Tổng hợp 10 đề thi thử HKII khối 11

Đề số 1
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 - 2011
Môn TOÁN 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)
n n
n
1
1
3 4
lim
4 3
+
−
−
+
b)
x
x
x
2
3
1 2
lim
9
→
+ −
−
Bài 2: Chứng minh phương trình
x x

3
3 1 0− + =
có 3 nghiệm thuộc
( )
2;2−
.
Bài 3: Chứng minh hàm số sau không có đạo hàm tại
x 3
= −
x
khi x
f x
x
khi x =
2
9
3
( )
3
1 3

−

≠ −
=

+

−


Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)
y x x x
2
(2 1) 2= + −
b)
y x x
2
.cos=
Bài 5: Cho hàm số
x
y
x
1
1
+
=
−
có đồ thị (H).
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) tại A(2; 3).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y x
1
5
8
= − +
.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a, SA vuông góc với
(ABCD). Gọi I, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD.
a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông.

b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK).
c) Tính góc giữa SC và (SAB).
d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD). Hết.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
Đề số 1
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 - 2011
Môn TOÁN 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1: Tính giới hạn:
a)
n
n n n n
n n
n

1
1 1 1
1 1
1
3
9. 4
4
3 4 9.3 4.4
lim lim lim 4
3
4 3 4 3
1
4
−
+ − −

− −
−
 
−
 ÷
− −
 
= = = −
+ +
+
b)
( )
x x
x
x
x x
2
3 3
1 2 1 1
lim lim
24
9
( 3) 1 2
→ →
+ −
= =
−
+ + +
Bài 2: Chứng minh phương trình
x x

3
3 1 0− + =
có 3 nghiệm thuộc
( )
2;2−
.
Xem đề 11.
Bài 3: Chứng minh hàm số sau không có đạo hàm tại
x 3= −
x
khi x
f x
x
khi x =
2
9
3
( )
3
1 3

−

≠ −
=

+

−


• Khi
x f x x3 ( ) 3≠ − ⇒ = −
•
x x
f x f x
x x
3 3
( ) (3) 4
lim lim
3 3
→− →−
− −
=
+ +
mà
x x
x x
x x
3 3
4 4
lim ; lim
3 3
+ −
→− →−
− −
= −∞ = +∞
+ +
nên hàm số không có
đạo hàm tại x = –3.
Chú ý: Có thể chứng minh hàm số f(x) không liên tục tại x = –3

⇒
f(x) không có đạo hàm
tại x = –3.
Bài 4: Tính đạo hàm các hàm số sau:
a)
x x x
y x x x y'=2 x x x y
x x x x
2
2 2
2 2
1 4 6 1
(2 1) 2 2 (2 1). '
2 2
− − + +
= + − ⇒ − + + ⇒ =
− −
b)
y x x y x x x x
2 2
.cos ' 2 .cos sin= ⇒ = −
Bài 5:
x
y
x
1
1
+
=
−

⇒
y
x
2
2
( 1)
−
′
=
−
a) Tại A(2; 3) ⇒
k y PTTT y x(2) 2 : 2 1
′
= = − ⇒ = − −
b) Vì tiếp tuyến song song với đường thằng
y x
1
5
8
= − +
nên hệ số góc của tiếp tuyến là
k
1
8
= −
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm ⇒

x
y x k x
x
x
2
0
0 0
2
0
0
3
2 1
( ) ( 1) 16
5
8
( 1)

= −
′
= ⇔ − = − ⇔ − = ⇔

=
−

• Với
( )
x y PTTT y x
0 0
1 1 1
3 : 3

2 8 2
= − ⇒ = ⇒ = − + +
• Với
( )
x y PTTT y x
0 0
3 1 3
5 : 5
2 8 2
= ⇒ = ⇒ = − − +
Bài 6:
a) Chứng minh các mặt bên hình chóp là các tam giác
vuông.
• SA⊥ (ABCD) nên SA⊥ BC, AB ⊥ BC (gt)
⇒ BC ⊥ (SAB)
⇒
BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B.
• SA ⊥ (ABCD)
⇒
SA ⊥ CD, CD ⊥ AD (gt)
⇒
CD ⊥ (SAD)
⇒
CD ⊥ SD
⇒
∆SCD vuông tại D
• SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AD
⇒
các tam giác SAB và SAD đều vuông tại A.
b) Chứng minh: (SAC) vuông góc (AIK).

• SA ⊥ (ABCD)
⇒
SA ⊥ BD, BD ⊥ AC
⇒
BD ⊥ (SAC)
• ∆SAB và ∆SAD vuông cân tại A, AK
⊥
SA và AI
⊥
SB
nên I và K là các trung điểm của AB và AD
⇒
IK//BD
mà BD
⊥
(SAC) nên IK ⊥ (SAC)
⇒
(AIK) ⊥ (SAC)
c) Tính góc giữa SC và (SAB).
O
I
K
A
B
D
C
S
H
• CB ⊥ AB (từ gt),CB ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) nên CB ⊥ (SAB) ⇒ hình chiếu của SC trên
(SAB) là SB

( ) ( )
·
SC SAB SC SB CSB,( ) ,⇒ = =
• Tam giác SAB vuông cân có AB = SA = a
·
BC
SB a CSB
SB
2 tan 2⇒ = ⇒ = =
d) Tính khoảng cách từ A đến (SBD).
Hạ AH ⊥ SO , AH ⊥ BD do BD ⊥ (SAC)
⇒
AH ⊥ (SBD)
⇒
a
AH
AH SA AO a a a
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 3
3
= + = + = ⇒ =

( )
( )
a
d A SBD
3
,
3
⇒ =

Đề số 2
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 - 2011
Môn TOÁN 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)
x
x x
x
2
2
1
2 3 5
lim
1
→
+ −
−
b)
x
x x
x
3
1
1
lim
1
+
→
+ +

−
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình
x mx x m
3 2
2 0− − + =
luôn có nghiệm với mọi m.
Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục tại x = 1.
x x x
khi x 1
f x
x a
x a khi x = 1
3 2
2 2
( )
3
3

− + −

≠
=

+

+

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số:
a)
y x

x
x x
2 4
2 3 1
3 1= + + − +
b)
x x
y
x x
cos
sin
= +

Bài 5: Cho đường cong (C):
y x x
3 2
3 2= − +
. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):
a) Tại điểm có hoành độ bằng 2.
b) Biết tiếp tuyến vuông góc đường thẳng
y x
1
1
3
= − +
.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
a
OB
3

3
=
,
SO ABCD( )⊥
,
SB a=
.
a) Chứng minh:
SAC
∆
vuông và SC vuông góc với BD.
b) Chứng minh:
SAD SAB SCB SCD( ) ( ), ( ) ( ).⊥ ⊥
c) Tính khoảng cách giữa SA và BD. Hết.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
Đề số 2
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 - 2011
Môn TOÁN 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
a)
x x
x x x
=
x
x
2
2
1 1
2 3 5 2 5 7

lim lim
1 2
1
→ →
+ − +
=
+
−
b)
x
x x
x
3
1
1
lim
1
+
→
+ +
−
Ta có
x
x
x
x
x x
x
x
x x

3
1
1
3
1
lim ( 1) 0
1
1 0 lim
1
lim ( 1) 3 0
+
+
+
→
→
→

− =

+ +

− > ⇒ = +∞

−

+ + = >


Bài 2: Xét hàm số
f x x mx x m

3 2
( ) 2= − − +
⇒ f(x) liên tục trên R.
•
f m m f m f f m m
3 4
( ) , (0) (0). ( )= − = ⇒ = −
• Nếu m = 0 thì phuơng trình có nghiệm x = 0
• Nếu m
0≠
thì
f f m m(0). ( ) 0, 0< ∀ ≠
⇒ phương trình luôn có ít nhát một nghiệm thuộc (0;
m) hoặc (m; 0).
Vậy phương trình
x mx x m
3 2
2 0− − + =
luôn có nghiệm.
Bài 3:
x x x
khi x 1
f x
x a
x a khi x = 1
3 2
2 2
( )
3
3


− + −

≠
=

+

+

•
x x x
x x x x x
f x
x a x a
3 2 2
1 1 1
2 2 ( 1)( 2)
lim ( ) lim lim
3 3
→ → →
− + − − +
= =
+ +
• Nếu a = –3 thì
x x x
x x x
f x
x
2 2

1 1 1
( 1)( 2) 2
lim ( ) lim lim 1 0
3( 1) 3
→ → →
− + +
= = = >
−
và
f (1) 0=
nên hàm số
không liên tục tại x = 1
• Nếu a ≠ –3 thì
x x
x x
f x
x a
2
1 1
( 1)( 2)
lim ( ) lim 0
3
→ →
− +
= =
+
, nhưng
f a(1) 3 0= + ≠
nên hàm só không
liên tục tại x = 1.

Vậy không có giá trị nào của a để hàm số liên tục tại x = 1.
Bài 4:
a)
y x y'=
x
x
x x x x x
2 4 2 3 5
2 3 1 2 3 6 4
3 1
2 3 1
= + + − + ⇒ − + + −
+
b)
x x x x x
y y
x x x x
2
cos sin cos
sin sin
+
= + ⇒ =
⇒
x x x x x x x
y x x x x
x
x x x
2
2
2 2 2

sin cos sin cos cos 1
' sin cos (1 cot )
sin
sin
− − −
= + = − − + − +
Bài 5:
y x x
3 2
3 2= − +
⇒
y x x
2
' 3 6= −
a)
x y y
0 0
2 2, (2) 0
′
= ⇒ = − =
⇒ PTTT
y 2= −
.
b) Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y x
1
1
3
= − +
nên tiếp tuyến có hệ số góc là k =

3.
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm ⇒
x
x x x x
x
2 2
0
0 0 0 0
0
1 2
3 6 3 2 1 0
1 2

= −
− = ⇔ − − = ⇔

= +


• Với
x y
0 0
1 2 2= − ⇒ =
⇒ PTTT:
( )
y x y x3 1 2 2 3 4 2 3= − + + ⇔ = + −

• Với
x y
0 0
1 2 2= + ⇒ = −
⇒ PTTT:
( )
y x y x3 1 2 2 3 4 2 3= − − − ⇔ = − −
Bài 6:
a) • Chứng minh:
SAC
∆
vuông
+
a a a
SO SB OB a SO SO
2 2
2 2 2 2 2
3 6 6
9 9 3
= − = − ⇔ = ⇔ =
.
+
a a
OA OC BC OB a SO
2
2 2 2
3 6
9 3
= = − = − = =
.

⇒
tam giác SAC vuông tại S.
• Chứng minh SC ⊥ BD
BD ⊥ SO, BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ SC.
b) • Chứng minh:
SAD SAB SCB SCD( ) ( ), ( ) ( ).⊥ ⊥
Gọi H là trung điểm của SA.
a SA a
SA OA OH
2 3 3
2
3 2 3
= = ⇒ = =
⇒
OH OB OD= =
⇒ ∆HBD vuông tại H
⇒ DH ⊥ BH (1)
• ∆SOA vuông cân tại O, H là trung điểm của SA ⇒ OH ⊥ SA (2)
I
K
H
O
A
B
D
C
S
• SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BD, mặt khác AC ⊥ BD
BD SAC SA BD( )⇒ ⊥ ⇒ ⊥
(3)

• Từ (2) và (3) ta suy ra SA ⊥ (HBD)
⇒
SA ⊥ HD (4)
Từ (1) và (4) ta suy ra DH ⊥ (SAB), mà DH
⊂
(SAD) nên (SAD) ⊥ (SAB)
• Gọi I là trung điểm của SC dễ thấy OI = OH = OB = OD ⇒ ∆IBD vuông tại I ⇒ ID ⊥ BI
(5)
•
a a
SD SO OD a CD
2 2
2 2
6 3
9 9
= + = + = =
⇒ ∆DSC cân tại D, IS = IC nên ID ⊥ SC (6)
Từ (5) và (6) ta suy ra ID ⊥ (SBC), mà ID
⊂
(SCD) nên (SBC) ⊥ (SCD).
c) Tính khoảng cách giữa SA và BD.
OH ⊥ SA, OH ⊥ BD nên
a
d SA BD OH
3
( , )
3
= =
.
Đề số 3

ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 - 2011
Môn TOÁN 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)
( )
x
x x x
2
lim 3 2
→−∞
− + −
b)
( )
x
x x x
2
lim 4 1 2
→+∞
+ + −
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình
x x
3
2 10 7 0− − =
có ít nhất hai nghiệm.
Bài 3: Tìm m để hàm số sau liên tục tại x = –1
x
khi x
f x
x

mx khi x
2
1
1
( )
1
2 1

−

< −
=

+

+ ≥ −

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
x
y
x
3 2
2 5
−
=
+
b)
y x x x
2

( 3 1).sin= − +
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
y
x
1
=
:
a) Tại điểm có tung độ bằng
1
2
.
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y x4 3= − +
.
Bài 6: Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC đều cạnh a,
SA ABC SA a
3
( ),
2
⊥ =
. Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI).
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC). Hết.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
Đề số 3
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 - 2011
Môn TOÁN 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:

a)
( )
x x x x
x x x = x x x x
x x
x x
2
2 2
1 3 1 3
lim 3 2 lim . 1 2 lim . 1 2
→−∞ →−∞ →−∞
   
− + − − + − = − + − + −
 ÷  ÷
 ÷
 ÷
 
 
=
x
x
x
x
2
1 3
lim ( ) 1 2
→−∞
 
− − + + = +∞
 ÷

 ÷
 
b)
( )
x x x
x
x
x x x
x x x
x
x
2
2
2
1
1
1 1
lim 4 1 2 lim lim
4
1 1
4 1 2
4 2
→+∞ →+∞ →+∞
+
+
+ + − = = =
+ + +
+ + +
Bài 2: Xét hàm số
f x x x

3
( ) 2 10 7= − −
⇒ f(x) liên tục trên R.
•
f f f f( 1) 1, (0) 7 ( 1). (0) 0− = = − ⇒ − <
⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c
1
( 1;0)∈ −
.
•
f f f f(0) 7, (3) 17 (0). (3) 0= − = ⇒ <
⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c
2
(0;3)∈
.
•
c c
1 2
≠
nên phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực.
Bài 3:
x
khi x
f x

x
mx khi x
2
1
1
( )
1
2 1

−

< −
=

+

+ ≥ −

Ta có: •
f m( 1) 2− = − +
•
x x x
x
f x x
x
2
1 1 1
1
lim ( ) lim lim ( 1) 2
1

− − −
→− →− →−
−
= = − = −
+
•
x x
f x mx m
1 1
lim ( ) lim ( 2) 2
+ +
→− →−
= + = − +
Hàm số
f x( )
liên tục tại x = –1 ⇔
m m2 2 4
− + = − ⇔ =
Bài 4:
a)
x
y
x
3 2
2 5
−
=
+
⇒
x

x x
x
y'=
x
x x x x
2
3 2 5
3(2 5) 2 6 13
2 5
2 5
(2 5) 2 5 (2 5) 2 5
+ −
+ − +
+
= =
+
+ + + +
b)
y x x x y x x x x x
2 2
( 3 1).sin ' (2 3)sin ( 3 1)cos= − + ⇒ = − + − +
Bài 5:
y
x
1
=
⇒
y x
x
2

1
( 0)
′
= − ≠
a) Với
y
0
1
2
=
ta có
x
x
0
0
1 1
2
2
= ⇔ =
;
y
1
(2)
4
′
= −
⇒ PTTT:
y x
1
1

4
= − +
b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
y x4 3= − +
nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –4
Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp ⇒
x
y x
x
x
0
0
2
0
0
1
1
2
( ) 4 4
1
2

=

′
= − ⇔ − = − ⇔



= −

• Với
x y PTTT y x
0 0
1
2 : 4 4
2
= ⇒ = ⇒ = − +
• Với
x y PTTT y x
0 0
1
2 : 4 4
2
= − ⇒ = − ⇒ = − −
Bài 6:
a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI).
• SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC, AI ⊥BC ⇒ BC ⊥ (SAI)
⇒ (SBC) ⊥ (SAI)
b) Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
• Vẽ AH ⊥ SI (1) . BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ AH (2)
Từ (1) và (2) ⇒AH ⊥ (SBC) nên d( A,(SBC)) = AH
•
a
AH
AH AI SA a a a
2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 4 16 3
4
9 3 9
= + = + = ⇒ =
c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
•
SBC ABC BC AI BC( ) ( ) ,∩ = ⊥
, SI ⊥ BC
⇒
( )
·
¶
SBC ABC SIA( ),( )
=

•
¶ ¶
a
SA
SIA SIA
IA
a
0
3
2
tan 3 60
3
2
= = = ⇒ =
Đề số 4

ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 - 2011
Môn TOÁN 11
Thời gian làm bài 90 phút
I
A
B
C
S
H
Bài 1: Tính các giới hạn sau:
a)
x
x
x
2 3
lim
2 3
→+∞
−
−
b)
x
x x
x
2
5 3
lim
2
→+∞
+ −

−
Bài 2: Chứng minh rằng phương trình
x x x x
4 3 2
3 1 0+ − + + =
có nghiệm thuộc
( 1;1)−
.
Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:
x x
khi x
f x
x
khi x
2
3 2
2
( )
2
3 2

+ +

≠ −
=

+

= −


Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
x x
y
x x
sin cos
sin cos
+
=
−
b)
y x x(2 3).cos(2 3)= − −
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
x x
y
x
2
2 2 1
1
+ +
=
+
a) Tại giao điểm của đồ thị và trục tung.
b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
y x 2011= +
.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a,
·
BAD
0

60=
, SO ⊥
(ABCD),

a
SB SD
13
4
= =
. Gọi E là trung điểm BC, F là trung điểm BE.
a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC).
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
c) Gọi (
α
) là mặt phẳng qua AD và vuông góc (SBC). Xác định thiết diện của hình chóp bị
cắt bởi (
α
). Tính góc giữa (
α
) và (ABCD). Hết.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
Đề số 4
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 - 2011
Môn TOÁN 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
a)
x x
2 x
x

=
x
x
3
2
3 3
lim lim
2
2
2 3
3
→+∞ →+∞
−
− −
=
−
−
b)
x x
x x
x x
x
x
2
5 3
1
5 3
lim lim 1
2
2

1
→+∞ →+∞
+ −
+ −
= =
−
−
Bài 2: Xét hàm số
f x x x x x
4 3 2
( ) 3 1= + − + +
⇒
f x( )
liên tục trên R.
•
f f f f( 1) 3, (1) 1 ( 1). (1) 0− = − = ⇒ − <
nên PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm thuộc (–1; 1).
Bài 3:
x x
khi x
f x
x
khi x
2
3 2
2
( )
2

3 2

+ +

≠ −
=

+

= −

• Tập xác định: D = R.
• Tại
x x
x f x x
x
( 1)( 2)
2 ( ) 1
2
+ +
≠ − ⇒ = = +
+
⇒
f x( )
liên tục tại x ≠ –2.
• Tại x = –2 ta có
x x
f f x x f
2 2
( 2) 3, lim ( ) lim ( 1) 1 ( 2)

→− →−
− = = + = − ≠ −
⇒
f x( )
không liên tục tại x
= –2.
Bài 4:
a)
x x
y
x x
sin cos
sin cos
+
=
−

⇒
x x x x x x x x
y
x x
2
(cos sin )(sin cos ) (sin cos )(cos sin )
(sin cos )
− − − + +
′
=
−
=
x x

2
2
(sin cos )
−
−
b)
[ ]
y x x y x x x(2 3).cos(2 3) ' 2 cos(2 3) (2 3)sin(2 3)= − − ⇒ = − − − −
Bài 5:
x x
y
x
2
2 2 1
1
+ +
=
+
⇒
x x
y
x
2
2
2 4 1
( 1)
+ +
′
=
+

a) Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 1);
y (0) 1
′
=
⇒ PTTT:
y x 1= +
.
b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng
y x 2011= +
nên tiếp tuyến có hệ số góc là k =
1. Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm ⇒
( )
x x
x
y x x x
x
x
2
2
0 0
0
0 0 0
2
0
0
2 4 1

2
( ) 1 1 2 0
0
1
+ +

= −
′
= ⇔ = ⇔ + = ⇔

=

+
• Với
x y
0 0
0 1= ⇒ =
⇒ PTTT:
y x 1= +
.
• Với
x y
0 0
2 5= − ⇒ = −
⇒ PTTT:
y x 3= −
Bài 6:
a) Chứng minh: (SOF) vuông góc (SBC).
• ∆CBD đều, E là trung điểm BC nên DE ⊥ BC
• ∆BED có OF là đường trung bình nên OF//DE,

DE ⊥ BC ⇒ OF ⊥ BC (1)
• SO ⊥ (ABCD) ⇒ SO ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BC ⊥ (SOF)
Mà BC
⊂
(SBC) nên (SOF) ⊥(SBC).
b) Tính khoảng cách từ O và A đến (SBC).
• Vẽ OH ⊥ SF; (SOF) ⊥ (SBC),
SOF SBC SF OH SF( ) ( ) ,∩ = ⊥
OH SBC d O SBC OH( ) ( ,( ))⇒ ⊥ ⇒ =
• OF =
a
a
1 3 3
.
2 2 4
=
,
a
SO SB OB SO
2 2 2
3
4
= − ⇒ =
a
OH
OH SO OF
2 2 2
1 1 1 3
8

⇒ = + ⇒ =
• Trong mặt phẳng (ACH), vẽ AK// OH với K ∈ CH ⇒ AK ⊥ (SBC) ⇒
d A SBC AK( ,( )) =

a a
AK OH AK d A SBC
3 3
2 ( ,( ))
4 4
= ⇒ = ⇒ =
c) •
AD SBC AKD( ), ( ) ( ) ( ) ( )
α α α
⊂ ⊥ ⇒ ≡
• Xác định thiết diện
Dễ thấy
K K SBC( ), ( )
α
∈ ∈
⇒ K ∈ (α) ∩ (SBC).
Mặt khác AD // BC,
AD SBC( )⊂
nên
SBC K BC( ) ( ) ,
α ∆ ∆ ∆
∩ = ⇒ ∈ P
Gọi
B SB C SC' , '
∆ ∆
= ∩ = ∩

⇒ B′C′ // BC ⇒ B′C′ // AD
Vậy thiết diện của hình chóp S.ABCD bị cắt bời (α) là hình thang AB’C’D
• SO ⊥ (ABCD), OF là hình chiếu của SF trên (ABCD) nên SF ⊥ BC ⇒ SF ⊥ AD
(*)
•
SF OH OH AK SF AK,⊥ ⇒ ⊥P
(**)
• Từ (*) và (**) ta có SF ⊥ (α)
• SF ⊥ (α), SO ⊥ (ABCD) ⇒
( )
·
·
·
ABCD SF SO OSF( ),( ) ( , )
α
= =
B'
C'
K
F
E
O
D
C
A
B
S
H
•
·

a
OF
OSF
a
SO
3
1
4
tan
3
3
4
= = =
⇒
( )
·
ABCD
0
( ),( ) 30
α
=
Đề số 5
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 - 2011
Môn TOÁN 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung
Bài 1: 1) Tìm các giới hạn sau:
a)
x
x x

x x
5 3
5 4
1
7 11
3
lim
3
2
4
→+∞
− + −
− +
b)
x
x
x
5
1 2
lim
5
→
− −
−
c)
x
x
x x
2
2

2
4
lim
2( 5 6)
→
−
− +

2) Cho hàm số :
x
f x x x
4
3
5
( ) 2 1
2 3
= + − +
. Tính
f (1)
′
.
Bài 2: 1) Cho hàm số
x x khi x
f x
ax khi x
2
1
( )
1 1


+ <
=

+ ≥

. Hãy tìm a để
f x( )
liên tục tại x = 1
2) Cho hàm số
x x
f x .
x
2
2 3
( )
1
− +
=
+
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
f x( )
tại
điểm có hoành độ bằng 1.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, AD vuông góc với BC, AD
= a và khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng BC là a . Gọi H là trung điểm BC, I là
trung điểm AH.
1) Chứng minh rằng đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (ADH) và DH = a.
2) Chứng minh rằng đường thẳng DI vuông góc với mặt phẳng (ABC).
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
II. Phần tự chọn

A. Theo chương trình chuẩn
Bài 4a: Tính các giới hạn sau:
1)
x
x x
x
2
9 1 4
lim
3 2
→−∞
+ −
−
2)
x
x
x x
2
2
lim
5 6
+
→−
+ +
Bài 5a:
1) Chứng minh phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
x x x
3 2
6 3 6 2 0− − + =
.

2) Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy và cạnh bên bằng a. Tính chiều cao hình chóp.
B. Theo chương trình nâng cao
Bài 4b: Tính giới hạn:
( )
x
x xlim 1
→+∞
+ −
Bài 5b:
1) Chứng minh phương trình sau luôn luôn có nghiệm:

m m x x
2 3
( 2 2) 3 3 0− + + − =
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc (ABCD) và
SA =
a 3
. Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc (SCD). Thiết diên cắt bởi (P) và
hình chóp là hình gì? Tính diện tích thiết diện đó. Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
Đề số 5
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 - 2011
Môn TOÁN 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
1) a)
x x
x x
x x
x x

x
x
5 3
2 5
5 4
5
1 7 11
1
7 11
4
3
3
lim lim
3 3 1 2
9
2
4 4
→+∞ →+∞
−
+ −
− + −
= = −
− + − +

b)
( )
x x x
x x
x
x

x x
5 5 5
1 2 5 1 1
lim lim lim
5 4
1 2
( 5) 1 2
→ → →
− − −
= = =
−
− +
− − +

c)
x x x
x x x x
x x x
x x
2
2
2 2 2
4 (2 )(2 ) ( 2) 2
lim lim lim
2( 2)( 3) 2( 3) 5
2( 5 6)
→ → →
− − + − +
= = = −
− − +

− +

2)
x
f x x x f x x x f
x
4
3 3 2
5 1 1
( ) 2 1 ( ) 2 5 (1) 5
2 3
2 2 2 2
′ ′
= + − + ⇒ = + + ⇒ = +
.
Bài 2:
1)
x x khi x
f x
ax khi x
2
1
( )
1 1

+ <
=

+ ≥


•
f a(1) 1= +
•
x x x
f x x x f x a f
2
1 1 1
lim ( ) lim ( ) 2, lim ( ) 1 (1)
− − +
→ → →
= + = = + =
•
f x( )
liên tục tại x = 1 ⇔
x x
f x f x f a a
1 1
lim ( ) lim ( ) (1) 1 2 1
− +
→ →
= = ⇔ + = ⇔ =
2)
x x
f x
x
2
2 3
( )
1
− +

=
+
⇒
x x
f x
x
2
2
2 5
( )
( 1)
+ −
′
=
+
Với
x y
0 0
1 1= ⇒ =
,
f
1
(1)
2
′
= −
⇒ PTTT:
y x
1 3
2 2

= − +
Bài 3:
1) CMR: BC ⊥ (ADH) và DH = a.
∆ABC đều, H là trung điểm BC nên AH ⊥ BC, AD ⊥ BC
⇒ BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DH ⇒ DH = d(D, BC) = a
2) CMR: DI ⊥ (ABC).
• AD = a, DH = a
⇒
∆DAH cân tại D, mặt khác I là trung
điểm AH nên DI ⊥ AH
• BC ⊥ (ADH) ⇒ BC ⊥ DI
⇒ DI ⊥ (ABC)
3) Tính khoảng cách giữa AD và BC.
• Trong ∆ADH vẽ đường cao HK tức là HK ⊥ AD (1)
Mặt khác BC ⊥ (ADH) nên BC ⊥ HK (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
d AD BC HK( , ) =
• Xét ∆DIA vuông tại I ta có:
a a a
DI AD AI a
2
2
2 2 2
3
2 4 2
 
= − = − = =
 ÷
 ÷
 

• Xét ∆DAH ta có: S =
AH DI
1
.
2
=
AD HK
1
.
2
⇒
a a
AH DI a
d AD BC HK
AD a
3
.
. 3
2 2
( , )
4
= = = =
Bài 4a:
1)
x x x
x x
x x
x x
x x
x

2
2 2
1 1
. 9 4 9 4
9 1 4 7
lim lim lim
3
3 2 3 2 2
2
→−∞ →−∞ →−∞
− + − − + −
+ −
= = =
− −
−
2)
x
x
x x
2
2
lim
5 6
+
→−
+ +
. Vì
x
x x
x

x
x x
x x
x x x
2
2
2
2 2
2
lim 2 0
lim ( 5 6) 0 lim
5 6
5 6 0, 2
+
+ +
→−
→− →−

= − <


+ + = ⇒ = −∞

+ +

+ + > ∀ > −


Bài 5a:
1) Xét hàm số

f x x x x
3 2
( ) 6 3 6 2= − − +
⇒
f x( )
liên tục trên R.
•
f f f f( 1) 1, (0) 2 ( 1). (0) 0− = − = ⇒ − <
⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c
1
( 1;0)∈ −
•
f f f f(0) 2, (1) 1 (0). (1) 0= = − ⇒ <
⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c
2
(0;1)∈
I
H
A
B
C
D
K
•

f f f f(1) 1, (2) 26 (1). (2) 0= − = ⇒ <
⇒ PT
f x( ) 0=
có một nghiệm
c
3
(1;2)∈
• Vì
c c c
1 2 3
≠ ≠
và PT
f x( ) 0=
là phương trình bậc ba nên phương trình có đúng ba nghiệm
thực.
2)
Bài 4b:
( )
x x
x x
x x
1
lim 1 lim 0
1
→+∞ →+∞
+ − = =
+ +

Bài 5b:
1) Xét hàm số f(x) =

f x m m x x
2 3
( ) ( 2 2) 3 3= − + + −
⇒
f x( )
liên tục trên R.
• Có g(m) =
( )
m m m m R
2
2
2 2 1 1 0,− + = − + > ∀ ∈
f f m m f f
2
(0) 3, (1) 2 2 0 (0). (1) 0= − = − + > ⇒ <
⇒ PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c (0;1)∈
2)
• Trong tam giác SAD vẽ đường cao AH ⇒ AH ⊥ SD
(1)
• SA ⊥ (ABCD) ⇒ CD ⊥ SA
CD⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ AH (2)
• Từ (1) và (2) ⇒ AH ⊥ (SCD)
⇒ (ABH) ⊥ (SCD) ⇒ (P)  (ABH)
• Vì AB//CD ⇒ AB // (SCD), (P) ⊃ AB nên (P) ∩
(SCD) = HI
⇒ HI // CD ⇒ thiết diện là hình thang AHIB.
Hơn nữa AB ⊥ (SAD)

AB HA⇒ ⊥

Vậy thiết diện là hình thang vuông AHIB.
•
SD SA AD a a a
2 2 2 2
3 2= + = + =
• ∆SAD có
SA a a
SA SH SD SH SH
SD a
2 2
2
3 3
.
2 2
= ⇒ = = ⇒ =
a
HI SH a
HI CD
CD SD a
3
3 3 3
2
2 4 4 4
⇒ = = = ⇒ = =
(3)
a
AH
AH SA AD a a a

2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4 3
2
3 3
= + = + = ⇒ =
(4)
I
O
A
B
D
C
S
H
• Từ (3) và (4) ta có:
AHIB
AB HI AH a a a
S a
2
( ) 1 3 3 7 3
.
2 2 4 2 16
 
+
= = + =
 ÷
 
.
Đề số 6
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 - 2011

Môn TOÁN 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. Phần chung
Bài 1:
1) Tính các giới hạn sau: a)
x
x x
x
2
1
2
lim
2 2
→−
− −
+
b)
n n
n n
2 1
1
3 3.5
lim
4.5 5.3
+ +
+
−
+

2) Tính đạo hàm của hàm số:

x x
y
x x
cos
sin
+
=
−
Bài 2:
1) Cho hàm số:
3 2
5y x x x= + + −
(C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến
song song với đường thẳng
6x y 2011 0− + =
.
2) Tìm a để hàm số:
x x khi x
f x
ax a khi x
2
2
5 6 7 2
( )
3 2


− + ≥
=


+ <


liên tục tại x = 2.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có các mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam
giác ABC vuông cân tại C. AC = a, SA = x.
a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
b) Chứng minh
( ) ( )SAC SBC⊥
. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
c) Tinh khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB).
d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC
II. Phần tự chọn
A. Theo chương trình Chuẩn
Bài 4a:
1) Cho
f x x x
2
( ) sin( 2)= −
. Tìm
f (2)
′
.
2) Viết thêm 3 số vào giữa hai số
1
2
và 8 để được cấp số cộng có 5 số hạng. Tính tổng các số
hạng của cấp số cộng đó.
Bài 5a:
1) CMR phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm:

x x
3
2 10 7− =
.
2) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 30
0
. Tính
chiều cao hình chóp.
B. Theo chương trình Nâng cao
Bài 4b:
1) Cho
f x x x( ) sin2 2sin 5= − −
. Giải phương trình
f x( ) 0
′
=
.
2) Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân.
Chứng minh rằng:
a b b c ab bc
2 2 2 2 2
( )( ) ( )+ + = +

Bài 5b:
1) Chứng minh rằng với mọi m phương trình sau luôn có ít nhất 2 nghiệm:
m x x
2 4 3
( 1) 1+ − =
.
2) Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A′B′C′, có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng

a
2
. Tính
góc giữa 2 mặt phẳng (A′BC) và (ABC) và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A′BC).
Hết
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
Đề số 6
ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 - 2011
Môn TOÁN 11
Thời gian làm bài 90 phút
Bài 1:
1) a)
x x x
x x x x x
x x
2
1 1 1
2 ( 1)( 2) 2 3
lim lim lim
2 2 2( 1) 2 2
→− →− →−
− − + − −
= = = −
+ +

b)
n
n n n n
n n n n n
2 1

1
3
9. 15
5
3 3.5 9.3 15.5 15
lim lim lim
4
4.5 5.3 4.5 15.3
3
4 15.
5
+ +
+
 
−
 ÷
− −
 
= = = −
+ +
 
+
 ÷
 

2)
x x
y
x x
cos

sin
+
=
−

⇒
x x x x x x x x x x x
y
x x x x
2 2
(1 sin )(sin ) (cos 1)(cos ) (sin cos ) (sin cos ) 1
'
(sin ) (sin )
− − − − + + + − −
= =
− −
Bài 2:
1)
y x x x
3 2
5= + + −
⇒
y x x
2
3 2 1
′
= + +
• (d):
x y y x6 2011 0 6 2011− + = ⇔ = +
• Vì tiếp tuyến song song với (d) nên tiếp tuyến có hệ số góc là k = 6.

• Gọi
x y
0 0
( ; )
là toạ độ của tiếp điểm ⇒
x
x x x x
x
0
2 2
0 0 0 0
0
1
3 2 1 6 3 2 5 0
5
3

=

+ + = ⇔ + − = ⇔

= −

• Với
x y PTTT y x
0 0
1 2 : 6 8= ⇒ = − ⇒ = −
• Với
x y PTTT y x y x
0 0

5 230 5 230 10
: 6 6
3 27 3 27 9
 
= − ⇒ = − ⇒ = + − ⇔ = +
 ÷
 
2)
x x khi x
f x
ax a khi x
2
2
5 6 7 2
( )
3 2


− + ≥
=

+ <


•
x
f x f
2
lim ( ) 15 (2)
+

→
= =
•
x x
f x ax a a
2
2 2
lim ( ) lim ( 3 ) 7
− −
→ →
= + =
•
f x( )
liên tục tại x = 2 ⇔
a a
15
7 15
7
= ⇔ =
Bài 3:
a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC).
• (SAB) ⊥ (ABC) và SAC) ⊥ (ABC) nên SA ⊥(ABC)
⇒
AB là hình chiếu của SB trên
(ABC)
( )
·
( )
·
· ·

SA x
SB ABC SB AB SBA SBA
AB
a
,( ) , tan
2
⇒ = = ⇒ = =
• BC ⊥ AC, BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAC) ⇒ SC là hình chiếu của SB trên (SAC)
⇒
( )
·
( )
·
· ·
BC a
SB SAC SB SC BSC BSC
SC
a x
2 2
,( ) , tan
= = ⇒ = =
+
b) Chứng minh
( ) ( )SAC SBC⊥
. Tính khoảng cách từ A đến (SBC).
• Theo chứng minh trên ta có BC ⊥ (SAC) ⇒ (SBC) ⊥ (SAC)
• Hạ AH ⊥ SC ⇒ AH ⊥ BC (do BC ⊥ (SAC). Vậy AH ⊥ (SBC)
d A SBC AH( ,( ))⇒ =
.
•

ax
AH
AH SA AC x a
x a
2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 1
= + = + ⇒ =
+
c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB).
Gọi K là trung điểm của BH ⇒ OK // AH ⇒ OK ⊥ (SBC) và OK =
AH
2

⇒
ax
d O SBC OK
x a
2 2
( ,( )
2
= =
+
.
d) Xác định đường vuông góc chung của SB và AC
• Dựng mặt phẳng (α) đi qua AC và vuông góc với SB tại P ⇒ CP⊥ SB và AP ⊥ SB.
• Trong tam giác PAC hạ PQ ⊥ AC ⇒ PQ ⊥ SB vì SB ⊥ ( PAC).
Như vậy PQ là đường vuông góc chung của SB và AC.
Bài 4a:
1)

f x x x
2
( ) sin( 2)= −
⇒
f x x x x x
2
( ) 2 sin( 2) cos( 2)
′
= − + −
⇒
f (2) 4sin 0 4cos0 4
′
= + =
2) Giả sử công sai của cấp số cộng cần tìm là d thì ta có cấp số cộng là:
d d d d d d
1 1 1 1 1 15 15
, , 2 , 3 , 4 8 4
2 2 2 2 2 2 8
+ + + + = ⇒ = ⇒ =

Vậy cấp số cộng đó là
1 19 34 49
, , , ,8
2 8 8 8
Bài 5a:
1) Xét hàm số
f x x x
3
( ) 2 10 7= − −
⇒

f x( )
liên tục trên R.
•
f f f f( 1) 1, (0) 7 ( 1). (0) 0− = = − ⇒ − <
nên PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c
1
∈(–1; 0)
•
f f f f(3) 10, (4) 17 (3). (4) 0= − = ⇒ <
nên PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
( )
c
2
3;4∈
• mà
c c
1 2
≠
nên phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm thực
2)
• Hình chóp S.ABCD là chóp tứ giác đều nên chân đường
cao SO của hình chóp là O =
AC BD∩
• Đáy là hình vuông cạnh bằng a nên AC =
a

a OC
2
2
2
⇒ =
• ∆SOC vuông tại O, có
·
a
OC SCO
0
2
, 30
2
= =
⇒
·
a a
SO OC SCO
2 3 6
.tan .
2 3 6
= = =
Bài 4b:
1)
f x x x( ) sin2 2sin 5= − −
⇒
f x x x( ) 2cos2 2cos
′
= −
PT

f x x x
2
( ) 0 2cos cos 1 0
′
= ⇔ − − =

x
x
cos 1
1
cos
2

=

⇔
= −



x k
x k
2
2
2
3
π
π
π


=

⇔
= ± +


2) Cho 3 số a, b, c là 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân.
• Gọi q là công bội của cấp số nhân ta có
b aq c aq
2
,= =
•
a b b c a a q a q a q a q q
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2
( )( ) ( )( ) (1 )+ + = + + = +
(1)
•
ab bc a aq aq aq a q q
2 2 2 4 2 2 2
( ) ( . . ) (1 )+ = + = +
(2)
• Từ (1) và (2) ta suy ra
a b b c ab bc
2 2 2 2 2
( )( ) ( )+ + = +
.
Bài 5b:
1) Xét hàm số
f x m x x
2 4 3

( ) ( 1) 1= + − −
⇒
f x( )
liên tục trên R với mọi m.
•
f m f f f
2
( 1) 1, (0) 1 ( 1). (0) 0− = + = − ⇒ − <
nên PT
f x( ) 0=
có it nhất một nghiệm
c
1
( 1;0)∈ −
•
f f m f f
2
(0) 1, (2) 16 7 (0). (2) 0= − = + ⇒ <
nên PT
f x( ) 0=
có ít nhất một nghiệm
c
2
(0;2)∈
• mà
c c
1 2
≠ ⇒
phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm thực.
2)

O
D
C
A
B
S
Tính góc giữa 2 mặt phẳng (A′BC) và (ABC) và khoảng
cách từ A đến (A′BC)
•
( )
AA B AA C c g c A B A C' ' . . ' '
∆ ∆
= ⇒ =
.
Gọi K là trung điểm BC ⇒ AK ⊥ BC và A’K ⊥ BC
⇒ BC ⊥ (AA’K ) ⇒ (A’BC) ⊥(AA’K),
A BC AA K A K AH A K AH A BC( ' ) ( ' ) ' , ' ( ' )∩ = ⊥ ⇒ ⊥
⇒
d A A BC AH( ,( ))
′
=
•
a
AH
AH A A AB a a a
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 5
5
'
= + = + = ⇒ =

⇒
a
d A A BC AH
5
( ,( ' ))
5
= =
.
• AK ⊥ BC và A’K ⊥ BC ⇒
( )
·
·
A BC ABC A KA( ),( )
′ ′
=
• Trong ∆A′KA ta có
·
a
AA
A KA
AK
a
1
2
tan
3 3
2
′
′
= = =

⇒
·
A KA
0
30
′
=
.
================================
Đề số 7
ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 – Năm học 2010 - 2011
Môn TOÁN 11
Thời gian làm bài 90 phút
I. PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu 1: (1,5 điểm) Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a)
x
x x
x
2
2
5 6
lim
2
→
− +
−
b)
x
x

x
3
3
lim
1 2
→
−
+ −
c)
x
x x
x
2
2 1
lim
→−∞
+ −
K
C'
B'
A
C
B
A'
H