Chương 1- Hóa Lượng tử

Chơng 1
Cơ sở cơ học lợng tử
1.1. Một số vấn đề mở đầu
1.1.2. Phổ nguyên tử
Một trong những yêu cầu đặt ra đối với mọi lí thuyết về nguyên tử là giải thích đợc sự
xuất hiện phổ vạch của nguyên tử và một số tính chất của chúng.
Khi nung nóng một chất (bằng ngọn lửa, phóng điện trong chân không, hồ quang )
tới một nhiệt độ đủ lớn thì nó phát sáng. Ví dụ cho ít NaCl vào ngọn lửa đèn cồn thì ngọn lửa
nhuộm màu vàng thẫm. ánh sáng vàng ấy là do nguyên tử Na (xuất hiện trong quá trình
nhiệt phân NaCl trong ngọn lửa) phát ra. Phân tích ánh sáng ngọn lửa có chứa hơi Na bằng
một quang phổ kế ngời ta thấy bên cạnh phổ liên tục của ánh sáng ngọn lửa là một vạch đậm
màu vàng có bớc sóng 5892 A
0
(với quang phổ có độ phân giải cao sẽ thấy dó là một vạch
kép). Phổ xuất hiện nh vậy gọi là phổ phát xạ.
Trái lại, nếu chiếu ánh sáng trắng qua hơi Na thì trên phổ liên tục, ở vị trí tơng ứng
với vạch vàng Na là một vệch tối. Đó là phổ hấp thụ của Na. Nguyên tử có khả năng hấp thụ
ánh sáng có tần số đúng bằng tần số ánh sáng phát xạ của nó.
Phổ nguyên tử H ở vùng thấy đợc có cấu trúc đặc biệt đơn giản. Balmer (1885) tìm
thấy các phổ vạch nguyên tử H có bớc sóng tuân theo công thức đơn giản:
=
22
2
2
.
m
mK
(1.1)
với K = 3645,6 . 10
-7
mm và m = 3,4,5

Công thức Balmer đợc Rydberg (1896) và Ritz (1908) khái quát hoá:

= R
H
(
2
2
2
1
11
nn

) (1.2)
n
1
= 1, 2, 3,
n
2
= n
1
+ 1, n
1
+ 2,
R
H
=
K
4
gọi là hằng số Rydberg. Thay n
2

= m và n
1
= 2 ta có đợc công thức Balmer.
Cho n
1
các giá trị 1,2,3, và n
2
các giá trị nguyên lớn hơn n
1
ta có công thức biểu diễn toàn
bộ phổ nguyên tử H. Theo Ritz, ngời ta gọi các đại lợng R/n
1
2
và R/n
2
2
là các số hạng. Nh
vậy mỗi một vạch phổ ứng với hai số hạng. Mỗi một giá trị của n
1
đặc trng cho một dãy phổ.
Các dãy phổ của nguyên tử H
n
1
n
2
Dãy phổ Vùng phổ
1 2,3, Lyman Cực tím
2 3,4,
Balmer
Nhìn thấy và gần cực tím

3 4,5, Paschen Hồng ngoại gần
4 5,6, Brackett Hồng ngoại xa
5 6,7, Pfund Hồng ngoại xa
1.1.2.Thuyết lợng tử Planck
Để đa vật lý thoát ra khỏi Sự khủng hoảng tử ngoại, năm 1900 nhà vật lý ngời Đức
là Max Planck đa ra thuyết lợng tử gọi là thuyết lợng tử Planck.
1
Theo thuyết lợng tử Planck thì: Một dao động tử dao động với tần số

chỉ có thể
phát ra hay hấp thụ năng lợng từng đơn vị gián đoạn, từng lợng nhỏ một nguyên vẹn, gọi là
lợng tử năng lợng

. Lợng tử năng lợng này tỉ lệ với tần số

của dao động tử".
= h. (1.3)
(h = 6,625.10
-27
erg.sec = 6.625.10
-34
J.s)
ý nghĩa quan trọng của thuyết lợng tử Planck là đã phát hiện ra tính chất gián đoạn
hay tính chất lợng tử của năng lợng trong các hệ vi mô. Năng lợng của electron trong nguyên
tử, năng lợng quay, năng lợng dao động của các nguyên tử hay nhóm nguyên tử trong phân
tử đều nhận những giá trị gián đoạn xác định.
Theo thuyết lợng tử Planck thì năng lợng của dao động tử dao động với tần số chỉ
có thể nhận những giá trị gián đoạn:
0, h, 2h, 3h, 4h, nh
nghĩa là bội số nguyên lần lợng tử năng lợng = h. Do đó, ta có thể biểu diễn E theo công

thức:
E = nh (n = 0, 1, 2, 3, )
Mặt khác, vì năng lợng của dao động tử phát ra hay hấp thụ dới dạng năng lợng bức
xạ nên thuyết lợng tử Planck cũng có nghĩa là:
ánh sáng hay bức xạ nói chung gồm những lợng tử năng lợng

= h.

phát đi từ
nguồn sáng.
Vì vậy, thuyết lợng tử Planck còn đợc gọi là thuyết lợng tử ánh sáng.
1.1.3. Tính chất sóng - hạt của ánh sáng
H.Hetz (1887) khi làm thí nghiệm để chứng minh sự tồn tại của sóng điện từ trong lí
thuyết cuả MaxWell đã phát hiện ra rằng ánh sáng cực tím có tác dụng trợ lực cho sự phóng
điện trong chân không. Sau đó, (1900) Lenard chỉ ra rằng nguyên nhân của hiện tợng trên là
do ánh sáng cực tím đã giải phóng electron ra khỏi bề mặt catôt. Hiện tợng electron đợc giải
phóng ra khỏi bề mặt kim loại dới tác dụng của ánh sáng đợc gọi là hiệu ứng quang điện.
einstein (1905) cho rằng có thể mở rộng thuyết lợng tử của Planck để giải thích hiệu
ứng quang điện. Vì vậy, Einstein đa ra thuyết hạt hay thuyết lợng tử ánh sáng. Theo thuyết l-
ợng tử ánh sáng của Einstein thì ánh sáng hay bức xạ nói chung là một thông lợng các hạt
vật chất đợc gọi là photon (quang tử) hay lợng tử ánh sáng với một lợng tử năng lợng:
= h (1.3)

Electron trong kim loại hấp thụ hoàn toàn và ngay lập tức toàn bộ năng lợng của
photon khi nó tơng tác với photon.
Trong những điều kiện nhất định nh trong các thí nghiệm giao thoa và nhiễu xạ, bức
xạ điện từ thể hiện tính chất sóng của chúng; còn trong điều kiện khác, nh trong hiệu ứng
quang điện, chúng lại có bản chất hạt. Tính chất đó gọi là lỡng tính sóng- hạt của bức xạ
điện từ.
Theo hệ thức của einstein, giữa khối lợng m của một vật và năng lợng E của nó có hệ

thức:
E = m.c
2
(c: vận tốc ánh sáng) (1.4)
Do đó , đối với photon ta có: mc
2
= h. = h.

c
hay m =

.c
h
2
Từ đó suy ra p = m .c =

h
(1.5)
Nh vậy, phơng trình (1.5) cho thấy mối quan hệ của m (đặc trng tính chất hạt) và
(đặc trng cho tính chất sóng). Đây là phơng trình quan trọng chứa đựng bản chất nhị nguyên
của bức xạ điện từ.
1.1.4. Tính chất sóng- hạt của hạt vật chất (sóng vật chất De Broglie)
Năm 1924, nhà vật lí Pháp Louis De Broglie cho rằng có thể mở rộng bản chất nhị
nguyên sóng - hạt của bức xạ điện từ do Einstein phát hiện ra cho mọi vật chất. Giả thiết của
De Broglie chủ yếu dựa trên cơ sở triết học về sự đối xứng trong tự nhiên. Có thể chia thế
giới vật chất thành hai phần là bức xạ và vật chất. Bên cạnh thuộc tính sóng, bức xạ còn có
thuộc tính hạt. Suy ra, ngoài bản chất hạt, vật chất còn có tính chất sóng.
Sự chuyển động của một hạt vật chất bất kì có thể đợc xem nh một quá trình sóng có
bớc sóng và tần số :
=

h
E
; =
mV
h
=
p
h
(1.6)
m: khối lợng của hạt ; p: động lợng của hạt
v: vận tốc hạt ; h: hằng số Plank.
Biểu thức (1.6) gọi là biểu thức De Broglie hay là những phơng trình cơ bản của sóng
vật chất De Broglie.
Nếu có một hạt vật chất ta có biểu thức sóng:

(x,t)
= a.e
i.(Et - px)/ h
(1.6) : sóng vật chất De Broglie
1.1.5. Nguyên lí bất định Heisenberg
Trong cơ học cổ điển khi nghiên cứu chuyển động của các hạt, ngời ta phải nói đến
quỹ đạo của chúng, lúc đó tại một thời điểm bất kì ta có thể xác định đợc toạ độ và động l-
ợng của hạt.
Trong cơ học lợng tử, khi nói đến tính sóng của hạt vật chất thì khái niệm quỹ đạo
không còn ý nghĩa nữa.
Theo hệ thức De Broglie ta có:
=
p
h
p =

h
Vì không phải là hàm của toạ độ, do đó p không thể là hàm của toạ độ. Điều này
đợc Heisenberg phát biểu qua hệ thức bất định:
Toạ độ và động lợng của hạt tơng ứng với toạ độ đó là không thể đồng thời xác
định.
Biểu thức bất định Heisenberg:
x. p
x


(1.8)
3
x: độ bất định của toạ độ
p
x
: độ bất định của động lợng trên phơng x.
Biết p
x
= m. V
x
Suy ra : x. V
x

m

(1.9)
Vì
m

= const, nên V
x
càng nhỏ (V
x
càng chính xác) thì x càng lớn (x càng bất
định) và ngợc lại. Có nghĩa là ta không thể xác định đợc đồng thời một cách chính xác vị trí
x và vận tốc V
x
của một electron trong nguyên tử. Nếu biết V
x
thì không thể xác định chính
xác toạ độ x của nó, tức là không tồn tại quỹ đạo của electron trong nguyên tử.
Nguyên lí bất định Heisenberg cũng đúng trong trờng hợp của hệ vĩ mô, nhng vì hạt
vĩ mô thì tính chất sóng- hạt là rất bé nên ít đợc áp dụng.
Từ hai tính chất vật lí của hạt vật chất ta có thể rút ra tính chất đặc trng của hệ vi mô:
- Các đại lợng vật lí của hạt vi mô đều gián đoạn.
- Toạ độ x và động lợng của hạt là không thể đồng thời xác định
- Chuyển động của hạt vi mô không có quỹ đạo
1.1.6. Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển và cơ học lợng tử
Dựa trên các số liệu thực nghiệm thu đợc và các hiện tợng quan sát, ta có thể tóm tắt
sự khác nhau chính giữa hai loại cơ học nh sau:
Cơ học cổ điển
- Chuyển động của hạt có quỹ đạo
- Các đại lợng vật lí (năng lợng,
động lợng, mô men động lợng .) có
thể nhận bất cứ giá trị nào.
- Các đại lợng cơ học đều có thể xác
định đợc đồng thời.
Cơ học lợng tử
- Chuyển động của hạt không có quỹ đạo.

- Các đại lợng vật lí chỉ có thể nhận những
giá trị gián đoạn hay đợc lợng tử hoá.
- Toạ độ và động lợng tơng ứng với toạ độ
đó là không thể đồng thời xác định.
1.2. Toán tử và hàm sóng
Do hệ lợng tử có các thuộc tính khác biệt với hệ vĩ mô, nên ngời ta không thể biểu
diễn các đại lợng vật lí của hệ này bằng các biểu thức giải tích thông thờng nh trong cơ học
cổ điển mà phải dùng đến một công cụ toán học mới có khả năng mô tả bản chất của hệ lợng
tử. Một trong những công cụ ấy là toán tử tác dụng lên hàm sóng.
1.2.1. Toán tử
a- Định nghĩa: Toán tử là một phép toán khi ta tác dụng lên một hàm thì cho ra một hàm
mới.
Thực hiện các phép toán đợc qui ớc trong toán tử A đối với hàm số
x
đứng sau nó ta
nhận đợc hàm mới
x
. Hay nói cách khác
x
là kết quả của sự tác động toán tử A lên hàm số

x
.
Kí hiệu:
A


x
=
x

(1.10)
Ví dụ: Toán tử A hàm số hàm mới
nhân với a x ax
d/ dx x
4
+ 5 4x
3
4
Toán tử A = nhân với a có nghĩa là thực hiện phép nhân a vào hàm số đứng sau nó.
A

= d/ dx nghĩa là lấy đạo hàm theo x hàm số đứng sau nó. Ngời ta thờng kí hiệu các
toán tử:
A

,
B

,
C

.
b. Các phép toán về toán tử
1. Phép cộng của hai toán tử A và B:
Tổng các toán tử A và B là toán tử C (
C

=
A

+
B

) sao cho khi
C

tác dụng lên hàm
u (tuỳ ý) thì bằng
A

+
B

tác dụng lên hàm u đó.
A

+
B

=
C

nếu
C

u =
A

u +
B

u
Ví dụ:
A

= x;
B

= d/ dx ; u = U (x)
C

= x + d /dx
C

u = xu + du / dx = ( x+ d /dx)u
2. Tích các toán tử: Tích hai toán tử A và B là toán tử C hay C
'
sao cho:
C

=
A

.
B


C

u =

A

[
B

u]
C

=
B

.
A


C

u =
B

[
A

u]
Ví dụ:
A

= x ,
B

= d /dx
C

u =
A

[
B

u] = x.du /dx
C

u =
B

[
A

u] = d/dx (x.u) = x. du/dx + u
C

u
Nếu
A

.
B


B

.
A

thì ta nói hai toán tử
A

,
B

không giao hoán với nhau,
ta gọi [
A

,
B

] =
A

.
B

-
B

.
A

là giao hoán tử của hai toán tử

A

và
B

.
Nếu
A

.
B

=
B

.
A

thì ta nói hai toán tử
A

và
B

giao hoán.
[
A

,
B

] =
A

.
B

-
B

.
A

= 0
3.Luỹ thừa của toán tử: Luỹ thừa của toán tử
A

đợc định nghĩa:
Â
2
u = (Â.Â)u = Â (Âu)
Vậy Â
2
= Â. là  tác dụng liên tiếp hai lần.
Ví dụ: Â =
dx
d
, u(x) = x
4
Â

2
u =
dx
d
(du/dx) =
dx
d
(4x
3
) = 12x
2

1.2.2. Toán tử tuyến tính
a. .Định nghĩa: Toán tử
L

đợc gọi là toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn biểu thức sau:
L

(au + bv) = a
L

u + b
L

v (1.11)
u,v: hàm ; a,b: các hằng số bất kì
5
Ví dụ: toán tử
dx

d
của hàm f(x) theo x là toán tử tuyến tính vì:
dx
d
(af
1
(x) + bf
2
(x) ) = a.
dx
d
f
1
(x) + b.
dx
d
f
2
(x)
Một số toán tử tuyến tính nh: toán tử nhân (với một số, một hàm số)
+Toán tử , vi phân:
dx
d
,
2
2
dx
d
.
+Toán tử Laplace: =

2
2
2
2
2
2
zyx

+


+


+Toán tử Napla:
zyx

+


+


=
+Toán tử Hamilton H = -
m2
2

+ U(x,y,z)
Các toán tử không tuyến tính: , ( )

m
(m 1);
b. Tính chất của toán tử tuyến tính
Nếu hai toán tử
A

,
B

là toán tử tuyến tính (t
4
) thì tổ hợp tuyến tính của chúng là toán
tử tuyến tính và tích của chúng nhân với một số cũng là toán tử tuyến tính.
A

,
B

: t
4
thì (a.
A

+ b.
B

) : t
4
(c.
A

.
B

, d.
B

A

) : t
4
c. Hàm riêng và trị riêng của toán tử tuyến tính
1. Định nghĩa: Nếu kết quả tác động của toán tử tuyến tính
L

lên một hàm u bằng
chính hàm u đó nhân với tham số L nào đó, thì ta gọi u là hàm riêng và L là trị riêng của toán
tử
L

:

L

u = Lu (1.12)
u là hàm riêng của
L

, còn L là trị riêng của
L

ứng với hàm riêng u.
Vd:
dx
d
(e
ax
) = a. e
ax
hàm u(x) = e
ax
là hàm riêng của toán tử
dx
d
, còn a là trị riêng của toán tử và ứng với
hàm riêng e
ax
Phơng trình (1.12) đợc gọi là phơng trình hàm riêng- trị riêng của toán tử
L

.
6
2. Trị riêng không suy biến và suy biến
Một toán tử tuyến tính
L

có thể tồn tại nhiều hàm riêng và trị riêng khác nhau. Tập
hợp các trị riêng của
L

gọi là phổ các trị riêng. Phổ các trị riêng có thể là liên tục hoặc gián
đoạn, hoặc một phần gián đoạn một phần liên tục.
- Nếu ứng với mỗi hàm riêng u chỉ có một trị riêng L thì ngời ta nói trị riêng đó là
không suy biến.
- Nếu ứng với một trị riêng L ta có k hàm riêng u thì ta nói trị riêng L suy biến k lần
hay suy biến bậc k.
Ví dụ:
L

u
1
= Lu
1

L

u
2
= Lu
2


L

u
k
= Lu
k
L là trị riêng suy biến bậc k
d. Các định lí về hàm riêng và trị riêng của toán tử tuyến tính

1. Định lí 1: Nếu u
n
là hàm riêng của toán tử tuyến tính
L

ứng với trị riêng L
n
và a là
một hằng số tuỳ ý 0 thì au
n
cũng là hàm riêng của
L

ứng với trị riêng L
n
.
L

u
n
= L
n
u
n
(1.13)

L

(a.u
n

) = L
n
(a.u
n
) (1.14)
2. Định lí 2: Nếu L
n
là trị riêng suy biến bậc k của toán tử
L

:
L

u
1
= L
n
u
1
L

u
2
= L
n
u
2
L

u

k
= L
n
u
k
thì tổ hợp tuyến tính của k hàm riêng đó cũng là hàm riêng của
L

ứng với trị riêng L
n
.
L

(c
1
u
1
+ c
2
u
2
+ . + c
k
u
k
) = L
n
(c
1
u

1
+ c
2
u
2
+ . + c
k
u
k
) (1.15)
3. Định lí 3: Điều kiện cần và đủ để hai toán tử
A

và
B

có chung hàm riêng là chúng
phải giao hoán với nhau.
A

u = Au
B

v = Bu
[
A

,
B

] = 0 u =v
1.2.3. Một số khái niệm về các hệ hàm
a. Hệ hàm trực giao: Hệ hàm u, v, w . đợc gọi là hệ hàm trực giao nếu tích phân của một
hàm nào đó với liên hợp phức của một hàm khác luôn bằng 0 trong toàn phạm vi biến đổi
của hàm số.

u.v
*
dx = 0,

u.w
*
dx = 0 ,

v.w
*
dx = 0
b. Hàm chuẩn hoá: Hàm đợc gọi là hàm chuẩn hoá nếu


*
dx = 1.
hay


2
dx = 1 (1.15)
7
cha chuẩn hoá:

2
dx = N ( N 1)
Để có đợc hàm chuẩn hoá, ngời ta chia phơng trình này cho N:

N
1

2
dx

N
1

*
dx = 1

N
1
) (
N
1

*
) dx = 1
Hàm =
N
1
là hàm chuẩn hoá;
N

1
là thừa số chuẩn hoá.
c. Hệ hàm trực chuẩn

1
,
2
, .,
m
, .,
n
gọi là hệ hàm trực chuẩn nếu nó chuẩn hoá và trực giao với nhau
từng đôi một.

m
*

n
dx = 1 : nếu m = n (1.16)
= 0 : nếu m n
d. Hệ hàm đầy đủ: Hệ hàm
1
,
2
, .,
m
, .,
n
đợc gọi là hệ hàm đầy đủ, nếu hàm bất
kì có thể khai triển thành chuỗi tuyến tính của hệ hàm ấy.

= C
1

1
+ C
2

2
+ . + C
m

m
+ . + C
n

n
= C
i

i
(1.17)
C
i
: hệ số khai triển chuỗi
Nếu hệ hàm đầy đủ cũng là hệ hàm trực giao thì ta có thể xác định đợc hệ số khai
triển chuỗi.
Ví dụ: Muốn xác định C
m
thì ta nhân phơng trình với
m

*
và lấy

m
*
dx = C
1

m
*

1
dx + C
2

m
*

2
dx + . + C
m

m
*

m
dx + . + C
n

m

*

n
dx


=
dx
dx
C
m
m
m


*
*
Nếu hệ hàm đầy đủ thoả mãn tính chất chuẩn hoá thì: C
m
=
m
*
dx
e. Hàm đều hoà (hàm đều đặn)
Hàm đợc gọi là hàm đều hoà nếu nó đơn trị, hữu hạn và liên tục trong phạm vi biến
đổi của biến số.
1.2.4 Toán tử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermite)
a. Định nghĩa: Toán tử
L

đợc gọi là toán tử Hermit nếu nó thoả mãn hệ thức sau:

+

v
*

L

u dx =

+

u.
L

*
v
*
dx (1.18)
8
u,v là các hàm bất kì, bằng 0 ở + và -
u
*
, v
*
,
L

*
là liên hợp phức của u,v,
L

Các toán tử Hermit:
L

= x;
L

= U(x,y,z);
L

= -i

(toán tử động lợng p
x
)
L

=
2
2
2
2
2
2
zyx

+

+


;
L

= -
m2
2

+ U(x,y,z)
L

= -
m2
2


b. Các định lí về hàm riêng và trị riêng của toán tử Hermit
1. Định lí 1: Trị riêng của toán tử Hermit là trị thực: L
n
= L
n
*
Thật vậy, nếu
L

là toán tử tuyến tính Hermit và L

n
là trị riêng của
L

thì ta có:
L


n
= L
n

n
(1)
và
n
*

L


n
d =
n

L

*

n

d (2)
(1)

*

L


n
=
n
*

L

n

n

n
*

L


n
d =
n
*

L


n
d = L
n

n
*

n
d (3)
Lấy liên hợp phức của (1): L
n
*

n
= L
n
*

n
*
(4)
(4) nhân với
n
và lấy ta đợc:

n
L

n
*

n
*
d =
n
L
n
*

n
*
d = L
n
*

n

*
n
d (5)
từ (2) (3) Và (5) suy ra: L
n

n
*

n
d = L

n
*

n

n
*
d
hay L
n



2
d = L
n
*

2
d

L
n
= L
n
*
Vậy trị riêng của toán tử Hermit là trị thực
2. Định lí 2: Tập hợp tất cả các hàm riêng khác nhau của một toán tử Hermit có phổ
trị riêng gián đoạn làm thành một hàm trực giao.
L

n
= L
n

n
(1)
L


m
= L
m

m
(2)
(L
n
L
m
)

n
*

L


n

d =
n

L

*

n
*
d (3)
9
Từ (1) nhân
m
*
rồi lấy ta đợc
m
*

L


n
d =
m
*
L
n

n
d

m
*

L


n
d = L
n

m
*

n
d (4)
Lấy liên hợp phức (2) rồi nhân với
n
, sau đó lấy tích phân ta đợc:

n

L

*

m
*
d = L
m

*

m
*

n
d = L
m

n

m
*
d (5)
Từ (3) so sánh (4) và (5) ta đợc:
L
n

m
*

n
d = L
m

n

m
*
d

(L
n
- L
m
)
m
*

n
d = 0

m
*

n
d = 0 đó là điều phải chứng minh.
c. Tính chất của toán tử tuyến tính Hermit
- Nếu
L

là toán tử tuyến tính Hermit thì
L

.a (a 0) cũng là toán tử tuyến tính
Hermit.
Ví dụ: Toán tử i.
dx
d
là toán tử tuyến tính Hermit thì -i
dx

d

cũng là toán tử tuyến tính
Hermit.
- Nếu
A

và
B

là toán tử tuyến tính Hermit thì giao hoán tử
A

.
B

=
B

.
A

cũng là toán
tử tuyến tính Hermit.
- Toán tử A và B là Hermit thì tổng hoặc hiệu của chúng cũng là toán tử tuyến tính
Hermit.
- Nếu
A

và

B

là các toán tử Hermit thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng là toán tử
tuyến tính Hermit.
- Nếu
n
không phải là hàm riêng của toán tử Hermite L, nghĩa là
L


n
L
n

n
thì
ngời ta gọi giá trị L
n
thu đợc là giá trị trung bình hay kì vọng toán học của
L

và đợc biểu
diễn nh sau:
n
L
=

d
dL
nn
nn
*
*

n
L
thu đợc cũng là trị thực.
Thông qua các thuộc tính quan trọng của toán tử tuyến tính Hermite ta thấy rằng chỉ
có loại toán tử này mới đủ khả năng biểu diễn bản chất của các đại lợng vật lý của hệ lợng
tử. Và đó cũng là lý do tại sao toán tử Hermite là công cụ toán học trong cơ học lợng tử.
1.3. Hệ tiên đề của cơ học lợng tử
1.3.1. Tiên đề về hàm sóng (tiên đề 1) - Nguyên lí chồng chất các trạng thái
a. Hàm sóng
1. Nội dung: Mỗi trạng thái của một hệ vật lí vi mô (hệ lợng tử) đợc đặc trng bằng
một hàm xác định, đơn trị, hữu hạn, liên tục phụ thuộc vào thời gian t và toạ độ q, kí hiệu là
hàm

(q,t); gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái của hệ .
Mọi thông tin về hệ lợng tử chỉ có thể thu đợc từ hàm sóng mô tả trạng thái cuả hệ.
2. ý nghĩa vật lí và tính chất của hàm sóng
10
- Vì hàm sóng (q,t) nói chung là hàm phức nên nó không có ý nghĩa vật lí trực tiếp,
mà chỉ có bình phơng modun
2
(trị này là thực) của hàm sóng mới có ý nghĩa
là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại toạ độ tơng ứng, đó chính là ý nghĩa vật lí của hàm sóng.
- Nếu gọi dw là xác suất tìm thấy hạt trong một thể tích dv xung quanh một điểm nào

đó trong không gian thì ta sẽ có: dw =
2

dv
Mật độ xác suất
2

=
dv
dw
(1.20)
Nếu lấy tích phân của
2

trong toàn không gian ta sẽ có xác suất tìm thấy hạt
trong toàn không gian, theo lí thuyết xác suất thì xác suất này bằng 1.

2

dv = 1 (1.21)
Biểu thức (1.21) muốn thoả mãn tích phân
2

dv phải có giá trị hữu hạn, nghĩa là
0 đủ nhanh ở vô cực.

Đây là điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng, hàm
(q,t)
gọi là hàm đã chuẩn hoá.
Ngoài ra, hàm

(q,t)
phải thoả mãn tính chất đơn trị, hữu hạn và liên tục để thảo mãn
tính chất của một hàm mật độ vì:
1- Tính đơn trị: Vì
2

biểu thị mật độ xác suất của hạt và xác suất là một đại lợng hoàn
toàn xác định nên phải là một hàm đơn trị của toạ độ, nêú không tại một toạ độ xác định
ta sẽ thu đợc nhiều giá trị xác suất và điều này hoàn toàn không có ý nghĩa vật lý.
2- Tính hữu hạn: Vì xác suất là hữu hạn nên hàm sóng phải hữu hạn tại mọi vị trí.
3- Tính liên tục: Vì trạng thái của hệ lợng tử phải biến đổi liên tục trong không gian, nên
hàm sóng mô tả trạng thái của hạt phải là một hàm liên tục.
b. Nguyên lí chồng chất trạng thái
Trong cơ học lợng tử xuất phát từ bản chất của hàm sóng ngời ta thừa nhận một
nguyên lí, gọi là nguyên lí chồng chất trạng thái. Đây là một nguyên lí cơ bản của cơ học l-
ợng tử.
Nếu các hàm

1
,

2
, .,

n
là các hàm sóng mô tả trạng thái của một hệ lợng tử, thì
tổ hợp tuyến tính của chúng cũng mô tả đợc trạng thái của hệ lợng tử đó.
= C
1

1
+ C
2

2
+ . + C
n

n
: hàm trạng thái (1.22)
C
1
, C
2
, . là những hệ số tuỳ ý.
Nguyên lí chồng chất phản ánh tính chất độc lập của một trạng thái này đối với một
trạng thaí khác.
1.3.2.Tiên đề về toán tử (tiên đề 2)
a. Nội dung: Tơng ứng với mỗi đại lợng vật lí L của hệ lợng tử ở trạng thái thì có một toán
tử Hermit L tơng ứng
Giữa các toán tử này có các hệ thức giống nh những hệ thức đại lợng vật lí trong cơ
học cổ điển.
b. Một toán tử trong cơ học lợng tử tơng đơng với một đại lợng vật lí trong cơ học cổ điển
1. Toán tử toạ độ:
x

= x
Một cách tổng quát
q

(x,y,z) = q( x,y,z)
2. Toán tử xung lợng (động lợng) thành phần
11
p
x

x
i
xi
p
x


=


=


p
y

y
i
yi
p
y


=

=


p
z

z
i
zi
p
z


=


=


3. Toán tử xung lợng

p

=
zyx
ppp

++

p

= -i
=


+


+


i
x
Zy
)(
4. Toán tử bình phơng xung lợng
=++=
22222


zyx
pppp
5. Toán tử mô men động lợng thành phần
M
x
= yp
z
- zp
y

)(

y
z
z
yiM
x





=
M
y
= zp
x
- xp
z

)(

z
x
x
ziM
y

=
M
z
= xp
y
-yp
x

)(

x
y
y
xiM
z





=
2222



zyx
MMMM ++=

6. Toán tử thế năng
U(x,y,z)
),,(

zyxU
7. Toán tử động năng
T =
2
2
mv

===
mm
p
m
mv
T
22

2

222

8. Toán tử năng lợng (toán tử Hamilton)
E = T + U
UTH

+=

Thay các giá trị ta đợc:
)(

2

2
qU
m
H +=

1.3.3. Tiên đề về trị riêng và đại lợng đo đợc
a. Phổ trị riêng của toán tử Hermite và những giá trị khả dĩ của các đại lợng vật lí tơng
ứng
12
Đại lợng vật lí L của một hệ lợng tử ở một thời điểm chỉ có thể nhận những giá trị
riêng của toán tử tơng ứng
L

thoả mãn phơng trình trị riêng ở thời điểm t:
L


n
= L
n

n
(1.24)
b. Những giá trị

mà ở đó đại lợng vật lí L có giá trị xác định
Nếu hệ lợng tử ở trạng thái mà hàm này đồng nhất với một hàm riêng
k
nào đó
của toán tử Hermite
L

, thì ở trạng thái đó đại lợng vật lí L có giá trị xác định và bằng trị
riêng L
k
của toán tử tuyến tính Hermite
L

.
Những trạng thái
L
mà ở đó một đại lợng vật lí L có giá trị xác định là những trạng
thái thoả mãn phơng trình trị riêng của toán tử tơng ứng
L

.
L


L
= L
L
c. Xác suất để một đại lợng L có một giá trị L
i
Nếu hệ lợng tử ở vào trạng thái , mà không trùng với một hàm riêng nào của

L

thì đại lợng vật lí L của trạng thái đó không có giá trị xác định. Đại lợng L chỉ có thể nhận
một trong những giá trị xác định L
i
của phổ trị riêng của toán tử
L

, nhng không biết chắc là
trị nào. Vì thế ngời ta phải xác định L theo định luật xác suất.
Xuất phát từ nguyên lí chồng chất trạng thái và tính đầy đủ, trực giao của hệ hàm
riêng của toán tử tuyến tính Hermite
L

ngời ta biểu diễn hàm mô tả trạng thái của hệ
thành chuỗi tuyến tính theo các hàm riêng.
= C
1

1
+ C
2

2
+ . + C
n

n
= C
i

i
(1.25)
Nh vậy, trạng thái đợc xem là sự chồng chất những trạng thái riêng U
i
của toán tử
Hermite
L

. Lúc đó ứng với mỗi trạng thái riêng trên, đại lợng vật lí L nhận những giá trị xác
định L
i
là trị riêng tơng ứng với hàm riêng U
i
.
Xác suất để L nhận giá trị L
i
là W (L
i
) =
2
i
C
.

2
i
C
= 1 : điều kiện chuẩn hoá.
Với W (L

i
) là xác suất để đại lợng L nhận một trong những giá trị có thể có của L
n
.
Từ
L


n
= L
n

n

n
*

L


n
=
n
*
L
n
= L
n

n

*

n
L
n
=
n
*

L


n
d

n
*

n
d
Thực tế trong cơ học lợng tử ít khi tìm đợc
n
là một hàm riêng đúng, mà chỉ tìm đ-
ợc hàm riêng gần đúng. Do đó trị riêng
n
tìm thấy là trị trung bình:
n
L
=
n

*

L


n
d (1.26)

n
*

n
d
13
Giá trị trung bình này còn gọi là kì vọng của L.
1.3.4. Điều kiện để hai đại lợng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng thái
Ta đã biết, đại lợng vật lí A của trạng thái
1
có giá trị xác định nếu
1
là hàm riêng
của toán tử
A

. Đại lợng vật lí B của trạng thái
2
có giá trị xác định nếu
2
là hàm riêng của
B

. Do đó, hai đại lợng vật lí A, B của cùng trạng thái sẽ có giá trị xác định đồng thời nếu
là hàm riêng chung của hai toán tử
A

,
B

; khi đó hai toán tử
A

và
B

phải giao hoán với
nhau. Ngợc lại, nếu hai toán tử giao hoán thì chúng sẽ có chung hàm riêng và hai đại lợng
vật lí tơng ứng sẽ có giá trị đồng thời xác định.
Vậy: Điều kiện cần và đủ để hai đại lợng vật lí của hệ lợng tử có trị xác định đồng
thời trong cùng một trạng thái là các toán tử của chúng giao hoán với nhau.
Một số thí dụ:
a. Các toán tử giao hoán:
- Toán tử
x

,
y

,
z

giao hoán với nhau từng đôi một
[
x

,
y

] = 0; [
y

,
z

] = 0; [
x

,
z

] = 0
Vậy các toạ độ x, y, z của một hạt có thể nhận đồng thời những giá trị trong cùng một
trạng thái.
- Toán tử thành phần động lợng p
x
, p
y
, p
z
giao hoán với nhau từng đôi một, nên có giá
trị đồng thời xác định trong cùng một trạng thái.

b- Các toán tử không giao hoán:
- Động lợng và toạ độ: Các toán tử toạ độ và thành phần động lợng tơng ứng với toạ
độ đó không giao hoán, nên từng đôi một không thể có giá trị xác định đồng thời. Nhng một
toán tử toạ độ và toán tử thành phần động lợng ứng với toạ độ khác lại giao hoán. Do đó,
chúng lại có thể đồng thời xác định trong cùng một trạng thái.
-Toán tử thành phần momen động lợng: Toán tử thành phần momen động lợng không
giao hoán với nhau từng đôi một. Do đó, các thành phần M
x
, M
y
, M
z
của momen động lợng
không thể có những giá trị xác định.
[
M

x
,
M

y
] = i
M

z
; [
M

y

,
M

z
] = i
M

x
; [
M

z
M

x
] = i
M

y
Tuy nhiên, toán tử bình phơng mômen động lợng
M

2
=
M

x
2
+
M

y
2
+
M

z
2
lại giao
hoán với mỗi toán tử
M

x,

M

y
,
M

z
.
[
M


2
,
M

x
] = [
M


2
,
,

M

y
] = [
M


2
,
M

z
] = 0
Do đó,
M

2
và thành phần mômen động lợng nào đó là có thể đồng thời xác định.
Ta có:
M

2
= M
2


M

z
= M
z

Một cách hoàn toàn tơng tự chúng ta cũng có thể chứng minh đợc ba toán tử hình
chiếu momen động spin S
x
, S
y
, S
z
ở cùng một trạng thái không giao hoán với nhau từng đôi
một. Ngợc lại, toán tử bình phơng momen động spin giao hoán với một trong S
x
, S
y
, S
z

1.3.5. Tiên đề về phơng trình Schrodinger-Trạng thái dừng
a. Tiên đề 3 - Phơng trình Schodinger tổng quát
Hàm sóng (q,t) mô tả trạng thái của hệ lợng tử biến thiên theo thời gian đợc xác
định bởi phơng trình Schrodinger tổng quát:

14


H
t
i

=



(1.27)
i =
1
,
H

: toán tử Haminton
H

=
H

(q,t)
: hàm sóng mô tả trạng thái của hệ theo thời gian (q,t)
Phơng trình (1.27) do Schrodinger đa ra năm 1926 nh một tiên đề, nghĩa là không thể
suy ra từ bất kì một nguyên lí nào khác. Sự đúng đắn của phơng trình chỉ có thể đợc khẳng
định bằng các kết quả kiểm chứng khi áp dụng cho các hệ lợng tử cụ thể.
Phơng trình (1.27) là phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất; do đó nếu

1
và
2
là
hai nghiệm độc lập của (1.27) thì mọi tổ hợp tuyến tính = C
1

1
+C
2

2
của chúng cũng là
nghiệm của phơng trình.
Nếu là hàm đã chuẩn hoá;
1
,
2
là trực chuẩn, còn C
1
, C
2
là những số nói
chung phức và không đồng thời bằng không thì:
C
1

2
+ C
2

2
+ + C
n

2
= 1
Vì vậy, phơng trình Schodinger tổng quát cũng thể hiện nguyên lí chồng chất trạng
thái trong cơ học lợng tử. Do những điều đó, phơng trình Schrodinger tổng quát là phơng
trình gốc và toán tử Haminton là toán tử quan trọng nhất của cơ học lợng tử không tơng đối
tính.
b. Phơng trình Schodinger của các trạng thái dừng
Giả sử hệ lợng tử ở vào một trờng thế U không phụ thuộc vào thời gian, chỉ phụ thuộc
vào toạ độ
U

= U(q), thì
H

không phụ thuộc vào thời gian. Lúc đó
H

chỉ tác động lên phần
phụ thuộc toạ độ của hàm (q,t). Do đó, hàm (q,t) tách thành hai phần:
(q,t)= (q).F(t)
Thay vào phơng trình Schodinger tổng quát:
)()(
.

),(

tq
FH
t
tq
i


=



(1.28)

)(
)()(
)(

)(
.
q
qt
t
H
t
F
F
i


=

(1.29)
Hai vế của đẳng thức (1.29) phụ thuộc vào hai biến số khác nhau, nên hai vế chỉ có
thể bằng nhau khi hai vế phải bằng cùng một hằng số nào đó:

=


)(
.
)(
)(
t
F
F
i
t
t

(1.30)



=
)(
)(

q

q
H
(1.31)
Từ (1.31)
H


(q)
=
(q)
(1.32)
15
(1.32) là phơng trình hàm riêng trị riêng của
H

, mà trị riệng của
H

là năng lợng toàn
phần E nên = E là trị thực.
Các hàm (q) là hàm riêng của toán tử
H

, nó mô tả những trạng thái năng lợng
không biến đổi theo thời gian E = = const. Trạng thái có E không biến đổi theo thời gian
gọi là trạng thái dừng.
Phơng trình Schodinger cho trạng thái dừng:
H

(q)
= E.
(q)
(1.33)
hay
)(
2
)(
)(
2
qq
UE
m

+

= 0 (1.34)
Phơng trình (1.33) hoặc (1.34) là phơng trình quan trọng nhất của cơ học lợng tử. Vì
hoá học lợng tử chủ yếu nghiên cứu các hệ ở trạng thái dừng.
Giải phơng trình (1.30)
)(
.
)(
)(
t
F
F
i
t
t

= E ta đợc
F(t) = C.e
-i Et / h
gọi là thừa số đơn sắc hay thừa số pha của hàm sóng.
Nh vậy: nghiệm tổng quát của phơng trình Schrodinger sẽ là:
(q,t) = (q).F(t)
(q,t) = (q). e
-iEt / h


2
2
)(
2
),(
.

iEt
qtq
e

=

.
2
)(
2

),( qtq

=
(1.35)
Phơng trình (1.35) cho ta thấy ở trạng thái dừng, mật độ xác suất không phụ thuộc
vào thời gian. Do đó, khi giải phơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng ta chỉ cần tìm đến
(q) là đủ, vì hóa lợng tử chủ yếu nghiên cứu các trạng thái dừng của phân tử.
1.4. Một số bài toán ứng dụng
1.4.1. Bài toán vi hạt trong hộp thế một chiều
Giả sử có một tiểu phân (hạt) khối lợng m chuyển động trong hộp thế một chiều theo
phơng x với bề rộng OA = a. Trong khoảng 0 x a thế năng của hệ không đổi. ở những vị
trí bên ngoài hộp (x < 0 và x > a) thì có những trờng lực làm cho thế năng của hạt tăng vô
hạn. Nói cách khác chuyển động của hạt bị giới hạn trong hộp:
16
U = Const
x
0
a
U = Const = 0 với 0 x a
U = với x < 0 và x > a
Mô hình này gọi là mô hình hộp thế một chiều, trạng thái của hạt trong hộp thế một
chiều là trạng thái dừng.
Hạt chuyển động trong thành vách dựng đứng có thể dùng để mô tả electron tự do
trong kim loại hoăc electron không định c trong các phân tử liên hợp.
Ta có phơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng:
)(
2
)(
)(
2

qq
UE
m

+

= 0
Vì là hộp thế một chiều theo phơng x nên:
2
2
dx
d
=
Suy ra :


E
m
dx
d
22
2
2

+
= 0
Đặt k
2
=
2

2

mE



2
2
2
k
dx
d
+
= 0 (1.36)
Đây là phơng trình vi phân tuyến tính bậc hai có nghiệm tổng quát:

(x)
= A coskx + Bsinkx (1.37)
Trong đó A, B là các hằng số cha xác định.
Ta có thể xác định A bằng cách để ý tới điều kiện bờ của bài toán (x = 0 và x = a).
Tại các giá trị bờ (x = 0, x = a) hàm sóng phải triệt tiêu, nghĩa là = 0:
(0) = 0 , (a) = 0
* (0) = A cos 0 + Bsin0 = 0 A = 0

(x)
= Bsinkx
* (a) = Bsinka = 0 sinka = 0 ka = n ( n: nguyên)
(B không thể bằng 0, vì nếu B = 0 thì
(x)
bằng 0 với mọi x)

17
k =
a
n

(n = 1,2,3, .)
(n không thể bằng 0, vì n = 0 thì k = 0 và
(x)
cũng bằng 0 với mọi x. Đồng thời n
cũng không nhận giá trị âm, vì khi đó ta có
(x)
= - Bsinka và mật độ xác suất của hàm sóng
2

vẫn không thay đổi).

(x)
= B sin
a
n

x
Hằng số B còn lại đợc xác định bằng điều kiện chuẩn hoá:

==
aa
xdx
a
n
SinBdx

0
22
0
2
11


B =
a
2
(thờng chọn B dơng)
Vậy hàm sóng đã chuẩn hoá:
n
(x) =
a
2
sin
a
n

x
Từ k
2
=

mE2
và k =
a
n

E
n
= n
2
2
2
8ma
h
(4.18) n: số lợng tử ( n = 1,2,3, .)

Từ (4.18) ta thấy, hệ chỉ có thể nhận các giá trị năng lợng gián đoạn, ta nói năng lợng
của hạt đợc lợng tử hoá. Nh vậy, sự lợng tử hoá của năng lợng đợc dẫn ra một cách tự nhiên
từ yêu cầu hàm sóng phải thoả mãn các điều kiện bờ. Đây là điểm khác biệt của hệ vi mô so
với hệ vĩ mô.
n = 1 : E
1
=
2
2
8ma
h
;
1
=
a
2
sin
a

x (x =0, x = a)

n = 2 : E
2
= 4.
2
2
8ma
h
= 4E
1
;
2
=
a
2
sin 2
a

x (x = 0, a, a/2)
n = 3 : E
3
= 9.
2
2
8ma
h
= 9E
1
;
3
=

a
2
sin 3
a

x (0, a, a/3, 2a/3)
Điểm mà tại đó hàm sóng = 0 ngời ta gọi là điểm nút. Trừ những điểm ở thành
hộp, ta thấy số điểm nút của hàm sóng phụ thuộc vào n và bằng (n-1).
Giản đồ năng lợng hàm sóng và mật độ xác suất của hạt trong hộp thế một chiều đợc
trình bày ở hình sau:
18
Có thể rút ra một số đặc điểm về hàm sóng và mức năng lợng của hệ:
- Mỗi hàm sóng
n
(x) có (n-1) điểm nút. Số điểm nút tăng theo chiều tăng của mức
năng lợng.
- Xác suất tìm thấy hạt tại một vị trí giữa x và dx là : dw =
2
dx. Xác suất này có cực
đại tại những vị trí khác nhau tuỳ theo trạng thái của hệ. ở trạng thái cơ bản
n =1, mật độ xác suất cực đại tại x =a/2.
- Mức năng lợng thấp nhất của hệ có giá trị hữu hạn khác không E
1
=
2
2
8ma
h
. Ngời ta
gọi năng lợng này là năng lợng điểm không. Sự tồn tại năng lợng điểm không là đặc trng của

các hệ liên kết.
1.4.2. Bài toán vi hạt trong hộp thế 3 chiều
Mở rộng trờng hợp hộp thế 1 chiều đối với hộp thế 3 chiều, với thế năng:
U = Const = 0 trong khoảng 0 x a, 0 y b, 0 z c
và U = ở ngoài khoảng đó.
x
y
z
a
b
c
o
Phơng trình Schrodinger có dạng:
-
),,(),,(
2
2
2
2
2
2
2
)(
2
zyxzyx
E
zyx
m

=

+


+


(1.40)
19
E = E
x
+ E
y
+ E
z

Để giải phơng trình (1.40) ta phân li biến số:
(x,y,z)
=
(x)

(y)

(z)
(1.41)
Đa (1.41) vào (1.40) rồi chia cả hai vế cho
(x)

(y)

(z)
ta đợc:
E
m
Z
y
x
Z
Z
y
y
x
x
22
)(
2
)(
)(
2
)(
2
)(
2
)(
2111
2

=

+


+








(1.42)
hay
0)(
2111
22
)(
2
)(
)(
2
)(
2
)(
2
)(
2
=+++

+


+


zyx
Z
Z
y
y
x
x
EEE
m
Z
y
x






(1.43)
Phơng trình (1.43) có thể đợc xem nh là tổng của 3 phơng trình có dạng giống nhau:
0
2

)(
2
)(
2
2
=+


xxx
E
m
x


(a)
0
2
)(
2
)(
2
2
=+


yyy
E
m
y

(b)
0
,2
2
)(
2
2
=+


Zzz
E
m
z


(c)
Các phơng trình (a), (b), (c) chính là phơng trình sóng của hạt trong hộp thế một
chiều mà nghiệm ta đã biết:

(x)
= A
x
sin
x
a
n

; E

x
=
2
2
2
8ma
h
n
x

y
= A
y
sin
y
b
n
y

;
2
2
2
8mb
h
nE
yy
=

(z)

= A
z
sin
z
c
n
z

; E
z
=
2
2
2
8mc
h
n
z
ở điều kiện chuẩn hoá thì A
x
=
a
2
; A
y
=
b
2
; A
z

=
c
2
. Do đó hàm sóng chuẩn hoá và năng lợng của hệ là:
a
zyx
2
),,(
=

sin
x
a
n

.
b
2
sin
y
b
n
y

.
c
2
sin
z
c

n
z

(1.44)
E
nx,ny,nz
=
)(
8
2
2
2
2
2
2
2
c
n
b
n
a
n
m
h
z
y
x
++
(1.45)
Từ (1.45) suy ra: Nếu một hay hai cạnh của hộp thế có độ dài bằng số nguyên lần một

cạnh khác thì sẽ có một số hàm riêng (trạng thái) khác nhau có cùng một giá trị năng lợng
20
nh nhau, tức là trị riêng E
nx,ny,nz
có suy biến. Sự xuất hiện trị riêng suy biến rất thờng gặp
trong cơ học lợng tử, phản ánh tính đối xứng của hệ khảo sát.
1.43. Dao động tử điều hoà
Chúng ta biét rắng dao động tử của một phân tử hai nguyên tử, chuyển động của các
hạt trong mạng lới tinh thể, một cách gần đúng, đợc xem nh các dao động điều hoá tuyến
tính.
Khi hạt chuyển động trong trờng lực dọc theo trục x (theo phơng xác định) thì nó bị
tác dụng một lực với thế năng:
U =
2
2
2
22
x
m
x
k

=
(1.46)
trong đó:
k = m
2
là hằng số lực hay hệ số đàn hồi
m : khối lợng hạt
x : li độ dao động

= 2 là tần số góc
Theo cơ học cổ điển, năng lợng của hệ là:
E =
2
2
1
ka
(1.47)
vì a (biên độ) có thể nhận các giá trị bất kì nên E thu đợc là các giá trị liên tục.
Theo cơ học lợng tử, thay thế năng vào phơng trình Schrodinger, ta có:
0)
2
1
(
2
22
22
2
=+


xmE
m
dx
d

(1.48)
Đặt:
2
2

mE
=

(1.49)



m
=
(1.50)
Phơng trình (1.48) đợc viết lại:
2
2
dx
d

+ ( -
2
x
2
) = 0 (1.51)
Đa biến số:
x

=
(1.52)
Lấy đạo hàm theo x ta có:

=
dx
d
21
Hay




d
d
dx
d
d
d
dx
d
==
(1.53)
b
d
d
dx
d
2
2
2
2

=

(1.54)
Thay (1.53), (.54) vào (1.51) ta đợc:
0)(
2
2
2
=+




d
d
(1.55)
Hay
0)(
2
2
2
=+





d
d
(1.56)
Hàm phải liên tục, đơn trị, hữu hạn đối với mọi gía trị của . Khi khá lớn thì tỉ số
/ có thể bỏ qua, lúc đó phơng trình có dạng:

0
2
2
2
=



d
d
Phơng trình vi phân này có nghiệm là:
2/
2



= e
Khi thì tăng vô hạn, nghiệm
2/
2


+
= e
sẽ không thoả mãn điều kiện của
hàm . Vậy hàm sóng chỉ có thể là:
2/
2

= e
Nghiệm đúng của hàm trong phơng trình là :
Z
eH

= )(

ở đây hàm H() phải đợc xác định. Muốn vậy ta đặt Z =
2
/2; Z

= để đa phơng trình
(1.56) về dạng Hermit.
Giải phơng trình này ngời ta đợc nghiệm:
H
n
() = (-1)
n

)(
2
2



e
d
d
e

n
n
với n = 0, 1, 2, 3,
Năng lợng của hệ là : E = h(n +
2
1
)
Nh vậy ứng với mỗi giá trị của n = 0, 1, 2, ta có các giá trị năng lợng đợc phép là 1/
2, 3/2, 5/2 lần năng lợng h, nghĩa là các giá trị năng lợng của dao động tử điều hoá tuyến
tính lập thành một phổ gián đoạn phụ thuộc vào n gọi là số lợng tử dao động. Một vài mức
năng lợng đầu tiên và các hàm sóng tơng ứng đợc biểu diẽn trên đồ thị sau:
22
Kết quả quan trọng nhất thu đợc là năng lợng đợc phép nhỏ nhất E = h/2 với n = 0.
Đó là năng lợng điểm không và cũng là điều khác với kết quả thu đợc của lí thuyết cổ điển.
Điều này phù hợp với nguyên lí bất định, vì những bất định cần thiết về vị trí và xung lợng
sinh và năng lợng điểm không.
23