On tap PT bac 2 va ĐLi Viet(Hay)

Chuyên đề : PT bậc hai và hệ thức Vi-et
*) x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2
= S
2
2p
*) (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)

2
4x
1
x
2
= S
2
4p
*) x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1
x
2
(x
1
+ x
2
) = S
3

3Sp
1 1 2 2
x x x x+
*) x
1
4
+ x
2
4
= (x
1
2
+ x
2
2
)
2
2x
1
2
x
2
2
*)
21
21
21
11
xx
xx

xx
+
=+
=
p
S
*)
21
2
2
2
1
1
2
2
1
xx
xx
x
x
x
x +
=+
=
p
pS 2
2

*) (x
1

a)( x
2
a) = x
1
x
2
a(x
1
+ x
2
) + a
2
= p aS + a
2
*)
2
21
21
21
2
))((
2
11
aaSp
aS
axax
axx
axax
+

=

+
=

+

(Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện
0
)
B . Bài tập áp dụng
Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x
2
2(m + 1) +2m+10 = 0
Giải.
Ta có
/

= (m + 1)
2
2m + 10 = m
2
9
Kết kuận:
Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4
Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2
Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

x
1

= m + 1 -
9
2
m
x
2
= m + 1 +
9
2
m
Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm
Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x
2
2mx + m 6 = 0
Kết luận:
Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -
2
1
Với m = 2 phơng trình có nghiệm x
1
= x
2
= -2
Với m > 2 và m

3 phơng trình có nghiệm x
1,2
=
3

23


m
mm
Với m < 2 phơng trình vô nghiệm
Bài 3: Cho phơng trình bậc hai, với tham số m: 2x
2
(m+3)x + m = 0 (1).
1. Giải phơng trình (1) khi m = 2.
2. Tìm các giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
+ x
2
=
5
2
x
1
x
2
.
3. Gọi x
1
, x
2

là hai nghiệm của pt (1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =
1 2
x x
Cho phng trỡnh:
(1)
a. Chng minh rng phng trỡnh (1) luụn luụn cú 2 nghim phõn bit.
b. Gi l 2 nghim ca phng trỡnh (1). Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
c. Tỡm h thc gia v khụng ph thuc vo m.
phơng trình x
2
- (5m - 1)x + 6m
2
- 2m = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình. Tìm m để x
1
2
+ x
2
2
=1
Cho phng trỡnh bc hai n s x:
x
2
- 2(m + 1)x + m - 4 = 0. (1)
a/ Chng minh phng trỡnh (1) luụn luụn cú hai nghim phõn bit vi mi giỏ tr

ca m.
b/ Gi x
1
, x
2
l hai nghim phõn bit ca phng trỡnh (1).
Tỡm m 3( x
1
+ x
2
) = 5x
1
x
2
.
Cho phng trỡnh bc hai: x
2
- 2(m-1)x + 2m 3 = 0. (1)
a) Chng minh rng phng trỡnh (1) cú nghim vi mi giỏ tr ca m.
b) Tỡm m phng trỡnh (1) cú hai nghim trỏi du.
Cho phơng trình (ẩn x):
2 2
x 2(m 1)x m 1 0 + + =
. Tìm giá trị của m để phơng trình có
hai nghiệm
1 2
x ,x
thỏa mãn
2 2
1 2 1 2

x x x x 8+ = +
.
Cho phng trỡnh: x
2
- 2x + (m 3) = 0 (n x)
a) Gii phng trỡnh vi m = 3.
b) Tớnh giỏ tr ca m, bit phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit x
1
, x
2
v tha
món iu kin: x
1
2
2x
2
+ x
1
x
2
= - 12
Cho phơng trình: (m+1)x
2
-2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) (m là tham số)
a/ Giải phơng trình (1) với m = 3.
b/ Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn

1 2
1 1 3
2x x
+ =

Cho phng trỡnh bc hai :
X
2
- 2(m + 1) x + m - 4 = 0 (1)
a, Gii phng trỡnh ( 1 ) khi m = 1.
b, Chng minh rng pt (1 ) luụn cú hai nghim phõn bit vi mi m ?
c , Gi x
1
, x
2
l hai nghim ca pt (1)ó cho . CMR Biu thc :
K = x
1
(1- x
2
)+ x
2
(1-x
1
) khụng ph thuc vo giỏ tr ca m
Cho phng trỡnh : 2x
2
- 6x + m = 0 (1)
a, Gii Pt (1) khi m = 4 .
b, Tỡm m pt (1) cú 2 nghm dng ?

c, Tỡm m pt (1) cú 2 nghin x
1
, x
2
sao cho :
+
= 3
Cho phng trỡnh: x
2
- 2x + (m 3) = 0 (n x)
1. Gii phng trỡnh vi m = 3.
2. Tớnh giỏ tr ca m, bit phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit x
1
, x
2
v
tha món iu kin: x
1
2
2x
2
+ x
1
x
2
= - 12
Bi 3: (2,0 im) Cho phng trỡnh x
2
+2 (m+3) x +m
2

+3 = 0
1/ Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp ? Hóy tớnh nghim kộp ú.
2/ Tỡm m phng trỡnh cú hai nghim x
1
, x
2
tha x
1
x
2
= 2
Cho phng trỡnh x
2
4x m
2
+ 6m 5 = 0 vi m l tham s
a) Gii phng trỡnh vi m = 2
b) Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim
c) Gi s phng trỡnh cú hai nghim x
1
; x
2
, hóy tỡm giỏ tr bộ nht ca
3 3
1 2
P x x= +
Cho phơng trình x
2
+ 2(m+1)x + m
2

+ 4m + 3 = 0 (với x là ẩn số, m
1- Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt .
2- Đặt A = x
1
.x
2
2(x
1
+ x
2
) với x
1
, x
2
là hai nghiệm phân biệt của phơng trình trên. Chứng
minh : A = m
2
+ 8m + 7
Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị của m tơng ứng
Cho phơng trình: (n + 1)x
2
- 2(n - 1)x + n - 3 = 0 (1), với n là tham số.
a) Tìm n để phơng trình (1) có một nghiệm x = 3.
b) Chứng minh rằng, với mọi n

- 1 thì phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
*** Cho phng trỡnh:
2 2
2( 1) 2 0x m x m- + + + =
(n x)

1) Gii phng trỡnh ó cho vi m =1.
Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit x
1
, x
2
tho món h thc:
2 2
1 2
10x x+ =

Bài 5: Gọi x
1
, x
2
là các nghịêm của phơng trình : x
2
3x 7 = 0
a) Tính:
1 1 2 2
x x x x+
A = x
1
2
+ x
2
2
B =
21
xx
C=

1
1
1
1
21

+
xx
D = (3x
1
+ x
2
)(3x
2
+ x
1
)
a) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là
1
1
1
x
và
1
1
2
x
Giải ;
Phơng trình bâc hai x
2

3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm
phân biệt x
1
, x
2
.
Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x
1
+ x
2
= 3 và p = x
1
x
2
= -7
a)Ta có
+ A = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1

x
2
= S
2
2p = 9 2(-7) = 23
+ (x
1
x
2
)
2
= S
2
4p => B =
21
xx
=
374
2
= pS

+ C =
1
1
1
1
21

+
xx

=
9
1
1
2
)1)(1(
2)(
21
21
=
+

=

+
Sp
S
xx
xx

+ D = (3x
1
+ x
2
)(3x
2
+ x
1
) = 9x
1

x
2
+ 3(x
1
2
+ x
2
2
) + x
1
x
2

= 10x
1
x
2
+ 3 (x
1
2
+ x
2
2
)
= 10p + 3(S
2
2p) = 3S
2
+ 4p = - 1
b)Ta có :

S =
9
1
1
1
1
1
21
=

+
xx
(theo câu a)
p =
9
1
1
1
)1)(1(
1
21
=
+
=
Spxx
Vậy
1
1
1
x

và
1
1
2
x
là nghiệm của hơng trình :
X
2
SX + p = 0

X
2
+
9
1
X -
9
1
= 0

9X
2
+ X - 1 = 0
Bài 6 : Cho phơng trình :
x
2
( k 1)x - k
2
+ k 2 = 0 (1) (k là tham số)
1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
3. Gọi x
1
, x
2
là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x
1
3
+ x
2
3
> 0

2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu

p < 0


- k
2
+ k 2 < 0

- ( k
2
2.
2
1
k +
4
1

+
4
7
) < 0

-(k -
2
1
)
2

-
4
7
< 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu
với mọi k
3. Ta có x
1
3
+ x
2
3
= (x
1
+ x
2
)
3
3x
1

x
2
(x
1
+ x
2
)
Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có
x
1
+ x
2
= k 1 và x
1
x
2
= - k
2
+ k 2
x
1
3
+ x
2
3
= (k 1)
3
3(- k
2
+ k 2)( k 1)

= (k 1) [(k 1)
2
- 3(- k
2
+ k 2)]
= (k 1) (4k
2
5k + 7)
= (k 1)[(2k -
4
5
)
2
+
16
87
]
Do đó x
1
3
+ x
2
3
> 0

(k 1)[(2k -
4
5
)
2

+
16
87
] > 0


k 1 > 0 ( vì (2k -
4
5
)
2
+
16
87
> 0 với mọi k)

k > 1
Bài 7:
Cho phơng trình : x
2
2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số)
1. Giải phơng trình (1) với m = -5
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
phân biệt với mọi m
3. Tìm m để
21
xx

đạt giá trị nhỏ nhất (x
1
, x
2

là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong
phần 2.)
1. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:
x
1
+ x
2
= 2( m + 1) và x
1
x
2
= m 4
Ta có (x
1
x
2
)
2
= (x
1
+ x
2
)
2
4x

1
x
2
= 4( m + 1)
2
4 (m 4)
= 4m
2
+ 4m + 20 = 4(m
2
+ m + 5) = 4[(m +
2
1
)
2
+
4
19
]
=>
21
xx
= 2
4
19
)
2
1
(
2

++m

4
19
2
=
19
khi m +
2
1
= 0

m = -
2
1
Vậy
21
xx
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
19
khi m = -
2
1
Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x
2
+ (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số)
1) Giải phơng trình khi m = -
2
9
2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm
này gấp ba lần nghiệm kia.
Giải:
1) Thay m = -
2
9
vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc
5x
2
- 20 x + 15 = 0
phơng trình có hai nghiệm x
1
= 1 , x
2
= 3
2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành;
5x 5 = 0

x = 1
+ Nếu : m + 2

0 => m

- 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt
số :

= (1 2m)
2
- 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m
2

4(m
2
- m 6) = 25 > 0
Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt
x
1
=
)2(2
512
+
+
m
m
=
1
42
42
=
+
+
m
m
x
2
=
2
3
)2(2
)3(2
)2(2

512
+

=
+

=
+

m
m
m
m
m
m
Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m
3)Theo câu 2 ta có m

- 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp
3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp
Trờng hợp 1 : 3x
1
= x
2


3 =
2
3
+

m
m
giải ra ta đợc m = -
2
9
(đã giải ở câu 1)
Trờng hợp 2: x
1
= 3x
2


1= 3.
2
3
+

m
m


m + 2 = 3m 9

m =
2
11
(thoả mãn điều kiện
m

- 2)
Bài 9: Cho phơng trình : mx
2
2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số .
1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)
2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu.
3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai.
Giải
Vậy : m > 4 : phơng trình (1) vô nghiệm
m = 4 : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =
2
1
0

m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

x
1
=
m
mm 42 +
; x
2
=
m
mm 42 ++
m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =
4
3
2. (1) có nghiệm trái dấu

a
c
< 0


m
m 3
< 0












>
<



<
>
0

03
0
03
m
m
m
m












>
<



<
>
0
3
0
3

m
m
m
m
Trờng hợp



<
>
0
3
m
m
không thoả mãn
Trờng hợp



>
<
0
3
m
m


0 < m < 3
3. *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm
/

0

0

m

4 (*) (ở câu a đã có)
- Thay x = 3 vào phơng trình (1) ta có :
9m 6(m 2) + m -3 = 0

4m = -9

m = -
4
9
- Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -
4
9
thoả mãn
*) Cách 2: Không cần lập điều kiện
/



0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m = -
4
9

.Sau đó
thay m = -
4
9
vào phơng trình (1) :
-
4
9
x
2
2(-
4
9
- 2)x -
4
9
- 3 = 0

-9x
2
+34x 21 = 0
có
/

= 289 189 = 100 > 0 =>

=
=
9
7
3
2
1
x
x
Vậy với m = -
4
9
thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3
Bài 10: Cho phơng trình : x
2
+ 2kx + 2 5k = 0 (1) với k là tham số
1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép
2. Tim k để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn điều kiện :
x
1
2
+ x
2
2
= 10
1.Phơng trình (1) có nghiệm kép

/

= 0

k
2
(2 5k) = 0
Vậy có 2 giá trị k
1
=
2
335
hoặc k
2
=
2
335 +
thì phơng trình (1) Có nghiệm kép.
2.Có 2 cách giải.
Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:
/



0

k
2

+ 5k 2

0 (*)
Ta có x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2

Theo bài ra ta có (x
1
+ x
2
)
2
2x
1
x
2

= 10
Với điều kiện(*) , áp dụng hệ trức vi ét: x
1
+ x
2
= -
=
a
b
- 2k và x
1
x
2
= 2 5k
Vậy (-2k)
2
2(2 5k) = 10

2k
2
+ 5k 7 = 0
(Có a + b + c = 2+ 5 7 = 0 ) => k
1
= 1 , k
2
= -
2
7
Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k
1

, k
2
vào
/

= k
2
+ 5k 2
+ k
1
= 1 =>
/

= 1 + 5 2 = 4 > 0 ; thoả mãn
+ k
2
= -
2
7
=>
/

=
8
29
4
87049
2
2
35

4
49
=

=
không thoả mãn
Vậy k = 1 là giá trị cần tìm
Baứi 2 : Cho phơng trình: 2x
2
5x + 1 = 0.
Tính
1 2 2 1
x x x x+
(với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình).
Baứi 3 : Cho phơng trình bậc hai:
x
2
2(m + 1)x + m
2
+ 3m + 2 = 0
1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
2) Tìm giá trị của m thoả mãn x
1
2
+ x
2

2
= 12 (trong đó x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình).
Baứi 4 : Cho phơng trình:
x
2
2mx + 2m 5 = 0.
1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
, tìm các giá trị của m để:
x
1
2
(1 x
2
2
) + x
2
2
(1 x
1
2
) = -8.

Baứi 5 : Cho phơng trình:
x
2
2(m + 1)x + 2m 15 = 0.
1) Giải phơng trình với m = 0.
2) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x
1
+ x
2
= 4.
Baứi 6 : Cho phơng trình: x
2
+ 4x + 1 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1).
2) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình (1). Tính B = x
1
3
+ x
2
3
.
Baứi 7 : Cho phơng trình : x

2
- (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số).
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2. Tìm nghiệm còn lại.
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn x
1
3
+ x
2
3


0.
Baứi 8 : Cho phơng trình:
(m 1)x
2
+ 2mx + m 2 = 0 (*)
1) Giải phơng trình khi m = 1.
2) Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.
Câu9. Cho phơng trình (2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu 10: Phơng trình: ( 2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1

Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
,

= m
2
-2m+1= (m-1)
2
0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
với m 1/2 pt còn có nghiệm x=
12
1

+
m
mm
=
12
1
m

pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
12
1
m
<0

<
>+

012
01
12
1
m
m
=>





<
>

012
0
12
2
m
m
m
=>m<0
Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0