Bài giảng hai đường thẳng vuông góc

Kiểm tra kiến thức cũ:
1) Tìm mệnh đề SAI trong các mệnh đề sau:
a)Vì nên N là trung điểm của đoạn MP
1
0 (0 0 )
2
I A B 
  
0AB BC CD DA   
    
, ,AB AC AD
 
2 8AB AC AD 
  
0NM NP 
  
b)Vì I là trung điểm của đoạn AB,nên từ điểm 0
bất kì ta có:
c)Từ hệ thức ta suy ra 3 véc tơ
sau đồng phẳng.
d) Vì nên 4 điểm A,B,C,D
cùng thuộc một mặt phẳng.
d)
Kiểm tra kiến thức cũ:
2)Cho tam giác đều ABC cạnh a, trọng tâm G. Tính tích
vô hướng của 2 véc tơ sau: ; ;
c)
.AB AC
 
.AC CB
 

.GA BC
 
G
B
C
A
Lời giải:
b)
OS( , )GA BC C GA BC
   
OS( , )AC CB C AC CB
   
0
2 3
. os90
3 2
a
a c
0
. . os120a a c
0
. . os60a a c
OS( , )AB AC C AB AC
   
a)
.AB AC
 
.AC CB
 
.GA BC

 
2
1
2
a
2
1
2
a 
0
Để giải bài toán trên.
Một em hãy nhắc lại cách xác định
Góc giữa 2 véc tơ và
Công thức: tích vô hướng của 2 véc tơ
Ôn tập kiến thức: Tích vô hướng của 2 véc tơ
1. Góc giữa 2 véc tơ:
0
A
B
. 0a b 
 
* . 0a b a b  
   
0 hay 0 a b 
   
2
2
* .a a a a 

  

b

a

0 0
( , ) 0 (0 ( , ) 180 )a b A B a b   
   
2. Tích vô hướng của 2 véc tơ:
. os( , ) ( , 0)a b a b c a b a b 
        
Nếu:
Thì ta quy ước
3.Tính chất:
1) . .
2 ) .( ) . .
3 ) (k . ). .( ) ( . )
a b b a
a b c a b a c
a b a k b k a b

  
 
   
      
     
*
Cho hình lập phương (hình bên)
B
C
A

D
C'
D'
B'
A'
Cặp đường thẳng
nào không vuông
góc với nhau?
a) AC & BD
b) AB & B’C’
c) AC & B’C’.
d) AC’ & BD
Đó chính là nội dung bài
học hôm nay.
Cơ sở nào biết được?
§2.Hai đường thẳng vuông góc
. os( , )u v u v c u v
     
1.Góc giữa hai véc tơ trong không gian:
2. Tích vô hướng của hai
véc tơ trong không gian:
I.TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN
0
B
v

u

0 0

(0 ( , ) 180 )
( , ) 0
u v
u v A B
 
 
 
 
A
. 0u v 
 
( 0, 0)u v 
   
Thì ta quy ước
0 hay 0 u v 
   
Nếu:
H
B
D
A
C
Ví dụ1: Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm AB.
Hãy tính góc giữa các cặp véc tơ sau:
) & a AB BC
 
) & b CH AC
 
0
( , ) 120AB BC 

 
Lời giải:
Với tứ diện đều, ta có:
0
( , ) 150CH AC 
 
b)
a)
B’
A’
Ví dụ2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi
một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung
điểm của cạnh AB. Tính góc giữa 2 véc tơ
0
( , ) 120OM BC 
 
.
( , )
.
os
OM BC
OM BC
OM BC
c 
 
 
 
.
2
. 2

2
OM BC

 
M
O
B
C
A
Lời giải:
Ta có:
Mặt :
&OM BC
 
1
OS( , )
2
C OM BC  
 
2
. . . 0 & 1OA OC OA OB OB OC OB   
      
2
1
( . . . )
2
OA OC OA OB OB OC OB   
      
( . )OM BC
 

1
( ).( )
2
OA OB OC OB  
   

Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và OB = 1 nên:
Do đó: Vậy:
Ví dụ 3:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a)Hãy phân tích véc tơ theo 3 véc tơ:
b)Tính: & từ đó suy ra .
' &AC BD
 
, , 'AB AD AA
  
OS( ', )C AC BD
 
'AC BD
 
B
C
A
D
C'
D'
B'
A'
Ta có:
Lời giải:
' 'AC AB AD AA  

   
2 2
. - . '. '.AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB    
         
'. ( ')( )AC BD AB AD AA AD AB   
      
2 2
'. = '. =0 & = =1AA AD AA AB AB AD
     
'. '.
OS( ', )
3. 2
' .
AC BD AC BD
C AC BD
a a
AC BD
 
   
 
 
v BD AD AB 
  
OS( ', ) 0C AC BD 
 

a)
b)
Mặt khác:
0

( ', ) 90AC BD 
 
'AC BD
 

Mà:
Ta có:
Vậy
*
0

b

d
Véc tơ nào là véc tơ
chỉ phương của
đường thẳng (d) ?
a

c

II.VÉC TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG
*ĐN: ,được gọi là véc tơ chỉ
phương của đường thẳng (d) nếu giá
của véc tơ song song hoặc trùng với
đường thẳng (d).
a

0a 
 

Vậy góc giữa
2 đường
thẳng trong
không gian
được xác
định như thế
nào?
0b’
a’
b
a
III.Góc giữa hai đường thẳng
ĐN: Góc giữa 2 đường thẳng a & b trong k
0
gian
là góc giữa 2 đường thẳng a’ & b’ cùng đi qua 1
điểm và lần lượt song song với a & b.
Chú ý: Nếu , là các véc tơ chỉ phương
của các đường thẳng a, b
u

v

0 0
0 0 0
( , ) khi 0 ( , ) 90
( , )
180 ( , ); khi 90 ( , ) 180
u v u v
a b

u v u v

 


  


   
   
Thì:
Ví dụ 4:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.
Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) AB và B’C’ ; b) AC và B’C’ ; c) A’C’ và B’C.
B
C
A
D
C'
D'
B'
A'
Lời giải:
a) Góc giữa 2 đường thẳng:
AB và B’C’ là: 90
0
b) Góc giữa 2 đường thẳng:
AC và B’C’ là: 45
0
c) Góc giữa 2 đường thẳng:

A’C’ và B’C là: 60
0
Ví dụ5:Cho h.chóp S.ABC có SA =SB =SC =AB =AC =a
& BC = .Tính góc giữa 2 đường thẳng AB và SC
2a
. 0AC AB 
 
A
B
C
S
0
(S , ) 120A AB 
 
2a
2 2
( 2)BC a
2 2
a a 
2 2
AC AB 
.
( , )
.
os
SC AB
SC AB
SC AB
c 
 

 
 
2
2
1
2
( , )
2
os
a
SC AB
a
c

  
 
0
( , ) 120SC AB 
 
2
. .
( , )os
SA AB AC AB
SC AB
a
c


   
 

( ).
.
SA AC AB
a a


  
Lời giải:
Ta có:
Vì:
*Nên
Tam giác SAB đều nên
*và do đó
2
0
S . . . os120
2
a
A AB a a c  
 
Vậy:
Do đó:
Ta suy ra góc giữa 2 đường thẳng AB & SC =180
0
-120
0
=60
0
.
*

*
Nếu góc giữa 2 đường thẳng bằng 90
0

thì 2 đường thẳng đó
như thế nào?
IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
1.ĐN:
0
( , ) 90a b a b  
2. Nhận xét:
* Nếu lần lượt là véc tơ chỉ phương
của 2 đường thẳng a, b thì:
,u v
 
. 0a b u v  
 
* a // b , nếu c a thì c b.


* a b 
Có thể cắt nhau hoặc chéo nhau
Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD có AB AC và AB BD.
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm AB và CD.
CMR: AB và PQ là 2 đường thẳng vuông góc với nhau.


: v PQ PB BD DQ  
   
. .AC AB BD AB 

   
PQ PA AC CQ  
   
2PQ AC BD  
  
2 . ( ).PQ AB AC BD AB 
    
: . 0 hay PQ AB 
 
Lời giải:
Ta có:
Tức là: AB PQ
Vậy:

Q
P
B
c
D
A
Muốn CM 2
đường thẳng
vuông góc ta
làm ntn?
Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy nêu
các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương
đã cho và vuông góc với:
a)Đường thẳng AB
b) Đường thẳng AC
A'

D'
B'
A
D
C'
B
C
Lời giải:
a) Các đường thẳng đi qua 2
đình hlp và vuông với AB là:
BC, AD, B’C’, A’D’, AA’,BB’
CC’, DD’, AD’,A’D, BC’, B’C
b) Các đường thẳng đi qua 2
đình hlp và vuông với AC là:
AA’,BB’ CC’, DD’, BD, B’D’, B’D, BD’.
Củng cố:
1) Cách xác định & tính góc giữa 2 véc tơ và góc giữa 2
đường thẳng trong không gian.
2) Biết dùng tích vô hướng để giải toán:
* . os( , )u v u v c u v
     
0 0
0 0 0
( , ) khi 0 ( , ) 90
( , )
180 ( , ); khi 90 ( , ) 180
u v u v
a b
u v u v


 


  


   
   
* . 0u v u v  
   
.
* os( , )
.
u v
c u v
u v

 
 
 
3) Góc giữa 2 đường thẳng (a, b) = (a’, b’)
Bài tập về nhà: 1, 2,3,4,5,6,7,8,trang 97 SGK
4)
0
( , ) 90a b a b  
. 0a b u v  
 
hay