Về giả thuyết ABC và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
KHỔNG THỊ THÚY HỒNG
VỀ GIẢ THUYẾT ABC
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - NĂM 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
KHỔNG THỊ THÚY HỒNG
VỀ GIẢ THUYẾT ABC
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số 60 46 01 13
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. NÔNG QUỐC CHINH
THÁI NGUYÊN - NĂM 2015
1
Mục lục
Mở đầu 3
1 Các kiến thức chuẩn bị 4
1.1 Ideal và Radical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Phép lấy đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Định lý Mason . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Một vài ứng dụng của định lý Mason . . . . . . . . . . . . . 15
2 Giả thuyết abc và một số ứng dụng 21
2.1 Giả thuyết abc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Một số ứng dụng của giả thuyết abc . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Giả thuyết abc đồng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Một số hệ quả khác của giả thuyết abc . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1 Số lũy thừa hoàn hảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.2 Phương trình Fermat tổng quát . . . . . . . . . . . . 39
2.4.3 Giả thuyết Erd¨os - Woods . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4.4 Bài toán Warings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.5 Bài toán của P. Erd¨os . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.6 Mạnh hơn giả thuyết abc. Ước lượng tốt nhất có thể? . 43
2.4.7 Giả thuyết abc dạng tường minh . . . . . . . . . . . . 44
Kết luận 46
Tài liệu tham khảo 47
2
Mở đầu
Từ xa xưa, các nhà toán học đã biết chuyển các kết quả số học sang giải
quyết trên các đa thức và từ những bài toán và giả thuyết cho đa thức, người
ta phát biểu tương tự cho số học. Điều này hoàn toàn hợp lý, bởi tập số
nguyên và tập các đa thức có sự tương tự rất lớn. Việc giải quyết bài toán
trên đa thức thường đơn giản hơn do đa thức có phép tính đạo hàm. Vì vậy
định lý Mason cho đa thức được phát biểu tương tự cho số nguyên là giả
thuyết abc.
Giả thuyết này được phát biểu vào năm 1985 bởi J. Oesterle’ trong một
kết quả của đường cong Elliptic của bộ môn hình học đại số, ngay sau đó
D.R. Mason phát biểu dựa vào sự tương tự của số nguyên và đa thức.
Giả thuyết abc kéo theo rất nhiều hệ quả và các giả thuyết liên quan.
Mục đích của luận văn là trình bày định lý Mason và một số ứng dụng
của định lý này. Từ định lý Mason cho đa thức ta có sự tương tự số học đó
là giả thuyết abc. Từ đó nghiên cứu một số hệ quả trong số rất nhiều các hệ
quả của giả thuyết này. Bản luận văn "Về giả thuyết abc và một số ứng
dụng" được tiến hành chủ yếu dựa vào một số tài liệu tham khảo.
Bài luận văn "Về giả thuyết abc và một số ứng dụng" gồm có: mở
đầu, hai chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày định nghĩa ideal, radical, một số tính chất
của ideal, radical. Phép lấy đạo hàm trong vành và các tính chất của phép
lấy đạo hàm. Định lý Mason và một số ứng dụng của định lý này.
Chương 2 Giả thuyết abc và một số ứng dụng
Trong chương này trình bày giả thuyết abc và một số hệ quả của giả thuyết
này. Định lý tiệm cận Fermat, Định lý tiệm cận Catalan và một số hệ quả
khác.
3
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.
TS. Nông Quốc Chinh, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Em
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo
hướng dẫn tận tình của thầy.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô trong Ban Giám hiệu, Khoa Toán
- Tin, phòng đào tạo trường Đại học Khoa học. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm
ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K7B Trường Đại học Khoa học, cùng gia
đình tôi đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn
này.
Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ luận văn thạc sĩ,
nên chắc chắn rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu
sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ dạy và đóng góp của các thầy, cô và các
bạn đồng nghiệp.
Tác giả
4
Chương 1
Các kiến thức chuẩn bị
Mục đích của tôi trong chương này là trình bày một số kiến thức như
ideal, radical, phép lấy đạo hàm trong vành, định lý Mason và một vài ứng
dụng của định lý này.
Trong chương này ta quy ước một vành R là một vành giao hoán, có
phần tử đơn vị.

1.1 Ideal và Radical
Định nghĩa 1.1. Một tập con I của vành R được gọi là ideal của R nếu:
i) I là nhóm con của nhóm (R, +) .
ii) ax ∈ I, ∀a ∈ I, x ∈ R.
Ví dụ 1.1.
i) R và {0} là các ideal R.
ii) Tập các số nguyên chẵn là một ideal của vành Z.
iii) Tập các đa thức có hạng tử tự do bằng 0 là một ideal của vành R [t],
trong đó R [t] là vành các đa thức với hệ số trong vành R.
Mệnh đề 1.1. Giao của một họ các ideal của một vành R cho trước là một
ideal của R.
Chứng minh
Giả sử (A
i
)
i
∈I
là một họ các ideal của R. Đặt
A =
∩
i∈I
A
i
5
Khi đó A là nhóm con của nhóm cộng giao hoán R.
Ta có
∀x ∈ R, ∀a ∈ A ⇒ a ∈ A
i
∀i ⇒ ax ∈ A
i

∀i
⇒ ax ∈ A ⇒ A là ideal của R .
Mệnh đề được chứng minh.
Định nghĩa 1.2. Nếu A là một tập con khác rỗng của vành R thì tập
tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn có dạng a
1
r
1
+ a
2
r
2
+ + a
k
r
k
với
a
i
∈ A, r
i
∈ R, i = 1, , k là một ideal của R kí hiệu bởi A và gọi là ideal
sinh bởi A.
Một ideal sinh bởi một phần tử a ∈ R gọi là một ideal chính và kí hiệu
bởi
a = aR = {ar : r ∈ R}.
Định nghĩa 1.3. Vành chính là vành mà mọi ideal đều là ideal chính.
Ví dụ 1.2.
i) Z là vành chính.
ii) Z/mZ là vành chính.

Định nghĩa 1.4. Một ideal I của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu:
i) I = R.
ii) ∀a, b ∈ R, ab ∈ I kéo theo a ∈ I hoặc b ∈ I.
Định nghĩa 1.5. Phổ của vành R kí hiệu là Spec(R), là tập tất cả các ideal
nguyên tố của R.
Định lí 1.1. Phổ của vành các số nguyên là
Spec(Z) = {pZ : p là số nguyên tố hoặc p = 0}.
Chứng minh
Vì Z là vành chính nên mọi ideal của nó có dạng dZ với d là số nguyên
không âm.
Nếu d = 0 thì dZ = {0}, ideal {0} là ideal nguyên tố, vì ab = 0 khi và chỉ
khi a = 0 hoặc b = 0.
Giả sử d ≥ 1.
6
TH1 : d = p là một số nguyên tố và ab ∈ pZ thì p là ước của ab. Theo
bổ đề Euclid, p là ước của a hoặc p là ước của b, do đó a ∈ pZ hoặc b ∈ pZ.
Vậy pZ là iđêan nguyên tố với mọi số nguyên tố p.
TH2 : d là hợp số, ta có thể viết d = ab, trong đó 1 < a ≤ b < d.
Nếu a ∈ dZ thì a = dk = abk với k nguyên dương, suy ra 1 = bk, vô lý. Do
đó a /∈ dZ.
Tương tự b /∈ dZ.
Vì d = ab ∈ dZ, suy ra dZ không phải là một ideal nguyên tố. Do vậy,
các ideal nguyên tố của vành Z là các ideal có dạng pZ, với p là nguyên tố
hoặc p = 0.
Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.6. Một phần tử x của vành R được gọi là lũy linh nếu tồn
tại một số nguyên dương k sao cho x
k
= 0.
Ví dụ 1.3.

i) Phần tử không trong một vành bất kì là phần tử lũy linh.
Phần tử đơn vị 1 trong vành không là phần tử lũy linh.
ii) Lớp đồng dư 6 + 27Z là phần tử lũy linh của vành Z/27Z.
Định nghĩa 1.7. Ta gọi tập tất cả các phần tử lũy linh của R là radical của
vành R và kí hiệu bởi N (R).
Nhận xét N (R) là một ideal của vành R.
Thật vậy:
• ∀a, b ∈ N (R), tồn tại các số nguyên k, h sao cho a
k
= 0, b
h
= 0.
Dùng khai triển Newton có ngay mọi hạng tử trong khai triển (a −b)
k+h
đều bằng 0, suy ra (a − b)
k+h
= 0 nên (a − b) ∈ N (R) .
• ∀a ∈ N (R), ∀x ∈ R, do R là vành giao hoán ta có (ax)
k
= a
k
.x
k
= 0,
suy ra ax ∈ N (R) .
Định nghĩa 1.8. Ta gọi tích của các ước nguyên tố khác nhau của số nguyên
khác không m là radical của số m và kí hiệu là rad (m).
Ta có
rad (m) =


p
p|m
.
7
Ví dụ 1.4.
rad (72) = 2.3 = 6, rad (30) = 2.3.5 = 30, rad (−1) = 1.
rad (3
n
) = 3, rad (n!) =

2≤p≤n
p, p là số nguyên tố.
rad (a
n
) = rad a đối với mọi số nguyên a.
Định lí 1.2. Với m ≥ 2 ta có:
i) Z/mZ là vành chính và các ideal của Z/mZ là các ideal sinh bởi các lớp
đồng dư d + mZ, với d là ước của m.
ii) Các ideal nguyên tố của Z/mZ là các ideal sinh bởi các lớp đồng dư
p + mZ, trong đó p là một ước số nguyên tố của m.
iii) Radical của Z/mZ là ideal sinh ra bởi lớp đồng dư rad (m) + mZ.
Chứng minh
i) Giả sử J là một ideal bất kì của vành Z/mZ.
Xét phép chiếu chính tắc
p : Z → Z/mZ (p (x) = x + mZ) .
Ta có p là một đồng cấu vành và p
−1
(J) = I là một ideal của Z.
Rõ ràng
I = {a ∈ Z|p (a) = a + mZ ∈ J}.

Do Z là vành chính nên I là ideal chính, ta có I = dZ (d là số nguyên
dương nhỏ nhất trong I). Do p (m) = mZ ∈ J nên m ∈ I = dZ suy ra
d là ước của m.
Mặt khác, do d ∈ I nên p (d) = d + mZ ∈ J suy ra ideal chính trong
Z/mZ sinh bởi d + mZ chứa trong J.
Ngược lại, lấy bất kì a + mZ ∈ J ta có a ∈ I nên a = dr với r nguyên.
Suy ra
a + mZ = dr + mZ = (d + mZ) (r + mZ) ∈ d + mZ.
Từ đó suy ra J = d + mZ và a + mZ ∈ J khi và chỉ khi d là ước của
a.
8
ii) Gọi J là ideal chính sinh bởi d + mZ, trong đó d là ước của m, d ≥ 2.
Nếu d = p là nguyên tố và
(a + mZ) (b + mZ) = ab + mZ ∈ J
thì p là ước của ab và do đó p là ước của a hoặc của b, tức là a+mZ ∈ J
hoặc b + mZ ∈ J suy ra J là ideal nguyên tố.
Nếu d = ab là hợp số, trong đó 1 < a ≤ b < d thì a + mZ /∈ J và
b + mZ /∈ J nhưng (a + mZ) (b + mZ) = d + mZ ∈ J, nên J không
phải là ideal nguyên tố. Do đó, ideal nguyên tố của vành Z/mZ là các
ideal có dạng p + mZ, trong đó p là ước nguyên tố của m.
Do vậy
Spec (Z/mZ) =

p + mZ| với p là ước nguyên tố của m

.
iii) Lớp đồng dư a + mZ là lũy linh trong R khi và chỉ khi với k nguyên
dương
(a + mZ)
k

= a
k
+ mZ = mZ.
Điều này tương đương với a + mZ là lũy linh khi và chỉ khi m là ước
của a
k
. Suy ra rad (m) là ước của rad

a
k

= rad (a).
Từ đó ta có rad (m) là ước của a. Vì vậy a + mZ ∈ rad (m) + mZ.
Ta có
N (Z/mZ) = rad (m) + mZ.
Định lý được chứng minh.
Cho f (t) ∈ C [t] là đa thức bậc n. Nếu α
1
, , α
r
là các nghiệm phân
biệt của f (t) thì ta có thể phân tích f (t) thành tích các số hạng tuyến
tính dạng f (t) = c
n

r
i=1
(t − α
i
)

m
i
, trong đó hệ số đầu tiên c
n
= 0 và
m
1
+ + m
r
= n.
Định nghĩa 1.9. Radical của đa thức f (x) được định nghĩa bởi
rad (f) =
r

i=1
(t − α
i
) .
Tập hợp các nghiệm của đa thức f (t) là một tập hữu hạn
Z (f) = {α ∈ C : f (α) = 0} = {α
1
, , α
r
}.
9
Ta kí hiệu N
o
(f) là số các nghiệm phân biệt của f, tức là
N
o

(f) = |Z (f)| = r.
Định nghĩa 1.10. Bậc của rad (f) là số nghiệm phân biệt của f (t), tức là
deg rad (f) = N
o
(f) .
Trong đại số cao cấp, đối với vành đa thức một ẩn C
[t]
trên trường số phức
ta đã biết kết quả sau: Vành C
[t]
là vành chính.
1.2 Phép lấy đạo hàm
Định nghĩa 1.11. Phép lấy đạo hàm trong vành R là một ánh xạ
D : R → R sao cho với mọi x, y ∈ R,
D (x + y) = D (x) + D (y) , (1.1)
D (xy) = D (x) y + xD (y) . (1.2)
Điều kiện (1.1) nói rằng D là một đồng cấu của nhóm cộng trong R.
Điều kiện (1.2) ta có D (1) = D (1.1) = D (1) .1 + 1.D (1) .
Suy ra D (1) = 0.
Nếu x ∈ R, x khả nghịch ta có
D (1) = D

x.x
−1

= D (x) .x
−1
+ x.D

x

−1

=
D (x)
x
+ x.D

x
−1

.
Vì D (1) = 0 nên
D (x)
x
+ x.D

x
−1

= 0.
Suy ra
D

x
−1

= −
D (x)
x
2

.
Ngoài ra, theo quy nạp thì ∀x
1
, x
2
, , x
n
∈ R
D (x
1
x
n
) =
n

i=1
x
1
x
i−1
D (x
i
) x
i+1
x
n
.
Định lí 1.3. Cho R là một vành và R [t] là vành các đa thức với hệ số trong
R. Định nghĩa D : R [t] → R [t] bởi:
D


m

i=0
a
i
t
i

=
m

i=1
ia
i
t
i−1
.
10
thì D là một phép lấy đạo hàm trên R [t].
Chứng minh
Lấy
f = f (t) =
m

i=0
a
i
t
i

, g = g (t) =
n

j=0
b
j
t
j
.
Suy ra
D (f + g) = D (f) + D (g)
Do đó D là một đồng cấu của nhóm cộng các đa thức.
Vì
f (t) g (t) =
m

i=0
n

j=0
a
i
t
i
b
j
t
j
=
m+n


k=0

i+j=k
a
i
b
j
t
k
,
ta có
D (fg) =
m+n

k=1
k

i+j=k
a
i
b
j
t
k−1
=
m+n

k=1


i+j=k
(i + j)a
i
b
j
t
i+j−1
=
m+n

k=1

i+j=k
ia
i
t
i−1
b
j
t
j
+
m+n

k=1

i+j=k
a
i
t

i
jb
j
t
j−1
=
m

i=1
n

j=0
ia
i
t
i−1
b
j
t
j
+
m

i=0
n

j=1
a
i
t

i
jb
j
t
j−1
= D (f) g + fD (g) .
Do đó, D là một phép lấy đạo hàm trên R [t].
Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 1.12. Miền nguyên là vành giao hoán, khác 0 và không có ước
của 0.
Định nghĩa 1.13. Trường là một vành giao hoán, khác 0 và mọi phần tử
khác 0 đều khả nghịch.
Định lí 1.4. Cho R là một miền nguyên với trường các thương F , và cho
D là một phép lấy đạo hàm trên R. Tồn tại duy nhất phép lấy đạo hàm D
F
11
trên F sao cho D
F
(x) = D (x) , ∀x ∈ R.
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh ánh xạ
D
F
: F → F
Xác định như sau: ∀x ∈ F, x =
a
b
D
F
(x) = D

F

a
b

=
D (a) b − D (b) a
b
2
(1.3)
là một phép lấy đạo hàm trên F và thỏa mãn
D
F
(a) = D (a) , ∀a ∈ R.
∀x =
a
b
, y =
c
d
∈ F ta có:
• D
F
(x + y) = D
F

a
b
+
c

d

= D
F

ad + bc
bd

=
D (ad + bc) bd − (ad + bc) D (bd)
b
2
d
2
=
[D (ad) + D (bc)] bd − (ad + bc) [D (b) d + bD (d)]
b
2
d
2
=
[D (a) d + aD (d) + D (b) c + bD (c)] bd
b
2
d
2
−
ad
2
D (b) + abdD (d) + bcdD (b) + b

2
cD (d)
b
2
d
2
=
D (a) b − aD (b)
b
2
+
D (c) d − cD (d)
d
2
= D
F
(x) + D
F
(y) .
• D
F
(xy) = D
F

ac
bd

=
D (ac) bd − acD (bd)
b

2
d
2
=
[D (a) c + aD (c)] bd − ac (D (b) d + bD (d))
b
2
d
2
=
D (a) bc
b
2
d
−
aD (b) c
b
2
d
+
a
b
D (c) d
d
2
−
a
b
cD (d)
d

2
=
(D (a) b − aD (b)) c
b
2
d
+
a
b
D (c) d − cD (d)
d
2
= D
F

a
b

c
d
+
a
b
D
F

c
d

= D (x) y + xD (y) .

12
• Hiển nhiên với mọi a ∈ R ta có D
F
(a) = D (a) .
Giả sử tồn tại một phép lấy đạo hàm D
F
trên F sao cho
D
F
(a) = D (a) , ∀a ∈ R.
Gọi x ∈ F và x = 0.
Tồn tại a, b ∈ R với b = 0 và x =
a
b
.
Vì
a = bx ∈ R
nên
D (a) = D
F
(a) = D
F
(bx) = D
F
(b) x + bD
F
(x) = D (b) x + bD
F
(x),
và

D
F

a
b

= D
F
(x) =
D (a) − D (b) x
b
=
D (a) b − D (b) a
b
2
= D
F
(x) .
Do đó, phép lấy đạo hàm D
F
trên F theo công thức (1.3) là xác định duy
nhất theo phép lấy đạo hàm D trên R.
Định lý được chứng minh.
Giả sử D là một phép lấy đạo hàm trên trường F.
Với mỗi x = 0 trong F , xét ánh xạ
L : F
∗
→ F
∗
,

xác định như sau: L (x) =
D (x)
x
.
Khi đó F
∗
là tập các phần tử khả nghịch trong trường F, F
∗
= F \{0}.
Ta có
L (xy) =
D (xy)
xy
=
D (x) y + xD (y)
xy
=
D (x)
x
+
D (y)
y
= L (x) + L (y) ,
L

x
y

=
D (x)

x
+
D

y
−1

y
−1
=
D (x)
x
−
D (y)
y
= L (x) −L (y) .
Định nghĩa 1.14. Ta gọi ánh xạ L xác định như trên là phép lấy đạo hàm
lôgarit trên F .
Theo định lý cơ bản của Đại số, mọi đa thức với hệ số phức luôn có n
nghiệm phức (kể cả bội), nên C là trường đóng đại số. Giả sử f (t) ∈ C
[t]
, kí
13
hiệu N
0
(f) là tập các nghiệm phân biệt của đa thức f (t). Nếu bậc của f (t)
là n và hệ tử cao nhất khác 0 là a
n
ta có:
f (t) = a

n
N
0
(f)

i=1
(t − α
i
)
n
i
,
trong đó α
1
, , α
N
0
(f)
là các nghiệm phân biệt của f (t), n
i
là các số nguyên
dương xác định nghiệm α
i
có bội là n
i
trong f (t) và n =
N
0
(f)


i=1
n
i
.
Nhận xét
Nếu D là phép lấy đạo hàm trên C [t] thì theo Định lý (1.3)
D (f) = a
n
N
0
(f)

i=1
n
i
(t − α
i
)
n
i
−1
N
0
(f)

j=1
j=i
(t − α
j
)

n
j
và
L (f) =
D (f)
f
=
N
0
(f)

i=1
n
i
t − α
i
.
Gọi
g (t) = b
m
N
0
(g)

j=1
(t − β
j
)
mj
là một đa thức khác 0 trong C [t] và xét hàm hữu tỉ f/g ∈ C (t) .

Khi đó
L

f
g

= L (f) − L (g) =
N
o
(f)

i=1
n
i
t − α
i
−
N
o
(g)

j=1
m
j
t − β
j
. (1.4)
1.3 Định lý Mason
Định lí 1.5. Nếu a, b, c là các đa thức với hệ số phức, nguyên tố cùng nhau
từng cặp và thỏa mãn hệ thức

a + b = c
14
thì
max {deg (a) , deg (b) , deg (c)} ≤ N
o
(abc) − 1 = deg (rad (abc)) − 1,
với N
o
(abc) là số các nghiệm phân biệt của đa thức abc và rad (abc) là radical
của abc.
Vì định lý Mason đối xứng theo a, b, c nên có thể viết phương trình dưới
dạng a + b + c = 0.
Chứng minh
Giả sử D là phép lấy đạo hàm duy nhất, xác định trên trường các hàm
hữu tỉ C (t). Theo định lý 1.3, định lý 1.4, giả sử L là phép lấy đạo hàm
lôgarit, ta xây dựng hàm hữu tỉ khác không u =
a
c
và v =
b
c
trong C (t).
Khi đó
u + v = 1
và
uL (u) + vL (v) = u

D (u)
u


+ v

D (v)
v

= D (u) + D (v) = D (u + v) = D (1)
= 0.
Vì L (v) = 0, theo nhận xét ở trên ta có
b
a
=
v
u
= −
L (u)
L (v)
. (1.5)
Đặt
a = a (t) = a
n
N
0
(a)

i=1
(t − α
i
)
n
i

,
b = b (t) = b
m
N
0
(b)

i=1
(t − β
i
)
m
i
,
c = c (t) = c
m
N
0
(c)

i=1
(t − γ
i
)
r
i
.
Áp dụng (1.4), ta thu được
L (u) = L


a
c

=
N
0
(a)

i=1
n
i
t − α
i
−
N
0
(c)

j=1
r
k
t − γ
k
,
15
L (v) = L

b
c


=
N
0
(b)

j=1
m
j
t − β
j
−
N
0
(c)

j=1
r
k
t − γ
k
.
Vì các đa thức a, b, c là nguyên tố cùng nhau, radical của tích abc là:
q = rad (abc) =
N
0
(a)

i=1
(t − α
i

)
N
0
(b)

i=1
(t − β
i
)
N
0
(c)

i=1
(t − γ
i
) ,
và
deg (q) = deg (rad (abc)) = N
0
(a) + N
0
(b) + N
0
(c) .
Ngoài ra, qL (u) và qL (v) là các đa thức có bậc cao nhất là deg (q) −1. Theo
(1.5) ta có
b
a
= −

L (u)
L (v)
= −
qL (u)
qL (v)
do đó
a (qL (u)) = −b (qL (v)) .
Vì các đa thức a, b nguyên tố cùng nhau nên qL (v) chia hết cho a.
Do đó
deg (a) ≤ deg (qL (v)) ≤ deg (q) − 1 = deg (rad (abc)) −1.
Tương tự
deg (b) ≤ deg (qL (u)) ≤ deg (q) − 1 = deg (rad (abc)) −1
và
deg (c) ≤ deg (rad (abc)) − 1.
Định lý được chứng minh.
1.4 Một vài ứng dụng của định lý Mason
Định lý Mason cho ta một cách chứng minh đơn giản của định lý
Fermat đối với đa thức có hệ số phức.
Định lí 1.6. Với mọi n ≥ 3, không tồn tại các đa thức khác không với hệ số
phức a, b, c nguyên tố cùng nhau, không đồng thời là hằng số và thỏa mãn
16
phương trình a
n
+ b
n
= c
n
.
Chứng minh
Cho n ≥ 3, giả sử tồn tại các đa thức khác không với hệ số phức x, y,

z thỏa mãn không đồng thời là hằng số, đôi một là nguyên tố cùng nhau và
x
n
+ y
n
= z
n
.
Theo định lý Mason với a = x
n
, b = y
n
, c = z
n
,
ta có
rad (abc) = rad (x
n
y
n
z
n
) = rad (xyz) .
Vì deg (x
n
) = n deg (x) nên ta có
n deg (x) ≤ n max {deg (x) , deg (y) , deg (z)}
= max {deg (x
n
) , deg (y

n
) , deg (z
n
)}
= max {deg (a) , deg (b) , deg (c)}
≤ deg (rad (abc)) − 1 = deg (rad (xyz)) − 1
≤ deg (x) + deg (y) + deg (z) −1.
Một cách tương tự ta có kết quả như vậy đối với n deg (y) , n deg (z) .
Do đó:
n (deg (x) + deg (y) + deg (z)) ≤ 3 (deg (x) + deg (y) + deg (z)) − 3
≤ n (deg (x) + deg (y) + deg (z)) −3
Vô lý.
Định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.1. Không tồn tại đa thức khác hằng a, b, c nguyên tố cùng nhau
từng đôi một thỏa mãn
a
2014
+ b
2015
= c
2016
.
Chứng minh
Giả sử tồn tại các đa thức khác hằng a, b, c nguyên tố cùng nhau từng
đôi một, thỏa mãn hệ quả trên.
17
Áp dụng định lý Mason ta có:
max

deg a

2014
, deg b
2015
, deg c
2016

≤ N
o

a
2014
.b
2015
.c
2016

− 1
⇔max {2014 deg a, 2015 deg b, 2016 deg c} ≤ N
o
(a.b.c) − 1
⇔max {2014 deg a, 2015 deg b, 2016 deg c} ≤ deg a + deg b + deg c − 1
Từ đây suy ra:
2014 deg a ≤ deg a + deg b + deg c − 1,
2015 deg b ≤ deg a + deg b + deg c − 1,
2016 deg c ≤ deg a + deg b + deg c − 1.
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên và rút gọn ta được kết quả sau
2011 deg a + 2012 deg b + 2013 deg c ≤ −3
điều này hoàn toàn vô lý.
Điều phải chứng minh.
Định lí 1.7. Không tồn tại các đa thức a, b, c thỏa mãn

a
m
+ b
n
= c
k
với
1
m
+
1
n
+
1
k
≤ 1; m, n, k ∈ Z
∗
+
.
Chứng minh
Giả sử tồn tại các đa thức a, b, c thỏa mãn
a
m
+ b
n
= c
k
với
1
m

+
1
n
+
1
k
≤ 1; m, n, k ∈ Z
∗
+
.
Áp dụng định lý Mason ta có:
max

deg a
m
, deg b
n
, deg c
k

≤ N
o

a
m
.b
n
.c
k


− 1
⇔max {m deg a, n deg b, k deg c} ≤ N
o
(a.b.c) − 1
⇔max {m deg a, n deg b, k deg c} ≤ deg a + deg b + deg c −1.
18
Từ đây ta suy ra:
m deg a ≤ deg a + deg b + deg c − 1
⇒
1
m
≥
deg a
deg a + deg b + deg c − 1
.
Hoàn toàn tương tự ta cũng rút ra được:
1
n
≥
deg b
deg a + deg b + deg c − 1
,
1
k
≥
degc
deg a + deg b + deg c − 1
.
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta thu được kết quả sau
1

m
+
1
n
+
1
k
≥
deg a + deg b + degc
deg a + deg b + deg c − 1
> 1.
Kết quả này mâu thuẫn với giả thiết.
Định lý được chứng minh.
Định lý Mason cho ta một cách chứng minh định lý Davenport.
Định lí 1.8. Giả sử a, b là hai đa thức khác hằng, nguyên tố cùng nhau và
a
3
= b
2
. Khi đó ta có:
deg

a
3
− b
2

≥
1
2

deg (a) + 1,
deg

a
3
− b
2

≥
1
3
deg (b) + 1.
Chứng minh
Ta đặt
c = a
3
− b
2
.
Áp dụng định lý Mason ta có
max

deg a
3
, deg b
2
, deg c

≤ N
o


a
3
b
2
c

− 1
⇒ deg a
3
≤ N
o

a
3
b
2
c

− 1
⇒ 3 deg a ≤ deg a + deg b + deg c −1. (1.6)
19
Tương tự ta có
deg b
2
≤ N
o

a
2

.b
3
.c

− 1
⇒ 2 deg b ≤ deg a + deg b + deg c −1. (1.7)
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (1.6) và (1.7) ta được
3 deg a + 2 deg b ≤ 2 (deg a + deg b + deg c −1)
⇔deg c ≥
1
2
deg a + 1
⇔deg

a
3
− b
2

≥
1
2
deg a + 1.
Vậy ta có
deg

a
3
− b
2


≥
1
2
deg a + 1.
Ta nhân hai vế của bất đẳng thức (1.7) với số 2 ta có
4 deg b ≤ 2 deg a + 2 deg b + 2 deg c − 2. (1.8)
Cộng vế theo vế (1.6) và (1.8) ta thu được kết quả sau
deg c ≥
1
3
deg b + 1,
do đó ta có
deg

a
3
− b
2

≥
1
3
deg b + 1.
Định lý được chứng minh.
Có thể nói thêm rằng bất đẳng thức trong định lý Davenport là tốt
nhất có thể đối với các đa thức:
a = t
6
+ 4t

4
+ 10t
2
+ 6,
b = t
9
+ 6t
7
+ 21t
5
+ 35t
3
+
63
2
t.
Vì
a
3
− b
2
= 27t
4
+
351
4
t
2
+ 216,
nên

deg

a
3
− b
2

=
1
2
deg a + 1 = 4.
Ví dụ này cho thấy cận dưới trong định lý Davenport là tốt nhất có thể.
20
Định lí 1.9. Cho m, n là các số nguyên dương lớn hơn 1. Giả sử a (t) , b (t)
là các đa thức phức, khác hằng số, nguyên tố cùng nhau sao cho a
m
= b
n
.
Khi đó ta có:
i) deg (a
m
− b
n
) ≥
m.n − n − m
n
deg (a) + 1.
ii) deg (a
m

− b
n
) ≥
m.n − m − n
m
deg (b) + 1.
Nhận xét 1.1. Sử dụng mục (i) của định lý 1.9 với m = 3, n = 2 ta có
deg

a
3
− b
2

≥
1
2
deg (a) + 1.
Đây chính là định lý Davenport.
Sử dụng mục (ii) của định lý 1.9 với m = 3, n = 4 ta có mệnh đề
deg

a
3
− b
4

≥
5
3

deg b + 1.
21
Chương 2
Giả thuyết abc và một số ứng dụng
Định lý Mason cho đa thức được phát biểu tương tự cho số nguyên đó
là giả thuyết abc.
2.1 Giả thuyết abc
Giả thuyết 2.1. Với mọi ε > 0, tồn tại hằng số K (ε) sao cho nếu a, b, c là
các số nguyên khác 0, nguyên tố cùng nhau và
a + b = c
thì max (|a|, |b|, |c|) ≤ K (ε) rad(abc)
1+ε
.
Vì bất đẳng thức này đối xứng theo a, b, c nên phương trình có thể được viết
dưới dạng a + b + c = 0.
Việc chứng minh hay bác bỏ giả thuyết này là một bài toán mở chưa có lời
giải trong lý thuyết số. Từ giả thuyết abc ta có thể suy ra nhiều định lý và
các mệnh đề chưa chứng minh được trong lý thuyết số.
2.2 Một số ứng dụng của giả thuyết abc
Định lí 2.1. (Định lý tiệm cận Fermat) Giả thuyết abc suy ra rằng tồn tại
số nguyên n
o
để phương trình Fermat
x
n
+ y
n
= z
n
không có nghiệm x, y và z nguyên tố cùng nhau với mọi hệ số mũ n ≥ n

o
.
Chứng minh
22
Giả sử x, y, z là các số nguyên dương, nguyên tố cùng nhau thỏa mãn
x
n
+ y
n
= z
n
.
Ta đã biết
rad (x
n
y
n
z
n
) = rad (xyz) ≤ xyz ≤ z
3
.
Nếu n ≥ 2 thì z ≥ 3. Áp dụng giả thuyết abc với ε = 1 và
K
1
= max (1, K (1)) ,
ta nhận được
z
n
= max (x

n
, y
n
, z
n
) ≤ K
1
rad(x
n
y
n
z
n
)
2
< K
1
z
6
và do đó
n < 6 +
log K
1
log z
≤ 6 +
log K
1
log 3
.
Định lý được chứng minh.

Giả thuyết Catalan khẳng định rằng các số 8 và 9 là các lũy thừa liên
tiếp duy nhất của 2 số nguyên. Vì vậy có thể nói rằng với các số nguyên
x, y, m, n lớn hơn 1 thì nghiệm duy nhất của phương trình Catalan
x
m
− y
n
= 1
là 3
2
− 2
3
= 1.
Ta biết rằng phương trình Diophantine x
m
− y
2
= 1 không có lời giải
trong tập các số nguyên dương và lời giải duy nhất của phương trình x
2
−y
n
=
1 trong tập các số nguyên dương là x = n = 3 và y = 2. Do đó, chỉ cần xét
phương trình Catalan với min (m, n) ≥ 3 là đủ.
Định lí 2.2. (Định lý tiệm cận Catalan) Giả thuyết abc kéo theo phương
trình Catalan chỉ có hữu hạn nghiệm.
Chứng minh
Giả sử (x, y, m, n) là lời giải của phương trình Catalan với min (m, n) ≥
3. Khi đó x và y là các số nguyên tố cùng nhau. Từ giả thuyết abc với ε =

1
4
,
suy ra tồn tại một hằng số K
2
= K

1
4

sao cho
y
n
< x
m
≤ K
2
rad(x
m
y
n
)
5
4
= K
2
rad(xy)
5
4
≤ K

2
(xy)
5
4
,
23
do đó
m log x ≤ log K
2
+
5
4
(log x + log y)
và
n log y ≤ log K
2
+
5
4
(log x + log y) .
Từ đó suy ra
m log x + n log y < 2 log K
2
+
5
2
(log x + log y) ,
và

m −

5
2

log x +

n −
5
2

log y < 2 log K
2
. (2.1)
Vì x ≥ 2 và y ≥ 2, ta có
m + n <
2 log K
2
log 2
+ 5.
Do đó, chỉ có hữu hạn cặp số mũ (m, n) để phương trình Catalan giải được.
Với số mũ cố định m ≥ 3 và n ≥ 3 phương trình (2.1) chỉ có hữu hạn lời giải
trong tập các số nguyên dương.
Định lý được chứng minh.
Định nghĩa 2.1. Một số nguyên tố lẻ p thỏa mãn
2
p−1
≡ 1

mod p
2


được gọi là số nguyên tố Wieferich.
Ví dụ 2.1.
3 là các số nguyên tố Wieferich vì 2
2
≡ 1 ( mod 9) ,
5 là các số nguyên tố Wieferich vì 2
4
≡ 1 ( mod 25) ,
7 là các số nguyên tố Wieferich vì 2
6
≡ 1 ( mod 49) .
Câu hỏi đặt ra là tập các số nguyên tố Wieferich có vô hạn hay không?
Hay tập các số nguyên tố không là Wieferich có vô hạn hay không?
Kí hiệu W là tập các số nguyên tố Wieferich, ta sẽ chỉ ra rằng từ giả
thuyết abc kéo theo tập W là vô hạn.