ĐỀ THI HSG TOÁN 6 HUYỆN TUY PHƯỚC

PHÒNG GD – ĐT TUY PHƯỚC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2010 – 2011
MÔN : TOÁN
Thời gian làm bài : 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)

Bài 1: ( 5 điểm)
1. Thực hiện tính A bằng cách nhanh( hợp lý) nhất:
A =
100520102010
100520112010
+
−
x
x
2. Thực hiện phép tính:
B =






−







−






−
99
2
1
5
2
1
3
2
133
Bài 2: (5 điểm)
Cho M = 2 + 2
2
+ 2
3
+ … + 2
20

a. Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5.
b. Tìm chữ số tận cùng của M.
Bài 3: ( 5 điểm )
1. Tìm tất cả các số nguyên n sao cho :
n + 5


n – 2
2. Tìm các số tự nhiên x, y sao cho :
(2x + 1)(y – 3) = 10
Bài 4: ( 5 điểm)
1. Cho đoạn thẳng AB = a , điểm C nằm giữa A và B, điểm M là trung điểm
của AC , điểm N là trung điểm của CB. Hãy chứng tỏ rằng MN =
2
a
.
2. Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D vuông. Đường chéo AC cắt
đường cao BH tại I. So sánh diện tích tam giác IDC và diện tích tam giác
BHC.

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: ( 5 điểm)
1) Thực hiện tính A bằng cách nhanh (hợp lý) nhất:
A =
100520102010
100520112010
+
−
x
x
=
100520102010
1005201020102010
100520102010
1005)12010(2010
+

−+
=
+
−+
x
x
x
x
=
1
100520102010
100520102010
=
+
+
x
x
2) Thực hiện phép tính:
B =






−







−






−
99
2
1
5
2
1
3
2
133
= 33.
3
1
.
99
97

7
5
.
5

3
= 33.
99
1
=
3
1
Bài 2: (5 điểm)
Cho M = 2 + 2
2
+ 2
3
+ … + 2
20

a) Chứng tỏ rằng M chia hết cho 5 :
M = 2 + 2
2
+ 2
3
+ … + 2
20

= (2 + 2
2
+ 2
3
+ 2
4
) + (2

5
+ 2
6
+ 2
7
+ 2
8
) + … + (2
17
+ 2
18
+ 2
19
+ 2
20
)
= 2.(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
) + 2
5
.(1 + 2 + 2
2
+ 2
3
) + … +2
17
.(1 + 2 + 2
2

+2
3
)
= 2. 15 + 2
5
.15

+ …+ 2
17
.15
= 15. 2(1 + 2
4
+ …+ 2
16
)
= 3 . 5 .2 .(1 + 2
4
+ …+ 2
16
)

5
b) Tìm chữ số tận cùng của M:
Dễ thấy M

2 ; M

5 mà ƯCLN( 2; 5) = 1 nên M

10.

Do đó M tận cùng bằng chữ số 0.
Bài 3: ( 5 điểm )
1) Ta có : n + 5 = (n – 2) + 7

n – 2
⇒
7

n – 2
⇒
n – 2
∈
Ư(7) =
{ }
7;1 ±±
n – 2 1 -1 7 -7
n 3 1 9 -5
Vậy : n
∈

{ }
5;9;1;3 −
2) Ta có x , y
∈
N nên (2x + 1) và (y - 3) là các ước của 10. Hơn nữa 2x + 1 > 0
và là số lẻ nên 10 = 1 . 10 = 5 . 2
Do đó :




=−
=+
103
112
y
x
hoặc



=−
=+
23
512
y
x

Suy ra :



=
=
13
0
y
x
hoặc




=
=
5
2
y
x
Bài 4: ( 5 điểm)
1) M là trung điểm của AC nên : AM = MC =
2
1
.AC
N là trung điểm của CB nên : CN = NB =
2
1
.CB
Suy ra : MC + CN =
2
1
( AC + CB )
C nằm giữa A và B nên C nằm giữa M và N .
C nằm giữa M và N
⇒
MC + CN = MN
C nằm giữa A và B
⇒
AC + CB = AB = a
Do đó : MN =
2
a

.
2) Nối BD. Ta có : S
BDC
= S
ADC
( cùng đáy DC và chiều cao BH bằng AD)
S
BDH
= S
DBA
(=
2
1
S
ABHD
)
;
S
DBA
= S
IAD
( cùng đáy AD và chiều cao bằng nhau)
Do đó :
S
BHC
= S
BDC
– S
BDH
= S

BDC
-

S
DBA
= S
ADC
– S
IAD
= S
IDC
Vậy : S
BHC
= S
IDC
.