DE+DA HSG Lop 7 YEN LAC 2011
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (89.03 KB, 4 trang )
Phòng GD&ĐT Yên lạc
đề thi khảo sát học sinh giỏi
lớp 7
năm học 2010-2011.
Thời gian: 90phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2 điểm)
a)Tính A =
+
+
+
2
9
25
2011
4022
11
2011
7
:
34
33
17
2010
4020
3
2010
2
b)Tìm hai số hữu tỉ a và b sao cho a+b =a.b= a:b
Câu 2: (2 điểm)
a)Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn
67)62(
2010
302011
2
+
=++
x
y
b)Chứng minh rằng biểu thức
1
258
++= xxxxP
nhận giá trị dơng
với mọi giá trị của x
Câu 3: (2 điểm)
Cho a,b,c
R v a,b,c
0 tho món b
2
= ac. Chng minh rng:
c
a
=
2
2
( 2011 )
( 2011 )
a b
b c
+
+
(Bit rng cỏc t s u cú ngha)
Câu 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC cân tại A có Â = 80
0
. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho
CAD = 30
0
.Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho
ABE = 30
0
.Gọi I là giao
điểm của AD và BE.
a)Chứng minh
IDE cân
b)Tính các góc của tam giác IDE.
Câu 5: (1,5 điểm)
Cho n lẻ. Chứng minh rằng n
2004
+1 không là số chính phơng.
( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Đáp án
C âu 1:a) A =
5
1
b) Ta có a+b =a.b= a:b
a+b =a.b
a=b(a-1) (1)
a+b= a:b a+b= a:b (2)
Từ (1), (2)
a+b= a-1
b=-1
thay vào (2) ta đợc a =
2
1
Vậy a =
2
1
và b= -1
C âu 2:
a)
67)62(
2010
302011
2
+
=++
x
y
(1)
Ta có:
( )
062
2
x
với
x
Z
( )
676762
2
+x
với
x
Z
30
67
2010
67)62(
2010
2
=
+x
với
x
Z
02011 +y
với
y
Z
30302011 ++y
với
y
Z
Do đó (1) có nghiệm nguyên x,y khi và chỉ khi
( )
=+
=
02011
062
y
x
=
=
2011
3
y
x
b)
1
258
++= xxxxP
* xét x=0 ta có
1=P
> 0
* xét x<0 ta có
0
5
> xx
01
258
>++= xxxxP
* xét 0<x<1 ta có
>++= 1
258
xxxxP
1
248
++ xxxx
0
2
1
2
1
2
1
22
4
>+
+
> xxP
* xét 1<x ta có
xxxx >>
258
;
01
258
>++= xxxxP
Vậy
1
258
++= xxxxP
có giá trị dơng với mọi giá trị của x
C âu 3:
b
2
= ac=>
2011 2011
2011 2011
b a a b b a b a b
c b b c c b c b c
+
= = = = =
+
2
2011 2011 2011
. .
2011 2011 2011
a b a b a b a a b
b c b c b c c b c
+ + +
= =
ữ
+ + +
Do ú:
c
a
=
2
2
( 2011 )
( 2011 )
a b
b c
+
+
C âu 4:a)
*
ABC cân tại A có Â = 80
0
nên
B = (180
0
- Â) : 2 =50
0
Lại có:
BAD = Â -
CAD = 80
0
30
0
=50
0
B =
BAD=50
0
ABD cân tại D
AD =BD
*
ABD cân tại D có
BAD=50
0
ADB=180
0
- 2
BAD = 80
0
Lại có :
CBE =
BAD-
ABE = 50
0
30
0
=20
0
BID =180
0
(
DBI+
IDB) = 180
0
(
CBE+
ADB)=80
0
*
BID =
ADB(= 80
0
)
BDI cân tại B
BI =BD
*
DIE=180
0
-
BID =100
0
( 2 góc kề bù)
mà
DIE=
EAI+
AEI (góc ngoài của
AIE)
AEI =
DIE-
EAI=
DIE-
CAD=100
0
30
0
=70
0
Trên đoạn BI lấy K sao cho
BAK = 10
0
ta có :
KAE= Â-
BAK= 80
0
10
0
=70
0
Do đó
KAE=
AEI=70
0
AKE cân tại K
AK = KE (1)
*
KAI=
BAD -
BAK =50
0
-10
0
=40
0
Vẽ tia phân giác của
KAI cắt KI tại N ta có :
KAN=
DAN(=20
0
)
BAN =
BAK+
KAN=30
0
Do
BAN =
ABN (=30
0
) nên
ABN cân tại N
AN = BN
*
ADN và
BDN có :
AN = BN
AD =BD
DN là cạnh chung
Suy ra
ADN =
BDN(c.c.c)
ADN =
BDN( 2 góc tơng ứng)
Mặt khác
ADN +
BDN=
ADB=80
0
ADN =40
0
Do đó :
AND = 180
0
-(
DAN+
AND)=120
0
*
AKN =
BAK+
ABK=40
0
(góc ngoài của
ABK)
ANK=180
0
-(
AKN+
KAN)=120
0
*
AKN và
ADN có :
KAN=
DAN(=20
0
)
AN là cạnh chung
ANK=
AND (=120
0
)
Suy ra
AKN =
ADN(g.c.g)
AK = AD(2) ( 2 cạnh tơng ứng)
Từ (1), (2) suy ra :
AD = KE(3)
A
B C
E
D
I
N
K
30
0
30
0
10
0
*
∠
KAI=
∠
AKI(=40
0
)
⇒
∆
AKI c©n t¹i I
⇒
AI =KI(4)
Tõ (3), (4) suy ra :
AD –AI = KE – KI
hay DI = IE
VËy
∆
IDE c©n t¹i I
b)Theo a) ta cã
∆
IDE c©n t¹i I cã
∠
DIE=100
0
Suy ra :
∠
IDE =
∠
IED =(180
0
-
∠
DIE):2=40
0
C ©u 5:
Gi¶ sö n
2004
+1 lµ sè chÝnh ph¬ng víi n lµ sè lÎ ta cã :
n
2004
+1 = a
2
( a
∈
N*)
⇔
a
2
– (n
1002
)
2
= 1
⇔
(a-n
1002
)(a+n
1002
)=1
⇒
1
(a+n
1002
)
⇒
(a+n
1002
) =1 ®iÒu nµy v« lÝ v× (a+n
1002
) >2 víi n lµ sè lÎ
VËy n
2004
+1 kh«ng lµ sè chÝnh ph¬ng víi n lµ sè lÎ
