Các bài toán về bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

Mục lục
Mở đầu 2
Một số kí hiệu 4
1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 5
1.1 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Bất đẳng thức AM – GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Bất đẳng thức BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Các kiến thức cơ bản về lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Hệ thức lượng trong tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác. . . . . . . . 8
1.2.3 Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác. . . . . 9
2 BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC THƯỜNG 10
2.1 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhọn. . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác bất kì . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Bài tập đề nghị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC TAM GIÁC
KHÁC 40
3.1 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác vuông . . . . . . . . . . . . 45
3.2 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác a + c ≥ 2b . . . . . . . . . . 52
3.3 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác b + c ≥ 3a . . . . . . . . . . 58
3.4 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác loại một và loại hai . . . . 64
3.5 Bài tập đề nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Phụ lục 73
Kết luận 80
Tài liệu tham khảo 81
1
Mở đầu
Lượng giác là một phân môn quan trọng trong chương trình Toán học ở các
trường Trung học phổ thông. Trong các đề thi vào các trường Cao đẳng và Đại

học thường có một câu riêng về lượng giác mà chủ yếu là về "Phương trình lượng
giác". Đây có lẽ là phần khá quen thuộc với những người học toán và những độc
giả yêu thích môn toán.
Bên cạnh đó, lượng giác còn rất nhiều vấn đề hay và lý thú khác, "bất đẳng
thức lượng giác trong tam giác" là một vấn đề như thế. Ta có thể tìm thấy rất
nhiều tài liệu tham khảo về các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác thường
và tam giác nhọn nhưng lại có quá ít tài liệu về bất đẳng thức lượng giác trong
các tam giác đặc biệt. Vì vậy, tác giả chọn đề tài "Các bài toán về bất đẳng
thức lượng giác trong tam giác".
Luận văn gồm ba chương
Chương 1. Các kiến thức cơ bản. Trong chương này, tác giả nhắc lại một số bất
đẳng thức kinh điển như: bất đẳng thức AM - GM, bất đẳng thức BCS, bất đẳng
thức Jensen và bất đẳng thức Chebyshev. Ngoài ra, tác giả hệ thống lại các kiến
thức cơ bản về lượng giác.
Chương 2. Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác thường. Chương này đưa ra
các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác thường. Nội dung chính của chương
là bất đẳng thức lượng giác tam giác nhọn, cần nhấn mạnh rằng các bất đẳng thức
này sẽ không còn đúng nữa nếu tam giác đã cho không có đặc thù là "nhọn".
Chương 3. Bất đẳng thức lượng giác trong các tam giác khác. Đây là nội dung
chính của Luận văn. Chương này đưa ra các bất đẳng thức lượng giác trong tam
giác vuông, tam giác có a + c ≥ 2b; tam giác có a + c ≥ 3b; tam giác loại một và tam
giác loại hai. Cấu trúc chung của chương 2 cũng như chương 3 gồm hai phần: bài
toán có lời giải và bài tập đề nghị. Đặc biệt trong chương này tác giả trình bày bài
toán phụ trợ gồm 76 hệ thức lượng giác trong tam giác được biểu diễn qua các đại
lượng p, R, r, đây là cách nhìn khác về lượng giác. Các bất đẳng thức đưa ra trong
chương 3 hầu hết đều sử dụng trực tiếp bài toán phụ trợ và biến đổi tương đương
để chứng minh.
Trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tác giả đã nhận được
2
sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu từ các thầy cô, các anh chị và các bạn. Với lòng

kính trọng và biết ơn sâu sắc, tác giả xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành tới
Ban Giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường
Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
PGS.TS Phan Huy Khải, người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạy bảo,
động viên và hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn các thầy trong hội đồng chấm luận văn đã cho tác giả
những đóng góp quý báu để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, 2013
3
MỘT SỐ KÍ HIỆU
ABC Tam giác ABC.
A, B, C Các đỉnh tam giác hay số đo các góc trong tam giác ABC.
a, b, c Độ dài các cạnh đối diện các góc A,B,C.
h
a
, h
b
, h
c
Độ dài các đường cao xuất phát từ A,B,C.
l
a
, l
b
, l
c
Độ dài các đường phân giác trong xuất phát từ A,B,C.
m
a

, m
b
, m
c
Độ dài các đường trung tuyến xuất phát từ A,B,C.
p Nửa chu vi tam giác ABC.
R Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
r Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
r
a
, r
b
, r
c
Độ dài bán kính đường tròn bàng tiếp trong các góc A,B,C.
S Diện tích tam giác ABC.
đ.p.c.m. Điều phải chứng minh.
4
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1 Các bất đẳng thức cơ bản
1.1.1 Bất đẳng thức AM – GM
Giả sử a
1
, a
2
, , a
n
là các số không âm. Khi đó
a

1
+ a
2
+ + a
n
n
≥
n
√
a
1
a
2
a
n
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= = a
n
.
1.1.2 Bất đẳng thức BCS
Với hai bộ số (a
1
; a
2
; . . . ; a
n

) và (b
1
; b
2
; . . . ; b
n
) ta luôn có
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
)
2
≤

a
1
2
+ a
2
2
+ + a

n
2

b
1
2
+ b
2
2
+ + b
n
2

.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
1
b
1
=
a
1
b
1
= =
a
1
b
1
.

1.1.3 Bất đẳng thức Jensen
Hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và n điểm x
1
, x
2
, , x
n
tùy ý trên đoạn
[a, b]. Khi đó
i. Nếu f

(x) > 0 trong khoảng (a, b) thì
f (x
1
) + f (x
2
) + + f (x
n
) ≥ n.f

x
1
+ x
2
+ + x
n
n

.
ii. Nếu f


(x) < 0 trong khoảng (a, b) thì
f (x
1
) + f (x
2
) + + f (x
n
) ≤ n.f

x
1
+ x
2
+ + x
n
n

.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x
1
= x
2
= = x
n
.
5
1.1.4 Bất đẳng thức Chebyshev
Với hai dãy số thực đơn điệu cùng chiều a
1

; a
2
; . . . ; a
n
và b
1
; b
2
; . . . ; b
n
thì ta có
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ + a
n
b
n
) ≥
1
n
(a
1
+ a
2

+ . . . + a
n
) (b
1
+ b
2
+ . . . + b
n
) .
Nếu hai dãy a
1
; a
2
; . . . ; a
n
và b
1
; b
2
; . . . ; b
n
đơn điệu ngược chiều thì bất đẳng thức
đổi chiều.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= . . . = a
n
hoặc b

1
= b
2
= . . . = b
n
.
1.2 Các kiến thức cơ bản về lượng giác
1.2.1 Hệ thức lượng trong tam giác
Định lí hàm số sin.
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C
= 2R.
Định lí hàm số cosin.
a
2
= b
2
+ c
2
− 2bc. cos A.
b
2
= c
2

+ a
2
− 2ac. cos B.
c
2
= a
2
+ b
2
− 2ab. cos C.
Định lí hàm số tan.
a −b
a + b
=
tan
A −B
2
tan
A + B
2
.
b −c
b + c
=
tan
B −C
2
tan
B + C
2

.
c −a
c + a
=
tan
C − A
2
tan
C + A
2
.
Công thức tính diện tích tam giác.
S =
1
2
a.h
a
=
1
2
b.h
b
=
1
2
c.h
c
=
1
2

ab. sin C =
1
2
bc. sin A =
1
2
ca. sin B
=
abc
4R
= pr
= (p −a) r
a
= (p −b) r
b
= (p −c) r
c
=

p (p −a) (p −b) (p − c).
6
Công thức tính các bán kính.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp.
R =
a
2 sin A
=
b
2 sin B
=

c
2 sin C
=
abc
4S
.
Bán kính đường tròn nội tiếp.
r = (p −a) . tan
A
2
= (p −b) . tan
B
2
= (p −c) . tan
C
2
=
S
p
= 4R sin
A
2
. sin
B
2
. sin
C
2
.
Bán kính đường tròn bàng tiếp.

r
a
= p. tan
A
2
=
S
p −a
.
r
b
= p. tan
B
2
=
S
p −b
.
r
c
= p. tan
C
2
=
S
p −c
.
Công thức trung tuyến.
m
a

2
=
b
2
+ c
2
2
−
a
2
4
.
m
b
2
=
a
2
+ c
2
2
−
b
2
4
.
m
c
2
=

a
2
+ b
2
2
−
c
2
4
.
Công thức phân giác trong.
l
a
=
2bc
b + c
. cos
A
2
.
l
b
=
2ac
a + c
. cos
B
2
.
l

c
=
2ab
a + b
. cos
C
2
.
Công thức hình chiếu.
a = b. cos C + c. cos B = r

cot
B
2
+ cot
C
2

.
b = a. cos C + c. cos A = r

cot
A
2
+ cot
C
2

.
7

c = a. cos B + b. cos A = r

cot
A
2
+ cot
B
2

.
Một số công thức khác.
Về cạnh và góc.
0 < a ≤ b ≤ c ⇔ 0 < A ≤ B ≤ C
⇒

0 < sin A ≤ sin B ≤ sin C ≤ 1
1 > cos A ≥ cos B ≥ cos C ≥ 0
.
Về cạnh.
|a −b| < c < a + b.
|b −c| < a < b + c.
|c −a| < b < c + a.
Về góc.
sin A = sin (B + C) . sin
A
2
= cos
B + C
2
.

cos A = −cos (B + C) . cos
A
2
= sin
B + C
2
.
tan A = −tan (B + C) . tan
A
2
= cot
B + C
2
.
cot A = −cot (B + C) . cot
A
2
= tan
B + C
2
.
1.2.2 Các đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác.
1. sin A + sin B + sin C = 4 cos
A
2
cos
B
2
cos
C

2
=
p
R
.
2. sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C.
3. sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 2 (1 + cos A cos B cos C).
4. cos A + cos B + cos C = 1 + 4 sin
A
2
sin
B
2
sin
C
2
= 1 +
r
R
.
5. cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C.
6. cos
2
A + cos

2
B + cos
2
C = 1 −2 cos A cos B cos C.
7. tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C (đối với tam giác không vuông).
8
8. tan
A
2
. tan
B
2
+ tan
B
2
. tan
C
2
+ tan
C
2
tan
A
2
= 1.
9. cot A. cot B + cot B. cot C + cot C. cot A = 1.
10. cot
A
2
+ cot

B
2
+ cot
C
2
= cot
A
2
. cot
B
2
. cot
C
2
.
1.2.3 Các bất đẳng thức lượng giác cơ bản trong tam giác.
1. cos A + cos B + cos C ≤
3
2
. 13. cos
A
2
+ cos
B
2
+ cos
C
2
≤
3

√
3
2
.
2. sin A + sin B + sin C ≤
3
√
3
2
. 14. sin
A
2
+ sin
B
2
+ sin
C
2
≤
3
2
.
3. tan A + tan B + tan C ≥ 3
√
3. 15. tan
A
2
+ tan
B
2

+ tan
C
2
≥
√
3.
4. cot A + cot B + cot C ≥
√
3. 16. cot
A
2
+ cot
B
2
+ cot
C
2
≥ 3
√
3.
5. cos A. cos B. cos C ≤
1
8
. 17. cos
A
2
. cos
B
2
. cos

C
2
≤
3
√
3
8
.
6. sin A. sin B. sin C ≤
3
√
3
8
. 18. sin
A
2
. sin
B
2
. sin
C
2
≤
1
8
.
7. tan A. tan B. tan C ≥ 3
√
3. 19. tan
A

2
. tan
B
2
. tan
C
2
≤
1
3
√
3
.
8. cot A. cot B. cot C ≤
1
3
√
3
. 20. cot
A
2
. cot
B
2
. cot
C
2
≥ 3
√
3.

9. cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C ≥
3
4
. 21. cos
2
A
2
+ cos
2
B
2
+ cos
2
C
2
≤
9
4
.
10. sin
2
A + sin
2
B + sin

2
C ≤
9
4
. 22. sin
2
A
2
+ sin
2
B
2
+ sin
2
C
2
≥
3
4
.
11. tan
2
A + tan
2
B + tan
2
C ≥ 9. 23. tan
2
A
2

+ tan
2
B
2
+ tan
2
C
2
≥ 1.
12. cot
2
A + cot
2
B + cot
2
C ≥ 1. 24. cot
2
A
2
+ cot
2
B
2
+ cot
2
C
2
≥ 9.
Chú ý. Các bất đẳng thức 3, 7, 11 chỉ đúng trong tam giác nhọn.
9

Chương 2
BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
TRONG TAM GIÁC THƯỜNG
2.1 Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác nhọn.
Trong phần này chúng ta sẽ xét các bất đẳng thức lượng giác trong tam giác
nhọn. Chú ý rằng, các bất đẳng thức này sẽ không còn đúng nữa nếu tam giác đã
cho không có đặc thù là "nhọn".
Bài toán 2.1. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có
1.
√
tan A +
√
tan B +
√
tan C ≥

cot
A
2
+

cot
B
2
+

cot
C
2
.

2. (cos A + cos B + cos C)
2
≤ sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C.
3. sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C.
Giải.
1. Trước hết ta chứng minh rằng
tan A. tan B ≥ cot
2
C
2
. (1)
Thật vậy
tan A. tan B ≥ cot
2
C
2
⇔
sin A. sin B
cos A. cos B
≥
1 + cos C
1 −cos C
⇔ sin A sin B − sin A sin B cos C ≥ cos A cos B + cos A cos B cos C
⇔ sin A sin B − cos A cos B ≥ cos C (cos A cos B + sin A sin B)

⇔ cos C ≥ cos C cos (A −B)
⇔ cos (A − B) ≤ 1. (2)
10
(Do ABC nhọn nên 0 < cos A; 0 < cos B; 0 < cos C < 1).
Vì (2) đúng nên (1) đúng và dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi A = B.
Do ABC nhọn nên tan A > 0; tan B > 0.
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có
tan A + tan B ≥ 2
√
tan A tan B. (3)
Từ (1) và (3) có
tan A + tan B ≥ 2 cot
C
2
. (4)
Mặt khác, từ (1) có
2
√
tan A tan B ≥ 2 cot
C
2
. (5)
Cộng (4) và (5) theo từng vế ta được

√
tan A +
√
tan B

2

≥ 4 cot
C
2
.
Hay
√
tan A +
√
tan B ≥ 2

cot
C
2
. (6)
Dấu bằng trong (6) xảy ra khi và chỉ khi A = B.
Lý luận tương tự
√
tan B +
√
tan C ≥ 2

cot
A
2
. (7)
Dấu bằng trong (7) xảy ra khi và chỉ khi B = C.
√
tan C +
√
tan A ≥ 2


cot
B
2
. (8)
Dấu bằng trong (8) xảy ra khi và chỉ khi C = A.
Cộng (6); (7) và (8) theo từng vế suy ra
√
tan A +
√
tan B +
√
tan C ≥

cot
A
2
+

cot
B
2
+

cot
C
2
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều.
2. Do ABC nhọn nên theo bất đẳng thức AM - GM ta có

2 cos A. cos B =
√
sin 2A. cot A. sin 2B. cot B ≤
1
2
(sin 2A. cot B + sin 2B. cot A) . (1)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi A = B.
Lý luận tương tự ta có
2 cos B. cos C =
√
sin 2B. cot B. sin 2C. cot C ≤
1
2
(sin 2B. cot C + sin 2C. cot B) . (2)
11
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi B = C.
2 cos C. cos A =
√
sin 2C. cot C. sin 2A. cot A ≤
1
2
(sin 2C. cot A + sin 2A. cot C) . (3)
Dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi C = A.
Từ (1); (2); (3) suy ra
2 (cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A) ≤
≤
1
2
[cot A (sin 2B + sin 2C) + cot B (sin 2C + sin 2A) + cot C (sin 2A + sin 2B)] . (4)
Dễ thấy

cot A (sin 2B + sin 2C) = −2 cos (C + B) cos (C − B) = −(cos 2C + cos 2B) .
Do đó
V P (4) = −(cos 2A + cos 2B + cos 2C)
= 3 −2

cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C

.
Vậy
(4) ⇔ cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C + 2 (cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A) ≤
≤ sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C
⇔ (cos A + cos B + cos C)

2
≤ sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều.
3. Ta có
cos A + cos B + cos C =
1
2
(cos A + cos A + cos B + cos B + cos C + cos C)
= sin
C
2
cos
A −B
2
+ sin
A
2
cos
B −C
2
+ sin
B
2
cos

C − A
2
. (1)
Ta thấy cos
A −B
2
≤ 1, và do C nhọn nên 0 < C <
π
3
⇒ 2 cos
C
2
> 1
⇒ cos
A −B
2
< 2 cos
C
2
⇒ sin
C
2
cos
A −B
2
< sin C. (2)
Tương tự có
sin
A
2

cos
B −C
2
< sin A. (3)
sin
B
2
cos
C − A
2
< sin B. (4)
12
Cộng (2); (3); (4) theo từng vế và từ (1) suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét. Giả thiết tam giác nhọn ở đây là thực sự cần thiết.
1. Với bất đẳng thức thứ nhất, nếu ABC không phải là tam giác nhọn thì
một trong ba đại lượng
√
tan A,
√
tan B,
√
tan C là không có nghĩa.
2. Với bất đẳng thức thứ hai, nếu ABC không phải là tam giác nhọn thì kết
luận của bất đẳng thức chưa chắc đúng
Thật vậy, giả sử xét ABC có A =
2π
3
; B = C =
π
6

. Khi đó
(cos A + cos B + cos C)
2
= 3
1
4
−
√
3.
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 1
1
4
.
⇒(cos A + cos B + cos C)
2
> sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C.
3. Với bất đẳng thức thứ ba
- Nếu ABC là tam giác vuông thì kết luận của bài toán vẫn đúng.

- Nếu ABC có A = π −α; B = C =
α
2
và tan α =
1
3
thì
cos A + cos B + cos C = −cos α + 2 cos
α
2
> cos α (do cos
α
2
> cos α).
sin A + sin B + sin C = sin α + 2 sin
α
2
< 3 sin α (Do sin
α
2
< sin α).
⇒ cos A + cos B + cos C > sin A + sin B + sin C (Do tan α =
1
3
).
Như vậy, đối với bất đẳng thức thứ ba ta có thể mở rộng đề bài như sau
"Chứng minh rằng trong mọi tam giác không có góc tù thì
sin A + sin B + sin C > cos A + cos B + cos C.
Bài toán 2.2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có
(tan A + tan B + tan C) (cot A + cot B + cot C) ≥

≥

tan
A
2
+ tan
B
2
+ tan
C
2

cot
A
2
+ cot
B
2
+ cot
C
2

.
Giải. Xét hàm số f (x) = tan x và g (x) = cot x với 0 < x <
π
2
.
Dễ thấy
f


(x) =
sin 2x
cos
4
x
> 0; ∀x ∈

0;
π
2

.
g

(x) =
sin 2x
sin
4
x
> 0; ∀x ∈

0;
π
2

.
13
Theo bất đẳng thức Jensen, ta có
1
2

[f(A) + f(B)] ≥ f

A + B
2

⇔
1
2
(tan A + tan B) ≥ tan
A + B
2
⇔ tan A + tan B ≥ 2 cot
C
2
. (1)
Lý luận tương tự
tan B + tan C ≥ 2 cot
A
2
. (2)
tan C + tan A ≥ 2 cot
B
2
. (3)
Cộng (1), (2), (3) theo từng vế suy ra
tan A + tan B + tan C ≥ cot
A
2
+ cot
B

2
+ cot
C
2
. (4)
Dấu bằng trong (4) xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.
Tương tự
cot A + cot B + cot C ≥ tan
A
2
+ tan
B
2
+ tan
C
2
. (5)
Dấu bằng trong (5) xảy ra khi A = B = C.
Nhân từng vế của (4) và (5) ta được điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
Nhận xét. Điều kiện tam giác nhọn ở đây là thực sự cần thiết.
1. Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong ba đại lượng tan A, tan B, tan C
là không xác định.
2. Nếu ABC là tam giác tù thì
tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C < 0.
cot A + cot B + cot C > 0.
tan
A
2
+ tan

B
2
+ tan
C
2
> 0.
cot
A
2
+ cot
B
2
+ cot
C
2
> 0.
Khi đó, bất đẳng thức đã cho không đúng.
Bài toán 2.3. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có




cos A cos B
cos
A
2
cos
B
2
+





cos B cos C
cos
B
2
cos
C
2
+




cos C cos A
cos
C
2
cos
A
2
≤
≤
2
√
3

sin

A
2
sin
B
2
+ sin
B
2
sin
C
2
+ sin
C
2
sin
A
2

+
√
3
2
.
14
Giải. Ta có
cos A. cos B
cos
A
2
. cos

B
2
=

4
√
3
sin
A
2
. sin
B
2


√
3 cot A. cot B

.
Theo bất đẳng thức AM - GM ta có




cos A. cos B
cos
A
2
. cos
B

2
≤
4
√
3
sin
A
2
. sin
B
2
+
√
3 cot A. cot B
2
=
2
√
3
sin
A
2
. sin
B
2
+
√
3
2
cot A. cot B. (1)

Tương tự




cos B. cos C
cos
B
2
. cos
C
2
≤
2
√
3
sin
B
2
. sin
C
2
+
√
3
2
cot B. cot C. (2)





cos C. cos A
cos
C
2
. cos
A
2
≤
2
√
3
sin
C
2
. sin
A
2
+
√
3
2
cot C. cot A. (3)
Cộng từng vế của(1), (2) và (3) ta được điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
Nhận xét.
1. Nếu ABC là tam giác vuông thì kết quả vẫn đúng.
2. Nếu ABC là tam giác tù, chẳng hạn A >
π
2

, khi đó
cos A cos B
cos
A
2
cos
B
2
< 0.
Vậy điều kiện ABC là tam giác không có góc tù là thực sự cần thiết.
Bài toán 2.4. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có
1. tan A + tan B + tan C ≥ 2 (sin 2A + sin 2B + sin 2C).
2.
1
cos A
+
1
cos B
+
1
cos C
≥
1
sin
A
2
+
1
sin
B

2
+
1
sin
C
2
.
3. cot A + cot B + cot C + cot 2A + cot 2B + cot 2C ≤ 0.
Giải.
1. Vì ABC nhọn nên ta có
tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C =
sin A. sin B. sin C
cos A. cos B. cos C
.
15
Vì trong mọi tam giác nhọn ta đều có
0 < cos A. cos B. cos C ≤
1
8
.
Suy ra
tan A. tan B. tan C ≥ 8 sin A. sin B. sin C. (1)
Theo hệ thức cơ bản ta có
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
tan A. tan B. tan C ≥ 2 (sin 2A + sin 2B + sin 2C) .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
2. Theo bất đẳng thức AM - GM ta có
1
cos A

+
1
cos B
≥
4
cos A + cos B
=
4
2 cos
A + B
2
cos
A −B
2
⇒
1
cos A
+
1
cos B
≥
2
sin
C
2
. (1)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi A = B.
Lý luận tương tự
1
cos B

+
1
cos C
≥
2
sin
A
2
. (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi B = C.
1
cos C
+
1
cos A
≥
2
sin
B
2
. (3)
Dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi A = C.
Từ (1),(2) và (3) suy ra điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
3. Ta có
cot 2A + cot 2B =
sin (2A + 2B)
sin 2A. sin 2B
= −
2 sin 2C

cos (2A −2B) − cos 2C
. (1)
16
Do C nhọn suy ra

sin 2C > 0
cos (2A −2B) − cos 2C ≤ 1 − cos 2C.
Vì thế, từ (1) suy ra
cot 2A + cot 2B ≤ −
2 sin 2C
1 −cos 2C
⇒ cot 2A + cot 2B ≤ −2 cot C. (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi A = B.
Lý luận tương tự
cot 2B + cot 2C ≤ −2 cot A. (3)
Dấu bằng trong (3) xảy ra khi và chỉ khi B = C.
cot 2C + cot 2A ≤ −2 cot B. (4)
Dấu bằng trong (4) xảy ra khi và chỉ khi A = C.
Từ (2), (3) và (4) suy ra
cot A + cot B + cot C + cot 2A + cot 2B + cot 2C ≤ 0.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
Nhận xét. Điều kiện ABC là tam giác nhọn là thực sự cần thiết.
1. Xét bất đẳng thức thứ nhất
- Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong các đại lượng: tan A, tan B, tan C
không xác định.
- Nếu ABC là tam giác tù thì
tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C < 0.
sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4 sin A. sin B. sin C > 0.
⇒ tan A + tan B + tan C < 2 (sin 2A + sin 2B + sin 2C) .
Như vậy, ta có bất đẳng thức với chiều ngược lại.

2. Xét bất đẳng thức thứ hai
- Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong các đại lượng:
1
cos A
,
1
cos B
,
1
cos C
không xác định.
- Nếu ABC là tam giác tù, chẳng hạn A >
π
2
, không giảm tổng quát giả sử
B ≥ C ⇒ 0 < C <
π
4
⇒

tan C < 1
sin
C
2
< sin C < cos C.
Ta có
1
cos C
<
1

sin
C
2
.
17
1
cos A
+
1
cos B
=
2 cos
A + B
2
cos
A −B
2
cos A cos B
< 0
⇒
1
cos A
+
1
cos B
+
1
cos C
<
1

sin
C
2
.
Hiển nhiên
1
sin
C
2
<
1
sin
C
2
+
1
sin
A
2
+
1
sin
B
2
⇒
1
cos A
+
1
cos B

+
1
cos C
<
1
sin
A
2
+
1
sin
B
2
+
1
sin
C
2
.
Nghĩa là khi ABC là tam giác tù ta có bất đẳng thức với chiều ngược lại.
3. Xét bất đẳng thức thứ ba
- Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong các đại lượng: cot 2A, cot 2B, cot 2C
không xác định.
- Nếu ABC là tam giác tù thì bất đẳng thức chưa chắc đúng. Chẳng hạn
A =
2π
3
; B = C =
π
6

. Ta có
cot A + cot 2A = 0.
cot B + cot C + cot 2B + cot 2C > 0.
⇒ cot A + cot B + cot C + cot 2A + cot 2B + cot 2C > 0.
Như vậy ta có bất đẳng thức theo chiều ngược lại.
Bài toán 2.5. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có

1 +
1
cos A

1 +
1
cos B

1 +
1
cos C

≥ 27.
Giải. Để giải bài toán ta sử dụng bổ đề sau
Bổ đề. Cho x > 0; y > 0; z > 0 và x + y + z ≤ a thì

1 +
1
x


1 +
1

y


1 +
1
z

≥

1 +
3
a

3
.
Do ABC là tam giác nhọn nên cos A > 0; cos B > 0; cos C > 0 và theo bất đẳng
thức cơ bản thì
cos A + cos B + cos C ≤
3
2
.
Áp dụng bổ đề suy ra

1 +
1
cos A

1 +
1
cos B


1 +
1
cos C

≥



1 +
3
3
2



3
= 27.
18
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
Nhận xét. Điều kiện ABC là tam giác nhọn là thực sự cần thiết.
1. Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong các đại lượng
1
cos A
,
1
cos B
,
1

cos C
không xác định.
2. Nếu ABC là tam giác tù, chẳng hạn A >
π
2
⇒ B <
π
2
; C <
π
2
⇒ 1 +
1
cos A
< 0; 1 +
1
cos B
> 0; 1 +
1
cos C
> 0
⇒

1 +
1
cos A

1 +
1
cos B


1 +
1
cos C

< 0.
Bài toán 2.6. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có
sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≥

1 +
√
2 cos A cos B cos C

2
.
Giải. Vì ABC là tam giác nhọn nên theo bài 2.2 ta có
tan A + tan B + tan C ≥ cot
A
2
+ cot
B
2
+ cot
C
2
. (1)
Vì trong mọi tam giác không có góc vuông ta có
tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C.
và trong mọi tam giác ta có
cot

A
2
+ cot
B
2
+ cot
C
2
= cot
A
2
. cot
B
2
. cot
C
2
.
Vì thế, từ (1) suy ra
tan A. tan B. tan C ≥ cot
A
2
. cot
B
2
. cot
C
2
. (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.

Ta có
(2) ⇔
sin A sin B sin C
cos A cos B cos C
≥
cos
A
2
. cos
B
2
. cos
C
2
sin
A
2
. sin
B
2
. sin
C
2
⇔ 8 sin
2
A
2
. sin
2
B

2
. sin
2
C
2
≥ cos A cos B cos C (3)
⇔ (1 −cos A) (1 − cos B) (1 − cos C) ≥ cos A cos B cos C
⇔ cos A + cos B + cos C + cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≥
≥ 2 cos A cos B cos C + 2 (cos A + cos B + cos C) − 1. (4)
19
Từ (3) suy ra
4 sin
A
2
. sin
B
2
. sin
C
2
≥
√
2 cos A cos B cos C
⇔ cos A + cos B + cos C − 1 ≥
√
2 cos A cos B cos C. (5)
Từ (4) và (5) suy ra
cos A+ cos B + cos C + cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≥
≥ 2 cos A cos B cos C + 2
√

2 cos A cos B cos C + 1
⇔ cos A+ cos B + cos C + cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A ≥
≥

1 +
√
2 cos A cos B cos C

2
. (6)
Dấu bằng trong (6) xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.
Ta sẽ chứng minh rằng trong mọi tam giác thì
cos A + cos B + cos C + cos A cos B + cos B cos C + cos C cos A
= sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A. (7)
Thật vậy
(7) ⇔ (cos A cos B − sin A sin B) + (cos B cos C − sin B sin C)
+ (cos C cos A −sin C sin A) = −(cos A + cos B + cos C)
⇔ cos (A + B) + cos (B + C) + cos (C + A) = −cos A −cos B − cos C. (8)
Vì (8) đúng nên (7) đúng. Từ (7) và (8) suy ra
sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≥

1 +
√
2 cos A cos B cos C

2
.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều.
Nhận xét.
- Bất đẳng thức vẫn đúng khi ABC là tam giác vuông.

- Nếu ABC có một góc tù thì bất đẳng thức trên không có nghĩa. Vì thế, ta
có thể thay đổi chút ít đầu bài như sau
"Chứng minh rằng trong mọi tam giác không có góc tù ta có
sin A sin B + sin B sin C + sin C sin A ≥

1 +
√
2 cos A cos B cos C

2
.
Bài toán 2.7. Cho ABC là tam giác nhọn. Chứng minh rằng có thể lấy a sin A, b sin B, c sin C
là số đo ba cạnh của một tam giác.
Giải. Do ABC là tam giác nhọn nên cos C > 0.
20
Theo định lý hàm số cosin, ta có
c
2
= a
2
+ b
2
− 2ab. cos C < a
2
+ b
2
⇒
c
2
2R

<
a
2
2R
+
b
2
2R
⇒ c.
c
2R
< a.
a
2R
+ b.
b
2R
.
Theo định lý hàm số sin suy ra
c sin C < a sin A + b sin B. (1)
Lý luận tương tự có
b sin B < a sin A + c sin C. (2)
a sin A < b sin B + c sin C. (3)
Từ (1), (2), (3) có thể lấy a sin A, b sin B, c sin C là số đo ba cạnh của một tam
giác nào đó.
Nhận xét. Giả thiết ABC là tam giác nhọn là hoàn toàn cần thiết vì nếu không
thì kết luận của bài toán chưa chắc đúng.
1. Giả sử ABC là tam giác vuông cân tại A có AB = AC = 1 ⇒ BC =
√
2. Khi

đó
a sin A =
√
2; b sin B = c sin C =
√
2
2
⇒ a sin A = b sin B + c sin C.
Điều này chứng tỏ a sin A; b sin B; c sin C không thể là số đo ba cạnh của một tam
giác.
2. Giả sử ABC cân tại A có A =
2π
3
; AB = AC = 1 ⇒ BC =
√
3. Khi đó
a sin A =
3
2
; b sin B = c sin C =
1
2
⇒ a sin A > b sin B + c sin C.
Điều này chứng tỏ a sin A; b sin B; c sin C không thể là số đo ba cạnh của một tam
giác.
Bài toán 2.8. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có
sin A + sin B + sin C
cos A + cos B + cos C
≤
tan A + tan B + tan C

3
.
Giải. Vì trong mọi tam giác không vuông ta có
tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C.
21
Vì ABC là tam giác nhọn nên bất đẳng thức đã cho được viết lại dưới dạng
(tan A + tan B + tan C) (cos A + cos B + cos C) ≥ 3 (sin A + sin B + sin C)
⇔(tan A + tan B + tan C) (cos A + cos B + cos C) ≥
≥ 3 (tan A cos A + tan B cos B + tan C cos C) .
Không giảm tổng quát, ta có thể giả sử A ≥ B ≥ C và do ABC nhọn nên
tan A ≥ tan B ≥ tan C. (1)
cos A ≤ cos B ≤ cos C. (2)
Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev với hai dãy (1) và (2) suy ra điều phải chứng
minh.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
Nhận xét. Giả thiết ABC là tam giác nhọn là hoàn toàn cần thiết.
1. Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong ba biểu thức: tan A; tan B; tan C
không xác định.
2. Nếu ABC là tam giác tù thì
tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C < 0.
sin A + sin B + sin C > 0.
cos A + cos B + cos C > 0.
⇒
sin A + sin B + sin C
cos A + cos B + cos C
> tan A + tan B + tan C.
Bài toán 2.9. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có
tan
2
A

sin
A
2
+
tan
2
B
sin
B
2
+
tan
2
C
sin
C
2
≥ 18.
Giải. Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có
tan
2
A
sin
A
2
+
tan
2
B
sin

B
2
+
tan
2
C
sin
C
2
≥
(tan A + tan B + tan C)
2
sin
A
2
+ sin
B
2
+ sin
C
2
. (1)
Dấu bằng trong (1) xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.
Do ABC nhọn nên theo bất đẳng thức cơ bản trong tam giác có
tan A + tan B + tan C ≥ 3
√
3. (2)
0 < sin
A
2

+ sin
B
2
+ sin
C
2
≤
3
2
. (3)
22
Dấu bằng trong (2) và (3) xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.
Từ (1), (2) và (3) suy ra
tan
2
A
sin
A
2
+
tan
2
B
sin
B
2
+
tan
2
C

sin
C
2
≥ 18.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
Nhận xét. Giả thiết ABC là tam giác nhọn là hoàn toàn cần thiết.
1. Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong ba biểu thức: tan A; tan B; tan C
không xác định.
2. Nếu ABC là tam giác tù, chẳng hạn A =
2π
3
; B = C =
π
6
. Khi đó
tan A = −
√
3; tan B = tan C =
√
3
3
;
sin
A
2
=
√
3
2
; sin

B
2
= sin
C
2
=

2 −
√
3
2
.
Do đó
tan
2
A
sin
A
2
+
tan
2
B
sin
B
2
+
tan
2
C

sin
C
2
= 2
√
3 +
4

2 +
√
3
2
< 18.
Vậy bất đẳng thức đã cho không đúng trong trường hợp này.
Bài toán 2.10. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có
1. tan
2
A + tan
2
B + tan
2
C ≥ 9.
2. tan
5
A + tan
5
B + tan
5
C ≥ 9 tan A. tan B. tan C.
Giải.

1. Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có
tan
2
A + tan
2
B + tan
2
C ≥ 3
3

tan
2
A. tan
2
B. tan
2
C. (1)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.
Vì trong mọi tam giác không vuông ta có
tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C. (2)
Vì tan A, tan B, tan C > 0 nên theo bất đẳng thức AM - GM ta có
tan A + tan B + tan C ≥ 3
3
√
tan A. tan B. tan C. (3)
23
Từ (2) và (3) suy ra
tan A. tan B. tan C ≥ 3
3
√

tan A. tan B. tan C
⇒(tan A. tan B. tan C)
3
≥ 27 (tan A. tan B. tan C)
⇒(tan A. tan B. tan C)
2
≥ 27. (4)
Dấu bằng trong (4) xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.
Từ (1) và (4) suy ra
tan
2
A + tan
2
B + tan
2
C ≥ 9.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
Nhận xét. Giả thiết ABC là tam giác nhọn là hoàn toàn cần thiết.
- Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong ba biểu thức: tan A; tan B; tan C
không xác định.
- Nếu ABC là tam giác tù, chẳng hạn A =
2π
3
; B = C =
π
6
. Khi đó
tan
2
A + tan

2
B + tan
2
C =
11
3
< 9.
Vậy bất đẳng thức đã cho không đúng trong trường hợp này.
2. Theo bất đẳng thức AM - GM, ta có
tan
5
A + tan
5
B + tan
5
C ≥ 3
3

tan
5
A. tan
5
B. tan
5
C
⇔ tan
5
A + tan
5
B + tan

5
C ≥ 3 tan A. tan B. tan C
3

(tan A. tan B. tan C)
2
. (1)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.
Vì tan A > 0; tan B > 0; tan C > 0 nên theo bài 2.9
tan A. tan B. tan C ≥ 3
√
3
⇒
3

(tan A. tan B. tan C)
2
≥ 3. (2)
Dấu bằng trong (2) xảy ra khi và chỉ khi A = B = C.
Từ (1) và (2) suy ra
tan
5
A + tan
5
B + tan
5
C ≥ 9 tan A. tan B. tan C.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều.
Nhận xét. Giả thiết ABC là tam giác nhọn là hoàn toàn cần thiết.
- Nếu ABC là tam giác vuông thì một trong ba biểu thức tan A; tan B; tan C

không xác định.
24
- Nếu ABC là tam giác tù, chẳng hạn A =
2π
3
; B = C =
π
6
. Khi đó
9 tan A. tan B. tan C = −3
√
3;
tan
5
A + tan
5
B + tan
5
C = −9
√
3 +
2
√
3
27
< −3
√
3.
Vậy bất đẳng thức đã cho không đúng trong trường hợp này.
Bài toán 2.11. Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ta có

(sin A)
sin A
. (sin B)
sin B
. (sin C)
sin C
≥

2
3

3
√
3
2
.
Giải. Theo tính chất của hàm số mũ ta có
sin A + sin B + sin C ≥ sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C.
Vì
sin
2
A + sin
2
B + sin

2
C = 2 + 2 cos A cos B cos C.
Mà ABC là tam giác nhọn nên
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C > 2.
Theo bất đẳng thức cơ bản trong tam giác thì
2 < sin A + sin B + sin C <
3
√
3
2
.
Xét hàm số
f(x) = x. ln x với x > 0
f

(x) =
1
x
> 0, ∀x > 0
Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có
f(sin A) + f (sin B) + f (sin C)
3
≥ f


sin A + sin B + sin C
3

⇔
1
3

ln (sin A)
sin A
+ ln (sin B)
sin B
+ ln (sin C)
sin C

≥
≥
sin A + sin B + sin C
3
. ln

sin A + sin B + sin C
3

⇔(sin A)
sin A
. (sin B)
sin B
. (sin C)
sin C
≥


sin A + sin B + sin C
3

sin A+sin B+sin C
. (2)
25