Dap An De Thi HSG Tinh Nghe An Mon Toan B Nam hoc 2010-2011

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN - Bảng B

Câu: Nội dung
1.
a,
(2,5)
*) Nếu
2
n 3 n n 3⇒ +M M
nên
2
n n 2 3
/
+ + M
(1)
*) Nếu
2
n 3 n 2 3
/
⇒ +M M
2
n n 2 3
/
⇒ + + M
(2)
Từ (1) và (2)
n Z⇒ ∀ ∈
thì

2
n n 2 3
/
+ + M
b,
(2,5)
Đặt
2 2
m n 17= +

(m N)∈

2 2
m n 17 (m n)(m n) 17 1.17⇒ − = ⇒ − + = =
=17.1
Do m + n > m - n
m n 17 m 9
m n 1 n 8
+ = =
 
⇒ ⇒
 
− = =
 
Vậy với n = 8 ta có
2 2
n 17 64 17 81 9+ = + = =
2.
a,
(2.5)

Giải phương trình
2
x 4x+5=2 2x+3+
(1)
Điều kiện:
3
2x+3 0 x -
2
≥ ⇒ ≥
(1)
2
x 4x+5-2 2x+3 0⇔ + =

2
x 2x+1+2x+3-2 2x+3 1 0⇔ + + =

2 2
(x 1) ( 2x+3 1) 0⇔ + + − =

x 1 0
2x+3 1 0
+ =


⇔

− =



x 1
2x+3=1
= −

⇔



x 1⇔ = −
thỏa mãn điều kiện
b,
(2.5)
Giải hệ phương trình

2
2
2x+y=x
2y+x=y





Trừ từng vế 2 phương trình ta có:
2 2
x y x y− = −
(x y)(x y 1) 0⇔ − + − =
x y x y
x y 1 0 x 1 y
= =

 
⇔ ⇔
 
+ − = = −
 
Trang 1/3
(1)
(2)
Ta có:
*)
x y x y
x(x 3) 0 x 0
= =
 
⇔
 
− = =
 
Vậy (x; y) = (0;0); (3;3)
*)
2 2 2
x 1 y x 1 y x 1 y
2x+y = x 2 2y y (1 y) y y 1 0
= − = − = −
  
⇔ ⇔
  
− + = − − + =
  
(*)

Vì phương trình
2
y y 1 0− + =
vô nghiệm nên hệ (*) vô nghiệm
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm (x; y) = (0; 0); (3; 3)
3.
Tìmgiá trị nhỏ nhất của
2
4x+3
A
x 1
=
+
Ta có:
2
2 2
4x+3 x 4x+4
A 1
x 1 x 1
+
= = − +
+ +

2
2
(x 2)
A 1 1
x 1
+
= − + ≥ −

+
Dấu "=" xảy ra
x 2 0 x 2⇔ + = ⇔ = −
Vậy
min
A 1= −
khi x = -2
4.
a,
(2,5)
H
K
E
I
F
O
B
A
C
Gọi I là giao điểm của AH và BC ⇒ AI ⊥ BC
Ta có: ∆BHI ∆BCE (g, g)
BH BI
BH.BE BC.BI
BC BE
⇒ = ⇒ =
(1)
Ta có: ∆CHI ∆CBF (g, g)
CH CI
CH.CF BC.CI
CB CF

⇒ = ⇒ =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra BH.HE + CH.CF = BC(BI + CI) = BC
2
b,
(2,0)
Gọi K là điểm đối xứng của H qua BC suy ra
· ·
HCB KCB=
Mà
·
·
FAI HCI=
(do tứ giác AFIC nội tiếp)
·
·
·
·
FAI BCK hay BAK BCK⇒ = =
⇒ tứ giác BACK nội tiếp đường tròn (O) ⇒ K ∈ (O)
5.
Trang 2/3
SS
hoặc x = 3
+ Khi
·
0
BAC 90= ⇒
·
0

BIC 90=
.
⇒
F trùng với B, E trùng với C lúc đó EF là đường kính.
⇒
EF đi qua điểm O cố định.
K
F
E
O
A
B
C
I
+ Khi
·
BAC
< 90
0
⇒

·
BIC
> 90
0
.
Gọi K là điểm đối xứng của I qua EF.
·
·
EIF EAF⇒ =

(cùng bù
·
BIC
)
·
·
EKF EIF=
(Do I và K đối xứng qua EF)
· ·
EKF EAF⇒ =
AKFE⇒
nội tiếp
·
·
KAB KEF⇒ =
(cung chắn
»
KF
) (1)
·
·
IEF KEF=
(Do K và I đối xứng qua EF) (2)
·
·
IEF BIK=
(cùng phụ
·
KIE
) (3)

Từ (1), (2), (3)
·
·
KAB BIK⇒ =
⇒
AKBI là tứ giác nội tiếp
⇒

K (O)∈
Mà EF là đường trung trực của KI
⇒
E, O, F thẳng hàng.
+ Khi
·
BAC
> 90
0

⇒

·
BIC
< 90
0
chứng minh tương tự.
Vậy đường thẳng EF luôn đi qua điểm O cố định.
- - - Hết - - -
Trang 3/3