đồ thị là
( )C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

( )C
của hàm số.
b) Lập phương trình tiếp tuyến với
( )C
, biết tiếp tuyến đó song
song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.
c) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ bằng
3−
.
d) Tìm m để
1y mx= +
cắt
( )C
tại 2 điểm phân biệt.
Bài 31 : Cho hàm số:
2 1
2
x
y
x
−
=
−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C

của hàm số
b) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
3
4
−

c) CMR, với mọi giá trị của
m
, đường thẳng
y x m= −
luôn cắt
đồ thị
( )C
tại hai điểm phân biệt.
Bài 32 : Cho hàm số:
3
1
y
x
=
+
có đồ thị là
( )C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

( )C
trục hoành và hai
đường thẳng
0, 2x x= =
.
c) Viết pttt của đồ thị
( )C
tại các giao điểm của
( )C
với đường
thẳng
: 2 1d y x= −

d) Viết pttt của
( )C
biết tiếp tuyến song song với
3
4
y x= −

Bài 33 :Cho hàm số:
3
2
1
y
x
= +
−

a) Khảo sát và vẽ đồ thị

( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với đồ thị
( )C
tại giao điểm của
( )C
với trục hoành.
c) Tìm m để d:
y x m= − +
cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt.
Bài 34 :Cho hàm số:
1
1
x
y
x
− +
=
+
có đồ thị
( )C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm điểm M trên trục hoành mà tiếp tuyến đi qua M song song
với đường thẳng d: y = – 2x
Bài 35 :Cho hàm số:
2
3

x
y
x
+
=
−
có đồ thị
( )C
.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có hoành độ bằng 1.
c) Viết pttt với
( )C
tại điểm trên
( )C
có tung độ bằng
3
2
−

d) Viết pttt với
( )C
biết tiếp tuyến có hsg bằng
5

4
−

Bài 36 : Cho hàm số:
2
1
x
y
x
−
=
+

( )C

a) Khảo sát và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Viết pttt với
( )C
tại giao điểm của
( )C
với
: 2 3d y x= −
.
c) Viết pttt của
( )C
vuông góc với
1
: 2011

2
y x∆ = +

d) Tìm m để đ.thẳng d:
2y mx= +
cắt cả hai nhánh của
( )H
.
Bài 37 : Cho hàm số:
2 3
1
x
y
x
−
=
−
có đồ thị là
( )C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )C
của hàm số.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
( )C
và hai trục toạ độ.
c) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng:
3y x= − +
và tiếp xúc với đồ thị
( )C

4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
Bài 38 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây
a)
3 2
( ) 2 3 12 10f x x x x= − − +
trên đoạn [3; – 3]
b)
5 4 3
( ) 5 5 1f x x x x= − + +
trên đoạn [–1; 2]
c)
2
( ) ( 2 )
x
f x x x e= −
trên đoạn [0; 3]
d)
2
( ) ln(1 2 )f x x x= − −
trên đoạn
[
2; 0]−

e)
( ) 2 ln( 1) 3 ln 2f x x x x= − + −
trên đoạn [2;4]
f)
3 2
( ) 6 9f x x x x= − +

trên đoạn [0; 4]
g)
2 1
( )
3
x
f x
x
−
=
−
trên đoạn [0; 2]
h)
3 2
( ) 3 9 2f x x x x= − + + +
trên đoạn [–2; 2]
Bài 2 : Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2; –6) và
( ) : 2 2 1 0P x y z− + + =

a) Viết phương trình mặt cầu tâm B, đi qua A
b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC.
c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc với mặt phẳng
( )P

d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài giải
Câu a: Tâm mc: B(2;1;2)
 Bán kính mc:
2 2 2
(2 1) (1 3) (2 1) 6R AB= = − + − + − =

 Phương trình mặt cầu:

2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =

2 2 2
( 2) ( 1) ( 2) 6x y z⇔ − + − + − =

Câu b: Tâm mc:
( )
1 2
3
2
; ;I −
(là trung điểm của đoạn thẳng BC).
 Bán kính mc:
69
2 2
BC
R = =

(do
2 2 2
(0 2) (2 1) ( 6 2) 69BC = − + − + − − =
)
 Phương trình mặt cầu:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =

( )
2
2 2
3 69
2 4
( 1) ( 2)x y z⇔ − + − + + =

Câu c: Tâm mc: C(0;2; –6).
 Bán kính mc:
2 2 2
0 2.2 2( 6) 1
15
( ,( )) 5
3
1 ( 2) 2
R d C P
− + − +
= = = =
+ − +

 Phương trình mặt cầu:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =

2 2 2
( 2) ( 6) 25x y z⇔ + − + + =

Câu d: (Câu này sử dụng phương trình mặt cầu – dạng 2)
 Giả sử phương trình mặt cầu
( )S

cần tìm là:
2 2 2
( ) : 2 2 2 0S x y z ax by cx d+ + − − − + =

 Do
( )S
qua O(0;0;0),A(1;3;1),B(2;1;2),C(0;2; –6) nên d = 0 và
2 2 2
9
2
2 2 2
13
10
2 2 2 29
10
1 3 1 2 6 2 0
2 6 2 11
2 1 2 4 2 4 0 4 2 4 9
4 12 40
0 2 ( 6) 4 12 0
a b c
a
a b c
a b c a b c b
b c
c
b c





+ + − − − =

=
+ + =










+ + − − − = ⇔ + + = ⇔ =










− =
= −



+ + − − + =







 Vậy,
2 2 2
13 29
( ) : 9 0
5 5
S x y z x y x+ + − − + =

II. BÀI TẬP MINH HOẠ
Bài 1 : Cho hình hộp .
ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
thoả mãn
(2;1; 3) , 4 3 2 , (2; 7;1)OA OB i j k BC= − = + − = −
  

 
và (4;1; 7)
A
′
−

a) CMR, A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác vuông.

b) CMR,
( )AA ABC
′
⊥
.
c) Tính thể tích khối hình hộp đã cho.
d) Xác định các đỉnh còn lại của hình hộp .
ABCD A B C D
′ ′ ′ ′
.
Bài giải
Từ giả thiết ta có (2;1; 3), (4; 3; 2), (6; 4; 1), (4;1; 7)
A B C A
′
− − − − −

Câu a: Ta có,
(2;2;1)
. 0
(4; 5;2)
AB
AB AC AB AC
AC


=


⇒ = = ⇒ ⊥



= −




 



 Vậy, ABC là tam giác vuông tại A.
Câu b:  Ta có,
(2; 0; 4)AA
′
= −


 Và
(2;2;1), (4; 5;2)AB AC= = −
 

 Do đó,
. 2.2 0.2 4.1 0
. 2.4 0.( 5) 4.2 0
AA AB
AA AC


′
= + − =





′
= + − − =



 
 

( )
AA AB
AA ABC
AA AC

′

⊥

′
⇒ ⇒ ⊥

′

⊥




Câu c: Ta có,
2 2 2
2 2 2
2 2 1 3
4 ( 5) 2 3 5
AB AB
AC AC



= = + + =



= = + − + =







2 . 3.3 5 9 5
ABCD ABC
S S AB AC
∆
= = = = =
B


2 2 2
2 0 ( 4) 2 5h AA AA
′ ′
= = = + + − =


 Vậy,
h.hoäp
9 5.2 5 90V h = == B.

Câu d: ABCD là hbh
( 2; 1; 3) (2; 7;1)
D D D
AD BC x y z⇔ = ⇔ − − + = −
 

2 2 4
1 7 6. (4; 6; 2)
3 1 2
D D
D D
D D
x x
y y D
z z
 
 
− = =
 

 
 
⇔ − = − ⇔ = − − −
 
 
 
+ = = −
 
 
 
.
 Tương tự,
(6; 3; 6)B
′
−
,
(6; 6; 6)D
′
− −
,
(8; 4; 5)C
′
− −

i)
3 2
( ) 3 4f x x x= − −
trên đoạn
1
2

; 3
 
 
 

j)
2
( ) 25f x x= −
trên đoạn [– 4 ; 4]
k)
4
( ) 1
2
f x x
x
= − + −
+
trên đoạn [– 1; 2]
l)
2
ln
( )
x
f x
x
=
trên đoạn
3
1;e
 

 
 

m)
ln
( )
x
f x
x
=
trên đoạn
2
;
2
e
e
 
 
 
 

n)
3
4
( ) 2 sin sin
3
f x x x= − trên đoạn 0;
π
 
 

 

o)
( ) cos (1 sin )f x x x= +
trên đoạn 0;2
π
 
 
 

p
2
( ) (3 ) 1f x x x= − +
trên đoạn [0; 2]
q)
( ) 2 sin sin 2f x x x= +
trên đoạn
[ ]
3
0;
2
π

r)
2
( ) 4f x x x= + −

s)
2
( ) 2 5f x x x= + −

t)
( ) cos 2 sin 3f x x x= − +

u)
3 2
( ) 2 sin 3 sin sinf x x x x= − −

v)
2
( ) 2 sin 3 cos 2f x x x= − −
Phn
PhnPhn
Phn

II. PHNG TRÌNH
II. PHNG TRÌNH II. PHNG TRÌNH
II. PHNG TRÌNH –
––
–

BT PHNG TRÌNH M
BT PHNG TRÌNH M BT PHNG TRÌNH M
BT PHNG TRÌNH M –
––
–

LÔGARIT
LÔGARITLÔGARIT
LÔGARIT

I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Nhắc lại về công thức luỹ thừa


 Cho a > 0, b > 0 và m,n ∈ R. Khi đó,
( )



.
1 1
n
m n m n m mn
m
m
n
m n m
n
n
n n
n n
a a a a a
a
a a a
a
a a
a a
+

−
−
−
= =
= =
= =
i i
i i
i i

( ) .
n n n
n
n
n
n n
ab a b
a a
b
b
a b
b a
−
=
 



=





 
   
 
 
 
=
 
 
 
 
   
i
i
i




m n
a a m n= ⇔ =
(với a > 0)


 Nếu a > 1 thì
m n
a a m n> ⇔ >
(hàm số mũ

x
y a=
ĐB)


 Nếu 0 < a < 1 thì
m n
a a m n> ⇔ <
(hàm số mũ
x
y a=
NB)
2. Nhắc lại về công thức lôgarit


 Với các ĐK đảm bảo các biểu thức bên dưới có nghĩa, ta có



log
x
a
b x a b= ⇔ =



log 1 0
a
=




log 1
a
a =



log ( )
a
a
α
α
=




log
a
b
a b=



log ( ) .log
a a
b b
α

α
=




1
log log
a
a
b b
α
α
= ⋅



log ( ) log
n
m
a
a
m
b b
n
= ⋅





.
log ( ) log log
a a a
m n m n= +



log log log
a a a
m
m n
n
 



= −




 




log
log
log
c

a
c
b
b
a
=



1
log
log
a
b
b
a
=




log log 0
a a
m n m n= ⇔ = >
(với
0 1a< ≠
)


 Nếu a > 1 thì

log log 0
a a
m n m n> ⇔ > >
(hàm số lôgarit ĐB)


 Nếu 0 < a < 1 thì
log log 0
a a
m n m n> ⇔ < <
(h.số lôgarit NB)


☺
☺☺
☺ d song song với mp (P) và vuông góc với
đường thẳng
∆
thì d vuông góc với giá
của 2 véctơ
P
n

và
u
∆

nên d có vtcp

[ ],

P
u n u
∆
=
  

13. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Cho đường thẳng d qua
0 0 0 0
( ; ; ),M x y z
có vtcp
( ; ; )u a b c=


và đường thẳng
d
′
qua
0 0 0 0
( ; ; ),M x y z
′ ′ ′ ′
có vtcp
( ; ; )u a b c
′ ′ ′ ′
=


Tính
[ ],n u u
′

=
  

 Nếu
0n =


thì
u

và
u
′

cùng phương với nhau. Ta tiếp tục xét sự
phụ thuộc của điểm
0
M
đối với đường thẳng
d
′
. Cụ thể:
d và d
′
song song nhau d và d
′
trùng nhau

0
0n

d d
M d


=


′
⇔

′

∉







0
0n
d d
M d


=


′

≡ ⇔

′

∈






 Nếu
0n ≠


thì
u

và
u
′

không cùng phương với nhau. Ta tiếp tục
tính
0 0
.n M M
′


và so sánh KQ với số 0. Cụ thể:

d và d
′
cắt nhau d và d
′
chéo nhau

caét
.
0 0
0
0
n
d d
n M M


≠


′
⇔


′
=









cheùo
.
0 0
0
0
n
d d
n M M


≠


′
⇔


′
≠








14. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
Cho
:
0
0
0
( )
x x at
d y y bt
z z ct


= +



= + ∗



= +



và mặt phẳng
:
(1)
( ) 0P Ax By Cz D+ + + =

Thay

( )∗
vào (1) ta được phương trình (2) theo biến t.
 Nếu phương trình (2) vô nghiệm t thì kết luận d || (P)
 Nếu phương trình (2) có vô số nghiệm t thì kết luận d
⊂
(P)
 Nếu phương trình (2) có duy nhất nghiệm t = t
0
thì thay t = t
0
trở
lại vào phương trình
( )∗
ta tìm được
0 0 0
( ; ; )x y z
. Kết luận d và (P)
cắt nhau tại điểm
0 0 0 0
( ; ; )M x y z



c. Hai mt phng ct nhau

caột
( ) ( )P Q n

v
n

khụng cựng phng vi nhau


Hai mt phng vuụng gúc

( ) ( )P Q n n



(Hay:
. 0n n

=

)
10. Khong cỏch t 1 im n 1 mt phng
Cho
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
v
( ) : 0P Ax By Cz D+ + + =
. Khi ú,
0 0 0
0
2 2 2
( ,( ))
Ax By Cz D
d M P

A B C
+ + +
=
+ +

11. Phng trỡnh tham s ca ng thng
ng thng d i qua
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
, cú vtcp
( ; ; )u a b c=

, cú PTTS

0
0
0
: ( )
x x at
d y y bt t
z z ct


= +



= +

= +



ằ
Lu ý: Nu

( ; ; ) , ( ; ; )a x y z b x y z

= =


l 2 vộct cú giỏ vuụng gúc vi
d thỡ vtcp ca d c tỡm bng cụng thc:
[ ],u a b=



12. Phng trỡnh chớnh tc ca ng thng
ng thng d i qua
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
, cú vtcp
( ; ; )u a b c=

, cú PTCT
0 0 0
:
x x y y z z

d
a b c

= =

Lu ý: (v cỏch xỏc nh vtcp cho ng thng)


d i qua 2 im A,B (cho trc to ) thỡ d cú vtcp
AB




d ||

(cho trc PT) thỡ d cú vtcp
u u

=






d

(P) (cho trc PT) thỡ d cú vtcp
P

u n=




d vuụng gúc vi giỏ ca 2 vộct
,a b


thỡ d cú vtcp
[ , ]u a b=








3. Phng trỡnh m
a. Phng phỏp a v cựng c s
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
a a f x g x= =

b. Phng phỏp t n s ph
t
x
t a=

(vi iu kin t > 0), thay vo pt bin i pt theo t
Gii pt mi tỡm t, ri i chiu vi K t > 0
Nu cú t > 0 thỡ thay ngc li
x
t a=
tỡm x v kt lun.
c. Phng phỏp lụgarit hoỏ
Ly lụgarit 2 v ca pt ó cho a pt v dng n gin hn.
4. Phng trỡnh lụgarit
a. Phng phỏp a v cựng c s
( ) 0
log ( ) log ( )
( ) ( )
a a
f x
f x g x
f x g x


>

=


=




b. Phng phỏp t n s ph

t
log
a
t x=
, thay vo pt bin i pt theo t
Gii pt tỡm t, sau ú thay vo
log
a
t x=
tỡm x.
c. Phng phỏp m hoỏ
M hoỏ 2 v ca pt vi c s hp lý a v pt n gin hn.
5. Bt phng trỡnh m lụgarit
Cng cú cỏc cỏch gii nh cỏch gii phng trỡnh m, lụgarit.
6. Lu ý v iu kin ca bin s x v ca n ph t
Gp
log ( )
a
f x
, phi t iu kin
( ) 0f x >
trc khi gii pt,bpt.
Khi t
x
t a=
, phi ghi kốm iu kin t > 0 cnh bờn (v d nhiờn
sau khi tỡm c t ta phi i chiu t tỡm c vi K ú)
Khi t
log
a

t x=
, ta khụng ghi iu kin gỡ cho t c (v d nhiờn
phi s dng tt c cỏc t tỡm c tỡm x)

II. BI TP MINH HO

Bi 1 : Gii cỏc phng trỡnh sau õy:
a)
2
3
5 625
x x
+
=
b)
2
3 6
2 16
x x

=
c)
1
2 .5 200
x x+
=

Bi gii
Cõu a:
2 2

3 3 4 2 2
5 625 5 5 3 4 3 4 0
x x x x
x x x x
+ +
= = + = + =

hoaởc
1 4x x = =

Vy, pt ó cho cú 2 nghim:
vaứ 1 4x x= =

Cõu b:
2 2
3 6 3 6 4 2
2 16 2 2 3 6 4
x x x x
x x

= = =

2
3 10 0x x =
hoaởc 5 2x x = =

Vy, pt ó cho cú 2 nghim:
vaứ 5 2x x= =

Cõu c:

1
2 .5 200 2.2 .5 200 10 100 2
x x x x x
x
+
= = = =

Vy, pt ó cho cú nghim duy nht: x = 2
Bi 2 : Gii cỏc phng trỡnh sau õy:
a)
9 10.3 9 0
x x
+ =
b)
25 3.5 10 0
x x
+ =

c)
3
2 2 2 0
x x
=
d)
6.9 13.6 6.4 0
x x x
+ =

Bi gii
Cõu a:

2
9 10.3 9 0 3 10.3 9 0
x x x x
+ = + =

t
3
x
t =
(K: t > 0), phng trỡnh trờn tr thnh:
(nhaọn)
(nhaọn)
2
1
10. 9 0
9
t
t t
t

=

+ =

=



Vi
1t =

thỡ
3 1 0
x
x= =

Vi
9t =
thỡ
3 9 2
x
x= =

Vy, phng trỡnh ó cho cú 2 nghim: x = 0 v x = 2.
Cõu b:
2
25 3.5 10 0 5 3.5 10 0
x x x x
+ = + =

Hng dn: t
5 ( 0)
x
t t= >
. ỏp s:
5
log 2x =

Cõu c:
3
8

2 2 2 0 2 2 0
2
x x x
x

= =

t
2
x
t =
(K: t > 0), phng trỡnh trờn tr thnh:
(nhaọn)
(loaùi)
2
4
8
2 2 8 0
2
t
t t t
t
t

=

= =

=

Vi
4t =
thỡ
2 4 2
x
x= =

Vy, phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht: x = 2.
Cõu d:
6.9 13.6 6.4 0
x x x
+ =
. Chia 2 v ca pt cho
4
x
ta c:
2
9 6 3 3
6 13 6 0 6 13 6 0
4 4 2 2
x x x x




+ = + =

Hng dn: t
3
( 0)
2
x
t t




= >





. ỏp s:
1x =

a. Cỏch xỏc nh vtpt ca (P) khi bit 2 vộct cú giỏ song song (hoc
cha trong) (P)
Nu

( ; ; ) , ( ; ; )a x y z b x y z

= =

cú giỏ song song (cha trong (P)) thỡ
(P) cú vtpt:
[ ]
, ; ;
y z z x x y
n a b
y z z x x y





= =











Lu ý: (v vic xỏc nh vộct cú giỏ song song vi mp)



( ) ( )P Q

thỡ
Q
n

cú giỏ song song
( )P




( )P AB
thỡ
AB

cú giỏ song song
( )P




( )P
cha M,N thỡ
MN

cú giỏ song song



( )P d

thỡ
d
u

cú giỏ song song
( )P




( )P
cha

thỡ
u


cú giỏ song song
( )P

b. Cỏch xỏc nh vtpt ca (P) khi bit PTTQ ca (P)
Mp
( ) : 0P Ax By Cz D+ + + =
cú vtpt
( ; ; )n A B C=


c. Phng trỡnh mt phng theo on chn
Mt phng (P) i qua
( ;0; 0)A a

,
(0; ; 0), (0; 0; )B b C c
cú
PTTQ (P):
1
x y z
a b c
+ + =

9. V trớ tng i ca 2 mt phng
Cho
( ) : 0P Ax By Cz D+ + + =
cú vtpt
( ; ; )n A B C=


v
( ) : 0Q A x B y C z D

+ + + =
cú vtpt
( ; ; )n A B C

=


a. Hai mt phng song song vi nhau

.
( ) ( )

.
n k n
P Q
D k D



=











(c bit: nu
, , ,A B C D

u khỏc 0 thỡ
A B C D
A B C D
= =

)
b. Hai mt phng trựng nhau

.
( ) ( )
.
n k n
P Q
D k D



=





=





(c bit: nu
, , ,A B C D

u khỏc 0 thỡ
A B C D
A B C D
= = =

)

Ứng dụng: 
2 2 2
a x y z= + +



.
cos( , )
.
a b
a b
a b
=









AB AB=



. 0a b a b⊥ ⇔ =
 
 

6) Tích có hướng của hai véctơ:
Cho
( ; ; ) , ( ; ; )a x y z b x y z
′ ′ ′
= =


. Khi đó,
[ ]
, ; ;
y z z x x y
n a b
y z z x x y
 




= =



′ ′ ′ ′ ′ ′




 
  

Lưu ý: Nếu
[ , ]n a b=
 

thì
n a⊥
 
và
n b⊥



Ứng dụng: 
,a b
 
cùng phương với nhau
[ , ] 0a b⇔ =
  


,a b
 
không cùng phương với nhau
[ , ] 0a b⇔ ≠
  

7. Phương trình mặt cầu


Dạng 1: mặt cầu

( )S
biết trước tâm I(a;b;c) và bán kính R
( ) ( )
2 2 2 2
( – ) – –x a y b z c R+ + =



Dạng 2:
2 2 2
– 2 – 2 – 2 0x y z ax by cz d+ + + =

(với điều kiện:
2 2 2
0a b c d+ + − >
)

Lúc đó:  Tâm I(a;b;c)
 Bán kính
2 2 2
R a b c d= + + −



Lưu ý: Nếu m.cầu
( )S
tâm I tiếp xúc với mp(α) thì
( )S
có bán kính
( , )R d I

α
=

8. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
Nếu (P) đi qua
0 0 0 0
( ; ; )M x y z
và có vtpt
( ; ; )n A B C=

thì (P) có
PTTQ:
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − =

Lưu ý (về việc xác định vtpt của mp)


☺
☺☺
☺
( ) ( )P Q

thì
( )P
nhận
Q
n

làm vtpt.

☺
☺☺
☺
( )P AB⊥
thì
( )P
nhận
AB

làm vtpt.
☺
☺☺
☺
( )P d⊥
thì
( )P
nhận
d
u

làm vtpt.

Bài 3 : Giải các phương trình sau đây:
a)
2 4 8
log log log 11x x x+ + =
b)
5 25 0,2
log log log 3x x+ =

c)
2
2 2
log log 6 0x x− − =
d)
2
2
2
4 log log 2x x+ =

e)
2
3 3
3 log 10 log 3x x= −
f)
2
ln( 6 7) ln( 3)x x x− + = −

Bài giải
Câu a:

2 4 8
log log log 11 (1)x x x+ + =
.
 Điều kiện: x > 0.
 Với ĐK trên,
2 3
2
2 2
(1) log log log 11x x x⇔ + + =

2 2 2 2
1 1 11
log log log 11 log 11
2 3 6
x x x x⇔ + ⋅ + ⋅ = ⇔ ⋅ =

(nhaän)
6
2
log 6 2 64x x
⇔ = ⇔ = =

 Vậy, pt đã cho có nghiệm duy nhất x = 64.
Câu b:
5 25 0,2
1
log log log (2)
3
x x
+ =
.
 Điều kiện: x > 0
 Với ĐK trên,
( )
2 1
1
5
5 5
(2) log log log 3x x

−
−
⇔ + =

 Đáp số:
3
3x
=
.
Câu c:
2
2 2
log log 6 0x x− − =
.
 Điều kiện: x > 0
 Đặt
2
logt x
=
, phương trình đã cho trở thành:
(nhaän)
(nhaän)
3
2
2
2
2
3 log 3 2
6 0
2 log 2

2
t x x
t t
t x
x

 
= = =

 
− − = ⇔ ⇔ ⇔

 
= =

=
 
 


 Vậy, pt có 2 nghiệm: x = 4 và x = 8.
Câu d:
2
2
2
4 log log 2 (4)x x
+ =

 Điều kiện: x > 0. Với ĐK này, ta có
1

2
2 2
2 2 2
2
(4) 4 log log 2 4.log 2.log 2 0x x x x
⇔ + = ⇔ + − =

 Hướng dẫn: đặt
2
logt x
=
. Đáp số:
1
2
x
=
và 2x
=
.
Câu e:

2
3 3
3 log 10 log 3 (5)x x= −

 Hướng dẫn: đặt
3
logt x
=
. Đáp số: ;

3
27 3x x
= =

Câu f: (6)
2
ln( 6 7) ln( 3)x x x
− + = −

 Điều kiện:
2
6 7 0
3 0
x x
x


− + >




− >



. Với ĐK này, ta có

(loaïi)
(6)

(nhaän)
2 2
2
6 7 3 7 10 0
5
x
x x x x x
x

=

⇔ − + = − ⇔ − + = ⇔

=



 Vậy, phương trình đã cho có duy nhất nghiệm: x = 5
Bài 4 : Giải các bất phương trình sau đây:
a)
2
6 3 7
7 49
x x+ −
≤
b)
2
7 2
3 9
5 25

x x− + +
 



>




 

c)
2
2 7 11
(0,5) 16
x x− − +
≥
d)
4 3.2 2 0
x x
− + <

Bài giải
Câu a:
2 2
6 3 7 6 3 7 2 2
7 49 7 7 6 3 7 2
x x x x
x x

+ − + −
≤ ⇔ ≤ ⇔ + − ≤

2
6 3 9 0x x+ − ≤

 Bảng xét dấu: cho
2
6 3 9 0 1; 3
x x x x
+ − = ⇔ = = −

x
–
∞
–3 1 +
∞

2
6 3 9
x x
+ −

+ 0 – 0 +
 Vậy, dựa vào BXD trên ta có S = [–3;1] là tập nghiệm của bpt.
Câu b:
2 2
7 2 7 2 2
2
3 9 3 3

7 2 2
5 25 5 5
x x x x
x x
− + + − + +
     
  
  
  
> ⇔ > ⇔ − + + <
  
  
  
  
     

2
7 0x x⇔ − + <

 Bảng xét dấu: cho
2
7 0 0; 7x x x x− + = ⇔ = =

x
–
∞
0 7 +
∞

2

7x x− +

– 0 + 0 –
 Vậy, bpt đã cho có tập nghiệm: S = (–
∞
;0)
∪
(7;+
∞
)
Phn V.
Phn V. Phn V.
Phn V. PHNG PHÁP TO Đ
PHNG PHÁP TO ĐPHNG PHÁP TO Đ
PHNG PHÁP TO Đ

TRONG KHÔNG GIAN
TRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIAN
TRONG KHÔNG GIAN



I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1) Định nghĩa toạ độ của véctơ và toạ độ của điểm


. . . ( ; ; )a x i y j z k a x y z= + + ⇔ =

 
 



. . . ( ; ; ) ( ; ; )OA a i b j c k OA a b c A a b c= + + ⇔ = ⇔
 

 

(toạ độ điểm A cũng là toạ độ của véctơ
OA

)
2) Công thức toạ độ của véctơ

Cho
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
. Khi đó,
( ; ; )
B A B A B A
AB x x y y z z= − − −




( ; ; )a x y z=

,
( ; ; )b x y z

′ ′ ′
=

. Khi đó,


( ; ; )a b x x y y z z
′ ′ ′
± = ± ± ±





. ( ; ; )k a kx ky kz=

,
k ∈
»
3) Điều kiện cùng phương của hai véctơ:

Cho
( ; ; ) , ( ; ; )a x y z b x y z
′ ′ ′
= =


và
0b ≠






a

cùng phương với
b


⇔
chỉ ra được số thực k sao cho
.a k b=





a

không c.phương với
b


⇔
từ
.a k b=


, ta không tìm được số k


Đặc biệt:
Nếu
, ,x y z
′ ′ ′
đều khác 0 thì
a

c.phương với
b


x y z
x y z
⇔ = =
′ ′ ′

4) Công thức toạ độ của điểm

Trung điểm I của đoạn AB

Trọng tâm G của tam giác ABC


2
2
2
A B
I
A B

I
A B
I
x x
x
y y
y
z z
z


+

=





+


=




+

=






3
3
3
A B C
G
A B C
G
A B C
G
x x x
x
y y y
y
z z z
z


+ +

=






+ +


=




+ +

=





5) Tích vô hướng của hai véctơ:
Cho
( ; ; ) , ( ; ; )a x y z b x y z
′ ′ ′
= =


. Khi đó,
. . . .a b x x y y z z
′ ′ ′
= + +




x x
a b y y
z z

′

=



′
= ⇔ =



′
=






Bài 18 : Cho số phức
1 3z i= +
.Tính

2 2
z z+

Bài 19 : Cho các số phức
1 2 3
3 2 , 2 , 1 3z i z i z i= + = + = −
. Hãy biểu
diễn các số phức
1 2 3 1 2 3
, , , , ,z z z z z z
trên mặt phẳng phức.
Bài 20
: Tính
z z+
, biết
a)
2
(1 )
1 3 2z i i= − + −
b)
3
3 (1 )
2
(2 – ) –z i i= +

c)
3
(1 )(2 )
i
z
i i
−

=
− +
d)
2 2
2 2
(1 2 ) (1 )
(3 2 ) (2 )
i i
z
i i
− − −
=
− − −

e)
2
1
(1 )
i
z
i
−
=
+
f)
6
1
1
i
z

i
 
+



=





−
 

Bài 21 : Cho
3
4
(1 )
(1 )
i
z
i
−
=
+
. Tính
1
z

Bài 22 : Cho
3
1
1 3
2 2
z i
 




= − +




 
và
3
2
1 3
2 2
z i
 




= +





 
. Tính z
1
.z
2

Bài 23 : Tìm số phức z có phần thực và phần ảo đối nhau và
2 2z =

Bài 24 : Cho
1 2
,z z
là 2 nghiệm phức của phương trình
2
5 2 1 0z z− + =
.
Chứng minh rằng
1 2
1 1
2
z z
+ =

Bài 25 : Cho
1 2
,z z
là 2 nghiệm phức của phương trình

2
3 2 4 0z z− + =
.
Chứng minh rằng
1 2 1 2
. 2z z z z
+ + =

Bài 26 : Cho
1 2
,z z
là 2 nghiệm phức của phương trình
2
4 5 0z z− + =
.
Chứng minh rằng
2 2
1 2
6z z+ =

Bài 27 : Cho
1 2
,z z
là 2 nghiệm phức của phương trình
2
5 2 2 0z z− + =
.
Chứng minh rằng
1 2 1 2
.z z z z+ =

Bài 28 : Cho
1 2
,z z
là 2 nghiệm phức của phương trình
2
3 2 1 0z z− + =
.
Tính
1 2
2z z+


Câu c:
2
2 2
2 7 11
2 7 11 4 2 7 11 4
1
(0, 5) 16 2 2 2
2
x x
x x x x
− − +
− − + + −
 



≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥





 

2 2
2 7 11 4 2 7 15 0
x x x x
⇔ + − ≥ ⇔ + − ≥

 Bảng xét dấu: cho
2
3
2 7 15 0 5;
2
x x x x+ − = ⇔ = − =

x
–
∞
–5
3
2
+
∞

2
2 7 15x x+ −

+ 0 – 0 +
 Vậy, bpt đã cho có tập nghiệm:
[
3
2
( ; 5] ; )
S
= −∞ − ∪ +∞

Câu d:
4 3.2 2 0
x x
− + <

 Đặt
2
x
t =
(ĐK: t > 0), bpt đã cho trở thành
2
3 2 0t t− + <

 Bảng xét dấu: cho
2
3 2 0 1; 2t t t t− + = ⇔ = =

t –
∞
1 2 +
∞

2
3 2t t− +

+ 0 – 0 +
 Như vậy,
1 2 1 2 2 0 1
x
t x< < ⇔ < < ⇔ < <

 Vậy, tập nghiệm của bpt đã cho là: S = (0;1)
Bài 5 : Giải các bất phương trình sau đây:
a)
3
log (4 3) 2x − <
c)
1 1
3 3
2
log (2 4) log ( 6)x x x+ ≤ − −

b)
2
0,5
log ( 5 6) 1x x− + ≥ −
d)
2
ln(7 1) ln(10 11 1)x x x+ ≥ − +

Bài giải

Câu a:
3
log (4 3) 2x − <

 Điều kiện:
3
4 3 0
4
x x
− > ⇔ >

 Với ĐK trên ta có:
3
log (4 3) 2 4 3 9 3x x x− < ⇔ − < ⇔ <

 Kết hợp với ĐK ta nhận các giá trị
3
3
4
x
< <

 Vậy, bpt đã cho có tập nghiệm:
3
4
( ; 3)
S
=