Các bài toán về tam giác đồng dạng

I. Đặt vấn đề
Trong chơng trình hình học lớp 8 THCS phần tam giác đồng dạng
có 20 tiết trên tổng số 71 tiết học. Vì vậy loại toán này chiếm vị trí quan
trọng trong chơng trình cấp học. Tuy nhiên việc vận dụng kiến thức ấy
vào giải những bài toán cụ thể ở học sinh còn rất nhiều hạn chế.
Trong giảng dạy tôi thấy để học sinh có thể tự minh giải đợc các
bài toán bằng việc sử dụng kiến thức tam giác đồng dạng, cần giúp học
sinh định hớng và tập trung khai thác kiến thức nêu trên bằng một số ví
dụ cụ thể, đề tài này mong muốn đợc trao đổi kinh nghiệm mà bản thân
tôi đã rút ra trong quá trình giảng dạy ở phân môn hình học lớp 8, việc
khai thác và vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng để giải.
Các ví dụ và cách giải ở bài viết này chỉ là những ví dụ có tính
minh họa cho vấn đề đã nêu còn có nhiều cách giải khác có thể hay hơn,
xin dành lại cho các bạn đọc.
II. Nôi dung:
Các bài toán về tam giác đồng dạng tập trung 3 dạng toán chủ yếu
sau:
1- Các bài toán về tính toán.
2- Các bài tóa về chứng minh.
3- Các bài toán khác.
Sau đây là 11 ví dụ thể hiện ở các dạng nêu trên. Ngoài ra bạn đọc
còn có thể tự giải bài tập theo kiến thức này.
1. Các bài toán về tính toán:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 12cm; AC = 15cm; BC = 18 cm.
Trên cạnh AB, đặt đoạn thẳng AM = 10cm; trên cạnh AC đặt đoạn thẳng AN
= 8cm. Tính độ dài đoạn thẳng MN
Giải
Xét ABC và ANM
Ta có =
Nên
Mặt khác có A chung của hai tam giác nên

ABC ANM (c-g-c)
Ta có hay MN = = 12 (cm)
Ví dụ 2:

Hình thang ABCD (AB//CD) có AB = 4cm; CD =
16cm và BD = 8cm, góc ADB bằng 40
O
. Tính số đo góc C của hình
thang.
Giải:
Xét ABD và BDC có
1
18cm
12cm
15cm
A
B C
M
N
8cm
10cm
S
D C
B
A
16cm
4cm
40
O
8

AB//CD ABD = BCD (so le)
=
=
= =
Vậy ABD BDC (g.c.g) ABD = BCD = 40
O
hay C = 40
O
.
Ví dụ 3: Tam giác vuông ABC (A = 90
O
) có đờng cao AH và trung
tuyến AM. Tính diện tích tam giác AMH, biết rằng BH = 4cm, CH =
9cm.
Giải:
Xét hai tam giác vuông
HBA và HAC
Ta có BAH = ACH
(Góc có cạnh tơng
ứng vuông góc)
Nên HBA HAC
HA
2
= HB.HC = 4.9 = 36
AH = 6(cm)
Mặt khác AM là trung tuyến của ABC BM = = 6,5(cm)
HM = 6,5 - 4 = 2,5 (cm)
Vậy S

AHM

= AH. HM = . 6.2,5 = 6,5 (cm
2
)
2. Các bài toán chứng minh:
Ví dụ 4: Cho hình thang vuông ABCD (A = D = 90
O
), AB =
6cm, CD = 12cm, AD = 17cm. Trên cạnh AD đặt đoạn thẳng AE = 8cm.
Chứng minh BEC = 90
O
.
Giải:
Xét hai tam giác vuông ABE và DEC
Ta có DE = AD - AE = 17-8=9(cm)
Từ đó ta có (vì )
Vậy ABE DEC
2
S
A
C
B
H M
4
9
D
C
B
A
E
12

6
17
S
S
Do đó: AEB = DCE (1)
ABE = DEC (2)
Từ (1) và (2) AEB + DEC = 90
O
nên BEC = 90
O
.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 4cm; BC = 6cm.
Kẻ tia Cx vuông góc với BC (tia Cx và điểm A khác phía so với đờng
thẳng BC). Lấy trên tia Cx điểm D sao cho BD = 9cm . Chứng minh rằng
BD//AC.
Giải:
Xét hai tam giác vuông
ABC và CDB có
(vì )
Suy ra ABC CDB
Và do đó có các góc
tơng ứng bằgn nhau CBD = ACB
Vậy BD// AC (vì có hai góc so le trong bằng nhau)
Ví dụ 6:

Trong lục giác lồi ABCDEF, các góc ở đỉnh A, C, E
bằng nhau và ABF = CBD, AFB = EFD. Chứng minh rằng nếu A' là
điểm đối xứng của A qua BF và không nằm trên đờng thẳng CE thì
ACDE là hình bình hành.
Giải:

EDF A'BF vì có
DEF = BA'F (= BAF)
và EFD = A'FB (= AFB)
Do đó (1)
Ta lại có: A'FE = EFB -A'FB
= EFB - EFD = DFB (2)
Từ (1) và (2) suy ra A'EF BDF (c.g.c)
Chứng minh tơng tự BCA' BDF
Nên A'EF BCA' (tính chất bắc cầu)
Suy ra: vậy A'C = DE (3)
Tơng tự ta có A'E = CD (4)
Từ (3) và (4) ta kết luận: ACDE là hình bình hành.
3
B
D
CA
4
6
9
x
E
D
F
A
B
C
A'
S
S
S

S
S
Ví dụ7: Chứng minh rằng trung điểm hai đáy của một hình thang,
giao điểm hai đờng chéo và giao điểm hai cạnh bên kéo dài của hình
thang đó thẳng hàng.
Giải:
Trong hình vẽ bên ta phải
chứng minh bốn điểm
H,E,G,F thẳng hàng
Nối EG, FG ta đợc
ADG CBG (g.g)
Hay (1)
Ta lại có EAG = FCG (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) AEG CFG (c.g.c)
Nên AGE = CGF . Vậy E, G, F thẳng hàng (3)
Nối EH, FH. Chứng minh tơng tự trên ta đợc AEH BFH
AHE = BHF
Vậy H, E, F thẳng hàng (4)
Từ (3) và (4) ta kết luận H, E, G, F thẳng hàng.
Ví dụ 8: Tam giác ABC có ba đờng cao AD, BE, CF đồng quy tại
H. Chứng minh rằng: AH. DH = BH . EH = CH . FH.
Giải:
Ta có tam giác AFH và
tam giác CDH là hai tam giác
vuông có AHF = CHD vì
hai góc đối đỉnh
Nên AFH CDH (g.g)
AH. DH = CH.FH (1)
Chứng minh tơng tự ta có BFH CEH
BH. EH = CH.FH (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH.DH = BH.EH = CH .FH
Ví dụ 9: Lấy điểm M trên đờng chéo AC của tứ giác ABCD có B=D =
90
O
, kẻ MN BC (NBC) và MPAD (PAD). Chứng minh
Giải:
Vì AB BC (gt)
4
S
C
B
F
A
D
H
E
G
S
S
C
B
D
F
E
A
H
S
S
MNBC (gt)
Nên MN//AB

CNM CBA (1)
Ta có MP//CD nên AMP ACD
(2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta đợc:
Vậy
3. Các bài toán khác:
Ví dụ 10: Dựng tam giác ABC biết B = 60
O
; C = 40
O
và đờng cao AH
=h.
Giải:
Cách dựng:
- Dựng AB'C' có B' =60
O
C' = 40
O
- Vẽ đờng cao AH'
- Trên tia AH' lấy điểm H
sao cho AH = h
- Dựng đờng thẳng d đi qua H và song song với
B'C cắt AB' và AC' lần lợt ở B,C
ABC là tam giác cần dựng
Chứng minh: Theo cách dựng có AB//B'C'
ABC AB'C' B = B' = 60
O
; C =C' = 40
O
AH' B'C' AHBC và AH = H

Phần còn lại ngời đọc tự giải tiếp
Ví dụ 11: Cho tam gac ABC có A = 60
O
, AB = 6cm, AC = 9cm.
Dựng tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỷ số đồng dạng K=
Giải:
Cách dựng:
- Dựng xA'y = A = 60
O
Trên A'x và A'y theo thứ tự
5
S
S
D
C
B
N
A
M
S
A
C
C'
H'
B'
B
H
d
h
60

O
40
O
A'
C'
y
x
B'
60
O
S
lấy các điểm B',C' sao cho
(lấy A'B' = AB = 2(cm))
(hay A'C' = AC = 3(cm))
Tam giác A'B'C' là tam giác phải chứng minh
Theo cách dựng ta có (1)
(2)
A' = A
Suy ra: và A' = A vậy A'B'C' ABC
(Trờng hợp thứ ba)
4. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Giả sử AC là đờng chéo lớn củ hình bình hành ABCD. Từ C,
vẽ đờng vuông góc CE với đờng thẳng AB, đờng vuông góc CF với đờng
thẳng AD (E,F thuộc phần kéo dài của các cạnh AB và AD). Chứng minh
rằng AB.AE+AD.AF = AC
2
.
Bài 2: Cho tam giác đều ABC. Một đờng thẳng song song với AC
cắt các cạnh AB, BC ở M và P. Gọi D là tâm của PMB, E là trung điểm
của AP. Tính các góc của DEC.

Bài 3: Cho hình bảy cạnh đều A
1
A
1
A
7
.
Chứng minh rằng:
Bài 4: Hình thang ABCD (BC//AD) có BC = 6cm; AD = 11cm và
AB=4cm. Tính độ dài đờng cao của hình thang biết BAD + CDA = 90
O
.
Bài 5: Cho các hình bình hành ABCD, AMPN 9MAB và NAD,
P ở trong hình bình hành ABCD). Gọi Q là giao điểm của DM và BN.
Chứng minh điểm Q,P,C thẳng hàng.
III. Kết luận:
Việc xác định đợc và vận dụng đúng tam giác đồng dạng không
phải là dễ dàng trong mọi bài toán. Trong quá trình giảng dạy ở các năm
học vừa qua tôi đã thực nghiệm nội dung của đề tài này và thấy đợc tác
dụng tính tích cực của nó. Từ chỗ học sinh còn rất lúng túng để xác định
đợc lời giải thì đến đây các em đã khá chủ động trong vấn đề này. Nhất là
những bài toán hình học có nội dung chứng minh, đã trở thành quen
6
S
thuộc với các em, làm cho không khí lớp học trở nên sôi động, học sinh
tự tin hơn trong quá trình giải bài.
Với tác dụng nhất định của nó, đề tài "Sử dụng tam giác đồng dạng
để giải một số bài toán hình học lớp 8" vẫn còn tiếp tục đợc vận dụng
trong những năm học tiếp theo. Tuy vậy, do còn nhiều mặt hạn chế của
tôi nên chắc chắn đề tài không khỏi có những thiếu sót và hạn hẹp. Rất

mong ngời đọc góp ý, xây dựng./.
7
8
phòng giáo dục huyện nga sơn
Trờng THCS nga hng

Sử dụng kiến thức về tam giác đồng dạng để giải
một số bài toán hình học 8 THCS
********
Họ và tên: Mai Thị Hải Yến
Đơn vị: Trờng THCS Nga Hng-Nga Sơn
Năm học : 2004 - 2005
*********