MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN TRONG VÀNH CHIA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN



LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN
VỀ VÀNH CHIA


Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực hiện

ThS. PHẠM THỊ VUI

HỒ NGỌC TRÂM
MSSV: 1100075
Lớp: SP Toán K36

Cần Thơ, 2014
LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, bên cạnh sự cố gắng của bản thân thì em cần
phải được trang bị những kiến thức cần thiết và sự giúp đỡ của thầy cô và bạn bè
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý Thầy Cô trong Khoa Sư Phạm Bộ
môn Sư phạm Toán Trường Đại học Cần thơ đã tận tình dạy dỗ, trang bị cho em

những kiến thức bổ ích trong suốt những năm đại học.
Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô Phạm Thị Vui đã tận tình
hướng dẫn, cung cấp tài liệu và giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Cảm ơn tất cả người thân và bạn bè đã động viên giúp đỡ em về mặt kiến
thức lẫn tinh thần.
Tuy đã cố gắng hết sức nhưng do kiến thức vẫn còn hạn chế nên luận văn
không thể tránh khỏi những sai sót. Mong quý thầy cô và các bạn đọc thông cảm và
đóng góp ý kiến để luận văn được hoàn thiện hơn!

Cần Thơ, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện
Hồ Ngọc Trâm










MỤC LỤC
A. PHẦN MỞ ĐẦU 1

B. PHẦN NỘI DUNG 3

1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………………………………………….3

1.1

NHÓM 3

1.2

VÀNH 6

1.3

MIỀN NGUYÊN VÀ TRƯỜNG 15

1.4

KHÔNG GIAN VECTƠ 17

1.5

MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ BẬC CỦA MỞ RỘNG TRƯỜNG 18

1.6

ĐẠI SỐ 22

1.7

ĐẠI SỐ ĐÓNG 23

2

VÀNH CHIA. 24

2.1

ĐỊNH NGHĨA 24

2.2

VÍ DỤ 25

2.3

ĐỊNH LÝ WEDDERBURN 28

2.4

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 33

2.5

HOÁN TỬ TRONG VÀNH CHIA 44

2.6

ĐẠI SỐ CHIA 51

2.7

NHÓM CON TỐI ĐẠI 54

2.8

ĐA THỨC TRÊN VÀNH CHIA 58

2.9

ĐỊNH LÝ KAPLANSKY 72

C. PHẦN KẾT LUẬN 74

TÀI LIỆU THAM KHẢO… 75


1


A. PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong suốt thời gian học tập tại trường Đại học Cần thơ, em đã được tiếp thu
những kiến thức về mảng đại số, đặc biệt là những tính chất về nhóm, vành,
trường,… Tuy nhiên trong đó có một loại vành đặc biệt là Vành chia – vành mà có
các tính chất giống như trường ngoại trừ tính giao hoán. Do không có tính giao hoán
nên vành chia phát sinh nhiều tính chất đặc biệt thú vị, bản thân em thấy thích thú
với những tính chất này. Tuy nhiên, tài liệu tiếng Việt về vành chia còn rất ít nên
việc nghiên cứu của sinh viên còn gặp nhiều khó khăn. Vì vậy em quyết định chọn
đề tài “Một số vấn đề cơ bản về vành chia” nhằm tìm hiểu và tổng hợp những tính
chất cơ bản đối chiếu với những tính chất đã học về vành giao hoán, nâng cao kiến
thức về đại số nói chung, và hơn nữa là đưa ra một tài liệu cơ bản hoàn chỉnh giúp

ích cho việc đọc hiểu và nghiên cứu những tài liệu chuyên sâu sau này của sinh
viên.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn này là trình bài các khái niệm và một số
tính chất cơ bản của vành chia. Sau đó, so sánh với các kiến thức đã học, bên cạnh
đó tạo tiền đề để nghiên cứu chuyên sâu hơn về những tài liệu Đại số liên quan.
3. Phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ luận văn này chỉ nghiên cứu một số khái niệm và tính chất
cơ bản về vành chia, nhóm con và đa thức trên vành chia.
4. Phương pháp nghiên cứu
•
••
• Sưu tầm tài liệu có liên quan đến đề tài của mình.
•
••
• Dịch ra tiếng Việt những tài liệu tiếng Anh.
•
••
• Đọc tài liệu và liên hệ với các kiến thức đã học, chọn lọc ra những khái niệm
và tính chất cơ bản.
•
••
• Phân tích, tìm ra mối liên hệ, hệ thống hóa và sắp xếp các phần hợp lý hơn.

2


•
••
• Đọc hiểu các chứng minh và trình bày lại ngắn gọn dễ hiểu hơn, chứng minh

thêm một vài tính chất cơ bản.




















3


B. PHẦN NỘI DUNG
1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 NHÓM
1.1.1 Định nghĩa
Cho tập G và một phép toán hai ngôi (kí hiệu là *) trong G lập thành một
nhóm (kí hiệu là (G, *)), với phép toán * nếu:

(G1)
, , : *( * ) ( * )*
a b c G a b c a b c
∀ ∈ =
(tính kết hợp)
(G2)
,
a G
∀ ∈ ∃
phần tử trung hòa
θ
sao cho:
* *
a a a
θ θ
= =

(G3)
a G
∀ ∈
, tồn tại phần tử đối xứng
a’
sao cho
* ' '*
a a a a
θ
= =
.
G
là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) nếu:

(G4)
, : * *
a b G a b b a
∀ ∈ =
. (tính giao hoán)
1.1.2 Tính chất
Cho
H
,
K
là hai nhóm con của nhóm
G
. Nếu
H K
∪
là một nhóm thì hoặc
H K
⊆
hoặc
K H
⊆
.

Ch
ứ
ng minh
:
Giả sử ngược lại. Khi đó
H K
⊄

và
K H
⊄
. Lấy
\
x H K
∈
và lấy
\
y K H
∈
, từ
H K
∪
là nhóm nên
xy H K
∈ ∪
. Nếu
xy H
∈
thì
y H
∈
vô lý, còn
nếu
xy K
∈
thì
x K
∈

điều này cũng vô lý. Do đó tính chất được chứng minh.
1.1.3 Định nghĩa (Nhóm con cyclic và nhóm cyclic)
Nhóm con
H
của nhóm
X
được gọi là
nhóm con cyclic
nếu tồn tại phần tử
x X
∈
sao cho
x H
=
.
Nhóm
X
được gọi là
nhóm cyclic
nếu tồn tại
x X
∈
sao cho
x X
=
. Lúc
này phần tử
x
được gọi là phần tử sinh.

4


1.1.4 Định nghĩa
Nhóm con
H
của nhóm
G
được gọi là
nhóm con chu
ẩ
n t
ắ
c
của
G
nếu
,
Hx xH x G
= ∀ ∈
, hay tương đương
1
, ,
x hx H x G h H
−
∈ ∀ ∈ ∀ ∈
. (Với
Hx
và
xH

lần
lượt là các lớp ghép phải và lớp ghép trái của
H
).
1.1.5 Định nghĩa
Cho
S
là một tập khác rỗng và
X
là một nhóm. Ánh xạ

*: x
X S S
→


( , ) *
x s x s
֏

được gọi là
m
ộ
t tác
độ
ng c
ủ
a nhóm X lên t
ậ
p S

nếu nó thỏa hai điều kiện sau:
(i)
*
e s s
=
, với mọi
s S
∈
.
(ii)
*( * ) ( )*
x y s xy s
=
, với mọi
, ;
x y X s S
∈ ∈
.
+ Ta gọi
{
}
| *
s
X x X x s s
= ∈ =
là
nhóm con
ổ
n
đị

nh
của
s
trong
X
.
+ Lớp tương đương
{
}
{
}
~
[ ] | : * * |
s t S x X t x s x s x X
= ∈ ∃ ∈ = = ∈
được gọi
là
qu
ỹ

đạ
o c
ủ
a ph
ầ
n t
ử
s
. Kí hiệu
X*s

hoặc orb(
s
). Khi đó ta được
( )
s
S orb s
∈Γ
=
∪
,
trong đó
Γ
là tập hợp đầy đủ các phần tử đại diện của quỹ đạo.
+
(s) [ : ]
s
orb X X
=
;
[ : ]
s
s
S X X
∈Γ
=
∑
(I)
1.1.6 Định nghĩa
Cho X là nhóm, ta xét ánh xạ sau:

*: x
X X X
→


1
( , ) *
x g x g xgx
−
=
֏

được gọi là tác động liên hợp trong nhóm X.
+ Nếu
a X
∈
thì
{
}
1
| ( )
a
X x X xax a C a
−
= ∈ = = . Hiển nhiên
( )
C a X
=
khi
và chỉ khi

( )
a Z X
∈
. Do đó nếu
X
là nhóm hữu hạn thì công thức (I) trở thành

[
]
( ) : ( )
i
i I
X Z X X C x
∈
= +
∑
(II)

5


trong đó
{
}
|
i
x i I
∈
là tập các phần tử thuộc
X

đôi một không liên hợp nhau và
không nằm trong tâm
Z
(
X
). Công thức (II) được gọi là
công th
ứ
c l
ớ
p
.
1.1.7 Định nghĩa
Nhóm X được gọi là nhóm giải được nếu có một dãy hữu hạn các nhóm con
0 1
{ }
n
X X X X e
= ≥ ≥ ≥ =
thỏa hai điều kiện sau:
(i)
1
i i
X X
−
⊲
với mọi
1
i n
≤ ≤

.
(ii)
1
/
i i
X X
−
là nhóm Abel v
ớ
i m
ọ
i i,
1
i n
≤ ≤
.
1.1.8 Định nghĩa

M
ộ
t nhóm G
đượ
c g
ọ
i là l
ũ
y linh n
ế
u t
ồ

n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
t
ự
nhiên m sao cho
( ) {1}
m
C G
=
. S
ố
t
ự
nhiên n nh
ỏ
nh
ấ
t sao cho
( ) {1}
n
C G
=

đượ
c g
ọ

i là l
ớ
p l
ũ
y linh
c
ủ
a nhóm G và kí hi
ệ
u là
( )
cl G n
=
.
1.1.9 Định nghĩa

H là nhóm con t
ố
i
đạ
i c
ủ
a G n
ế
u không có m
ộ
t nhóm con th
ự
c s
ự

nào n
ằ
m
gi
ữ
a H và G, (theo quan h
ệ
bao hàm).
1.1.10 Định nghĩa

Cho G là nhóm và
,
x y G
∈
. Ph
ầ
n t
ử

1 1
xyx y
− −

đượ
c g
ọ
i là hoán t
ử
c
ủ

a x và y,
kí hi
ệ
u
[
]
,
x y
. Nhóm con c
ủ
a G sinh b
ở
i t
ấ
t c
ả
các hoán t
ử

đượ
c g
ọ
i là nhóm con
hoán t
ử
c
ủ
a G. Kí hi
ệ
u là

[
]
,
G G
ho
ặ
c G’.
1.1.11 Định nghĩa

Cho G là m
ộ
t nhóm. Hai ph
ầ
n t
ử
a và b c
ủ
a G
đượ
c g
ọ
i là liên h
ợ
p v
ớ
i nhau
n
ế
u t
ồ

n t
ạ
i m
ộ
t ph
ầ
n t
ử

g G
∈
sao cho
1
gag b
−
=
.
Chú ý:
Có th
ể
ch
ứ
ng minh
đượ
c r
ằ
ng quan h
ệ
liên h
ợ

p là m
ộ
t quan h
ệ
t
ươ
ng
đươ
ng, và do
đ
ó nó phân ho
ạ
ch G thành các l
ớ
p t
ươ
ng
đươ
ng. (
Đ
i
ề
u này có ngh
ĩ
a là
m
ọ
i ph
ầ
n t

ử
c
ủ
a m
ộ
t nhóm thu
ộ
c vào duy nh
ấ
t m
ộ
t l
ớ
p liên h
ợ
p, và hai l
ớ
p liên
h
ợ
p
( )
Cl a
và
( )
Cl b
trùng nhau khi và ch
ỉ
khi a, b liên h
ợ

p, n
ế
u không, hai l
ớ
p này
tách r
ờ
i nhau). L
ớ
p t
ươ
ng
đươ
ng ch
ứ
a ph
ầ
n t
ử

a G
∈
là

{
}
1
( ) |
Cl a gag g G
−

= ∈


6


và nó
đượ
c g
ọ
i là l
ớ
p liên h
ợ
p c
ủ
a a. S
ố
liên h
ợ
p c
ủ
a G là s
ố
các l
ớ
p liên h
ợ
p phân
bi

ệ
t. M
ọ
i ph
ầ
n t
ử
thu
ộ
c cùng m
ộ
t l
ớ
p liên h
ợ
p thì có cùng c
ấ
p.
1.1.12 Định nghĩa
i)

Cho H, K là hai nhóm con c
ủ
a G. K
đượ
c g
ọ
i là chu
ẩ
n hóa H ho

ặ
c H
đượ
c
g
ọ
i là
đượ
c chu
ẩ
n hóa b
ở
i K n
ế
u v
ớ
i m
ọ
i
1
,
x K x Hx H
−
∈ ⊆
.
ii)

Cho G là m
ộ
t nhóm, ph

ầ
n t
ử

a G
∈

đượ
c g
ọ
i là xo
ắ
n n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i s
ố
nguyên
d
ươ
ng n(a) sao cho a
n(a)
= 1.
iii)

G
đượ

c g
ọ
i là nhóm xo
ắ
n n
ế
u m
ọ
i ph
ầ
n t
ử
n
ằ
m trong G
đề
u là ph
ầ
n t
ử
xo
ắ
n.
iv)

Cho G là m
ộ
t nhóm. G
đượ
c g

ọ
i là h
ữ
u h
ạ
n
đị
a ph
ươ
ng n
ế
u m
ọ
i nhóm con
h
ữ
u h
ạ
n sinh c
ủ
a G
đề
u là nhóm con h
ữ
u h
ạ
n.
v)

Cho G là m

ộ
t nhóm, ta
đị
nh ngh
ĩ
a

[
]
0 (1) ( 1) ( ) ( )
, ' , , ,
n n n
G G G G G G G G G
+
 
= = = =
 
.

{
}
[
]
(
)
1
0 1
( ) 1 , / ( )
n n n
Z G Z Z G Z G

π
−
+
= =

Với
: / ( )
n n
G G Z G
π
→
là đồng cấu tự nhiên.
1.2 VÀNH
1.2.1 Định nghĩa
Vành là một tập hợp R cùng với hai phép toán hai ngôi trên R gồm phép cộng
(+) và phép nhân (.) thoả mãn các điều kiện sau:
(1) (R, +) là một nhóm Abel;
(2) Phép nhân có tính kết hợp
Với mọi
, ,
x y z X
∈
, ta có:
( ) ( )
x yz xy z
=
;
(3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng:
, ,
x y z X

∀ ∈
, ta có:

( )
x y z xy xz
+ = +


( )
y z x yx zx
+ = +
.

7


1.2.2 Định nghĩa
Vành R được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân của nó có tính giao hoán.
Vành R được gọi là vành có đơn vị nếu trong R tồn tại phần tử đơn vị (kí hiệu
là 1) đối với phép nhân. Tức là:
: 1 1
a A a a a
∀ ∈ = =
.
1.2.3 Định nghĩa

Vành R giao hoán, có
đơ
n v
ị

đượ
c g
ọ
i là mi
ề
n nguyên n
ế
u R không có
ướ
c
c
ủ
a 0. Ngh
ĩ
a là,
0
ab
=
suy ra
0
a
=
ho
ặ
c
0
b
=
v

ớ
i m
ọ
i
,
a b R
∈
.
1.2.4 Định nghĩa

M
ộ
t t
ậ
p con A khác r
ỗ
ng c
ủ
a vành R
đượ
c g
ọ
i là vành con c
ủ
a vành R n
ế
u A
cùng v
ớ
i hai phép toán c

ả
m sinh trên A là m
ộ
t vành. T
ứ
c là
,
x y A
∀ ∈
, ta có
, ,
x y A xy A x A
+ ∈ ∈ − ∈
.

1.2.5 Định nghĩa

Cho R là m
ộ
t vành.
(1) Vành con A c
ủ
a R
đượ
c g
ọ
i là ideal trái c
ủ
a R n
ế

u
, và
xa A x X a A
∈ ∀ ∈ ∀ ∈
.
(2) Vành con A c
ủ
a R
đượ
c g
ọ
i là ideal ph
ả
i c
ủ
a R n
ế
u
, và
ax A x X a A
∈ ∀ ∈ ∀ ∈
.
(3) Vành con A c
ủ
a R
đượ
c g
ọ
i là ideal c
ủ

a R n
ế
u A v
ừ
a là ideal trái v
ừ
a là ideal
ph
ả
i c
ủ
a R.
1.2.6 Định nghĩa

Cho R là m
ộ
t vành, X là vành con c
ủ
a R.
Giao t
ấ
t c
ả
các ideal c
ủ
a R ch
ứ
a X là m
ộ
t ideal I c

ủ
a R. Khi
đ
ó I
đượ
c g
ọ
i là
ideal sinh b
ở
i X.
Tr
ườ
ng h
ợ
p
{
}
X a
=
, ta g
ọ
i I là ideal sinh b
ở
i ph
ầ
n t
ử
a, hay còn g
ọ

i là ideal
chính sinh b
ở
i a, kí hi
ệ
u
a
.
Vành R
đượ
c g
ọ
i là vành chính n
ế
u R là mi
ề
n nguyên có m
ọ
i ideal c
ủ
a nó là
ideal chính.

8


1.2.7 Định nghĩa

Vành
0

R
≠

đượ
c g
ọ
i là vành
đơ
n n
ế
u nó ch
ỉ
có hai ideal (0) và R.
1.2.8 Định nghĩa
Cho R là m
ộ
t vành giao hoán, có
đơ
n v
ị
:
(i) Ideal A c
ủ
a R
đượ
c g
ọ
i là ideal nguyên t
ố
n

ế
u
A R
≠
và
,
x y R
∀ ∈
, t
ừ

xy

suy ra r
ằ
ng
x A
∈
ho
ặ
c
y A
∈
.
(ii) Ideal A c
ủ
a R
đượ
c g
ọ

i là ideal t
ố
i
đạ
i n
ế
u
A R
≠
và n
ế
u B là m
ộ
t ideal
c
ủ
a R,
,
A B A B
⊂ ≠
thì ph
ả
i có
B R
=
.
Ideal A c
ủ
a R
đượ

c g
ọ
i là ideal t
ố
i ti
ể
u n
ế
u:
{
}
0
A
≠
và th
ỏ
a B là m
ộ
t ideal
c
ủ
a R,
B A
≠
⊂
thì ph
ả
i có
{
}

0
B
=
.
1.2.9 Định nghĩa

M
ộ
t ph
ầ
n t
ử
a trong vành R
đượ
c g
ọ
i là kh
ả
ngh
ị
ch ph
ả
i n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
b R

∈

sao cho
1
ab
=
. Khi
đ
ó b
đượ
c g
ọ
i là ph
ầ
n t
ử
ngh
ị
ch
đả
o ph
ả
i c
ủ
a a. Ph
ầ
n t
ử
ngh
ị

ch
đả
o trái
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a t
ươ
ng t
ự
. N
ế
u a có c
ả
ngh
ị
ch
đả
o trái b và ngh
ị
ch
đả
o ph
ả
i
b’, khi
đ
ó

' '( ) ( ' )
b b ab b a b b
= = =
.
Trong tr
ườ
ng h
ợ
p này ta nói r
ằ
ng a là kh
ả
ngh
ị
ch trong R, và g
ọ
i
'
b b
=
là
ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a a. Ta vi
ế
t

( )
U R
là t
ậ
p h
ợ
p các ph
ầ
n t
ử
kh
ả
ngh
ị
ch trong R;
đ
ó là
nhóm nhân c
ủ
a R (v
ớ
i
đơ
n v
ị
là 1).
1.2.10 Định nghĩa

Gi
ả

s
ử
X là m
ộ
t vành. N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng nh
ỏ
nh
ấ
t n sao cho
0
na
=

( )
a X
∀ ∈
, thì ta nói vành X có
đặ
c s
ố

n. N
ế
u không t
ồ
n t
ạ
i s
ố
n nh
ư
v
ậ
y thì
vành X có
đặ
c s
ố
0.
Đặ
c s
ố
c
ủ
a vành X
đượ
c kí hi
ệ
u là
CharX
. N

ế
u X là tr
ườ
ng thì
ta hi
ể
u
đặ
c s
ố
c
ủ
a tr
ườ
ng X chính là
đặ
c s
ố
c
ủ
a vành X.
1.2.11 Định nghĩa

Trong vành giao hoán có
đơ
n v
ị
X, ph
ầ
n t

ử
x
đượ
c g
ọ
i là ph
ầ
n t
ử
l
ũ
y linh n
ế
u
t
ồ
n t
ạ
i s
ố

*
n
∈
ℕ
sao cho
0
n
x
=

.

9


1.2.12 Định nghĩa

Vành R
đượ
c g
ọ
i là vành rút g
ọ
n n
ế
u R không có ph
ầ
n t
ử
l
ũ
y linh khác 0.
Ngh
ĩ
a là, n
ế
u
a R
∈
và

0
n
a
=
v
ớ
i n là s
ố
nguyên d
ươ
ng nào
đ
ó thì ta có a = 0.
1.2.13 Định nghĩa

Cho R là m
ộ
t vành. S là t
ậ
p con c
ủ
a R. Ph
ầ
n t
ử

a R
∈

đượ

c g
ọ
i là c
ă
n trên S
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng
( )
n a
sao cho
( )n a
a S
∈
. T
ậ
p con A c
ủ
a R
đượ
c g
ọ

i là
c
ă
n trên S n
ế
u m
ọ
i ph
ầ
n t
ử
trong A
đề
u c
ă
n trên S.
1.2.14 Định nghĩa

Cho R là vành giao hoán. C
ă
n nil c
ủ
a R là t
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả

các ph
ầ
n t
ử
l
ũ
y linh
c
ủ
a vành R. Kí hi
ệ
u: Nil R.
1.2.15 Định nghĩa (đồng cấu vành)

Gi
ả
s
ử
X và Y là các vành. Ánh x
ạ

:
f X Y
→

đượ
c g
ọ
i là m
ộ

t
đồ
ng c
ấ
u
vành n
ế
u nó b
ả
o toàn các phép toán c
ủ
a vành, t
ứ
c là v
ớ
i m
ọ
i
,
x y X
∈
, ta có

1)
( ) ( ) ( )
f x y f x f y
+ = +

2)
( ) ( ) ( )

f xy f x f y
=
.
N
ế
u X = Y thì f
đượ
c g
ọ
i là t
ự

đồ
ng c
ấ
u.

Đồ
ng c
ấ
u
:
f X Y
→
g
ọ
i là m
ộ
t
đơ

n c
ấ
u (toàn c
ấ
u,
đẳ
ng c
ấ
u) n
ế
u ánh x
ạ
f là
đơ
n ánh (toàn ánh, song ánh). M
ộ
t t
ự

đồ
ng c
ấ
u song ánh g
ọ
i là m
ộ
t t
ự

đẳ

ng c
ấ
u.
N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ
u
:
f X Y
→
thì ta nói X
đẳ
ng c
ấ
u v
ớ
i Y, kí hi
ệ
u là
X Y
≅

.
1.2.16 Định lý

Gi
ả
s
ử

:
f X Y
→
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u vành, A là m
ộ
t vành con c
ủ
a vành X và B
là m
ộ
t Ideal c
ủ
a vành Y. Khi
đ
ó:

(i)
( )
f A
là m
ộ
t vành con c
ủ
a Y.
(ii)
1
( )
f B
−
là m
ộ
t Ideal c
ủ
a X.
1.2.17 Hệ quả
Gi
ả
s
ử
:
f X Y
→
là m
ộ
t
đồ

ng c
ấ
u vành. Khi
đ
ó:

10


(i)
Ả
nh c
ủ
a f:
{
}
Im ( ) |
f f x x X
= ∈
là m
ộ
t vành con c
ủ
a vành Y.
(ii) H
ạ
t nhân c
ủ
a f:
{

}
1
| ( ) 0 (0 )
Y Y
Kerf x X f x f
−
= ∈ = = là m
ộ
t ideal c
ủ
a X.

1.2.18 Định lý

Gi
ả
s
ử
:
f X Y
→
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u vành. Khi
đ
ó:

1.

f là m
ộ
t toàn c
ấ
u khi và ch
ỉ
khi Im
f Y
=
.
2.

f là m
ộ
t
đơ
n c
ấ
u khi và ch
ỉ
khi
{
}
0
X
Kerf
=
.

1.2.19 Định lý

Gi
ả
s
ử
:
f X Y
→
là m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u vành và A là m
ộ
t Ideal c
ủ
a vành X. Khi
đ
ó
( )
f A
là m
ộ
t Ideal c
ủ
a Imf.
Đặ

c bi
ệ
t, n
ế
u f là m
ộ
t toàn c
ấ
u thì
( )
f A
là m
ộ
t Ideal
c
ủ
a Y.
1.2.20 Định lý (Định lý đồng cấu vành)

Gi
ả
s
ử
:
f X Y
→
là m
ộ
t
đồ

ng c
ấ
u vành và A là m
ộ
t Ideal c
ủ
a vành X,
A Kerf
⊂
. Khi
đ
ó:
(i)

T
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t
đồ
ng c
ấ
u vành : /
f X A Y
→
sao cho bi

ể
u
đồ
sau giao
hoán:

T
ứ
c là,
f f
π
= (
π
là toàn c
ấ
u chính t
ắ
c)
(ii)
Im Im ; ( ) /
f f Ker f Kerf A
= = ;
(iii)
f
là m
ộ
t
đẳ
ng c
ấ

u khi và ch
ỉ
khi f là m
ộ
t toàn c
ấ
u và
A Kerf
=
.

Y
X/A
X
f
f

π


11


1.2.21 Định nghĩa (vành đa thức)

Gi
ả
s
ử
A là vành giao hoán v

ớ
i
đơ
n v
ị
1, P là t
ậ
p h
ợ
p các dãy
(
)
0 1
, , , ,
n
a a a , trong
đ
ó ,
i
a A i
∈ ∀ ∈
ℕ
và b
ằ
ng 0 t
ấ
t c
ả
tr
ừ

m
ộ
t s
ố
h
ữ
u h
ạ
n. Trong
P, phép c
ộ
ng và phép nhân
đượ
c
đị
nh ngh
ĩ
a nh
ư
sau:

1)
(
)
(
)
(
)
0 1 0 1 0 0 1 1
, , , , , , , , , , , ,

n n n n
a a a b b b a b a b a b+ = + + +
2)
(
)
(
)
(
)
0 1 0 1 0 1
, , , , . , , , , , , , ,
n n n
a a a b b b c c c= , v
ớ
i
, 0, 1, 2, , ,
i k l
k l i
c a b i n
+ =
= =
∑

Với hai ánh xạ này, P là vành giao hoán, có đơn vị. Ánh xạ:

( ,0, ,0, )
A P
a a
→
֏

là một đơn cấu vành, do vậy nếu ta đồng nhất phần tử
a A
∈
với dãy
( ,0, ,0, )
a P
∈
thì
A
là một vành con của
P
.
Đặt
(0,1,0, ,0, )
x
=
, thì từ định nghĩa phép toán cộng và nhân ta được:

2
(0,0,1,0,0, ,0, )
x =


3
(0,0,0,1,0, ,0, )
x =

……………………….

(0,0, ,0,1,0, ,0, )
n
x =

và qui ước
0
(1,0,0, ,0, ) 1
x
= =

Khi đó mỗi phần tử của
P
là dãy
(
)
0 1
, , , ,0,
n
a a a
với
, 0,1, , ,
i
a A i n
∈ =

có thể viết được dưới dạng

0 1
( )
n

n
f x a a x a x
= + + +
.

( )
f x

được gọi là đa thức của ẩn
x
với hệ tử trên
A
. Phần tử không của vành
P
là
(0,0, ,0, )
gọi là đa thức không, kí hiệu là 0.
Nếu
0 ( 0)
n
a n
≠ ≥
thì
n
được gọi là bậc của đa thức
( )
f x
, kí hiệu: bậc của
( )
f x

(hay
deg ( )
f x
). Đa thức 0 là đa thức không có bậc.

12


Vành
P
được gọi là
vành
đ
a th
ứ
c c
ủ
a
ẩ
n x
trên
A
, kí hiệu là
[ ]
P A x
=
. Nếu
các hệ số được lấy trên tập hợp các số hữu tỷ, các số nguyên thì ta có khái niệm đ
a
th

ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố
h
ữ
u t
ỷ
,
đ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố
nguyên
và tương ứng là các tập hợp
[ ], [ ]
x x
ℚ ℤ
.
Nếu
A
là miền nguyên thì

P = A
[
x
] cũng là một miền nguyên.
1.2.22 Định nghĩa
Cho A là một vành con của vành B. Một phần tử
B
α
∈
được gọi là
nghi
ệ
m
c
ủ
a
đ
a th
ứ
c
0 1
( ) [ ]
n
n
f x a a x a x A x
= + + + ∈
nếu
0 1
( ) 0
n

n
f a a a
α α α
= + + + =
.
1.2.23 Định nghĩa
Một số
α
được gọi là
ph
ầ
n t
ử

đạ
i s
ố nếu
α
là một nghiệm của một phương
trình đại số. Nói cách khác, một số đại số là một nghiệm của một đa thức với hệ số
hệ số hữu tỉ. Ngược lại
α
được gọi là
ph
ầ
n t
ử
siêu vi
ệ
t.

1.2.24 Khái niệm
Đa thức đơ
n kh
ở
i
là một đa thức
1 2
1 2 1 0

n n
n n
c x c x c x c x c
−
−
+ + + + +
, với hệ số
đầu tiên
n
c
bằng 1.
1.2.25 Thuật toán Euclide: (để tìm ước chung lớn nhất của hai đa thức)
Giả sử có hai đa thức
( )
P x
,
( )
Q x
, trong đó
deg( ) deg( )
P Q

≥
. Thực hiện
phép chia
( )
P x
cho
( )
Q x
được thương số là
( )
S x
và số dư là
( )
R x
. Khi đó:
Nếu
( ) 0
R x
=
thì
(
)
1
( ), ( ) * ( )
P x Q x q Q x
−
= , trong đó
q*
là hệ số cao nhất
của đa thức

( )
Q x
.
Nếu
( ) 0
R x
≠
thì
(
)
(
)
( ), ( ) ( ), ( )
P x Q x Q x R x
=
.
1.2.26 Định nghĩa
Đa thức
( )
P x
là đa thức với hệ số trên vành
A
. Ta gọi
( )
P x
là đ
a th
ứ
c b
ấ

t
kh
ả
quy
trên
[ ]
A x
nếu
( )
P x
không phân tích được thành tích hai đa thức thuộc
[ ]
A x
với bậc lớn hơn hoặc bằng 1.
1.2.27 Định lý
Vành đa thức
A
[
x
] là vành chính khi
A
là một trường.

13


Ch
ứ
ng minh

Giả sử
A
là một trường, ta chứng minh
A
[
x
] là vành chính.
Thật vậy, giả sử
I
là ideal tùy ý của
A
[
x
].
Nếu
I
= 0 thì
0
I
=
là ideal chính sinh bởi 0.
Giả sử
I
khác ideal 0. Chọn trong
I
một đa thức khác không
p
(
x
) có bậc bé

nhất. Theo định lý phép chia đa thức, với mọi
( )
f x I
∈
, ta có thể viết
( ) ( ) ( ) ( ), deg ( ) deg ( )
f x g x q x r x r x g x
= + <
nếu
( ) 0
r x
≠
.
Từ đó suy ra
( ) ( ) ( ) ( )
r x f x g x q x I
= − ∈
. Do tính chất của
( )
g x
nên
( ) 0
r x
=
hay
( )
f x
thuộc ideal chính
( )
p x

sinh bởi
p
(
x
). Vì vậy,
( )
I p x
=
. Suy
ra điều phải chứng minh.
1.2.28 Định nghĩa (vành các quaternion thực)
Cho
H
là một không gian vectơ thực 4 chiều với cơ sở
{
}
1, , ,
i j k
.
H
còn gọi là tập hợp các quaternion thực, tức là
{
}
0 1 2 3
1 :
i
a a i a j a k a i j k
H
= + + + ∈ = ⊕ ⊕ ⊕
ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ

.
Với:
+
1 ,
a a a
= ∀ ∈
ℝ

+
, , ,ai ia aj ja ak ka a
= = = ∀ ∈
ℝ

+
2 2 2
1
i j k ijk
= = = = −

+ , ,
ij ij k jk kj i ki ik j
= − = = − = = − =
.
Ta lấy
0 1 2 3
0 1 2 3
, ,
x
x y
y

a a i a j a k
b b i b j b k
=

∈

=

+ + +
+ + +
H
. Ta định nghĩa phép cộng và phép
nhân trong
H
như sau:
+ Phép cộng:

0 1 2 3 0 1 2 3
0 0 1 1 2 2 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x y a a i a j a k b bi b j b k
a b a b i a b j a b k
+ = + + + + + + +
= + + + + + + +

Với
i i
a b
+

là phép cộng thông thường trong
ℝ
.

14


+ Phép nhân:

0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3
( )( )
xy a a i a j a k b bi b j b k c c i c j c k
= + + + + + + = + + +

Với :

0 0 0 1 1 2 2 3 3
1 0 1 1 0 2 3 3 2
2 0 2 2 0 3 1 1 3
3 0 3 3 0 1 2 2 1
c a b a b a b a b
c a b a b a b a b
c a b a b a b a b
c a b a b a b a b
= − − −
= + + −
= + + −
= + + −

Với

i j
a b
là phép nhân thông thường trong
ℝ
.
Phần tử
0 1 2 3
1
x a a i a j a k
= + + +
, khác không thuộc
H
có phần tử nghịch đảo
là
0 3
1 2
a a
a a
i j k
d d d d
− − − , với
2 2 2 2
0 1 2 3
d a a a a
= + + +

• Các tính chất của phép cộng của quaternion thực:
, ,a b c
∀ ∈
H

, ta có:
1) Tính kết hợp:
( ) c ( )
a b a b c
+ + = + +
.
2)
H
có phần tử trung hòa
0 0 0 0 0
i j k
= + + +
.
3) Nếu
0 1 2 3
a
a a i a j a k
=
+ + + ∈
H
, thì tồn tại một phần tử đối của a là
0 1 2 3
( ) ) ) )
( ( (
a
a a i a j a k
− = −
+ − + − + −
, và
0

a a
− =
.
4)
a b b a
+ = +
.
Từ các tính chất trên,
H
là nhóm cộng giao hoán.
• Các tính chất của phép nhân của quaternion thực:
, ,a b c
∀ ∈
H
, ta có:
1)
( ) ( )
ab c a bc
=
(
đượ
c suy ra t
ừ
tính k
ế
t h
ợ
p trong
ℝ
).

2)
H
có ph
ầ
n t
ử

đơ
n v
ị

1 1 0 0 0
i j k
= + + +
.
3)
( )
a b c ab ac
+ = +
và
( )
a b c ac bc
+ = +
.
T
ừ
các tính ch
ấ
t trên,
H

là m
ộ
t vành có
đơ
n v
ị
, g
ọ
i là vành các quaternion
th
ự
c.

15


Ngoài ra, vành
H
có các khái ni
ệ
m, tính ch
ấ
t sau:
1)
0 1 2 3
x a a i a j a k
= + + + ∈
H
, x có ph
ầ

n t
ử
liên h
ợ
p là
0 1 2 3
x a a i a j a k
−
= − − ∈
H
.
Ta có
0 0 1 1 2 2 3 3 0 1 1 0 2 3 3 2
0 2 2 0 1 3 3 1 0 3 3 0 1 2 2 1
( (
( (
) )
) )
xx
a a a a a a a a a a a a a a a a i
a a a a a a a a j a a a a a a a a k
= − −
− − − −
+ + + + + +
+ + + + + +

2 2 2 2
0 1 2 3
( )N x
a a a a

+ + +
=
=

V
ớ
i
( )
N x

đượ
c g
ọ
i là
đị
nh chu
ẩ
n c
ủ
a x.
2) N
ế
u
0
x
≠
và
( ) 0
N x
≠

, ta có:
( ) 1
( ) ( )
x x
xx xx N x x x
N x N x
= = ⇔ = =

T
ừ

đ
ó v
ớ
i m
ỗ
i
0
x
≠
có ngh
ị
ch
đả
o là
1
( )
x
x
N x

−
= .
T
ứ
c là, ph
ầ
n t
ử

0 1 2 3
1
x a a i a j a k
= + + +
, khác không thu
ộ
c
H
có ph
ầ
n t
ử

ngh
ị
ch
đả
o là
1
0 3
1 2

( ) ( ) ( ) ( )
x
N x N x N x N x
a a
a a
i j k
−
=
− − −
. Th
ậ
t v
ậ
y,
1
0 3
1 2
0 1 2 3
. ( 1 ).
( ) ( ) ( ) ( )
a a
a a
x x a a i a j a k i j k
N x N x N x N x
−
 
= + + + − − −
 
 

=
2
2
0 0 1 0 2 0 3 0 1 1 31 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a a a a a a a a a aa a a
i j k i k j
N x N x N x N x N x N x N x N x
− − − + + − + +
2
2
0 2 2 3 0 3 1 3 2 3 31 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a a a a a a a a a a a
a a a
j k i k j i
N x N x N x N x N x N x N x N x
+ + − + − + +

2 2 2 2
1 2 3 4
1
( )
a a a a
N x
+ + +
= =
.
1.3 MIỀN NGUYÊN VÀ TRƯỜNG
1.3.1 Định nghĩa

Giả sử X là một vành, phần tử
0
a
≠
củ
a X
đượ
c g
ọ
i là
ướ
c c
ủ
a không, n
ế
u
t
ồ
n t
ạ
i ph
ầ
n t
ử

0
b
≠
c
ủ

a X sao cho
0
ab
=
ho
ặ
c
0
ba
=
.

16


M
ộ
t vành X
đượ
c g
ọ
i là m
ộ
t mi
ề
n nguyên, n
ế
u X là vành giao hoán, có
đơ
n

v
ị
, có nhi
ề
u h
ơ
n m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
và không có
ướ
c c
ủ
a không.

1.3.2 Định nghĩa

Tr
ườ
ng (F, +, .) là m
ộ
t t
ậ
p F trên
đ
ó có hai phép toán c
ộ

ng và nhân th
ỏ
a
mãn:
1. F là vành giao hoán có
đơ
n v
ị
, có nhi
ề
u h
ơ
n m
ộ
t ph
ầ
n t
ử
.
2.
: , ': ' '
a F a a aa a a e
θ
∀ ∈ ≠ ∃ = =
; a’ g
ọ
i là ph
ầ
n t
ử

ngh
ị
ch
đả
o c
ủ
a a và
kí hi
ệ
u là
1
a
−
.
1.3.3 Tính chất

Gi
ả
s
ử
X là vành giao hoán, có
đơ
n v
ị
. Ideal M c
ủ
a X là m
ộ
t ideal t
ố

i
đạ
i khi
và ch
ỉ
khi X/M là m
ộ
t tr
ườ
ng.
1.3.4 Định lý

Cho X là m
ộ
t mi
ề
n nguyên. Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t tr
ườ
ng
X
cùng v
ớ

i
đơ
n c
ấ
u
:
X X
ϕ
→
sao cho v
ớ
i m
ọ
i
,
X
α α
∈

đượ
c vi
ế
t d
ướ
i d
ạ
ng
[
]
1

( ) ( )
a b
α ϕ ϕ
−
=
, trong
đ
ó
,
a b X
∈
và
0
b
≠
.

Tr
ườ
ng
X

đượ
c g
ọ
i là tr
ườ
ng các th
ươ
ng c

ủ
a mi
ề
n nguyên X.
1.3.5 Tính chất

Gi
ả
s
ử
F là tr
ườ
ng. Khi
đ
ó, n
ế
u
( ) [ ]
p x F x
∈
là
đ
a th
ứ
c b
ấ
t kh
ả
quy trong
[ ]

F x
thì
[ ]
( )
p
F x
p x
là m
ộ
t tr
ườ
ng.
Th
ậ
t v
ậ
y:
L
ấ
y
[ ]
( )
( )
p
F x
a x
p x
∈
và
( ) 0

a x
≠
suy ra
( )
p x
không là
ướ
c c
ủ
a
( )
a x
nên
d( ( ), ( )) 1
gc p x a x
=
. Khi
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i các
đ
a th
ứ
c
( ), ( ) [ ]
c x d x F x
∈

sao cho
( ) ( ) ( ) ( ) 1
c x p x d x a x
+ =
. Do
đ
ó
( ) ( ) ( ) ( ) 1
c x p x d x a x
+ =
, mà
( ) 0
p x
=
nên
( ) ( ) 1
d x a x
=
. V
ậ
y
( )
a x
có ngh
ị
ch
đả
o là
( )
d x

trong
[ ]
( )
p
F x
p x
.

17


V
ậ
y
[ ]
( )
p
F x
p x
là tr
ườ
ng.
1.3.6 Định nghĩa
Tr
ườ
ng nguyên t
ố
là tr
ườ
ng không có tr

ườ
ng con th
ự
c s
ự
.
1.4 KHÔNG GIAN VECTƠ
1.4.1 Định nghĩa
Giả sử F là một trường. Các phần tử của F được gọi là số vô hướng. Một
không gian vectơ V trên trường F được định nghĩa là một tập hợp V không rỗng mà
trên đó hai phép cộng vectơ và phép nhân với số vô hướng được định nghĩa sao cho
các tính chất cơ bản sau đây được thỏa mãn:
1. Phép cộng vectơ có tính kết hợp:
Với mọi
, ,
u v w V
∈
, ta có
( ) ( )
u v w u v w
+ + = + +
.
2. Phép cộng vectơ có tính giao hoán:
Với mọi
,
v w V
∈
, ta có
v w w v
+ = +

.
3. Phép cộng vectơ có phần tử trung hòa:
Có một phần tử
0
V
∈
, gọ
i là vect
ơ
không, sao cho
0
v v
+ =
v
ớ
i m
ọ
i
v V
∈
.
4. Phép c
ộ
ng vect
ơ
có ph
ầ
n t
ử

đố
i:
V
ớ
i m
ọ
i
v V
∈
, có m
ộ
t ph
ầ
n t
ử

w V
∈
, g
ọ
i là ph
ầ
n t
ử

đố
i c
ủ
a v sao cho v +
w = 0.

5. Phép nhân vô h
ướ
ng phân ph
ố
i v
ớ
i phép c
ộ
ng vect
ơ
:
V
ớ
i m
ọ
i
, ,
a F v w V
∈ ∈
, ta có
( )
a v w av aw
+ = +
.
6. Phép nhân phân ph
ố
i v
ớ
i phép c
ộ

ng vô h
ướ
ng:
V
ớ
i m
ọ
i
, ,
a b F v V
∈ ∈
, ta có
( )
a b v av bv
+ = +
.
7. Phép nhân vô h
ướ
ng t
ươ
ng thích v
ớ
i phép nhân trong tr
ườ
ng các s
ố
vô
h
ướ
ng:

V
ớ
i m
ọ
i
, ,
a b F v V
∈ ∈
, ta có
( ) ( )
a bv ab v
=
.

18


8. Ph
ầ
n t
ử

đơ
n v
ị
c
ủ
a tr
ườ
ng F có tính ch

ấ
t c
ủ
a ph
ầ
n t
ử

đơ
n v
ị
v
ớ
i phép nhân
vô h
ướ
ng:
V
ớ
i m
ọ
i
v V
∈
, ta có
1
v v
=
, 1 là kí hi
ệ

u
đơ
n v
ị
c
ủ
a phép nhân trong F.
1.4.2 Định nghĩa

Gi
ả
s
ử

:
f V V
→
là m
ộ
t toán t
ử
tuy
ế
n tính c
ủ
a không gian vect
ơ
V trên K.
M
ộ

t vô h
ướ
ng
k K
∈

đượ
c g
ọ
i là giá tr
ị
riêng c
ủ
a f n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i các vect
ơ
khác
không x thu
ộ
c V sao cho
( )
f x kx
=
. Khi
đ

ó vect
ơ
x
đượ
c g
ọ
i là vect
ơ
riêng c
ủ
a f
ứ
ng v
ớ
i giá tr
ị
riêng K.
1.4.3 Định nghĩa

Cho t
ậ
p P là t
ậ
p không r
ỗ
ng và K – không gian vect
ơ
n + 1 chi
ề
u

1
n
V
+
, ta kí
hi
ệ
u
1
n
V
+
 
 
là tập tất cả các không gian con một chiều của
1
n
V
+
, nếu có một song
ánh
1
:
n
p V P
+
 
→
 
. Khi đó bộ ba

(
)
1
, ,
n
P p V
+
 
 
được gọi là một không gian xạ ảnh
n chiều liên kết với không gian
1
n
V
+
, kí hiệu là
n
P
.
Mỗi phần tử
n
A P
∈
ta gọi là một điểm.
Nếu
1 1 1
, ( )
n
V V P V A
+

⊂ =
, cùng vectơ
0
X
≠
 
sao cho
1
X V
=

thì vectơ
X


được gọi là vectơ đại diện của điểm A.
Hai vectơ cùng đại diện cho một điểm thì phụ thuộc tuyến tính với nhau (tức
là
, *
X kY k= ∈
 
ℝ
)
1.5 MỞ RỘNG TRƯỜNG VÀ BẬC CỦA MỞ RỘNG TRƯỜNG
1.5.1 Định nghĩa
Cho trường K, và F là một trường con của K. Khi đó bao hàm
F K
⊂
gọi là
một mở rộng trường. K được gọi là một trường mở rộng của F. Một mở rộng

trường
F K
⊂
còn được kí hiệu là K : F hay K/F.
Ví dụ:
(i)
, ,
⊂ ⊂ ⊂
ℚ ℝ ℚ ℂ ℝ ℂ
là các mở rộng trường.

19


(ii) Cho F là một trường và F(x) là trường các phân thức hữu tỷ biến x siêu
việt trên F. Đồng nhất F. Đồng nhất F với các phân thức hằng, ta có
( )
F F x
⊂
là
một mở rộng trường.
Nhận xét:
- Mọi trường đều là mở rộng của trường con nguyên tố của nó.
- Cho K/F là một mở rộng trường. Khi đó trường con nguyên tố của chúng
trùng nhau.
1.5.2 Định nghĩa
Cho K/F và L/F là các mở rộng trường của F. Một đồng cấu (đẳng cấu)
trường
:
K L

ϕ
→
thỏa
( ) ,
a a a F
ϕ
= ∀ ∈
,
ϕ
gọi là F – đồng cấu (F – đẳng cấu).
Mở rộng K/F được gọi là F - đẳng cấu với mở rộng L/F nếu tồn tại một F –
đẳng cấu từ K vào L, kí hiệu
F
K L
≅
. Nếu K = L thì các F – đồng cấu (F – đẳng
cấu) gọi là F – tự đồng cấu (F – tự đẳng cấu).
1.5.3 Định nghĩa
Cho
F K
⊂
và
E L
⊂
là các mở rộng trường, cho
:
F E
τ
→
là mộ

t
đồ
ng
c
ấ
u (
đẳ
ng c
ấ
u) tr
ườ
ng.
Đồ
ng c
ấ
u (
đẳ
ng c
ấ
u)
:
K L
ϕ
→
g
ọ
i là m
ộ
t m
ở

r
ộ
ng c
ủ
a
τ

n
ế
u
( ) ( ),
a a a F
ϕ τ
= ∀ ∈
.
1.5.4 Định nghĩa
M
ở
r
ộ
ng
F K
⊂
g
ọ
i là
đẳ
ng c
ấ
u v

ớ
i m
ở
r
ộ
ng
E L
⊂
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i các
đẳ
ng
c
ấ
u
:
i F E
→
và m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng c

ủ
a nó
:
j K L
→
, ngh
ĩ
a là
( ) ( ),
j a i a a F
= ∀ ∈
.
Nhận xét: Quan hệ đẳng cấu của các mở rộng trường là một quan hệ tương đương.
Đặc biệt, quan hệ “
F
≅
” là một quan hệ tương đương.
Thật vậy, quan hệ “
F
≅
” thỏa 3 điều kiện:
+ Phản xạ: hiển nhiên K tự đẳng cấu với K nên
F
K K
≅
.
+ Đối xứng: Nếu
F
K L
≅

thì K đẳng cấu với L, khi đó hiển nhiên L cũng
đẳng cấu với K nên
F
L K
≅
.

20


+ Bắc cầu: Nếu
F
K L
≅
và
F
L H
≅
, khi đó K đẳng cấu với L và L đẳng cấu
với H nên K đẳng cấu với H, từ đó
F
K H
≅
.
1.5.5 Mệnh đề
Cho K/F và L/F là các mở rộng trường, cho
:
K L
ϕ
→

là một F – đồng cấu.
Cho
K
α
∈
là một nghiệm của
[ ]
f F x
∈
. Khi đó
( )
L
ϕ α
∈
là một nghiệm của
f
.
Ch
ứng minh
Gọi
0

n
n
f a x a
= + +
. Ta có
0
( ) 0
n

n
f f a a
α α
= = + + =
.
Suy ra
0
0 ( ( )) ( ) ( ( ))
n
n
f a a a f
ϕ α ϕ ϕ α
= = + + =
.
Nghĩa là
( )
ϕ α
là một nghiệm của f. CM xong.
Cho K/F là một mở rộng trường. Khi đó K có cấu trúc của một không gian
vectơ trên F với phép nhân vô hướng là phép nhân trên K. Một cơ sở của F – không
gian vectơ K cũng được gọi là cơ sở của mở rộng trường K/F.
1.5.6 Định nghĩa
Cho K/F là một mở rộng trường đại số. Một phần tử
a K
∈
được gọi là
tách
đượ
c trên F
nếu đa thức tối tiểu bậc

n
của
a
trên
F
không có nghiệm bội (tức là có
n

nghiệm phân biệt trong trường khai triển của nó). Ngược lại,
a
được gọi là không
tách được.
Nếu mọi phần tử của
K
là tách được trên
F
, thì
K
được gọi là
m
ở
r
ộ
ng tách
đượ
c c
ủ
a F
. Nếu mọi phần tử của
K/F

không tách được trên
F
, thì
K
được gọi là
m
ộ
t m
ở
r
ộ
ng thu
ầ
n túy không tách
đượ
c c
ủ
a F.
Một đa thức
[ ]
f F x
∈
được gọi là
tách
đượ
c
trên
F
nếu mọi nhân tử bất khả
quy của

f
đều không có nghiệm bội. Một trường
F
gọi là
hoàn ch
ỉ
nh
nếu mọi đa
thức có hệ tử trong
F
đều tách được.
1.5.7 Tính chất
(i) Nếu char
F
= 0, thì
K/F
là tách được. Nếu char
F
=
p
> 0, thì một phần tử
a K
∈
là tách được trên
F
nếu và chỉ nếu đa thức tối tiểu của
a
trên
F
không nằm

trong
p
x
 
 
.

21


(ii) Nếu char F = p > 0 và
K F
≠
, thì K/F là thuần túy không tách được nếu
và chỉ nếu với mọi phần tử
a K
∈
, tồn tại số nguyên
m
sao cho
m
p
a F
∈
.
1.5.8 Định nghĩa
B
ậc của mở rộng trường K : F là chiều của F – không gian vectơ K, kí hiệu
[
]

:
K F
. Nếu
[
]
:
K F
hữu hạn thì ta gọi K : F là một mở rộng hữu hạn. Nếu mở
rộng K : F không hữu hạn thì gọi là mở rộng vô hạn.
Ví dụ:
(i) Xét mở rộng trường
:
ℂ ℝ
. Ta biế
t m
ọ
i ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a
ℂ

đượ
c vi
ế
t m
ộ

t cách
duy nh
ấ
t d
ướ
i d
ạ
ng
a bi
+
v
ớ
i
,a b
∈
ℝ
. Do
đ
ó
{
}
1,
i
là m
ộ
t c
ơ
s
ở
c

ủ
a
:
ℂ ℝ
. Suy ra
[
]
: 2
=
ℂ ℝ
.
(ii) Các m
ở
r
ộ
ng tr
ườ
ng
/ , / , ( ) /
K x K
ℝ ℚ ℂ ℚ
là các m
ở
r
ộ
ng vô h
ạ
n.
Nhận xét
: B

ậ
c c
ủ
a m
ở
r
ộ
ng
F K
⊂
b
ằ
ng 1 khi và ch
ỉ
khi
F
=
K
. Nói cách khác b
ậ
c
c
ủ
a m
ở
r
ộ
ng tr
ườ
ng b

ằ
ng 1 khi và ch
ỉ
khi m
ở
r
ộ
ng là t
ầ
m th
ườ
ng. Th
ậ
t v
ậ
y, n
ế
u
.
K F
α
=
thì
1
a
α
=
, kéo theo
1
a F

α
−
= ∈
. Do
đ
ó
F K
=
.
1.5.9 Định lý
Cho K/F và L/K là các mở rộng trường. Khi đó L/F là một mở rộng trường và
[
]
[
]
[
]
: : :
L F L K K F
= .
Hơn nữa, nếu
{
}
i
i I
e
∈
và
{
}

j
j J
f
∈
lần lượt là cơ sở của K/F và L/K thì
{
}
,
i j
i I j J
e f
∈ ∈

là một cơ sở của L/F.
Chứng minh
Kí hiệu
{
}
i
i I
E e
∈
=
,
{
}
j
j J
S f
∈

= và
{
}
,
i j
i I j J
ES e f
∈ ∈
= .
Cho
u L
∈
. Khi đó
j j
u a f
=
∑
với
j
a K
∈
.
Do
j
a
biểu thị tuyến tính qua E nên thay
j
a
trong biểu diễn của u bởi các tổ
hợp tuyến tính của S, ta có biểu diễn tuyến tính của u qua ES. Do đó ES là hệ sinh

của không gian vectơ L trên F.

22


Ta chứng minh ES độc lập tuyến tính. Xét một tổ hợp tuyến tính trong L cho
bởi
,
0
ij i j
i j
a e f
=
∑
với
ij
a F
∈
. Ta viết
(
)
0
ij i j
j i
a e f
=
∑ ∑
như một quan hệ tuyến
tính tầm thường của S. Do S độc lập tuyến tính, ta có
0

ij i
i
a e
=
∑
với mọi j. Mặt
khác, do E độc lập tuyến tính, ta có
0
ij
a
=
với mọi i, j. Vậy ES độc lập tuyến tính.
Nhận xét: Định lý trên cho thấy rằng L/F là mở rộng hữu hạn khi và chỉ khi L/K và
K/F là các mở rộng hữu hạn.
1.6 ĐẠI SỐ
1.6.1 Định nghĩa
Cho F là một trường, tập hợp
A
φ
≠
được gọi là đại số trên trường F (F –
đại số) nếu cùng với ba phép toán:
Phép cộng: +:
x
A A A
→


( , )
x y x y

+
֏

Phép nhân:

:
x
A A A
→


( , )
x y xy
֏

Phép nhân v
ớ
i vô h
ướ
ng trong F:

•
:
x
F A A
→


( , )
a y ax

֏

th
ỏ
a mãn các
đ
i
ề
u ki
ệ
n sau:
(1) A cùng v
ớ
i hai phép toán c
ộ
ng và nhân l
ậ
p thành m
ộ
t vành.
(2) A cùng v
ớ
i phép c
ộ
ng và phép nhân v
ớ
i vô h
ướ
ng l
ậ

p thành m
ộ
t không
gian vect
ơ
trên tr
ườ
ng F.
(3) C
ấ
u trúc vành (A, +,

) và c
ấ
u trúc không gian vect
ơ
(A, +,
•
) ràng bu
ộ
c
nhau b
ở
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n:

( ) ( ) ( ), , ,
a xy ax y x ay x y A a F
= = ∀ ∈ ∈

Hai
đạ
i s
ố
(A, . ) và (B, . ) trên F g
ọ
i là
đẳ
ng c
ấ
u n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i ánh x
ạ

:
A B
ϕ
→
sao cho v
ớ

i m
ọ
i
,
x y A
∈
,