Bo de thi HSG-Toan 7(Hay)

Giáo viên Trần Quyết Thắng
Bài tập bồi dỡng HSG
Môn: Toán 7
1, Tìm các số
1 2 3 9
, , , ,a a a a
biết

9
1 2
9
1 2

9 8 1
a
a a


= = =
và
1 2 9
90a a a+ + + =
2, a, Chứng minh rằng nếu
a b c
b c a
= =
thì a = b =c.
b, Biết
, , ,
4
a b c

a b c
= = =
. Tính
, , ,
3 2
3 2
a b c
a b c
+
+
và
, , ,
a b c
a b c
+ +
+ +
3, Cho 4 số nguyên dơng a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c
đồng thời
1 1 1 1
2c b d

= +
ữ

. Chứng minh rằng 4 số đó lập thành một tỉ lệ thức.
4, Biết
bz cy cx az ay bx
a b c

= =

. Chứng minh rằng:
x y z
a b c
= =
.
5, Cho 4 số khác không: a
1
, a
2
, a
3
, a
4
. thoả mãn
2 2
2 1 3 3 2 4
;a a a a a a= =
.
Chứng minh rằng:
3 3 3
1 2 3
1
3 3 3
2 3 4 4
a a a
a
a a a a
+ +
=
+ +

6, a. Cho đa thức :
12000 200020002000
14151617
)(
+++= xxxxxf
x

Tính giá trị của đa thức tại x=1999
b. Cho đa thức :
cbxaxf
x
++=
2
)(
. Biết 13a + b + 2c=0
Chứng minh rằng :
0
)3()2(


ff
7, Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau :
a.
2
x
= 3
y
+ 63
b .
1

1
2

+
xy
x
thuộc
+
Â
8, a. Tìm các số nguyên dơng n sao cho 2 số :
x = 2n+2003
y = 3n+2005
đều là những số chính phơng
b. Cho a, b, c là các số thoả mãn :

b
bac
a
acb
c
cba +
=
+
=
+
Tính giá trị của biểu thức : P = (1+
a
b
)(1+
b

c
)(1+
c
a
)
9, Cho tam giác ABC có góc ABC bằng 30
0
, góc ACB bằng 20
0
. Đờng trung
trực của AC cắt BC ở E và cắt tia BA ở F
Chứng minh rằng : AF= E và AC=BE
10 , Tìm các cặp số nguyên ( x,y ) biết : 2xy + 2y + x = 66
Giáo viên Trần Quyết Thắng
11, Cho tam giác ABC( AB < AC) trên cạnh AB, AC lấy hai điểm M, N di
động sao cho BM = CN . Gọi I , K lần lợt là trung điểm của BC, MN , đờng
IK cắt các cạnh AB , AC ở E , F
a. Chứng minh tam giác AEF cân
b. Chứng minh trung điểm K của MN thuộc một đờng thẳng cố định
khi M,N di động trên AB, AC
12, a. Tìm các cặp số (x,y) biết x khác 0 và
x
yxyx
5
332
6
23
4
12 +
=

=

b. Tìm các cặp số nguyên x thoả mãn :

20061000990200105 =+++++++ xxxxx
13, a. Chứng minh rằng :
n
3
- 2005
2005
+ 2006 n - 2 chia hết cho 3 với mọi số nguyên n
b.Tìm mọi số nguyên n thoả mãn :
(n+5)
2
=64(n-2)
3
14, Biết a + 1 và 2a + 1 đồng thời là các số chính phơng.
Chứng minh rằng a
M
24
15, Biết
x

Ơ
và
x
> 2. Tìm x để có đẳng thức sau:
x(x 1).x(x 1) = (x-2)x(x 1)
16, Cho tam giác ABC vuông ở C. Từ A, B kẻ hai tia phân giác cắt AC và BC

lần lợt tại E và D. Từ D, E hạ đờng vuông góc xuống AB cắt AB ở M, N.
Tính góc MCN.
17. Cho tam giác ABC cân tại A có góc ACB bằng 100
0
. Kẻ tia phân giác
trong của góc CAB cắt CB tại D. Chứng minh rằng: AD + DC = AB