Hướng dẫn giải bài tập về tính đơn điệu của hàm số cực hay

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 1

HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TOÁN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1: XÉT CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Quy tắc:
1. Tìm TXĐ của hàm số.
2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm x
i
mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác
định.
3. Sắp xếp các điểm x
i
theo thứ tự tăng dần và lập BBT.
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Bài 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau:

2
3 2 4 2
3x 2 x 2x + 3
a)y 2x + 3x + 1 b) y = x 2x 3 c)y d)y
x 1 x 1

    


Bài 2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

3
2

22
x x x
a) y 25 x b) y c) y d) y
x 100
16 x x 6
    



Bài 3. Chứng minh rằng:
a) Hàm số
2
y x 1 x  
đồng biến trên khoảng
1
1;
2




và nghịch biến trên
khoảng
1
;1
2



.

b) Hàm số
2
y x x 20  
nghịch biến trên khoảng
 
;4 
và đồng biến trên
khoảng
 
5;
.
Bài 4. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

 
5
a) y x sinx, x 0;2 b) y x 2cosx, x ;
66


      



Bài 5. Chứng minh rằng:
a)
 
f x cos2x 2x 3  
nghịch biến trên R.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 2

b)
 
2
f x x cos x
đồng biến trên R.
Giải:
a) Ta có:
f '(x) 2(sin2x 1) 0, x R     
và
f '(x) 0 sin2x 1 x k , k Z
4

         

Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn
 
k ; k 1
44


      


và có đạo hàm f’(x) < 0 với mọi
 
x k ; k 1 , k Z
44



        


.

Do đó, hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn
 
k ; k 1 , k Z
44


       


.
Vậy hàm nghịch biến trên R.
b) Ta có: f’(x) = 1 – sin2x;
f '(x) 0 sin2x 1 x k , k Z
4

       

NX: Hàm số f liên tục trên mỗi đoạn
 
k ; k 1
44


    



và có đạo hàm f’(x) > 0 với mọi
 
x k ; k 1 , k Z
44


      


.
Do đó hàm số đồng biến trên mỗi đoạn
 
k ; k 1 , k Z
44


     


.
Vậy hàm đồng biến trên R.

VẤN ĐỀ 2: TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MIỀN K
Phƣơng pháp: Sử dụng các kiến thức sau đây:
1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
 Nếu
f '(x) 0, x K  
thì f(x) đồng biến trên K.

 Nếu
f '(x) 0, x K  
thì f(x) nghịch biến trên K.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 3

2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax
2
+ bx + c có biệt thức
2
b 4ac  
. Ta có:

a0
f(x) 0, x R
0


   





a0
f(x) 0, x R
0


   





3. Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các
bước sau:
 B1. Tính đạo hàm f’(x,m).
 B2. Lý luận:
Hàm số đồng biến trên K
f '(x,m) 0, x K   

 
m g(x), x K m g(x)    

 B3. Lập BBT của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.
Bài 1
Với giá trị nào của a, hàm số
 
32
1
f(x) x 2x 2a 1 x 3a 2
3
      
nghịch biến trên R ?
Giải:
TXĐ: R
Ta có:
2
f '(x) x 4x 2a 1    
,

2a 5  

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi
5
f '(x) 0, x R 0 a
2
        
.
Bài 2
Với giá trị nào của m, hàm số
 
32
f(x) mx 3x m 2 x 3    
nghịch biến trên R ?

Giải:
TXĐ: R
Ta có:
2
f '(x) 3mx 6x m 2   

Hàm số nghịch biến trên R khi và chỉ khi
2
f '(x) 3mx 6x m 2 0, x R      


>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 4

 m = 0, khi đó f’(x) =
1

6x 2 0 x
3
     
: không thỏa
xR
.

m0
, khi đó
m0
f '(x) 0, x R
9 3m(m 2) 0


   

    



2
m0
m0
m1
m 1 v m 3
3m 6m 9 0





    

  
   



Vậy, với
m1
thì thỏa mãn bài toán.
Bài 3
Với giá trị nào của m, hàm số
 
2
3x mx 2
fx
2x 1
  


nghịch biến trên từng khoảng xác định
của nó.
Giải:
TXĐ:
1
D R \
2






Đạo hàm:
 
2
2
6x 6x 4 m
f '(x)
2x 1
   



Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
1
f '(x) 0, x
2
  

2
1 11
6x 6x 4 m 0, x ' 9 6(4 m) 0 m
22
               

Bài 4
Định m để hàm số
mx 1
y
xm




luôn đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
Giải:
TXĐ:
 
D R \ m


>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 5

Đạo hàm:
 
2
2
m1
y'
xm



. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi
2
y' 0, x m m 1 0 m 1 v m 1          

Bài 5
Tìm m để hàm số
   
32

11
y mx m 1 x 3 m 2 x
33
     
đồng biến trên


2;
.

Giải:
Ta có:
   
2
y' mx 2 m 1 x 3 m 2    

Hàm số đồng trên

    
2
2; y' 0, x 2 mx 2 m 1 x 3 m 2 0, x 2            

 
2
2
6 2x
m x 2x 3 2x 6 0, x 2 m , x 2
x 2x 3

           


(vì x
2
– 2x +
3 > 0)
Bài toán trở thành:
Tìm m để hàm số
 
2
6 2x
f x m, x 2
x 2x 3

   


Ta có
 
 
 
2
2
2
2
2x 12x 6
f ' x , f ' x 0 2x 12x 6 0 x 3 6
x 2x 3

        


BBT:
x
2
36



f’(x)
0
f(x)
2
3
0


>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 6

Ta cần có:


2;
2
max f(x) m m
3


. Đó là các giá trị cần tìm của tham số m.
Bài 6
Tìm m để hàm số

2
mx 6x 2
y
x2



nghịch biến trên nửa khoảng


1; 
.

Giải:
Ta có:
 
2
2
mx 4mx 14
y'
x2




Hàm số nghịch biến trên


2
1; y' 0, x 1 mx 4mx 14 0, x 1          

 
2
2
14
m x 4x 14, x 1 m , 1
x 4x

         


Bài toán trở thành: Tìm m để hàm số
 
2
14
f x m, x 1
x 4x

   


Ta có:
 
2
2
14(2x 4)
f '(x) 0, x 1
x 4x

   



x
1


f’(x)

f(x)
0
14
5


Ta cần có:


1;
14
min f(x) m m
5

   
. Vậy
14
m
5

là các giá trị cần tìm của m.

Bài tập tự giải:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 7

Bài 1. Tìm các giá trị của tham số a để hàm số
 
32
1
f x x ax 4x + 3
3
  
đồng biến trên R
Bài 2. Với giá trị nào của m, hàm số
m
y x 2
x1
  

đồng biến trên mỗi khoảng xác định ?
Bài 3. Định a để hàm số
 
 
2 3 2
1
y a 1 x a 1 x 3x 5
3
     
luôn đồng biến trên R ?
ĐS:
a 1v a 2  

Bài 4. Cho hàm số
 
2
m 1 x 2x 1
y
x1
  


. Xác định m để hàm số luôn đồng biến trên từng
khoảng xác định của nó.
ĐS:
1 m 2

Bài 5. Cho hàm số
 
 
3 2 2
y x m 1 x m 2 x m      
. Chứng minh rằng hàm số luôn
nghịch biến trên R với mọi m.
Bài 6. Tìm m để hàm số y = 3x
3
– 2x
2
+ mx – 4 đồng biến trên khoảng
 
0;
.

ĐS:
4
m
9

.
Bài 7. Tìm m để hàm số y = 4mx
3
– 6x
2
+ (2m – 1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2).
ĐS:
9
m
10

.
Bài 8. Cho hàm số
2
x 2mx m 2
y
xm
  


.
a) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng
 
1; 

.

VẤN ĐỀ 3:
SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 8


Phƣơng pháp: Sử dụng kiến thức sau:
 f(x) đồng biến trên đoạn
 
a; b
thì
     
 
f a f x f b , x a; b   

 f(x) nghịch biến trên đoạn
 
a; b
thì
     
 
f a f x f b , x a; b   

Bài 1
Cho hàm số
 
f x 2sinx tanx 3x  
.

a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng
0;
2





.
b) Chứng minh rằng:
2sinx tanx 3x, x 0;
2


   


.

Giải:
a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng
0;
2





và có
   

2
22
1 cosx 2cosx 1
1
f '(x) 2cosx 3 0, 0;
cos x cos x 2



     


. Do đó, hàm số
f đồng biến trên nửa khoảng
0;
2





(đpcm).
b) Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0,
x 0; 2sinx tanx 3x, x 0;
22

   
      
   
   

(đpcm).
Bài 2
a) Chứng minh rằng hàm số
 
f x tanx x
đồng biến trên nửa khoảng
0;
2





.
b) Chứng minh rằng
3
x
tanx x , x 0;
32


   


.

Giải:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 9

a) Hàm số đã cho liên tục trên nửa khoảng
0;
2





và có
2
2
1
f '(x) 1 tan x 0,
cos x
   

x 0;
2





. Do đó, hàm số f đồng biến trên nửa khoảng
0;
2






.
b) Từ câu a) suy ra f(x) > f(0) = 0,
x 0; tanx x, x 0;
22

   
     
   
   
.
Xét hàm số
3
x
g(x) tanx x
3
  
trên nửa khoảng
0;
2





. Hàm số này liên tục trên nửa
khoảng
0;
2






và có đạo hàm
2 2 2
2
1
g'(x) 1 x tan x x 0, x 0;
cos x 2


       


,
do
tanx x, x 0;
2


  


.
Do đó, hàm số g đồng biến trên nửa khoảng
0;
2






nên g(x) > g(0) = 0
x 0;
2






3
x
tanx x , x 0;
32


    


(đpcm).
Bài 3
Chứng minh rằng :
2(x 1)
lnx
x1




, với mọi x > 1.
Giải:
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
2(x 1)
lnx 0, x 1
x1

   


Xét hàm số
 
2(x 1)
f(x) lnx , x 0;
x1

   

. Ta có:

 
 
 
 
2
22
x1
14
f '(x) 0, x 0;

x
x 1 x x 1

      


Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng
 
0;
nên cũng đồng biến trên khoảng
 
1; 
. Vậy ta
luôn có f(x) > f(1) = 0 với mọi x > 1. Đó cũng là điều phải chứng minh.
Bài tập tự giải:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 10

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
sinx x, x 0  
và
sinx 0, x 0  

b)
2
x
cosx 1 , x 0
2
   

c)
3
x
sinx x , x 0
6
   
và
3
x
sinx x , x 0
6
   

d)
sinx tanx 2x, x 0;
2


   



e)
2x
sinx , x 0;
2


  





f)
tanx sinx
với
0x
2



Bài 2. Cho hàm số
 
4
f x x tanx, x 0;
4


  



.
a) Xét chiều biến thiên của hàm số trên đoạn
0;
4





.
b) Từ đó suy ra rằng:
tanx x, x 0;
44


  


.
Bài 3. Chứng minh rằng:
2
1 x 1
1 x 1 x 1 x
2 8 2
     
với
 
x 0; 

VẤN ĐỀ 4:
SỬ SỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ
CHỨNG MINH PHƢƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM DUY NHẤT

Bài 1
Cho hàm số
 
2
f x 2x x 2

.
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng


2;
.
b) Chứng minh rằng phương trình
2
2x x 2 11
có một nghiệm duy nhất.


>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 11

Giải:
a) TXĐ:


D 2; 
.
Đạo hàm:
 
 
2
x 5x 8
x
f '(x) 2 2 x 2 0, x 2;
2 x 2 x 2



       




Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng


2;
.
b) NX: Hàm số liên tục trên [2;3] và có f(2) = 0, f(3) = 18. Vì 0 < 11 < 18 nên
 
c 2;3
sao
cho f(c) = 11. Số thực c là một nghiệm của phương trình và vì f đồng biến trên


2;
nên
c là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài 2
Cho hàm số f(x) = sin
2
x + cosx.
a) CMR hàm số đồng biến trên đoạn
0;
3





và nghịch biến trên đoạn
;
3





.
b) Chứng minh rằng với mọi
 
m 1;1
, phương trình sin
2
x + cosx = m có một
nghiệm duy nhất thuộc đoạn
 
0;
.
Giải:
a) Hàm số đã cho liên tục trên
 
0;
và có đạo hàm
f’(x) = 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1),
 
x 0;

vì khi đó sinx > 0 nên

1
f '(x) 0 cosx x
23

    

BBT:
x
0
/3



y’
+ 0


y

5/ 4


1

1
Vậy, hàm số đồng biến trên đoạn
0;
3





và nghịch biến trên đoạn
;
3





.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 12

b) Hàm số liên tục trên đoạn
;
3





và
 
5
f ,f 1
34


   



. Theo định lí về giá trị trung
gian của hàm số liên tục thì
 
5
m 1;1 1;
4

    


, tồn tại số
c;
3





sao cho f(c) =
0. Số c là nghiệm của phương trình sin
2
x + cosx = m. Vì hàm f nghịch biến trên
;
3






nên
phương trình có nghiệm duy nhất.
Lại vì
x 0;
3





ta có
 
5
1 f x
4

nên phương trình đã nêu không có nghiệm với
 
m 1;1
. Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm thuộc
 
0;
.
Bài 3
Giải phương trình:
53
x x 1 3x 4 0    
(3)

Giải:
Đặt
53
f(x) x x 1 3x 4    
với
1
x
3


Ta có f(x) là hàm liên tục trên nửa khoảng
1
;
3





và có đạo hàm

42
31
f '(x) 5x 3x 0, x
3
2 1 3x
     

.
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng

1
;
3





. Mặt khác f(-1) = 0, nên x = -1 là một
nghiệm của (3) và cũng là nghiệm duy nhất của phương trình này.

Bài 4
Giải phương trình:
3 x 2
2 x 8x 14

   
(4)

Giải:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 13

Điều kiện xác định của phương trình :
x3

Xét hai hàm số
3x
f(x) 2



và
2
g(x) x 8x 14   
xác định và liên tục trên


;3
, ta
có:

3x
1
f '(x) 2 . ln2 0
2 3 x







và
g'(x) 2x 8 0   
với mọi
 
x ;3 

Như vậy f(x) là hàm số nghịch biến, còn g(x) là hàm số đồng biến trên



;3
. Mặt khác
f(3) = g(3) = 1 nên x = 3 là nghiệm của (4) và đó là nghiệm duy nhất.

Bài 5
Giải phương trình:
 
23
4(x 2) log (x 3) log (x 2) 5(x 1)     
(5)

Giải:
Điều kiện xác định của phương trình: x > 3. Khi đó:
23
5(x 1)
(5) log (x 3) log (x 2)
4(x 2)

    


Xét hai hàm số
23
f(x) log (x 3) log (x 2)   
và
5(x 1)
g(x)
4(x 2)




là hai hàm xác định
và liên tục trên khoảng
 
3;
, ta có:
 f(x) là tổng của hai hàm số đồng biến nên là hàm số đồng biến.
 vì
 
2
45
g'(x) 0
4 x 2
  

nên g(x) là hàm nghịch biến.
Mặt khác ta có f(11) = g(11) = 5 nên x = 11 là nghiệm của (5) và cũng là nghiệm duy nhất.

Bài 5
Giải phương trình:
 
x 2 x 2
3.25 3x 10 .5 3 x 0

    
(6)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 14

Giải:
Đặt t = 5
x-2
(t > 0). Khi đó:

x2
2
x2
1
1
5
t
(6) 3t (3x 10)t 3 x 0
3
3
t 3 x
5 3 x








       









Ta có:

x2
5
1
5 x 2 log 3
3

   

 Xét phương trình
x2
5 3 x


, ta dễ chứng minh x = 2 là nghiệm duy nhất của nó.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
5
x 2 log 3 và x 2  
.

Bài 5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D-2006)
Cho hệ phương trình
 
xy

e e ln(1 x) ln(1 y)
a0
y x a

    





Chứng minh hệ trên có nghiệm duy nhất.

Giải:
Xét hệ:
xy
e e ln(1 x) ln(1 y) (1)
y x a (2)

    



với điều kiện xác định
x 1,y 1   

Từ (1)

y = x + a, thế vào (1) ta được:
x a x
e e ln(1 x) ln(1 x a) 0


      
(3)
Bài toán trở thành chứng minh (3) có nghiệm duy nhất trên khoảng
 
1; 
.
Đặt
x a x
f(x) e e ln(1 x) ln(1 x a)

      
trên khoảng
 
1; 


>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 15

Ta có f(x) là hàm liên tục trên khoảng
 
1; 
và có đạo hàm

x a x
11
f '(x) e e
x 1 x a 1

   

  

Do a > 0 nên với mọi x > -1, ta có:

x a x
e e 0
11
0
x 1 x a 1







  


Như vậy f’(x) > 0 với mọi x > -1

f(x) là hàm số đồng biến trên khoảng
 
1; 

Mặt khác, ta có:
xa
1x
f(x) e (e 1) ln
1 a x


  


Từ đó ta tính giới hạn:
xa
x x x
1x
lim f(x) lim e (e 1) lim ln
1 a x
  

    

và
x ( 1)
lim f(x)


 

Vậy, phương trình (3) có nghiệm duy nhất trên khoảng
 
1; 
. Từ đó suy ra đpcm.

Bài tập tự luyện:
Giải các phương trình sau:
a)
22

x 15 3x 2 x 8    
ĐS: x = 1
b)
     
x 2 2x 1 3 x 6 4 x 6 2x 1 3 x 2         
ĐS: x = 7

VẤN ĐỀ 4:
ỨNG DỤNG CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ VÀO VIỆC BIỆN LUẬN
PHƢƠNG TRÌNH, HỆ PHƢƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƢƠNG TRÌNH
Chú ý. Cho f(x) là hàm số liên tục trên T, thì:
a)
 
f x a
với mọi
 
x T a max f x  

b)
 
f x a
với mọi
 
x T a min f x  


>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 16

c)
 

f x a
có nghiệm
 
a min f x

d)
 
f x a
có nghiệm
 
a max f x

Bài 1
Cho phương trình


2
m x 2x 2 1 x(2 x) 0     
. Tìm m để phương trình có nghiệm
x
0,1 3



.
Giải:
Xét bất phương trình :


2

m x 2x 2 1 x(2 x) 0 (1)     

Đặt
      
2 2 2
t x 2x 2 x 2x t 2

Ta xác định điều kiện của t :
Xét hàm số
  
2
t x 2x 2
với x
0,1 3




Ta có:
2
x1
t' , t' 0 x 1
x 2x 2

   


x
0 1
13

t’


0 +
t
2
2
1
Vậy với x
0,1 3



thì
1 t 2
.
Khi đó :
(1) 



2
t2
m
t1
với
t [1;2]

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 17

Xét hàm số



2
t2
f(t)
t1
với
t [1;2]
. Ta có:
f’(t)

   

2
2
t 2t 2
0, x [1;2]
(t 1)
. Vậy hàm số f tăng trên [1; 2].
Do đó, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để (1) có nghiệm t[1,2]




  
t 1; 2

2
m max f( t) f(2)
3
.
Đó là giá trị cần tìm của tham số.

Bài 2
Tìm m để phương trình
4
4
x 13x m x 1 0    
có đúng một nghiệm.


Giải:

Ta có:
4
4
x 13x m x 1 0    
4
4
x 13x m 1 x    


 
4
32
4
x1

x1
4x 6x 9x 1 m
x 13x m 1 x







    
   




Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường thẳng y = -m cắt phần đồ thị f(x) = 4x
3
–6x
2
–9x–1
ứng với
x1
tại một điểm duy nhất.
Xét hàm số f(x) = 4x
3
– 6x
2
– 9x – 1 trên nửa khoảng



;1

Ta có: f'(x) = 12x
2
– 12x – 9 = 3(4x
2
– 4x – 3)
Cho f'(x) = 0  4x
2
– 4x – 3 = 0 
13
xx
22
   


>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 18

x
–
1
2

1
f’(x)
+ 0


f(x)

3
2


12




Từ bảng biến thiên ta thấy:
Yêu cầu bài toán xảy ra khi
33
mm
22
m 12 m 12

   



   


Đó là các giá trị cần tìm của tham số m.

Bài 3
Tìm m để hệ phương trình
 
2x y m 0

I
x xy 1
  






có nghiệm duy nhất.

Giải:
Ta có:
(I)
2x y m 0 2x y m 0
x xy 1 xy 1 x
     




   



Với điều kiện:
xy 0
x1






ta có:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 19

(I)

 
 
 
2
2
y 2x m
y 2x m
1x
xy 1 x
y x 1
x














(Do x = 0 không là nghiệm của hệ)
 
2
2
1x
x 2x 1
2x m m
xx


    
()
Xét hàm số
2
x 2x 1 1
f(x) x 2
xx

   
trên tập


 
D ;1 \ 0 

Ta có hàm số f(x) liên tục trên D và có đạo hàm
  


2
1
f '(x) 1 0, x ;0 0;1
x
      

Giới hạn :
x
x 0 x 0
lim f(x) ; lim ; lim



     
và f(1) = 2
BBT :
x
– 0 1
f’(x)
+ +
f(x)


2

– –
Từ BBT ta thấy :
Yêu cầu bài toán xảy ra khi m > 2. Đó là các giá trị cần tìm của tham số.

Bài 4 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004)
Tìm m để phương trình
22
33
log x log x 1 2m 1 0    
có ít nhất một nghiệm thuộc
3
1;3


.

Giải:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 20

Đặt
2
3
t log x 1
. Với x
3
1;3



thì
t [1;2]
.
Khi đó phương trình đã cho tương đương với :

2
t t 2 2m  

Bài toán trở thành tìm m để phương trình
2
t t 2 2m  
có nghiệm
t [1;2]

Xét hàm số f(t) = t
2
+ t – 2 với
t [1;2]
. Ta có : f’(x) = 2t + 1 > 0, với mọi
t [1;2]

Vậy yêu cầu bài toán xảy ra khi :

x [1;2]
x [1;2]
min f(x) 2m maxf(x) f(1) 2m f(2) 0 2m 4 0 m 2


          

Bài 5 (Đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B – 2004)
Tìm m để phương trình


2 2 4 2 2

m 1 x 1 x 2 2 1 x 1 x 1 x         
có
nghiệm.

Giải:
Điều kiện xác định của phương trình :
x [ 1;1]

Đặt
22
t 1 x 1 x   
. Với
x [ 1;1]
, ta xác định điều kiện của t như sau :
Xét hàm số
22
t 1 x 1 x   
với
x [ 1;1]

Ta có :



22
2 2 4
x 1 x 1 x
xx
t'
1 x 1 x 1 x

  

  
, cho
t' 0 x 0  


x
1
0 1
t’


0 +
t
2

2


>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 21

0
Vậy với
x [ 1;1]
thì
t 0; 2




Từ
2 2 4 2
t 1 x 1 x 2 1 x 2 t       
. Khi đó, phương trình đã cho tương đương
với :

 
2
2
t t 2
m t 2 t t 2 m
t2
  
      


Bài toán trở thành tìm m để phương trình
2
t t 2
m
t2
  


có nghiệm
t 0; 2




Xét hàm số
2
t t 2
f(t)
t2
  


với
t 0; 2



. Ta có :
 
2
2
t 4t
f '(t) 0, t 0; 2
t2


   



Suy ra :
 
t 0; 2

t 0; 2
max f(t) f(0) 1, min f(t) f 2 2 1






    

Bây giờ, yêu cầu bài toán xảy ra khi
t 0; 2
t 0; 2
min f(t) m max f(t) 2 1 m 1






     
. Đây là
các giá trị cần tìm của tham số.
Bài tập làm thêm
Bài 1: Tìm điều kiện của tham số m sao cho
a. y = x
3
– mx
2
–(2m

2
– 7m+7)x+2(m-1)(2m-3) đồng biến trên khoảng [2;+

)
b. y =
2
( 1) 1
2
mx m x
xm
  

đồng biến trên khoảng (1;+

)
Đáp số:
a,
5
1
2
m  
b,
01m

Bài 2: Tìm điều kiện của tham số m sao cho:
y = x
3
– (m+1)x
2
– (2m

2
-3m+2)x+m(2m – 1) đồng biến trên [2;+

)
Đáp số:
2
2
3
m  

Bài 3: Tìm điều kiện của tham số m sao cho:

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 22

y =
32
1
( 1) 3( 2( 1)
3
mx m x m x    
đồng biến trên (2;+

)
Đáp số:
1. a. -1  


, b. 0    2. -2  



3. m  


4. m 



Bài 4: Tìm m để hàm số
a. y =
3
2
( 1) ( 1) 1
3
x
m x m x    
đồng biến trên khoảng (1;+

)
b. y = x
3
– 3(2m + 1)x
2
+(12m + 5)x +2 đồng biến trên khoảng (2;+

)
c. y =
4mx
xm



đồng biến trên khoảng (1;+

)
d. y =
xm
xm


đồng biến trên khoảng (-1;+

)
e. y =
22
23
2
x mx m
xm


đồng biến trên khoảng (1;+

)
f. y =
2
23
21
x x m
x
  


nghịch biến trên khoảng
1
( ; )
2
 

Bài 5:
Xác định m để hàm số y = 3x
3
+- 2x
2
+ mx -4 đồng biến trên khoảng (-1;+

)
Bài 6: Cho hàm số y = 4x
3
+ (m+3)x
2
+ mx. Tìm m để:
a. Hàm số tăng trên R
b. Hàm số tăng trên khoảng [2;+

)
c. Nghịch biến trên khoảng
11
[ ; ]
22


d. Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1
Bài 7: Cho hàm số y =
1x
xm


. Tìm m để hàm số:
a. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Tăng trên khoảng (0;+

)
Bài 8: Cho hàm số y =
22
1
x x m
x


. Với giá trị nào của m

>> Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Anh – Văn tốt nhất! 23

a. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (2;4)
Bài 9: Tìm tham số m sao cho y = 4mx
3
– 6x
2
+(2m-1)x + 1 tăng trên khoảng (0;2)
Bài 10. Cho hàm số y = - x

4
+ 2mx
2
– m
2
. Với giá trị nào của m
a. Hàm số nghịch biến trên (1;+

)
b. Hàm số nghịch biến trên (-1;0) và (2;3)
Bài 11: Tìm m để hàm số
a, y = x
3
+ 3x
2
+ mx + m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1
b, y =
32
11
2 3 1
32
x mx mx m   
nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3
c. y =
32
1
( 1) ( 3) 4
3
x m x m x     
đồng biến trên khoảng có độ dài bằng 4