Sáng kiến kinh nghiệm Giải toán thể tích khối đa diện

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
***
ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN.
Học sinh cần nắm vững:
1) Một số định lý về quan hệ song song:
a) Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Định lý 1: Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng
a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P)
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)

⊄

⇒


⊂



Định lý 2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt
mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a.
a / /(P)
a (Q) d / /a
(P) (Q) d


⊂ ⇒



∩ =


Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì
giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó.
d
a
(P)
d
a
(Q)
(P)
1
(P) (Q) d
(P)/ /a d / /a
(Q)/ /a

∩ =

⇒




b) Hai mặt phẳng song song:
Định lý 1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với
mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau.
a,b (P)

a b I (P) / /(Q)
a/ /(Q),b / /(Q)

⊂

∩ = ⇒




Định lý 2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song
song với mặt phẳng kia.
(P)/ /(Q)
a / /(Q)
a (P)

⇒

⊂


Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P)
thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song.
(P)/ /(Q)
(R) (P) a a/ /b
(R) (Q) b


∩ = ⇒



∩ =


2) Một số định lý về quan hệ vuông góc:
a
d
Q
P
I
b
a
Q
P
a
Q
P
b
a
R
Q
P
2
a) Đường thẳng vng góc với mặt phẳng:
Định lý 1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng
nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vng góc với mp(P).
d a ,d b
a ,b mp(P) d mp(P)
a,b cắt nhau


⊥ ⊥

⊂ ⇒ ⊥




Định lý 2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P)
và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vng góc với a là
b vng góc với hình chiếu a’ của a trên (P).
⊥ ⊂ ⊥ ⇔ ⊥
a mp(P),b mp(P),a' là hìnhchiếucủaatrênmp(P).Tacó: b a b a'
b) Hai mặt phẳng vng góc:
Định lý 1: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vng góc với một mặt phẳng
khác thì hai mặt phẳng đó vng góc với nhau.
a mp(P)
mp(Q) mp(P)
a mp(Q)

⊥
⇒ ⊥

⊂


Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vng góc với nhau thì bất cứ đường thẳng
a nào nằm trong (P), vng góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vng góc với mặt
phẳng (Q).
(P) (Q)
(P) (Q) d a (Q)

a (P),a d

⊥

∩ = ⇒ ⊥


⊂ ⊥


d
a
b
P
a'
a
b
P
Q
P
a
3

Định lý 3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm
trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)
(P) (Q)
A (P)
a (P)
A a
a (Q)


⊥

∈

⇒ ⊂

∈


⊥


Định lý 4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
(P) (Q) a
(P) (R) a (R)
(Q) (R)

∩ =

⊥ ⇒ ⊥


⊥


c) Khoảng cách:
• Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng

cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường
thẳng a ( hoặc trên mp(P))
d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH
d
Q
P
a
A
Q
P
a
a
R
Q
P
4

• Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ
một điểm nào đó của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH
• Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: là khoảng cách từ một điểm
bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH (
O (P),H (Q),OH (Q)∈ ∈ ⊥
)
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng đó.
d(a;b) = AB
* Chú ý:

+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một
trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng còn lại.
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
d) Góc:
• Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng
đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b.
a
H
O
H
O
P
a
H
O
P
H
O
Q
P
B
A
b
a
b'
b
a'
a
5

B
h
• Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) là góc giữa a
và hình chiếu a’ của nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường
thẳng a và mp(P) là 90
0
.
• Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với
hai mặt phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với
giao tuyến tại 1 điểm

P
Q
a
b
Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là
diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì
= ϕS' Scos
trong đó
ϕ
là
góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’).
ϕ
C
B
A
S
2) Các công thức thể tích của khối đa diện:

a. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h
với



B: dieäntíchñaùy
h : chieàu cao


P
a'
a
b
a
Q
P
6
a
b
c
B
h
• Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
• Thể tích khối lập phương:
V = a
3

với a là độ dài cạnh

b. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V=
1
3
Bh với
B: dieän tích ñaùy
h : chieàu cao



c. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta
có:

=
SABC
SA'B'C'
V
SA SB SC
V SA' SB' SC'
C'
B'
A'
C
B
A
S
d. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:

( )
h
V B B' BB'
3
= + +
với
B, B': dieän tích hai ñaùy
h : chieàu cao




B
A
C
A'
B'
C'
3) Các hệ thức trong tam giác và tứ giác:
a) Tam giác: Trong tam giác ABC, BC = a; AC = b; AB = c. Ta có:
7
_A
a
a
a
• Định lý hàm số cos:
2 2 2
2 2 2
2 2 2

2
2
2
a b c bccos A
b a c accosB
c a b abcosC
= + −
= + −
= + −
• Công thức diện tích tam giác ABC:
1 1 1
2 2 2
a b c
S ah bh ch= = =
( h
a
; h
b
; h
c
lần lượt là các đường cao kẻ từ A, B, C )

1 1 1
2 2 2
absinC bcsin A acsinB= = =

4
abc
R
=

( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )

pr=
(
2
a b c
p ;
+ +
=
r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC )

( ) ( ) ( )
p p a p b p c= − − −

• Công thức trung tuyến tam giác ABC: m
a
; m
b
; m
c
lần lượt là trung tuyến
kẻ từ A, B, C của tam giác ABC
2 2 2
2
a
2 2 2
2
b
2 2 2
2

c
b c a
m
2 4
a c b
m
2 4
a b c
m
2 4
+
= −
+
= −
+
= −
• Tam giác vuông:
Cho tam giác ABC vuông tại A
+ Định lý pitago:
2 2 2
BC AB AC
= +
+ Diện tích tam giác vuông:
1
. .
2
ABC
S AB AC
∆
=

+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông

µ
=
sin
b
B
a
;
µ
=
cos
c
B
a
;
µ
=
tan
b
B
c
;
µ
=
t
c
co B
b
+ Kẻ đường cao AH ta có:

2 2 2
2 2 2
1 1 1
; BH.BC BA ; CH.CB CA ; HB.HC AH
AH AB AC
= + = = =
b) Tứ giác:
8
h
a
bc
_H
_B
_C
a
+ Hình vuông: + Diện tích hình vuông ABCD:
2
( )
ABCD
S AB=

( Diện tích bằng cạnh bình phương)
+ Đường chéo hình vuông
= = . 2AC BD AB
+ OA = OB = OC = OD
+ Hình chữ nhật: + Diện tích hình chữ nhật ABCD :
.
ABCD
S AB AD=

( Diện tích bằng dài nhân rộng)
+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và
OA = OB = OC = OD
+ Hình thang: + Diện tích hình thang ABCD:
( )
1
.
2
= +
ABCD
S AH AB CD
+ Tứ giác có hai đường chéo vuông góc:
1
.
2
=
ABCD
S AC BD
B. NỘI DUNG CHỦ YẾU CỦA ĐỀ TÀI
Các bài toán về thể tích của khối đa diện thường gặp ở một số dạng khác
nhau. Qua nghiên cứu các đề thi Tốt nghiệp THPT và Đại học, Cao đẳng tôi chia ra
thành một số dạng sau đây và ôn tập cho học sinh để tạo cho các em cơ sở vững chắc
khi làm dạng bài toán này.
9
O
B
D
A
C
O

A
B
D
C
DẠNG 1: TÍNH THỂ TÍCH BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TRỰC TIẾP CÔNG
THỨC.
1) Phương pháp giải:
+ Xác định chiều cao của khối đa diện: Có thể chiều cao được xác định ngay
từ đề bài hoặc phải dùng các định lý về quan hệ vuông góc để dựng chiều
cao.( Nếu tính thể tích của tứ diện thì cần chọn đỉnh hợp lý để chiều cao được
xác định thuận lợi nhất)
Chú ý: - Khối chóp đều hoặc khối chóp có các cạnh bên bằng nhau thì có
đường cao là đoạn thẳng nối đỉnh với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
- Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy thì có đường cao là cạnh
bên đó.
- Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy thì có đường cao là đoạn
thẳng vuông góc kẻ từ đỉnh đến giao tuyến của mặt bên đó và đáy.
- Khối chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy thì có đường cao là đoạn
thẳng giao tuyến của hai mặt bên đó.
- Khối lăng trụ đứng (hoặc lăng trụ đều) thì có đường cao là cạnh bên.
- Khối lăng trụ xiên ( không phải lăng trụ đứng) thì có đường cao là
đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một điểm trong đáy trên xuống đáy dưới.
+ Tính chiều cao: Sử dụng định lý Pitago hoặc các hệ thức trong tam giác.
+ Tính diện tích đáy của đa diện bằng các công thức diện tích liên quan đến
tam giác hoặc tứ giác.
+ Tính thể tích khối đa diện theo công thức.
2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết
·

o
=BAC 120
, tính thể tích của khối chóp
S.ABC theo a.
( Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2009)
Giải:
SA
⊥
(ABC) nên SA là đường cao của khối chóp SABC
Hai tam giác vuông SAB và SAC bằng nhau ( vì có SB = SC và SA chung)
⇒
AB = AC
⇒
tam giác ABC cân tại A.
Gọi M là trung điểm của BC
·
o
AM BC;MAC 60⇒ ⊥ =
10
Xét tam giác vuông AMC có:
·
o
MC MC a a
sin MAC AC
AC sin 60
3 3
2.
2
= ⇒ = = =
;

·
o
MC MC a
tan MAC AM
AM tan60
2 3
= ⇒ = =
2
ABC
1 1 a a
S AM.BC . .a
2 2
2 3 4 3
⇒ = = =
V
Xét tam giác vuông SAC có:
2
2 2 2
a 2
SA SC AC a a
3 3
= − = − =
Thể tích khối chóp SABC là:
= = =
2 3
SABC ABC
1 1 2 a a 2
V SA S a
3 3 3 36
4 3

. .
(đvtt)
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy
bằng 60
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
( Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2010)
Giải
SA
⊥
(ABCD) nên SA là đường cao của khối chóp SABCD.
Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:
( )
( )

⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥ ⊥


BD AC VìABCDlaø hìnhvuoâng
BD SAC SO BD 1
BD SA VìSA ABCD
( )
( )
( )
Mà

⊥AO BD 2( )
; BD là giao tuyến của (SBD) và (ABCD)
Từ (1) và (2)
( ) ( )
·
( )
·
⇒ = =
o
SBD ABCD SOA 60;
Xét tam giác vuông SAO, ta có:
= = = =
0 o
AC a 2 a 6
SA AO tan60 60 3
2 2 2
. .tan .
Vậy
= = =
3
2
SABCD ABCD
1 1 a 6 a 6
V SA S a
3 3 2 6
. .
(đvtt)
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và
D với AD = CD = a, AB = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên
SC tạo với mặt đáy một góc 45

0
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
( Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2011)
Giải:
11
Ta có: SA
⊥
(ABCD) nên SA là đường cao của khối chóp SABCD.
AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD)
( )
·
( )
·
⇒ = =
0
SC ABCD SCA 45;
Xét tam giác vuông ADC có
= + =
2 2
AC AD DC a 2
Xét tam giác vuông SAC có
= =
0
SA AC tan45 a 2.
Diện tích hình thang ABCD là:
( )
= + = =
2
ABCD
1 1

S AD AB CD a4a 2a
2 2
. .
= = =
3
2
SABCD ABCD
1 1 2a 2
V SA S a 2 2a
3 3 3
. .
(đvtt)
Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a
3
, cạnh
bên bằng 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
12
S.ABC là hình chóp tam giác đều, gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
⇒
SO
⊥
(ABC)
Gọi M là trung điểm BC
Vì
∆
ABC đều cạnh
3a

⇒

AM =
3 3
3.
2 2
a
a =
⇒

2 2 3
AO= . .
3 3 2
a
AM a= =
.
2
0
ABC
1 1 3 3 . 3
S . .sin 60 . 3. 3.
2 2 2 4
a
AB AC a a
∆
= = =
Xét
∆
SAO vuông tại A có
2 2
. 3SO SA AO a= − =
Thể tích khối chóp S.ABC là:

2 3
.
1 1 3 3 3
. . . 3
3 3 4 4
= = =
S ABC ABC
a a
V S SO a
(đvtt)
Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên
bằng
3a
. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
Giải
S.ABCD là hình chóp tứ giác đều. Gọi O là tâm hình vuông ABCD
⇒
SO
⊥

(ABCD)
Diện tích hình vuông ABCD là:
( )
2
2
ABCD
S 2 4a a= =
Vì hình vuông ABCD cạnh 2a
⇒
AC = 2a.

2

⇒

AC 2 2
AO= 2
2 2
a
a= =
Xét
∆
SAO vuông tại O có
2 2
SO SA AO a= − =
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
3
2
.
1 1 4
. . .4 .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,
AD =
a 2
, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD. Gọi M và N lần
luợt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng
mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện

ANIB.
( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B năm 2006)
13
Giải:
Xét hai tam giác vuông BAM và CBA có:
AM BA 1
AB BC
2
= =
⇒
hai tam giác
BAM và CBA đồng dạng
·
·
ABM BCA⇒ =

mà
·
·
·
·
o o
BCA BAC 90 ABM BAC 90 BM AC+ = ⇒ + = ⇒ ⊥
(1)
Lại có
( )
SA ABCD SA BM⊥ ⇒ ⊥
(2)
Từ (1) và (2)
( ) ( ) ( ) ( )

BM SAC mà BM SMB SMB SAC⇒ ⊥ ⊂ ⇒ ⊥
Gọi O là trung điểm của AC
⇒
NO là đường trung bình của tam giác SAC
1
NO SA
2
⇒ =
và NO // SA
( ) ( )
( )
NO ABI VìSO ABI⇒ ⊥ ⊥
ANIB N.ABI ABI
1
V V NO.S
3
⇒ = =
V
Xét tam giác vuông ABM có
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 3 a 3
AI
AI AB AM a a a 3
= + = + = ⇒ =
Xét tam giác vuông AIB có:
2
2 2 2
a a 6
IB AB AI a
3 3

= − = − =
2
AIB
1 1 a 3 a 6 a 2
S AI.IB .
2 2 3 3 6
∆
= = =
2 3
ANIB N.ABI ABI
1 1 a a 2 a 2
V V NO.S
3 3 2 6 36
⇒ = = = =
V
(đvtt)
Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a,
SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần luợt là hình chiếu
vuông góc của A trên các đuờng thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp
A.BCNM.
( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D năm 2006)
Giải
14
Gọi K là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SK.
Ta có: BC
⊥
AK (vì tam giác ABC đều) và BC
⊥
SA (vì SA
⊥

(ABCD))
( )
BC SAK BC AH⇒ ⊥ ⇒ ⊥
mà
AH SK⊥

( )
A.BCNM BCNM
1
AH SBC V AH.S
3
⇒ ⊥ ⇒ =
Xét tam giác vuông SAK có:
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 19 2a 3
AH
AH AS AK 4a 12a
19
a 3
2
= + = + = ⇒ =
 
 ÷
 
Xét tam giác vuông SAB có:
2
2 2 2 2 2
2
SM SA 4

SB SA AB 5a ;SM.SB SA
SB SB 5
= + = = ⇒ = =
Xét tam giác vuông SAC có:
2
2 2 2 2 2
2
SM SA 4
SC SA AC 5a ;SM.SC SA
SC SC 5
= + = = ⇒ = =
·
·
SMN
BCNM SBC
SBC
1
SM.SN.sin BSC
S
SM SN 16 9
2
. S S
1
S SB SC 25 25
SB.SC.sin BSC
2
∆
∆
∆
⇒ = = = ⇒ =

Xét tam giác vuông SAK có:
2
2 2 2
3a a 19
SK SA AK 4a
4 2
= + = + =
2 2
SBC BCNM SBC
1 1 a 19 a 19 9 9a 19
S SK.BC .a S S
2 2 2 4 25 100
∆ ∆
⇒ = = = ⇒ = =
Vậy
2 3
A.BCNM BCNM
1 1 2a 3 9a 19 3a 3
V AH.S . .
3 3 100 50
19
= = =
(đvtt)
Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên
SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần
lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và
tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
15
( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A năm 2007)
Giải

Gọi I là trung điểm của AD, do tam giác SAD đều nên
SI AD⊥
Do
( ) ( )
SAD ABCD⊥
nên
( )
SI ABCD⊥

Gọi H là giao điểm của AN và BI thì H là trung điểm của BI ( do tứ giác ABNI là
hình bình hành )
⇒
MH là đường trung bình của tam giác SIB
⇒
MH // SI
( )
MH ABCD MH BP⇒ ⊥ ⇒ ⊥
(1)
Vì AB = BC; BN = CP nên hai tam giác vuông ABN và BCP bằng nhau
·
·
·
·
·
·
o o
BAN CBP mà BAN BNA 90 CBP BNA 90 BP AN⇒ = + = ⇒ + = ⇒ ⊥
(2)
Từ (1) và (2)
( )

BP AMN BP AM⇒ ⊥ ⇒ ⊥
3
CMNP M.NCP NCP
1 1 1 1 1 a 3 a a a 3
V V MH.S . SI. CN.CP . . .
3 3 2 2 12 2 2 2 96
∆
= = = = =
(đvtt)
Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a,
SA = a, SB =
a 3
và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.
( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B năm 2008)
Giải
16
Gọi H là hình chiếu của S trên AD, vì
( ) ( )
SAB ABCD⊥
nên SH
⊥
(ABCD).
Vì
2 2 2 2
SA SB 4a AB+ = = ⇒
tam giác ASB vuông tại S
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 a 3

SH
SH SB SA 3a a 3a 2
⇒ = + = + = ⇒ =
Do
2
DMB DAB DNB DCB BMDN ABCD
1 1 1
S S vàS S nênS S 2a
2 2 2
∆ ∆ ∆ ∆
= = = =
3
2
S.BMDN BMDN
1 1 a 3 a 3
V SH.S . .2a
3 3 2 3
⇒ = = =
(đvtt)
Gọi P là trung điểm AD, E là trung điểm AP, ta có:
ME là đường trung bình của tam giác ABP nên ME // BP mà BP // DN
⇒
ME // DN
⇒
·
( )
·
( )
SM, DN SM;ME=
Ta có AH là hình chiếu của SA trên mặt phẳng ABCD mà AD

⊥
AH
AD SA
⇒ ⊥
( theo định lý 3 đường vuông góc).
Xét tam giác vuông SAE có
2
2 2 2
a a 5
SE SA AE a
4 2
= + = + =
Xét tam giác vuông SAB có
1
SM AB a
2
= =
Xét tam giác vuông BAP có:
2 2 2 2
a 5
BP AB AP 4a a a 5 ME
2
= + = + = ⇒ =
Áp dụng định lý hàm số cos trong tam giác SME ta có:
·
·
( )
·
2 2 2 2
2

SM ME SE a 5
cosSME 0 SM;DN SME
2SM.ME 5
a 5
2.
2
+ −
= = = > ⇒ =
Vậy
·
( )
·
5
cos SM;DN cosSME
5
= =
Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A
và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60
o
.
Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông
góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A năm 2009)
Giải
17
Vì hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên
( )
SI ABCD⊥
.
Kẻ

IH BC SH BC⊥ ⇒ ⊥
( định lý ba đường vuông góc )
( ) ( )
·
(
)
·
o
SBC ; ABCD SHI 60⇒ = =
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC
AB CD 3a
IN / /AB và IN
2 2
+
⇒ = =
Xét tam giác vuông CMB có
·
·
2 2
CM 2 2
CB CM MB a 5 sin CBM sin INH
BC
5 5
= + = ⇒ = = ⇒ =
( Vì
·
·
INH CBM=
)
Xét tam giác vuông IHN có:

·
3a 2 3a 3a 5
IH IN.sin INH .
2 5
5 5
= = = =
Xét tam giác vuông SIH có:
·
3a 5 3a 15
SI IH.tanSHI . 3
5 5
= = =
( )
3
2 2
ABCD SABCD ABCD
1 1 1 1 3a 15 3a 15
S AD. AB CD 2a.3a 3a V SI.S . .3a
2 2 3 3 5 5
= + = = ⇒ = = =
( vtt)đ
Ví dụ 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác
vuông tại B và BA = BC = a. Góc giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC )
bằng 60
o
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a.
( Trích đề thi tốt nghiệp THPT năm 2012)
Giải:
Ta có AA’
⊥

(ABC) nên AA’ là đường cao của lăng trụ.
AB là hình chiếu của A’B trên mặt phẳng ABC
( )
·
(
)
·
o
A'B; ABC A'BA 60⇒ = =
Xét tam giác vuông A’AB có AA’=AB.tan60
o
=
a 3
18
Thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ là:
3
2
ABC
1 a 3
V AA'.S a 3. a
2 2
= = =
V
(đvtt)
Ví dụ 12: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là
tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a
3
và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên
mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp
A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'.

( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối A năm 2008)
Giải
Gọi H là trung điểm của BC thì
( )
A'ABC ABC
1
A'H ABC V A'H.S
3
∆
⊥ ⇒ =
Xét tam giác vuông ABC có:
2 2
1
BC AB AC 2a AH BC a
2
= + = ⇒ = =
Xét tam giác vuông A’HA có:
2 2
A'H AA' AH a 3= − =
2 2 3
ABC A'.ABC
1 a 3 1 a 3 a
S AB.AC V a 3.
2 2 3 2 2
∆
= = ⇒ = =
(đvtt)
Vì BB’ // AA’; BC // B’C’
·
( )

·
( )
AA';B'C' BB';BC⇒ =
Xét tam giác vuông HA’B’ có:
2 2
B'H A 'B' A 'H 2a= + =
Áp dụng định lý hàm số cos trong tam giác B’BH ta có:
·
·
( )
·
2 2 2 2
2
BB' BH B'H a 1
cos B'BH 0 BB';BC B'BH
2BB'.BH 2.2a 4
+ −
= = = > ⇒ =
Vậy
·
( )
·
( )
·
1
cos AA';B'C' cos BB';BC cosB'BH
4
= = =
BÀI TẬP CHO HỌC SINH ÔN TẬP.
1) Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và

A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) một góc 30
o
. Tính thể tích lăng trụ
Đáp số :
3
a 2
V
16
=
2) Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy
(ABCD) một góc 30
o
và mặt (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60
0
. Tính
thể tích hộp chữ nhật.
19
Đáp số :
3
2a 2
V
3
=
3) Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và điểm
A' cách đều A, B, C biết AA' =
2a 3
3
.Tính thể tích lăng trụ.
Đáp số:
3

a 3
V
4
=
.
4) Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h, biết rằng
tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 30
o
. Tính thể tích
khối chóp SABC .
Đáp số:
3
h 3
V
3
=
5) Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam
giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC), mặt phẳng
(SAC) hợp với (ABC) một góc 45
o
. Tính thể tích của SABC.
Đáp số:
3
a
V
12
=
6) Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc
60
o

. Tính thể tích khối chóp SABC.
Đáp số:
3
3a
V
16
=
7) Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh đáy a và mặt bên hợp với đáy một
góc 60
o
. Tính thể tích khối chóp SABC.
Đáp số:
3
a 3
V
24
=
8) Cho hình chóp tam giác đều SABC có cạnh bên a, góc ở đáy của mặt bên là
45
o
. Tính thể tích khối chóp SABC.
Đáp số :
3
a
V
6
=
9) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc giữa đường thẳng BB'
và mặt phẳng (ABC ) bằng 60
o

;tam giác ABC vuông tại C và
·
o
BAC 60=
. Hình
chiếu vuông góc của điểm B' lên mặt phẳng (ABC ) trùng với trọng tâm của
tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A'ABC theo a.
Đáp số :
3
9a
V
208
=
( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B năm 2009)
10) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA =
a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn
AC, AH =
AC
4
. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là
trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a
Đáp số:
3
SMBC
a 14
V
48
=
( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D năm 2010)
20

DẠNG 2: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI CHÓP DỰA VÀO TỶ SỐ THỂ TÍCH
1) Công thức tỷ số thể tích: Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là các điểm
tùy ý lần lượt thuộc SA, SB, SC ta có:
=
SABC
SA'B'C'
V
SA SB SC
V SA' SB' SC'
* Nhận dạng các bài toán có thể dùng công thức tỷ số thể tích:
+ Thể tích khối chóp SABC dễ tính
+ Có thể tính được tỷ số
=
SA SB SC
k
SA' SB' SC'
Khi đó có thể tính được thể tích các khối đa diện SA’B’C’ và ABCA’B’C’:
SA'B'C' SABC ABCA'B'C' SABC SA'B'C' SABC
V k.V ;V V V (1 k).V= = − = −
* Hệ thức trong tam giác vuông thường sử dụng:
Trong tam giác vuông SAB đường cao AH thì ta có:
2
2
2
SH SA
SH.SB SA
SB SB
= ⇒ =
2) Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B,

AC a 2=
,
SA vuông góc với đáy ABC, SA= a
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (
α
) qua AG và song song
với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Giải:
21
a) Ta có:
SABC ABC
1
V SA.S
3
=
và SA = a
Tam giác ABC vuông cân có
AC a 2 AB a= ⇒ =

2
ABC
1
S a
2
⇒ =
. Vậy:
3
2
SABC ABC

1 1 1 a
V SA.S .a. a
3 3 2 6
= = =
b) Gọi I là trung điểm BC.
G là trọng tâm tam giác SBC, ta có :
SG 2
SI 3
=


( )
/ /BCα

⇒
MN// BC
SM SN SG 2
SB SC SI 3
⇒ = = =

SAMN
SABC
V
SM SN 4
.
V SB SC 9
⇒ = =

Vậy:
3

SAMN SABC
4 2a
V V
9 27
= =
(đvtt)
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua
C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C
vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Chứng minh
( )CE ABD
⊥
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
Giải:
a)
3
ABCD ABC
1 a
V S .CD
3 6
= =
(đvtt)
b) Tacó:
,AB AC AB CD
⊥ ⊥
( )AB ACD
⇒ ⊥
AB EC
⇒ ⊥

Ta có:
DB EC
⊥

( )EC ABD
⇒ ⊥
22
c) Ta có:
. (*)
DCEF
DABC
V
DE DF
V DA DB
=
Mà
2
.DE DA DC
=
, chia cho
2
DA


2 2
2 2
1
2 2
DE DC a
DA DA a

⇒ = = =
Tương tự:
2 2
2 2 2
1
3
DF DC a
DB DB DC CB
= = =
+
Từ(*)
1
6
DCEF
DABC
V
V
⇒ =
.Vậy
3
1
6 36
DCEF ABCD
a
V V
= =
(đvtt)
Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng
)(
α

qua A, B và
trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi
mặt phẳng đó.
Giải
Kẻ MN // CD (N
)SD∈
thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt
bởi mặt phẳng (ABM) ( Vì AB // (SCD) và N là trung điểm SD.
+
SABN
SABN SABCD
SADB
V
SN 1 1
V V
V SD 2 4
= = ⇒ =

SABCDSBCDSBMN
SBCD
SBMN
VVV
SD
SN
SC
SM
V
V
8
1

4
1
4
1
2
1
.
2
1
. ==⇒===

Mà V
SABMN
= V
SANB
+ V
SBMN
=
SABCD
V
8
3
.
Suy ra V
ABMNCD
=
SABCD
V
8
5

Do đó :
5
3
.
=
ABCDABMN
SABMN
V
V
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh
bên tạo với đáy góc 60
o
. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song
song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
a) Hảy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Giải
23
a) Gọi
I SO AM
= ∩
. Ta có (AEMF) // BD
⇒
EF // BD
b)
SABCD ABCD
1
V SO.S
3

=
với
2
ABCD
S a=
Xét
SOAV
có :
O
a 6
SO AO.tan 60
2
= =

Vậy :
3
. D
6
6
S ABC
a
V
=
c) Phân chia chóp tứ giác ta có
. EMFS A
V
= V
SAMF
+ V
SAME

= 2V
SAMF

.S ABCD
V
= 2V
SACD
= 2 V
SABC
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
Ta có :
SM 1
SC 2
=

SAC∆
có trọng tâm I, EF // BD nên:

2
3
SI SF
SO SD
⇒ = =
D
1
.
3
SAMF
SAC
V

SM SF
V SC SD
⇒ = =

3
SAMF SACD SABCD
1 1 a 6
V V V
3 6 36
⇒ = = =
3 3
. EMF
6 6
2
36 18
S A
a a
V
⇒ = =
(đvtt)
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA
vuông góc đáy,
2SA a
=
. Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh
( ' ')SC AB D
⊥

c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Giải
24
a) Ta có:
3
.
1 2
.
3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA
= =
b) Ta có
( ) 'BC SAB BC AB
⊥ ⇒ ⊥
mà
'SB AB
⊥
Suy ra:
' ( )AB SBC
⊥
nên AB'
⊥
SC.
Tương tự AD'
⊥
SC. Vậy SC
⊥
(AB'D')

c) Ta có:
' '
' '
. (*)
SAB C
SABC
V
SB SC
V SB SC
=
Vì
SAC
∆
vuông cân nên
' 1
2
SC
SC
=
Ta có:
2 2 2
2 2 2 2
' 2 2 2
3 3
SB SA a a
SB SB SA AB a
= = = =
+
' '
1

(*)
3
SAB C
SABC
V
V
⇒ =

3 3
' '
1 2 2
.
3 3 9
SAB C
a a
V
⇒ = =
3
. ' ' ' . ' '
2 2
2
9
S AB C D S AB C
a
V V
= =
Ví dụ 6: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =
2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông
góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
( Trích đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D năm 2006)

Giải:
25