ôn thi môn toán chuyên đề nguyên hàm tích phân (lý thuyết + bài tập có đáp án)

Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Nguyên hàm- Tích phân

BÀI 1. NGUYÊN HÀM
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Ngun hàm thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê
Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 1. Nguyên hàm, Bạn cần kết hợp
xem tài liệu cùng với bài giảng này.

I. Các cơng thức tính đạo hàm
1.(C ')  0
2.(Cx) '  C
3.( x ) '   x 1
(u ) '   u 1.u '

1
x ln a
u'
 log a u  ' 
u ln a
10.(sin x) '  cos x
9.  log a x  ' 

'

1
1
4.     2
x

x
'

u'
1
   2
u
u

(sin u ) '  u '.cos u

 x   21x
'

5.

11.(cos x) '   sin x
(cos u ) '  u '.sin u

 u   2u 'u
'

6.  e

 e

x '

1
cos 2 x

u'
(tan u ) ' 
cos 2u
1
13.(cot x) '   2
sin x
u'
(cot u ) '   2
sin u
12.(tan x) ' 

x

 e   e .u '
7.  a   a ln a
 a   a ln a.u '
u '

u

x '

u '

x

u

 u  u ' v  v 'u
;

  
v2
v
'

14. (uv) '  u ' v  uv ';

1
x
u'
 ln u  ' 
u

8.  ln x  ' 

 u  v  '  u ' v '

II. Nguyên hàm
1. Định nghĩa
Cho hàm số f ( x) xác định trên K. Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của f ( x) trên K nếu với

x  K ta đều có: F '( x)  f ( x)
2. Ví dụ
3. Họ các nguyên hàm
Nếu F ( x) là nguyên hàm của f ( x) thì F ( x) +C cũng là nguyên hàm của f ( x) và F ( x) +C được gọi là họ
tất cả các nguyên hàm của f ( x)
Kí hiệu:

 f ( x)dx  F ( x)  C

Ví dụ: Tính
Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

1.  x 5 dx
1

2.   x 2  3   dx
x


Chuyên đề 03. Nguyên hàm- Tích phân

6.  tan 2 xdx
7.  sin 2 x.cos3 xdx

3.  e3 x dx

8.  cos 2 xdx

4.  cos3 xdx

9.  sin 2 xdx

5. 

dx
2
sin x.cos 2 x

10. 

2 cos3 x
dx
1  sin x

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Nguyên hàm- Tích phân

BÀI 1. NGUYÊN HÀM
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Ngun hàm thuộc khóa học Tốn 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo
viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Nguyên hàm. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó
làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 1
1
1
a) y   x 2
b) y 
x 2
5 3
2
x
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) y  ( x 2  3x)( x  1)

b) y  ( x  3)3

5 3
c) y  x 2  8 x
2
c) y  ( x  2 x 3 )( x  1)

Bài 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
( x  2) 2
( x 2  1) 2
dx

b) 
dx
 x4
x2
Bài 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

a)

 x


1


b)  (2 x  3x 2 )  x 2    3x 3  dx
x






x  2 x  x  1 dx

Bài 5: Tìm hàm số y  f ( x) , biết rằng

1
 2 và f (1)  2
x2

b
Bài 6: Tìm hàm số y  f ( x) nếu biết f '( x)  ax  2 , f (1)  2, f (1)  4; f '(1)  0
x
a) f '( x)  4 x  x và f (4)  0

b) f '( x)  x 

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Nguyên hàm - Tích phân

BÀI 1. NGUYÊN HÀM
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Nguyên hàm thuộc khóa học Toán 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo
viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Nguyên hàm. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó
làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
5 3
c) y  x 2  8 x
2

2 1
1
1
a) y   x 2
b) y 
x 2
5 3
2
x
Giải:
Áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản ta có
3

5
2
x
x3 1
a) x   C
b)
 C
c) x 2  4 x 2  C
5
9
3

x
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) y  ( x 2  3x)( x  1)

b) y  ( x  3)3

c) y  ( x  2 x 3 )( x  1)

Giải:
Nhân các đa thức với nhau
x 4 2 x3 3x 2
( x  3) 4


C
b)
C
4
3
2
4
Bài 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)

a)

( x  2) 2
 x 4 dx
Giải:

b)

c)

2 x5 x 4 x3 x 2
   C
5
2 3 2

( x 2  1) 2
 x 2 dx

Khai triển các hằng đẳng thức, áp dụng cách tách:

ab a b
 
c
c c

1 2
4
x3
1
a)   2  3  C
b)
 2x   C
x x 3x
3
x

Bài 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a)

 x



x  2 x  x  1 dx


1


b)  (2 x  3x 2 )  x 2    3x 3  dx
x




Giải:
Nhân các đa thức với nhau rồi tách ra thành các nguyên hàm
x3 x 2 4 7 4 5
x4
  x2  x2  C
b)
 xC
3 2 7
5
2

Bài 5: Tìm hàm số y  f ( x) , biết rằng
a)

a) f '( x)  4 x  x và f (4)  0

b) f '( x)  x 

1
 2 và f (1)  2
x2

Giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Ngun hàm - Tích phân

Trước tiên ta tìm nguyên hàm của các hàm số, sau đó ta thay x để tìm ra C.
8 x x x 2 40
a)
 
3
2
3

x2 1
3
b)
  2x 
2 x
2

Bài 6: Tìm hàm số y  f ( x) nếu biết f '( x)  ax 

b
, f (1)  2, f (1)  4; f '(1)  0
x2

Giải:
ax 2 b
 c
2
x
Từ điều kiện đã cho, ta có hệ phương trình
a
2 b  c  2

5
a
  b  c  4  a  1; b  1; c 
2
2
a  b  0



f ( x) 

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 2 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Nguyên hàm – Tích phân

BÀI 02. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 01)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 02. Các phương pháp tính ngun hàm (Phần 01)
thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài
02. Các phương pháp tính nguyên hàm (phần 01), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

4. Tính chất
+)  c. f ( x)dx  c. f ( x)dx
+)

  f ( x)  f ( x)  ...  f ( x)dx   f ( x)dx  f ( x)dx ...   f ( x)dx
1

2

n

1

2

n

5. Bảng tích phân cơ bản

1.  dx  x  C
u 1
2.  u du 
C
 1
du
3. 
 ln u  C
u


4.  eu du  eu  C
5.  a u du 

au

C
ln a

6.  cos udu  sin u  C
7.  sin udu   cos u  C
du
 tan u  C
cos 2u
du
9.  2   cot u  C
sin u

8. 

6. Ba kỹ năng cơ bản
a) Kỹ năng đưa vào dấu vi phân

d  f ( x)  f '( x)dx
Chú ý: dx  d ( x  C )
Bài tập mẫu: Tìm nguyên hàm

1.  ( x5  1)6 .x 4 dx
2. 

cos x
dx
(3  sin x)3

3.  3 9  x3 .x 2 dx

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Nguyên hàm - Tích phân

BÀI 02. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 01)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 02. Các phương pháp tính ngun hàm
(Phần 01) thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra,
củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 02. Các phương pháp tính nguyên hàm
(phần 01). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Tìm họ các nguyên hàm sau:
1

1.   x 4  4 x3  3 x 2  x  2  dx
4


3.

  me

x

4m 5


 7m  dx
2.   mx3  3x 2  x  1  3 
x
2x



 2a x  log3 x  2sin 2 x  3cos 4 x  dx

Bài 2: Tìm họ các nguyên hàm sau:
1
a.  2
dx
x  4x  4
1
c.  2
dx
x  3x  2
Bài 3: Tìm họ các nguyên hàm sau:

 2


4.  
 3x  t anx+3x-2  dx
 x

1
dx
 12 x  4
1
d.  2
dx
4 x  3x  1
b.

 9x

2

2  x  2  dx
2
 4x  4
2x  3
d.  2
dx
x  4x  4
1
Bài 4: Tìm họ các nguyên hàm sau: f ( x) 
.
 
cosx.cos  x+ 

4


2( x  1)
dx
 2x  3
3x  2
c.  2
dx
x  2x  3
a.

x

2

b.

x

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -

Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Nguyên hàm- Tích phân

BÀI 02. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 01)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 02. Các phương pháp tính ngun hàm
(Phần 01) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra,
củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 02. Các phương pháp tính nguyên hàm
(phần 01). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Tìm họ các nguyên hàm sau:
1

1.   x 4  4 x3  3 x 2  x  2  dx
4

3.

  me

x

 2a x  log3 x  2sin 2 x  3cos 4 x  dx

4m 5



 7m  dx
2.   mx3  3x 2  x  1  3 
x
2x



 2

4.  
 3x  t anx+3x-2  dx
 x


Giải:
1 5 4 4 3 5 1 2
1

x  x  x 3  .x  2 x  C
1.   x 4  4 x 3  3 x 2  x  2  dx 
20
3
5
2
4

3
4m 5
m

2
4m
5


 7m  dx  x 4  x 3   x  1 2 

 7mx  C
2.   mx3  3x 2  x  1  3 
2
x
2x
4
3
2.x 2.x 2



3.

  me

x

 2a x  log 3 x  2sin 2 x  3cos 4 x  dx  me x

2a x
1
3


 x ln x  x   cos2x+ sin 4 x  C
ln a ln 3
4

3x
3
 2

4.  
 3x  t anx+3x-2  dx  4 x 
 ln cosx  x 2  2 x  C
ln 3
2
 x

Bài 2: Tìm họ các nguyên hàm sau:
1
1
a.  2
b.  2
dx
dx
x  4x  4
9 x  12 x  4
1
1
dx
dx
c.  2
d.  2

x  3x  2
4 x  3x  1
Giải:
1
1
1
a.  2
dx  
dx  
C
2
x  4x  4
x2
 x  2

1
1
1
1
1 1
1
dx  
dx  
dx 

C
2
2
2  9x  6
 12 x  4

9 
9
2
2

9 x  
x 
x 
3

3
3


1
1
1
1
1
x2
c.  2
dx 
  x 1 x  2 dx   x  2 dx   x 1 dx  ln x  2  ln x 1  ln x 1  C
x  3x  2
2 1
b.

 9x

2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Nguyên hàm- Tích phân




1
1
1
1
1 1
1
dx  .
dx   
dx  
dx  
d.  2
1
1
4 x  3x  1
4  1

3  x 1

x
1    x    x  1

4 
4
 4 

1
1 1
x 1
1 4  x  1
 C  ln
C
ln x  1  ln x  4   3 ln
1
3
3
4x 1

x
4
Bài 3: Tìm họ các nguyên hàm sau:
2  x  2  dx
2( x  1)
a.  2
b.  2
dx
x  4x  4

x  2x  3
3x  2
2x  3
c.  2
d.  2
dx
dx
x  2x  3
x  4x  4
Giải:

d  x 2  2 x  3
2( x  1)
2x  2
a.  2
dx   2
dx   2
 ln x 2  2 x  3  C
x  2x  3
x  2x  3
x  2x  3

d  x2  4 x  3
2  x  2  dx
2 x  4dx
b.  2
 2
 2
 ln x2  4 x  3  C
x  4x  3

x  4x  3
x  4x  3
c. Cách 1.
E  2 x  2  D 2E  D  2E
3x  2

 2
Ta có : 2
. Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ phương trình :
x  2x  3
x2  2 x  3
x  2x  3
3
3

 2x  2
E
2 E  3
3x  2
1


 2
 22
 2
.
2

x  2x  3 x  2x  3 x  2x  3
D  2E  2

 D  1

2
3x  2
3 d  x  2 x  3
1
3
Vậy :  2
dx   2
 2
dx  ln x2  2 x  3  J 1
x  2x  3
2
x  2x  3
x  2x  3
2
1
1 1
1
1
x 1
 1
dx   
dx  
dx   ln x  1  ln x  3  ln
C
Tính :J=  2
x  2x  3
4  x 1
x3  4

4 x3

Do đó :

x

2

3x  2
3
1
x 1
dx  ln x 2  2 x  3  ln
C
 2x  3
2
4 x3

-Cách 2.

A  x  3  B  x  1
 A  B  x  3A  B
3x  2
3x  2
A
B





* 
x  2 x  3  x  1 x  3 x  1 x  3
 x  1 x  3
 x  1 x  3

Ta có : +)

2

5

A  4
A B  3



Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ : 
3 A  B  2  B  7


4

Suy ra :
Vậy :

3x  2
5
1
7
1

 .
 .
x  2 x  3 4  x  1 4  x  3

x

2

2

3x  2
5 1
7
1
5
7
dx  
dx  
dx  ln x  1  ln x  3  C .
 2x  3
4 x 1
4 x3
4
4

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -

Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Nguyên hàm- Tích phân

+) Phân tích f(x) đễn (*) .Sau đó thay hai nghiệm x=1 và x=3 vào hai tử số để tìm A,B , cụ thể ta có hệ hai
5

A

3.1  2  A(1  3)

4

phương trình sau : 
3( 3)  2  B ( 3  1)
7

B 


4

Các bước tiếp theo giống như trên .
E  2 x  4   D 2 Ex  D  4 E
2x  3

 2
d.Ta có : 2

. Đồng nhất hệ số hai tử số :
x  4x  4
x2  4x  4
x  4x  4
2 E  2
E  1
Ta có hệ  

 D  4E  3  D  7
2x  3
2x  4
7
Suy ra : 2
.
 2
 2
x  4x  4 x  4x  4 x  4x  4
2x  3
2x  4
1
7
Vậy :  2
dx   2
dx  7 
dx  ln x 2  4 x  4 
C
2
x  4x  4
x  4x  4
x2

 x  2
Bài 4: Tìm họ các nguyên hàm sau: f ( x) 

1
.
 
cosx.cos  x+ 
4


Giải:
Cách 1. Sử dụng đồng nhất thức : 1 

cos
cos


4 



4

   
cos  x+   x 
4 

cos



   
 2cos  x+   x 
4 


4

   
 
 
cos  x+   x 
cos  x+  cosx+sin  x+  s inx
 4   dx  2
 4
 4
Ta có : F ( x)  2 
dx

 
 
s inx.cos  x+ 
s inxcos  x+ 
 4
 4

  
sin  x+  
 cosx
s inx

 4  dx   2 ln s inx  ln cos  x+     2 ln
= 2 
dx  
C



  
 
 4
 s inx

cos  x+ 
cos  x+ 

 4 
 4


Cách 2 : Dựa trên đặc thù của hàm số f(x)
Ta có:
1
1
1
1
F ( x)  
dx  2 
dx  2 
dx  2 
dx

2
cosx 
s inx  sinx-cosx 
s in x  cotx-1
 
2 
s inxcos  x+ 
s in x 1
4

 sinx 
d  cot x 
d  cot x  1
  2
  2
  2 ln cot x  1  C
cot x  1
cot x  1

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 3 -

Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Nguyên hàm - Tích phân

BÀI 03. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 02)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 03. Các phương pháp tính ngun hàm (Phần 02)
thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài
03. Các phương pháp tính nguyên hàm (phần 02), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

6. Ba kỹ năng cơ bản
a) Kỹ năng đưa vào dấu vi phân

d  f ( x)  f '( x)dx
Chú ý: dx  d ( x  C )
Bài tập mẫu: Tìm nguyên hàm (tiếp)
e2 x

4. I  

3

(e2 x  3)2

dx

x 1
dx

x  2 x  15

6. I  

2

5. I  

2x
x  x2 1

7. I   tan 3 xdx

dx

8. I  

dx
sin x(2  cot x)
2

b) Kỹ năng thêm bớt
Bài tập mẫu: Tính tích phân

1) I  

cos x
dx
1  cos x

3) I  

3  ex
dx
3  ex

4) I  

1  x2
dx
x  x3

5) I  

3x  2
dx
x3

6) I  

x
dx
( x  4)6

2) I  

dx
e 1
3x

c) Kỹ năng tách
Bài tập mẫu: Tính tích phân

1) I  

dx
4  x2

2) I  

dx
x  9x  8
2

3) I  

dx
2 x  5x  2
2

4) I  

dx
x( x8  1)

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn
- Trang | 1 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Nguyên hàm- Tích phân

BÀI 03. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 02)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 03. Các phương pháp tính ngun hàm
(Phần 02) thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra,
củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 03. Các phương pháp tính nguyên hàm
(phần 02). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số :




b. f ( x)  t anx.tan   x  tan   x 
3

3


a. f ( x)  cos3xcos5x

Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số :
a. f ( x)  sin 3 x.sin 3x

b. f ( x)  sin 3 x.cos3x+cos3 x.sin 3x

Bài 3 : Tìm nguyên hàm của hàm số :
a. f ( x)  tan 2 x

b) f ( x) 

Bài 4: Tìm nguyên hàm f ( x) 

1
sin x.cos 2 x
2

1
x2  x2

Bài 5: Tìm nguyên hàm
a.

x3
 x  1 dx

b.  x 4 x  7dx
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Nguyên hàm – Tích phân

BÀI 03. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 02)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 03. Các phương pháp tính ngun hàm
(Phần 02) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra,
củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 03. Các phương pháp tính nguyên hàm
(phần 02). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số :
a. f ( x)  cos3xcos5x




b. f ( x)  t anx.tan   x  tan   x 
3

3



Giải:
a) Ta biến đổi : f ( x)  cos3xcos5x=
Khi đó : I   f ( x)dx 

cos8x+cos2x 1
1
 cos8x+ cos2x
2
2
2

1
1
1
1
 cos8xdx+ 2  cos2xdx= 16 sin 8x  4 sin 2 x  C
2


 

s inx.sin   x  sin   x 







3
 3

b) Ta biến đổi : f ( x)  t anx.tan   x  tan   x  


3

3
 cosx.cos   x  cos   x 




3

3

2 

1
1
1
s inx.  cos2x-cos
 cos2x.sinx+ s inx
 sin 3x  s inx   s inx sin 3x
3 

2
2



2

1
1
1
2 
cos3x

cosx  cos2x+cos
 cos2x.cosx- 2 cosx 2  cos3x+cosx   2 cosx
3 


Khi đó : I   f ( x)dx  

sin 3x
1 3sin 3x
1 d  cos3x 
1
dx  
dx   
  ln cos3x  C
cos3x
3 cos3x
3
cos3x
3

Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số :
a. f ( x)  sin 3 x.sin 3x
b. f ( x)  sin 3 x.cos3x+cos3 x.sin 3x
Giải:
1 2
 3sin x  sin 3 x  3
a. Ta có : f ( x)  sin 3 x.sin 3 x  sin 3 x 
  sin 3 x.s inx- sin 3 x
4
4

 4



3
1
3
1
3
1
 cos2x-cos4x   1  cos6x   cos2x+ cos6x- cos4x- .
8
8
8
8
8
8
Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Ngun hàm – Tích phân

1
3
1
3
1
3
1
3
Do đó : I   f ( x)dx    cos2x+ cos6x- cos4x-  dx  sin 2 x  sin 6 x  sin 4 x  x  C
8
8
8
16
48
32
8
8

 3sinx-sin3x 
 cos3x+3cosx 
b. Ta biến đổi : f ( x)  sin 3 x.cos3x+cos3 x.sin 3 x  cos3x 

  sin 3 x 

4
4







3
3
 cos3xsinx+sin3xcosx   sin 4 x
4
4

Do đó : I   f ( x)dx 

3
3
 sin 4xdx   16 cos4x+C
4

Bài 3 : Tìm nguyên hàm của hàm số :
a. f ( x)  tan 2 x

b) f ( x) 

1

sin x.cos 2 x
2

Giải:
a. Sử dụng kĩ thuật thêm bớt ta có: f ( x)  tan 2 x   tan 2 x  1  1 
Khi đó





1

1
1
cos 2 x

dx

 f ( x)dx    cos x  1 dx   cos x   dx  tan x  x  C


2

b) f ( x) 

2

1
sin x.cos 2 x

2

Sử dụng kĩ thuật thêm bớt 1  sin 2 x  cos 2 x ta có:
f ( x) 

Khi đó

1
sin 2 x  cos 2 x
1
1


 2
2
2
2
2
2
sin x.cos x
sin x.cos x
cos x sin x


1

1

 f ( x)dx    cos x  sin


2

Bài 4: Tìm nguyên hàm f ( x) 

2

dx
dx

  2  tan x  cot x  C
 dx  
2
x
cos x sin x

1
x2  x2

Giải:
Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp

1

x2  x2

f ( x) 

Khi đó



1
f ( x)dx  
4





x2  x2
x2  x2



x2  x2





1
4



x2  x2





3
3
1
1
1 2
1 2
2
x  2  x  2 dx   x  2dx   x  2dx  . ( x  2)  . ( x  2) 2  C
4
4
4 3
4 3

Bài 5: Tìm nguyên hàm
a.

x3
 x  1 dx

b.  x 4 x  7dx

Giải:
x3
( x 3  1)  1
1 
 2
 x  1 dx   x  1 dx    x  x  1  x  1  dx



Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

  ( x 2  x  1)dx  
b)



x

4 x  7dx 

Chuyên đề 03. Nguyên hàm – Tích phân

d ( x  1) 1 3 1 2
 x  x  x  ln x  1  C
x 1
3
2

1
(4 x  7)  7 4 x  7dx
4

3
1
5
3


1 
1 2
2
(4 x  7) 2  7(4 x  7) 2 d (4 x  7)   (4 x  7) 2  7. (4 x  7) 2   C

16 
16  5
3



Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 3 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Nguyên hàm – Tích phân

BÀI 04. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 03)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 04. Các phương pháp tính ngun hàm
(Phần 03) thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra,
củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 04. Các phương pháp tính nguyên hàm
(phần 03). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a. 
3
1  x2 
c. I  

x2 dx
x 1
2

b.



dx
x  2x  3

d. I  

.

2

dx

1  x 

2 3

Bài 2: Tính tích phân bất định sau
a. I   x 2  2  3x 2  dx
8

c.

b.

 x 1  2x  dx

d. I   sin 3 x cosx dx

2 2

53



x 3dx

1 x

cosx.sin 3 x
dx
1  sin 2 x
dx
g. I  
 a  0
x2  a

e. I  

f. I  
h. I  

cos 2 x
dx
sin 8 x
dx

 x  1 x  2

Bài 3: Tính các tích phân bất định sau:
a. I  



x.ln x  x 2  1
x2  1

dx

 x sin xdx
e. I   e sin xdx
g. I   x e dx
c.

2

2x

2

2 2x

b. I  

ln  cosx 
dx
cos 2 x

d. I    x3  x2  2 x  3 sinxdx
f. I   xe3x dx

h. I    x2  2 x  ln xdx

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Nguyên hàm – Tích phân

BÀI 04. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 03)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 04. Các phương pháp tính ngun hàm (Phần 03)
thuộc khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài
04. Các phương pháp tính nguyên hàm (phần 03), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

a) Phƣơng pháp đổi biến số
Quy tắc:
- Đặt ẩn phụ
- Lấy vi phân 2 vế
- Chuyển tích phân sang tích phân theo biến mới
- Thay kết quả trả lại biến cũ
Bài tập mẫu: Tính tích phân
sin 2 x
1) I  
dx
4  cos 2 x

3) I   x (1  x ) dx
9

5 3

sin 3 x
2) I  
dx
cos 2 x
ln x
4) I  
dx
x(3  ln x)

5) I  

(e x  1)e x
ex 1

dx

b) Tích phân từng phần
*) Cơng thức: I   udv  uv   vdu
*) Các dạng bài tập
+ Dạng I:

 P( x).R(sin x,cos x)dx

 P( x )  u
Đặt 

 R(sin x,cos x)dx  dv
Bài tập mẫu: Tính tích phân
1) I   (5 x  3) cos xdx
+ Dạng II:

2) I  

x cos x
dx
sin 3 x

 P( x).ln  f ( x)dx

ln  f ( x )  u

Đặt 
 P( x)dx  dv


Bài tập mẫu: Tính tích phân
1) I   x.ln(5  x 2 )dx

2) I  

ln x
dx
( x  1) 2

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 1 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân

BÀI 04. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 03)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 04. Các phương pháp tính ngun hàm
(Phần 03) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra,
củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 04. Các phương pháp tính nguyên hàm
(phần 03). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a. 
3
1  x2 

x2 dx

c. I  

x 1
2

b.

dx



x  2x  3
2

dx

d. I  

.

1  x 

2 3

Giải
  
a. Đặt : x = sint ; t    ;   dx  costdt
 2 2
dx
costdt

costdt
dt
Suy ra :



 d  tan t  .
3
3
3
cos t cos2t
1  x2
1-sin 2t



Khi đó :





dx

1  x 

2 3





  d  tan t   tan t  C 

b. Vì : x 2  2 x  3   x  1 
2

sin t
1  sin 2 t

x



1  x2

C

 2  , nên
2

dt
x 1
  
; tan t 
Đặt : x  1  2 tan t ; t    ;   dx  2.
2
cos t
2
 2 2

dx
dx
dt
dt
1 costdt
Suy ra :




.
2
2
2
2cost
2 1-sin t
x2  2 x  3
2  tan 2 t  1.cos 2t
 x  1  2

 



Khi đó :



 costdt costdt 
.


.
2 2  sint-1 sint+1 
1

dx
x  2x  3
2



1
2

 costdt

costdt 



 
2   sint-1 sint+1 
2

1
2

ln

sin t  1

 C (*)
sin t  1

 x  1  sin 2 t  1 
x 1
sin 2 t
2
Từ : tan t 
. Ta tìm được sint , thay vào (*) ta
 tan 2 t 

2
2
1  sin t
2
x  2x  3
2
tính được I .
2

c. I  

x2 dx
x2 1

.

Vì điều kiện : x  1 , nên ta xét hai trường hợp :
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương



Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân

Với x>1
Đặt x 

x 2 dx

Do đó :

x2 1

1
2 cos 2tdt
 
; t   0;   dx  
.
sin 2t
sin 2 2t
 4

1


sin 2 2t.

1
1
sin 2 2t

2  sin 2 t  cos 2t  dt
2dt
 2 cos 2tdt 

 3 
2
sin 2t
8sin 3 t cos3 t
 sin 2t 

1
1
1
2
1 

.
=   cot t. 2  tan t.
 dt
2
4
sin t

cos t tan t cos 2t 

Vậy

:

1 
2
1 1
1


2
2
   cot t.d (cot t )  tan t.d (tan t )  tan t .d (tan t )    4   2 cot t  2 tan t  2 ln tan t   C
4 



1
1
 x x 2  1  ln x  x 2  1  C
2
2
 Với x<1 . Đề nghị học sinh tự làm .
* Chú ý : Tích phân dạng này ta có thể giải bằng cách khác nhanh hơn :
I I 

Ta có :

x2
x2  1



x2 1  1
x2 1

 x2 1 

Với : J   x  1dx  x x  1  
2

2

1
x2 1

x2
x 1
2

I 

x 2 dx
x2 1

  x 2  1dx  

dx

x2 1

 J  K 1

dx  x x 2  1  I  a 

Tích phân :
dx
K 
 ln x  x 2  1  I  x x 2  1  I  ln x  x 2  1
2
x 1
1
1
 2 I  x x 2  1  ln x  x 2  1  I  x x 2  1  ln x  x 2  1  C
2
2
dx
d. Tính tích phân: I  
3
1  x2 
dt
  
Đặt : x  tan t ; t    ;   dx 
cos 2t
 2 2
dx
1
dt
Suy ra :


.
 costdt .
3
3 cos 2t
2
2
1  x  1  tan t 

Khi đó : I  

dx

1  x 

2 3

  costdt  sin t  C 

x
1  x2

C

Chú ý :
1. Sở dĩ trong ví dụ trên có kết quả như vậy vì :

1
x


;sin t 
cost=
1+x 2
1  x2


t     ;    cost>0  cos 2t  cost;sint=tant.cost= x
  2 2

1  x2
 
Bài 2: Tính tích phân bất định sau
Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân

a. I   x 2  2  3x 2  dx
8

c.

b.

 x 1  2x  dx



d. I   sin 3 x cosx dx

2 2

53

x 3dx
1 x

cosx.sin 3 x
dx
1  sin 2 x
dx
g. I  
 a  0
x2  a

e. I  

f. I  
h. I  

cos 2 x
dx
sin 8 x
dx

 x  1 x  2

Giải
a. I   x 2  2  3x 2  dx
8

dt  6 xdx
8

 2t  8 1 8 9
Đặt : t  2  3x   2 2  t  x 2  2  3x 2   
 t   2t  t  .
3
x 
 3 

3

8
9
10
1
2
1
2
1
Vậy : I   x 2  2  3x 2  dx  2 t 8 dt   t 9 dt  t 9  t10  C   2  3x 2    2  3x 2   C
3
27

30
27
30
2



b.





x 3dx
1 x

x  1 t 2
x 2 dx 1  t
Đặt : t= 1  x  


1 x
dx  2tdt
Vậy :



 3t 4  t 6  dt .

4

6
2
2
3
1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  1  x  C
3
5
7

 x 1  2x  dx
2 2

53

Đặt : t =

3

1  2 x   t  1  2 x   x
2

3

Do đó : x 5 3 1  2 x 2  dx 
2

Vậy :
=

2

x 3 dx
4
6
2
   2  4t 2  6t 4  2t 6  dt  2t  t 3  t 5  t 7  C
3
5
7
1 x

 2 1  x 
c.

  2tdt   2 1  2t

t

2 3

2

2 2



1 t3
3
 2 xdx   t 2 dt
2

2

1 t3 2  3 2  3 7 4
.t   t dt    t  t  dt
2
 4
 8

 x 1  2 x  dx  8   t
53

2

3

7

31
1 
3
 t 4  dt   t 8  t 5  
 5t 6  8t 3  t 2  C
88
5  320

2
2
3 
5 1  2 x 2   8 1  2 x 2  3 1  2 x 2   C




320 

d. I   sin 3 x cosx dx
Đặt : t =

cosx  t 2  cosx  2tdt=-sinxdx .

Do đó : sin3 x cosx dx  1  cos2 x  cosx sinxdx=  t 4 1 t 2tdt  2 t 6  t 2  dt .

2
2
2
1
Vậy : I   sin 3 x cosx dx  2  t 6  t 2  dt  t 7  t 3  C  cos3 x cosx  cosx cosx +C
7
3
7
2
e. I  

cosx.sin 3 x
dx
1  sin 2 x

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân

sin 2 x  t  1
Đặt : t  1  sin x  
2sin x cos xdx  dt
2

cosx.sin 3 x
1 sin 2 x.2sin x.cosx.dx 1  t  1 dt 1  1 
dx 

 1   dt .
Suy ra :
1  sin 2 x
2
1  sin 2 x
2
t
2 t 

Vậy : I  

cosx.sin 3 x
1  1
1

1
dx   1   dt   t  ln t   C  1  sin 2 x  ln 1  sin 2 x    C
2

1  sin x
2  t
2
2

cos 2 x
dx
sin 8 x

f. I  

2
2
2
2
2
2
cos 2 x cos x  cos x  sin x  1  sin x   1  sin x  sin x
Vì :



sin 8 x
sin 8 x
sin 8 x
2

1

 dt   sin 2 x dx

Đặt : t = cot x  
 1  1  cot 2 x  1  t 2
 sin 2 x


Suy ra :

2
2
cos 2 x
1 
 1 

dx  cot 2 x  6  dx  cot 2 x 1  cot 2 x  . 2  dx  t 2 1  t 2  dt
8
sin x
sin x 
 sin x 


cos 2 x
2
1 
1
Vậy : I   8 dx     t 2  2t 4  t 6  dt    t 3  t 5  t 7   C . Thay : t = cotx vào .

sin x
5
7 
3

g. I  

dx
x2  a

 a  0

Đặt : t  x  x  a  dt  1 

x

2

Vậy : I  
h. I  

dx
x2  a
dx



x2  a

x 

dx 



x 2  a dx
x2  a

tdx



x2  a



dt

t

dx
x2  a

dt
 ln t  C  ln x  x 2  a  C
t

 x  1 x  2

xét hai trường hợp :
x 1  0

 Với : 
 x  1. Đặt : t  x  1  x  2 
x  2  0
1 1
1 
1

Suy ra : dt  
 dx  2
2  x 1
x2 

Vậy : I  


dx

 x  1 x  2 

 2

 x  1 x  2 

dt
 2ln t  C  2ln
t

x 1  0
Với : 
 x  2. Đặt t =

x  2  0

1
1

Suy ra : dt   
2    x  1


tdx

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt

2dt

t

dx

 x  1 x  2 

x 1  x  2  C

  x  1    x  2 


1
 dx  
2
 x  2 


1



tdx

 x  1 x  2 



2dt

t

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

dx

 x  1 x  2 
- Trang | 4 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Vậy : I  

dx

 x  1 x  2

 2

Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân

dt
 2ln t  C  2ln
t

x 1  x  2  C

Bài 3: Tính các tích phân bất định sau:
a. I  



x.ln x  x 2  1
x2  1

dx





xdx

Viết lại : I   ln x  x 2  1 .

x2  1

.

1 x

u  ln x  x 2  1


x2  1 

du 
Đặt : 

xdx
x  x2  1
dv 


x2  1
v  x 2  1









dx

x2  1







Khi đó : I   u.dv  x2  1ln x  x 2  1   dx  x 2  1ln x  x 2  1  x  C
b. I  

ln  cosx 
dx
cos 2 x

Ta viết lại : I   ln  cosx  .

dx
cos 2 x

s inx

u  ln  cosx  du  
  t anx


cosx

 I   u.dv  t anx.ln  cosx    tan 2 xdx .
Đặt : 

dx
dx
dv 
 v=
 t anx
cos 2 x

  cos 2 x

 1

 1 dx  t anx.ln  cosx   t anx-x+C
Khi đó : I  t anx.ln  cosx    
2
 cos x 

c.

 x sin

2

xdx

1
1
1 2 1
 1  cos2x 
Ta có : I   x 
 dx   xdx   x cos 2 xdx  x  J 1

2
2
2
4
2



Tính : J   x cos 2 xdx
du  dx
u  x
x
1
x
1


 J  sin 2 x   sin 2 xdx  sin 2 x  cos2x+C
Đặt : 
1
2
2
2
4
dv  cos2xdx v  sin 2 x

2

Thay vào (1) : I 

1 2 1 x
1
1
 1

x   sin 2 x  cos2x    x 2  x sin 2 x  cos2x   C
4
22
4
4
2



d. I    x3  x2  2 x  3 sinxdx
Theo nhận xét trên , ta sử dụng phương pháp hệ số bất định
Ta có :

I    x3  x2  2 x  3 sinxdx   a1 x3  b1 x 2  c1x  d1  cosx+  a2 x3  b2 x 2  c2 x  d 2  sinx (1)

Lấy đạo hàm hai vế của (1)

  x3  x2  2 x  3 sinx= a 2 x3   3a1  b2  x2   2b1  c2  x  c1  d2  cosx



Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân

- a1 x3   3a2  b1  x2   2b2  c1  x  c2  d1  sinx  2


a2  0
a2  1
a1  1; a2  0
3a  b  0 3a  b  1
b  1; b  3

 2 1
1
2
Đồng nhất thức ta được :  1 2


2b1  c2  0 2b2  c1  2
c1  4; c2  2
c1  d 2  0 c2  d1  3 d1  1; d 2  4



Khi đó : I    x3  x2  4 x  1 cosx+  3x 2  2 x  4 sinx+C .

* Có nhận xét gì khi giải bằng cách lấy tích phân từng phần ba lần ( Do đây là đa thức bậc ba ).
Đặt

:

u  x3  x 2  2 x  3 du   3x  2 x  2  dx


 I  cosx  x3  x 2  2 x  3    3x 2  2 x  2  cosxdx (1)

dv  s inxdx

v  cosx

2

Tính :J=   3x2  2 x  2 cosxdx

u  3x 2  2 x  2 du1   6 x  2  dx

 J  s inx  3x 2  2 x  2     6 x  2  s inxdx  2 
Đặt :  1
v1  s inx
dv1  cosxdx


Tính : K=   6 x  2  sinxdx

u  6 x  2
du  6dx

Đặt :  2
 2
 K  cosx  6x-2   6 cosxdx=  cosx  6x-2   6sin x
dv2  s inxdx v2  cosx
Thay các kết quả tìm được lần lượt vào (2) và (1) ta tính được I
J= sinx  3x2  2 x  2   cosx  6x-2  6sin x   sinx  3x2  2 x  4    6 x  2  cosx
I= cosx  x3  x 2  2 x  3  s inx  3x 2  2 x  4   6 x  2 cosx  



I    x3  x2  4 x  1 cosx+  3x 2  2 x  4 sinx+C
- Như vậy vấn đề đặt ra là : Em nào thấy cách nào dễ hiểu và không bị nhầm lẫn , thì chọn cách đó
, khơng nhất thiết là dài hay ngắn , quan trọng nhất là kết quả phải chính xác .
e. I   e2 x sin 2 xdx
1 2x
1 2x
1 2x 1
 1  cos2x 
Ta có : I   e 2 x sin 2 xdx   e 2 x 
 dx   e dx   e cos2xdx  e  J
2
2
2
4
2



1

Tính tích phân J=  e2 x cos2xdx .
du  2sin 2 xdx
u  cos2x 
1
1

 J  e 2 x cos2x+  e 2 x sin 2 xdx  e 2 x cos2x+K
Đặt : 
1 2x
2x
2
2
dv=e dx
v  2 e


2

Tính tích phân K=  e2 x sin 2 xdx .

du1  2cos 2 xdx
u1  sin 2 x
1
1

Đặt : 

 K  e2 x sin 2 x   e2 x cos2xdx  e2 x sin 2 x  J
1 2x
2x

2
2
dv1  e dx v1  e

2

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

 3

- Trang | 6 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân

1 2x

 J  K  2 e cos2x
1

 J  e 2 x  sin 2 x  cos2x 
Từ (2) và (3) ta có hệ : 
4
 J  K  1 e2 x sin 2x



2

Thay vào (1) ta được : I=

1 2x 1 1 2x
1
 1

e  . e  sin 2 x  cos2x   e 2 x 1   sin 2 x  cos2x    C
4
2 4
4
 2


f. I   xe3x dx

du  dx
u  x
1
1
1
1

Đặt : 
  1 3 x  I  xe3 x   e3 x dx  xe3 x  e3 x  C
3x
3
3
3

9
dv  e dx v  e
3

g. I   x2e2x dx
du  2 xdx
u  x 2
1 2 2x
1 2 2x


2x

Đặt : 
1 2 x  I  x e   x.e dx  x e  J
2x
2
2
dv  e dx v  e


2

Tính tích phân J=

 xe

2x

1

dx .

du1  dx
u1  x
1 2x 1 2x
1 2x 1 2x

Đặt : 

1 2 x  J  xe   e dx  xe  e
2x
2
2
2
4
dv1  e dx v1  e

2
1
1
1
1

Thay vào (1) ta được : I= x 2 e 2 x   xe 2 x  e 2 x   C  e 2 x  2 x 2  2 x  1  C
2
4
4
2


* Chú ý :
Qua hai ví dụ trên ta thấy số lần lấy tích phân từng phần bằng với số bậc của đa thức P(x). Nghĩa là : số
bậc của P(x) càng cao thì số lần lấy tích phân từng phần càng nhiều .
h. I    x2  2 x  ln xdx

dx

du  x
u  ln x



Đặt : 
2
dv   x  2 x  dx v  1 x 3  x 2


3


Suy ra :
1

1
 dx  1

1

I   x3  x 2  ln x    x 3  x 2    x 3  x 2  ln x    x 2 dx   xdx 

3

3
 x 3

3

1
1
1

I   x3  x 2  ln x  x 3  x 2  C
9
2
3


Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trị Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 7 -


Khóa học Tốn 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương

Chun đề 03. Ngun hàm - Tích phân

BÀI 05. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 05. Tích phân xác định thuộc khóa học Tốn 12 –
Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 05. Tích phân xác định,
Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

1. Định nghĩa
Cho hàm số f ( x) liên tục trên khoảng K. a, b thuộc K, F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên K. Khi
đó F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ cận từ a tới b (tích phân xác định trên đoạn [a; b]) của hàm f ( x) .
b

Kí hiệu

 f ( x)dx
a

- Dấu



gọi là dấu tích phân

a : cận dưới, b : cận trên
f ( x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân

f ( x) : gọi là hàm lấy tích phân

x : biến lấy tích phân
b

Người ta dùng kí hiệu F ( x) a để chỉ hiệu F(b) – F(a)
b

Do đó ta có :

 f ( x)dx  F ( x)

b
a

 F (b)  F (a)

a

2. Tính chất
a

  f ( x)dx  0
a

b

a

  f ( x)dx    f ( x)dx
a

b

b

b

a

a

  kf ( x)dx  k  f ( x)dx
b

b

b

b

a

a

   f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x)dx   f1 ( x)dx   f 2 ( x)dx  ...   f n ( x)dx
a

a

+ Nếu   a; b thì



b

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

a

a

b

b

b

a

+

b

a

a

 f ( x)dx   f (t )dt   f (u)du

3. Các ví dụ minh họa


1. ĐHKD – 2005 : Tính tích phân : I    esin x  cos x  cos xdx
2

0

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -