Dãy số và các bài toán liên quan

3
Mục lục


Lời nói đầu 0
Lời cảm ơn 2
Chương I. Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức tổng quát của dãy. 4
1.1 Khái niệm cơ bản 4
1.1.1 Cấp số cộng 4
1.1.2 Cấp số nhân 4
1.1.3 Công thức tổng quát của dãy 5
1.1.4 Cách xác định dãy số 5
1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng 5
1.1.6 Dãy số bị chặn 6
1.1.7 Dãy số tuần hoàn 6
1.1.8 Dãy số dừng 6
1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng quát của một
số dạng dãy số đặc biệt. 6
1.3 Các bài toán về cấp số cộng, cấp số nhân. 29
Chương II. Giới hạn dãy 44
2.1 Khái niệm cơ bản 44
2.2 Một số phương pháp tính giới hạn dãy 45
2.2.1 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của dãy, chuyển qua giới hạn 45
2.2.2 Phương pháp sử dụng nguyên lý kẹp 56
2.2.3 Phương pháp sử dụng thế lượng giác 62
2.3.4 Phương pháp so sánh giới hạn dãy 68
2.3.5 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để tìm giới hạn dãy 74
Chương III. Các dạng bài toán khác về dãy số 77
3.1 Bài toán về số học của dãy số 77

3.2 Ứng dụng dãy số vào bài toán tính tổng các số hạng 85
3.3 Ứng dụng dãy số vào bài toán phép đếm 87
3.4 Bài toán về bất đẳng thức dãy số 88
Kết luận 94
Tài liệu tham khảo 95



4
Chương I. Cấp số cộng, cấp số nhân, công thức
tổng quát của dãy.


1.1 Khái niệm cơ bản
1.1.1 Cấp số cộng

Định nghĩa 1: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số
không đổi
d
, nghĩa là
 
n
u
là cấp số cộng
1
2,
n n
n u u d


    
. Số
d
được gọi là công sai của cấp số
cộng.

Định lý 1 : Nếu cấp số cộng
 
n
u
có số hạng đầu
1
u
và công sai
d
thì số hạng tổng
quát
n
u
được xác định bởi công thức
 
1
1 , 2
n
u u n d n
    


Định lý 2: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là
trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

1 1
, 2
2
k k
k
u u
u k
 

  


Định lý 3: Cho cấp số cộng
 
n
u
, đặt
1 2

n n
S u u u   
. Khi đó:
 
1
2
n
n
u u n
S



hay
 
1
2 1
2
n
u n d n
S
   
 



1.1.2 Cấp số nhân

Định nghĩa 1:Dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn)
 
n
u
là cấp số nhân
1
2, .
n n
n u u q

   
.
Số
q

được gọi là công bội của cấp số nhân.

Định lý 1: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu
1
u
và công bội
q
thì số hạng tổng quát
n
u
được xác định bởi công thức
1
1
. , 2
n
n
u u q n

  
.

Định lý 2: Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu
và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là
2
1 1
. , 2
k k k
u u u k
 
  

(hay
1 1
.
k k k
u u u
 

).


5

Định lý 3: Cho cấp số nhân
 
n
u
với công bội
1q 
.
Đặt
1 2

n n
S u u u   
. Khi đó
 
1
1
1

n
n
u q
S
q




Chú ý: Nếu
1q 
thì cấp số nhân là
1 1 1
, , , , u u u

Khi đó
1
.
n
S nu


1.1.3 Công thức tổng quát của dãy

Định nghĩa 1: Mỗi hàm số
u
xác định trên tập các số nguyên dương
*
được gọi
là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).

Kí hiệu:
: *u  

 
n u n


Mỗi giá trị của hàm số
u
được gọi là số hạng của dãy số
 
1
1u u
được gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu)
…
 
n
u u n
được gọi là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát của dãy).
Dãy số thường được viết dưới dạng khai triển
1 2
, , , ,
n
u u u

Mỗi hàm số
u
xác định trên tập
 
1, 2, ,m

M 
với mỗi
*m
được gọi là một
dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của nó là
1 2
, , ,
m
u u u
trong đó
1
u
là số hạng đầu,
m
u
là số hạng cuối.

1.1.4 Cách xác định dãy số

Cách 1: Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát.
VD: Cho dãy số
 
n
u
với
1
3 1
n
n
u

n





Cách 2: Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi (hay cho dãy số bằng quy nạp).
VD: Cho dãy số
 
1
1
1
:
2 1, 2
n
n n
u
u
u u n




   



1.1.5 Dãy số đơn điệu tăng
Dãy số
 

n
u
được gọi là dãy đơn điệu tăng nếu
1
, 1
n n
u u n

  
.
Dãy số
 
n
u
được gọi là dãy đơn điệu không giảm nếu
1
, 1
n n
u u n

  
.


6
Dãy số
 
n
u
được gọi là dãy đơn điệu giảm nếu

1
, 1
n n
u u n

  
.
Dãy số
 
n
u
được gọi là dãy đơn điệu không tăng nếu
1
, 1
n n
u u n

  
.

1.1.6 Dãy số bị chặn
Dãy số
 
n
u
được gọi là dãy số bị chặn trên nếu
: , 1
n
M u M n    


.
Dãy số
 
n
u
được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu
: , 1
n
m u m n    

.
Dãy số
 
n
u
được gọi là dãy số bị chặn nếu
, : m , 1
n
M m u M n     



1.1.7 Dãy số tuần hoàn
Dãy số
 
n
u
được gọi là dãy số tuần hoàn với chu kì
k
nếu

, 1
n k n
u u n

  


1.1.8 Dãy số dừng
Dãy số
 
n
u
được gọi là dãy số dừng nếu
0 0
: ,
n
n u c n n    

(
c
là hằng số, gọi là hằng số dừng ).

1.2 Áp dụng cấp số cộng, cấp số nhân để xác định công thức tổng
quát của một số dạng dãy số đặc biệt.

Ví dụ 1.1
Xác định công thức tổng quát của dãy
 
1
1

2
:
3 1, 2
n
n n
u
u
u u n

 


   


Giải:
Trong bài toán trên ta gặp khó khăn vì dãy
 
n
u
không phải là cấp số cộng hay cấp
số nhân để ta áp dụng trực tiếp công thức của số hạng tổng quát. Nếu không có
1

xuất hiện ở vế trái thì dãy
 
n
u
sẽ là một cấp số nhân với công bội
3q 

. Ta sẽ
tìm cách làm mất
1
và chuyển dãy
 
n
u
về cấp số nhân.
 
1 1
3 3 3
n n n n
u k u k u u k k
 
      

1
1 3
2
k k k
     

1
1 1
3
2 2
n n
u u

 

   
 
 

Đặt:
1
1
5
1
2
2
3 , 2
n n
n n
v
v u
v v n


 

  


  




7

Dãy
 
n
v
là một cấp số nhân với công bội
3q 

1 1
1
5
. .3
2
n n
n
v v q
 

  

Vậy
1
1 5 1
.3 , 1
2 2 2
n
n n
u v n


     

Bài toán 1.1
Xác định công thức tổng quát của dãy
 
 
1 0
1
: , 0
. , 2
n
n n
u x
u a b
u au b n





   


Giải:
Trường hợp 1:
1a 
thì dãy
 
n
u

là cấp số cộng có công sai
d b
nên
   
1 0
1 1
n
u u n d x n b
     

Trường hợp 2:
1a 

Ta đặt
 
1 1n n n n
u k a u k u au k ak
 
      

Ta phân tích
1
b
b k ak k
a
   

1 1 1 1
ab b ab b
b

a a a a
    
   

Khi đó:
1
.
1 1
n n
ab b
u a u
a a

  
 
1
1 1
n n
b b
u a u
a a

 
   
 
 
 

Đặt:
1 0

1
1
1
.
n n
n n
b
v x
b
v u
a
a
v a v


 

  







Dãy
 
n
v
là cấp số nhân có công bội

q a
1 1
1 0
. .
1
n n
n
b
v v q x a
a
 
 
   
 

 

Vậy
1
1 1
0 0
1
. . , 1
1 1 1 1
n
n n
n n
b b b a
u v x a x a b n
a a a a


 

 
        
 
   
 


Kết quả 1.1: Dãy
 
 
1 0
1
: , 0
. , 2
n
n n
u x
u a b
u au b n





   


thì có công thức số hạng tổng quát là
 
0
1
1
0
1 , 1
1
. , 1
1
n
n
n
x n b a
u
a
x a b a
a


   




 




Ví dụ 1.2: Xác định công thức tổng quát của dãy
 
1
1
2
:
2 3 1, 2
n
n n
u
u
u u n n




    


Giải:
Để tìm công thức tổng quát của dãy số trên ta tìm cách làm mất
3 1n
để chuyển về
dãy số là một cấp số nhân.


8
Ta đặt
   
1

2 1
n n
u an b u a n b

      
 

 
1
2 2 1
n n
u u an b a n b

       
 

 
3 1 2 1
n an b a n b        
 

Cho
1, 2n n 
ta có hệ
2 3
5 5
a b a
b b
   
 


 
   
 

 
1
3 5 2 3 1 5
n n
u n u n

        
 

Đặt:
1
1
10
3 5
2 , 2
n n
n n
v
v u n
v v n



   


  


Dãy
 
n
v
là cấp số nhân với công bội
2q 

1 1
1
. 10.2 , 2
n n
n
v v q n
 
    

Vậy công thức tổng quát của
1
10.2 3 5, 1
n
n
u n n

    
.

Ví dụ 1.3: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
1
1
2
:
2 1, 2
n
n n
u
u
u u n n




    


Giải:
Xét
 
2 1f n n 
là đa thức bậc 1 đối với
n

Đặt
   
1
1

n n
u g n u g n

   

suy ra
     
1
f n g n g n
  
, trong đó
 
g n
là đa thức bậc 2 đối với
n
có hệ số
tự do bằng 0. Từ đó có
 
2
g n an bn 

 
   
2
2
2 1 1 1
n an bn a n b n
 
       
 

Cho
0, 1n n 
ta được hệ:
 
2
1 1
2
3 2
a b a
g n n n
a b b
   
 
   
 
  
 

 
   
2
2
1
2 1 2 1
n n
u n n u n n

 
       

 

Đặt:
 
1
2
1
1
2
, 2
n n
n n
v
v u n n
v v n

 

   

  


Dãy
 
n
v
là cấp số nhân với công bội
1q 

1
1 1
. 1, 2
n
n
v v q v n

      

Vậy công thức tổng quát của
2
2 n 1, 1
n
u n n    
.





9

Bài toán 1.2: Xác định công thức tổng quát của dãy
 
 
1 0
1
:
. , 2
n

n n
u x
u
u a u f n n





   



,trong đó
 
f n
là một đa thức bậc
k
theo n .
Giải:
Đặt
   
1
1
n n
u g n a u g n

   
 
 

Ta viết
     
1
f n g n ag n
  
(*)
với
 
g n
cũng là một đa thức theo
n
. Khi đó
       
1 1
. 1 1
n n n n
u au g n ag n u g n a u g n
 
          
 

Đặt:
 
   
1 1 0
1
1 1
. , 2
n n

n n
v u g x g
v u g n
v a v n


   

  

  



Dãy
 
n
v
là cấp số nhân với công bội
q a

 
1 1
1 0
. 1 .a , 1
n n
n
v v q x g n
 
       

 

Vậy công thức tổng quát của
   
1
0
1 .a g , 1
n
n
u x g n n

      
 
.

Như vậy trong lời giải trên ta chỉ cần xác định được đa thức
 
g n
là bài toán được
giải quyết trọn vẹn. Đa thức
 
g n
được xác định như sau:
Nếu
1a 
thì
   
1
g n ag n
 

là một đa thức có bậc nhỏ hơn bậc của
 
g n
một
bậc và không phụ thuộc vào hệ số tự do của
 
g n
, mà
 
f n
là đa thức bậc
k
nên
để có (*) ta chọn
 
g n
là đa thức bậc
1k 
, có hệ số tự do bằng 0. Khi đó ta được
hệ gồm
1k 
phương trình, giải hệ này ta tìm được
 
g n
.
Nếu
1a 
thì
   
1

g n ag n
 
là đa thức cùng bậc với
 
g n
nên ta chọn
 
g n
là
đa thức bậc
k
, trong đẳng thức (*), ta cho
1k 
giá trị
n
bất kì, ta được hệ gồm
1k 
phương trình, giải hệ này ta tìm được
 
g n
.
Như vậy ta đi đến kết quả sau đây

Kết quả 1.2: Xác định công thức tổng quát của dãy
 
 
1 0
1
:
. , 2

n
n n
u x
u
u a u f n n





   



,trong đó
 
f n
là một đa thức bậc
k
theo n .

Giải:
Đặt
   
1
1
n n
u g n a u g n

   

 
 



10
Ta viết
     
1
f n g n ag n
  
với
 
g n
cũng là một đa thức theo
n
.
Nếu
1a 
thì
 
g n
là đa thức bậc
1k 
, có hệ số tự do bằng 0.
Nếu
1a 
thì
 
g n

là đa thức bậc
k
.
Khi đó
       
1 1
. 1 1
n n n n
u au g n ag n u g n a u g n
 
          
 

Đặt:
 
   
1 1 0
1
1 1
. , 2
n n
n n
v u g x g
v u g n
v a v n


   

  


  



Dãy
 
n
v
là cấp số nhân với công bội
q a

 
1 1
1 0
. 1 .a , 1
n n
n
v v q x g n
 
       
 

Vậy công thức tổng quát của
   
1
0
1 .a g , 1
n
n

u x g n n

      
 
.


Ví dụ 1.4: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
1
1
1
:
3 2 , 2
n
n
n n
u
u
u u n





   



Giải:

Ta đưa dãy
 
n
u
về cấp số nhân công bội
3q 
bằng cách viết
 
1 1
1 1
.2 3 .2 3 .2 3 .2
n n n n
n n n n
u k u k u u k k
 
 
      

1
2 .2 3 .2
n n n
k k

  

Cho
1n 
thì
2 2 3 2k k k    
.

Khi đó
 
1
1
2.2 3 2.2
n n
n n
u u


  

Đặt
1
1
5
2.2
3. , 2
n
n n
n n
v
v u
v v n



  

  



Dãy
 
n
v
là cấp số nhân với công bội
3q 

1 1
1
. 5.3 , 2
n n
n
v v q n
 
    

Vậy công thức tổng quát của
1
5.3 2.2 , 1
n n
n
u n

   
.

Bài toán 1.3: Xác định công thức tổng quát của dãy
 

1 0
1
:
. . , 2
n
n
n n
u x
u
u a u b n






   



Giải:
Ta thấy cách giải của bài toán then chốt ở chỗ ta phân tích được biểu thức
.
n
b

,
sau đó chuyển dãy
 
n

u
về cấp số nhân là bài toán giải xong. Ta xét các trường hợp
sau:
Trường hợp 1:
a


thì
1
. .
n
n n
u u b
 

 



11
Ta phân tích:
 
1
. 1 .
n n n
n n
   

  

Khi đó
   
1 1
1 1
1 1
n n n n
n n n n
u u bn b n u bn u b n
      
 
 
 
        
 

Đặt:
1 0
1
, 2
n
n n
n n
v x b
v u bn
v v n




 


  

  


Dãy
 
n
v
là cấp số nhân với công bội
q



 
1 1
1 0
. . , 2
n n
n
v v q x b n
 
 
     

Vậy công thức tổng quát của
 
 
1 1

0 0
. b 1 , 1
n n n n
n
u x b bn x n n
    
 
       
.

Trường hợp 2:
a



Ta phân tích
 
1n n n
k ak k ak k a k
a

      


         


Khi đó
 
1 1

1 1 1
n n n n n
n n n n n
u au b au bk abk u bk a u bk
    
 
  
        

Đặt:
1 0
1
, 2
n
n n
n n
v x bk
v u bk
v av n



 

  

  


Dãy

 
n
v
là cấp số nhân với công bội
q a

 
1 1
1 0
. , 2
n n
n
v v q x bk a n

 
     

Vậy công thức tổng quát của dãy
 
n
u
là:
 
1 1
0 0
.a , 1
n n n n
n
b b
u x bk bn x a n

a a
 
  
 
 
 
       
 
 
 
.

Kết quả 1.3: Xác định công thức tổng quát của dãy
 
1 0
1
:
. , 2
n
n
n n
u x
u
u a u b n







   



Ta làm như sau:
Nếu
a


thì ta phân tích
 
1
. 1 .
n n n
n n
   

  
,
khi đó
 
1
0
b 1 , 1
n n
n
u x n n
 

    

Nếu
a


thì ta phân tích
1n n n
k ak
  

 
,
khi đó
1
0
, 1
n n
n
b b
u x a n
a a
 

 

 
    
 
 
 

12
Ví dụ 1.5: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
1
1
2
:
5 2.3 6.7 12, 2
n
n n
n n
u
u
u u n

 



     



Giải:
Đặt

   
1 1
1
.3 .7 5 .3 .7
n n n n
n n
u k l a u k l a
 

 
      
 

   
1 1
1
5 .3 .7 5 .3 .7
n n n n
n n
u u k l a k l a
 

       

   
 
1 1
1
5 .3 5 .3 .7 5 .7 5
n n n n

n n
u u k k l l a a
 

       

Suy ra
12 5 3a a a     
   
12 5 3 3 3 5.3
        

2.
1
3 .3 5 .3
n n n
k k

 
. Cho
1 3n k   

1
6.7 5 .7 .7
n n n
l l

  
. Cho
1 21n l   

 
1 1
1
3.3 21.7 3 5 3.3 21.7 3
n n n n
n n
u u
 

       

Đặt
1
1
157
3.3 21.7 3
5 , 2
n n
n n
n n
v
v u
v v n



    

  



Dãy
 
n
v
là cấp số nhân với công bội
5q 

1 1
1
. 157.5 , 2
n n
n
v v q n
 
    

Vậy công thức tổng quát của
 
1
157.5 3.3 21.7 3 , 1
n n n
n
u n

     

Ví dụ 1.6: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
1
1
1
:
2 3 n, 2
n
n
n n
u
u
u u n





    



Giải:
Đặt
   
 
1
1
k.3 2 k.3 1
n n

n n
u g n u g n


   
     
   

 
   
1
1
2 .3 2 .3 2 1
n n
n n
u u k k g n g n


        
 

Suy ra
   
1
2 1
3 .3 2 .3
n n n
n g n g n
k k


   


 



Với
   
2 1
n g n g n
   
,
trong đó
   
2 1
g n an b n an b a n b         
 

Cho
1, 2n n 
ta được
 
 
2 1
1 1
2
2 2 2
2 2
a b b

a b a
g n n
b a a b
b b
   

   
 

    
  
    
 

 


Với
1
3 .3 2 .3
n n n
k k

 
. Cho
1 3n k  
1
3 2.3.3 3.3
n n n


   



13

 
1
1
3.3 2 2 3.3 1 2
n n
n n
u n u n


 
        
 

Đặt
1
1
11
3.3 2
2 , 2
n
n n
n n
v
v u n

v v n

 

    

  


Dãy
 
n
v
là cấp số nhân với công bội
2q 

1 1
1
. 11.2 , 2
n n
n
v v q n
 
     

Vậy công thức tổng quát của
1
11.2 3.3 n 2, 1
n n
n

u n

      


Kết quả 1.4: Để xác định công thức tổng quát của dãy
 
 
1 0
1
:
. , 2
n
n
n n
u x
u
u a u b f n n






    



,trong đó
 

f n
là đa thức bậc
k
theo
n
, ta phân tích
n

và
 
f n
như trong Kết
quả 1.2 và Kết quả 1.3.


Ví dụ 1.7: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
0 1
1 2
1, 3
:
5 6u , 2
n
n n n
u u
u
u u n
 
  



   


Giải:
Từ giả thiết
1 2
5 6 0
n n n
u u u
 
  

Đặt
   
1 2
n n
n
u a x b x
 

Ta có
   
2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
5 6 5 6 0
n n
ax x x bx x x
 
     

Ta chọn
1 2
,x x
là nghiệm của phương trình
1
2
2
2
5 6 0
3
x
x x
x


   




Suy ra
.2 .3
n n
n
u a b
 

Mặt khác
0

1
1
6
5
2 3 3
u a b
a
bu a b
   
 



 
  



Vậy ta có công thức tổng quát của dãy
 
n
u
là
6.2 5.3 , 1
n n
n
u n    


Kết quả 1.5: Để tìm công thức tổng quát của dãy

 
0 0 1 1
1 2
,
:
. 0, 2
n
n n n
u a u a
u
u a u bu n
 
 


    

,trong đó
,a b

và
2
4 0a b 
thì ta làm
như sau:


14
Gọi
1 2

,x x
là nghiệm của phương trình:
2
0x ax b  
(đây là phương trình đặc
trưng của dãy).
Nếu
1 2
x x
thì
1 2
n n
n
u kx lx 
, trong đó
,k l
là nghiệm của hệ
0
1 2 1
k l u
x k x l u
 


 

.
Nếu
1 2
x x


 
thì
 
1n
n
u kn l


 
, trong đó
,k l
là nghiệm của hệ
0
1
l u
k l u




 


Ví dụ 1.8: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
0 1
1 1
1, 2
:

4 , 1
n
n n n
u u
u
u u u n
 
 


   


Giải (Ta áp dụng Kết quả 1.5)
Xét phương trình đặc trưng:
1
2
2
2 5
4 1 0
2 5
x
x x
x

 
   

 



1 2
n n
n
u kx lx  

Do
0 1
1, 2
u u
 
nên
,k l
là nghiệm của hệ
   
1
1
2 5 2 5 2
2
k l
k l
k l
 


  

   



Vậy
   
1
2 5 2 5 , 0
2
n n
n
u n
 
     
 
 
.


Ví dụ 1.9: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
0 1
1 1
1, 3
:
4 4 , 1
n
n n n
u u
u
u u u n
 
 



   


Giải (Ta áp dụng Kết quả 1.5)
Xét phương trình đặc trưng:
2
1 2
4 4 0 2
x x x x
     
 
1
2
n
n
u kn l

  

Do
0 1
1, 2
u u
 
nên
,k l
là nghiệm của hệ
2.1 1

3 2
l k
k l l
 
 

 
  
 

Vậy
 
1
2 2 , 1
n
n
u n n

   
.


Ví dụ 1.10: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
0 1
2
1 2
1, 3
:
5 6 2 2 1, 1

n
n n n
u u
u
u u u n n n
 
  



      



Giải
Ta phân tích:
 
       
2 2
2 2
2 2 1 ln 5 1 1 6 2 1
n n kn t k n l n t k n l n t
   
              
   



15
Cho

0, 1, 2n n n  
ta có hệ
19 7 2 1 1
7 5 2 5 8
3 2 13 19
k l t k
k l t l
k l t t
   
 
 
    
 
 
    
 

 
       
1 2
2 2
2
5 6
8n 19 5 1 8 1 19 6 2 8 1 19
n n n
u u u
n n n n n
 
  
   

            
   

 
   
 
   
 
2
2
1
2
2
8n 19 5 1 8 1 19
6 2 8 1 19 0
n n
n
u n u n n
u n n


 
 
         
 
 
 
      
 

Đặt
 
0 1
2
1 2
20, 25
8n 19
5 6 0, 2
n n
n n n
v v
v u n
v v v n
 
   

    

    



Xét phương trình đặc trưng:
1
2
2
2
5 6 0
3

x
x x
x


   



3 2
n n
n
v
 
  


Do
0 1
20,v 25
v
   
nên
,
 
là nghiệm của hệ
20 15
15.3 35.2
3 2 25 35
n n

n
v
  
  
   
 
   
 
    
 


Vậy
2
15.3 35.2 n 8n 19, 0
n n
n
u n
      
.

Bài toán 1.5: Xác định công thức tổng quát của dãy
 
 
0 1
1 2
,
:
, 2
n

n n n
u u
u
u au bu f n n
 



    



,trong đó
 
f n
là đa thức bậc
k
theo
n
và
2
4 0a b 
, ta làm như sau:
Giải:
Ta phân tích
       
1 2
f n g n ag n bg n
    
(1)

Ta đặt
 
n n
v u g n
 

Ta có được dãy số
 
   
0 0 1 1
1 2
0 , 1
:
bv 0, 2
n
n n n
v u g v u g
v
v av n
 

   


    



Đây chính là dãy số mà ta xét ở Kết quả 1.5
Do vậy ta xác định được công thức tổng quát của dãy

 
n
v
từ đó xác định được
công thức tổng quát của dãy
 
n
u
.


16
Vấn đề còn lại là ta xác định được đa thức
 
g n
ở (1)
Vì
 
f n
là đa thức bậc
k
nên ta phải chọn
 
g n
sao cho
     
1 2
g n ag n bg n
   
cũng là một đa thức bậc

k
theo
n
. Khi đó ta chỉ cần
thay
1k 
giá trị bất kì của
n
vào (1) ta sẽ xác định được
 
g n
.
Giả sử
 
 
1
1 1 0
0
m m
m m m
g n a n a n a n a a


     
là đa thức bậc
m
. Khi đó hệ
số của
m
x

và
1
m
x

trong vế phải của (1) là:
 
1
m
a a b 
và
   
1
2 1
m m
a b ma a b a

     
 


Do đó:
i) Nếu phương trình:
2
0x ax b  
có hai nghiệm phân biệt khác 1 thì
1 0a b  
nên vế phải (1) là một đa thức bậc
m
.

ii) Nếu phương trình:
2
0x ax b  
có hai nghiệm phân biệt trong đó có một
nghiệm bằng 1 thì
1 0a b  
, khi đó vế phải (1) là một đa thức bậc
1m 
.
iii) Nếu phương trình:
2
0x ax b  
có nghiệm kép
1x 
thì
2, 1a b  
nên vế
phải của (1) là một đa thức bậc
2m
.

Vậy để chọn
 
g n
ta chú ý như sau:
i)Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt khác 1, hoặc có nghiệm kép
khác 1 thì ta chọn
 
g n
là đa thức cùng bậc với

 
f n
.
ii) Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm
bằng 1 thì ta chọn
   
g n nh n

, trong đó
 
h n
là đa thức cùng bậc với
 
f n
.
iii)Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép bằng 1thì ta chọn
   
2
g n n h n

,
trong đó
 
h n
là đa thức cùng bậc với
 
f n
.

Kết quả 1.6: Tìm công thức tổng quát của dãy

 
 
0 1
1 2
,
:
, 2
n
n n n
u u
u
u au bu f n n
 



    



, trong đó
 
f n
là một đa thức bậc
k
theo
n
và
2
4 0a b 

.
Ta làm như sau:
Xét
 
g n
là một đa thức bậc
k
theo
n
:
 
1 1 0

k k
k k
g n a n a n a k a

    

Nếu phương trình đặc đặc trưng:
2
0x ax b  
có hai nghiệm phân biệt
khác 1 (hoặc có nghiệm kép khác 1) , ta phân tích:
       
1 2
f n g n ag n bg n
    
rồi ta đặt
 

n n
v u g n
 
.


17
Nếu phương trình đặc đặc trưng:
2
0x ax b  
có hai nghiệm phân
biệttrong đó có một nghiệm bằng 1, ta phân tích:
           
1 1 2 2
f n ng n a n g n b n g n
      
rồi ta đặt
 
n n
v u ng n 
.
Nếu phương trình đặc đặc trưng:
2
0x ax b  
có nghiệm kép bằng 1, ta
phân tích:
           
2 2
2
1 1 2 2

f n n g n a n g n b n g n
      

rồi ta đặt
 
2
n n
v u n g n
 
.



Ví dụ 1.11: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
0 1
1 2
1, 4
:
3 2 2 1, 1
n
n n n
u u
u
u u u n n
 
 


     



Giải
Xét phương trình đặc trưng:
1
2
2
1
3 2 0
2
x
x x
x


   




Ta phân tích:
         
2 1 3 1 1 2 2 2
n n kn l n k n l n k n l              
   

Cho
0, 1n n 
ta có hệ
5 1 1

3 3 6
k l k
k l l
   
 

 
   
 

         
1 2
3 2
6 3 1 1 6 2 2 2 6
n n n
u u u
n n n n n n
 
  
              
   

     
 
   
 
1
2
6 5 1 1 6
2 2 2 6 0

n n
n
u n n u n n
u n n


           
   
       
 

Đặt
 
0 1
1 2
1, 11
6
3 2 0, 2
n n
n n n
v v
v u n n
v v v n
 
 

   

    


2 1
n n
n
v
 
  

Do
0 1
1,v 11
v
 
nên
,
 
là nghiệm của hệ
1 10
10.2 9
2 11 9
n
n
v
  
  
  
 
   
 
   

 

Vậy
1 2
5.2 n 6 n 9, 0
n
n
u n

     
.


Ví dụ 1.12: Tìm công thức tổng quát của dãy


18
 
0 1
1 2
1, 3
:
4 3 5.2 , 1
n
n
n n n
u u
u
u u u n
 

  



    



Giải
Ta phân tích:
1 2
2 .2 4 .2 3 .2
n n n n
a a a
 
  

Cho
2n 
ta được
4 4 8 3 4a a a a     

   
1 2
2 4.2 4. 4 .2 3. 4 .2
n n n n 
      

   
     

1 2
1 2
1 2
1 2
4 3 5 4.2 4. 4 .2 3. 4 .2
5.4.2 4 5.4.2 3 5.4.2 0
n n n
n n n
n n n
n n n
u u u
u u u
 
 
 
 
 
        
 
      

Đặt
0 1
1 2
19, 43
5.4.2
4 3 0, 2
n
n n
n n n

v v
v u
v v v n
 
 

  

    


Xét phương trình đặc trưng:
1
2
2
1
4 3 0
3
x
x x
x


   




.3 .1
n n

n
v
 
  

Do
0 1
19,v 43
v
 
nên
,
 
là nghiệm của hệ
1
19 12
12.3 7 4.3 7
3 43 7
n n
n
v
  
  

  
 
     
 
  
 

Vậy
1 2
4.3 5.2 7, 0
n n
n
u n
 
    
.


Bài toán 1.6: Xác định công thức tổng quát của dãy
 
 
0 1
2
1 2
,
: 4 0
. . c. , 2
n
n
n n n
u u
u a b
u a u b u n

 



 

    



Giải:
Ta phân tích:
1 2n n n n
k ak bk
   
 
  

(1)
Cho
2n 
thay vào (1) ta được
 
2
2 2
2
k a b k
a b

  
 
    
 

, khi


không là nghiệm của phương trình đặc trưng
2
0x ax b  
(2)
Khi đó, ta đặt
.
n
n n
v u k c

 
, ta có dãy
 
0 0 1 1
1 2
1 2
,
: . .
0
n n
n n
n n n
v u kc v u kc
v v p x q x
v av bv

 

   

  

  

, trong đó
1 2
,x x
là nghiệm của
phương trình đặc trưng (2).
Từ đó ta có
1 2
. . .
n n n
n
u p x q x kc

  

Nếu
x


là một nghiệm của phương trình đặc trưng (2), tức là
2
0a b
 
  
thì

ta sẽ phân tích
   
1 2
1 2
n n n n
kn ak n bk n
   
 
    



19
Cho
2n 
ta sẽ được
2 2
2
2
k ak k
a

  

   

với
2
a


 

Khi đó
1 2
.
n n n
n
u px qx kcn

  

Ta xét trường hợp
2
a
x

  
là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (2). Khi
đó ta phân tích
   
2 2
2 1 2
1 2
n n n n
kn ak n bk n
   
 
    

Cho

2n 
ta sẽ được
2 2
1
4
4 2
k ak k
a

  

    

do
2
a

 

Khi đó
2
1 2
.
n n n
n
u px qx kcn

  

Vậy ta đi đến kết quả sau:

Kết quả 1.7: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
0 1
1 2
,
:
. , 2
n
n
n n n
u u
u
u au bu c n

 



    



Để xác định công thức tổng quát của dãy
 
n
u
ta làm như sau:
Xét phương trình đặc trưng:

2
0x ax b  
(1)
Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác

thì
1 2
. . .
n n n
n
u p x q x kc

  
, trong đó
2
2
k
a b

 

 
.
Nếu phương trình (1) có nghiệm đơn
x


thì
1 2
.

n n n
n
u px qx kcn

  
, trong đó
2
k
a




với
2
a

 
.
Nếu phương trình (1) có nghiệm kép
x


thì
2
1
2
n
n
u p qn cn


 
  
 
 
.


Ví dụ 1.13: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
0 1
1 2
1, 3
:
5 6 5.2 , 2
n
n
n n n
u u
u
u u u n
 
  



    



Giải:
Xét phương trình đặc trưng:
2
2
5 6 0
3
x
x x
x


   




Ta có
2x

 
là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng.
Khi đó
.2 .3 5 . .2
n n n
n
u p q k n
  
, trong đó
2
2

2 2.2 5
k
a


   
 

.2 .3 10. .2
n n n
n
u p q n
   



20
Do
0
1
1
3
u
u
 




nên ta có hệ

1 26
2 3 20 3 25
p q p
p q q
   
 

 
   
 

Vậy
26.2 25.3 10. .2 , 0
n n n
n
u n n
     



Ví dụ 1.14: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
0 1
1 2
1, 3
:
4 4 3.2 , 2
n
n
n n n

u u
u
u u u n
 
 



    



Giải:
Xét phương trình đặc trưng:
2
4 4 0 2x x x    
là nghiệm kép
Ta có
2x

 
là nghiệm kép của phương trình đặc trưng.
Khi đó
2
3
.2
2
n
n
u p qn n

 
  
 
 

Do
0
1
1
3
u
u





nên ta có hệ
1 1
0 1
p p
p q q
 
 

 
   
 

Vậy

 
2 1
3 2 2 .2 , 0
n
n
u n n n

    


Bằng cách xây dựng tương tự ta đi đến kết quả sau:

Kết quả 1.8: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
0 1 2
1 2 3
, ,
:
0, 3
n
n n n n
u u u
u
u au bu cu n
  


     


Để tìm công thức tổng quát của dãy trên ta xét phương trình đặc trưng:
3 2
0x ax bx c   

Nếu phương trình đặc trưng có 3 nghiệm phân biệt
1 2 3
, ,x x x
thì
1 2 3
. . .
n n n
n
u x x x
  
  
. Từ
0 1 2
, ,u u u
ta giải hệ và tìm được
, ,
  
.
Nếu phương trình đặc trưng có một nghiệm đơn và một nghiệm kép
1 2 3
x x x 
thì
 
1 3
. .
n n

n
u n x x
  
  
. Từ
0 1 2
, ,u u u
ta giải hệ và tìm được
, ,
  
.
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm bội 3 tức là
1 2 3
x x x 
thì
 
2
1
n
n
u n n x
  
  
. Từ
0 1 2
, ,u u u
ta giải hệ và tìm được
, ,
  
.

Ví dụ 1.15: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
1 2 3
1 2 3
0, 1, 3
:
7 11 5u , 4
n
n n n n
u u u
u
u u u n
  
  


    


Giải:
Xét phương trình đặc trưng:


21
   
2
1 2
3 2
3

1
7 11 5 0 1 5 0
5
x x
x x x x x
x
 

        




Khi đó
 
.1 .5
n n
n
u n
  
  

Do
1 2 3
0, 1, 3
u u u
  
nên ta có hệ
13
16

5 0
3
2 25 1
4
3 125 3
1
80
g

  
   
 


 

  


 
    
 
 
  






Vậy
13 3 1
.5 , 1
16 4 80
n
n
u n n     

Ví dụ 1.16: Tìm công thức tổng quát của dãy
   
,
n n
u v

0 1 1
0 1 1
2, 2
, 1
1, 2
n n n
n n n
u u u v
n
v v u v
 
 
  

 


  


Giải:
Ta có:
1 1 1 2 2
2 2 2
n n n n n n
u u v u u v
    
    

 
1 2 1 2 1 2
2 2 2 4 3
n n n n n n
u u u u u u
     
     

1 2 1 2
4 3 4 3 0
n n n n n n
u u u u u u
   
      

Phương trình đặc trưng:
2
1

4 3 0
3
x
x x
x


   




.1 .3 .3
n n n
n
u
   
    

Do
0
1 0 0
2
2 5
u
u u v



  


nên ta có hệ
1
3 5
1 3
2
.3
2 3
2 2
2
n
n
u

 
 




 


   
 
 







1
1
1 3 1 3
2 .3 2 .3
2 2 2 2
n n
n n n
v u u


   
      
   
   

   
1 1
1 3 1 3
3 2.3 3 2.3
2 2 2 2
n n n n
 
       

1 3
.3
2 2
n

  

Kết luận:
1 3
.3 , 1
2 2
n
n
u n   

1 3
.3 , n 1
2 2
n
n
v
    



22

Kết quả 1.9: Cho dãy
   
1 1 1
1 1 1
. . ,
, :
. . ,
n n n

n n
n n n
x p x q y x
x y
y r y s x y
 
 
 


 


Để xác định công thức tổng quát của dãy
   
,
n n
x y
ta làm như sau:
Ta biến đổi được:
   
1 2
0
n n n
x p s x ps qr x
 
    

Từ đây ta xác định được
n

x
, thay vào hệ đã cho ta có được
n
y
.
Để ý rằng: ta có thể tìm công thức tổng quát của dãy trên theo cách đưa thêm vào
tham số phụ
,
 
như sau
 
 
1 1
1 1
.
.
n n n n
n n n n
q r
x y p s x y
s p
q r
x y p s x y
s p

 


 


 
 

 

   

 

  

 


   
 


 


Ta chọn
, :
q r
s p
q r
s p




 

















 
 
 
 
1 1
1 1
n n n n
n n n n
x y p s x y
x y p s x y
  
  

 
 

   



   



   
   
1
1 1
1
1 1
n
n n
n
n n
x y p s x y
x y p s x y
  
  



   




   



Giải hệ này ta tìm được
   
,
n n
x y
.


Ví dụ 1.17: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
1
1
1
1
:
2
, 2
3 4
n
n
n
n
u
u

u
u n
u






  




Giải:
Ta có
1
1 1
3 4
1 3 1
2
2 2
n
n n n
u
u u u

 

  

Đặt
1
1
1
1
1
1 5.2 3 2
3
2 5.2 3
2
2
n
n n n
n
n
n n
v
v v u
u
v v







     



 







23
Ví dụ 1.18: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
1
1
1
2
:
9 24
, 2
5 13
n
n
n
n
u
u
u
u n
u






 

  




Giải:
Bài toán này không còn đơn giản như bài toán trên vì ở trên tử số còn có hệ số tự
do, do vậy ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trên tử số. Muốn vậy, ta đưa vào dãy
phụ bằng cách đặt
n n
u x t 
, thay vào công thức truy hồi, ta có:
 
1
2
1
1
9 9 24
5 5 13
9 5 5 22 24
5 5 13
n
n
n

n
n
n
x t
x t
x t
t x t t
x
x t



  
 
 
    
 
 

Ta chọn
2
1
: 5 22 24 0 2 4
t t t t x
      

1
1 1
1 3
5

5 3
n
n
n n n
x
x
x x x

 
    


1
1
1 11.3 10 4
4 11.3 10
n
n
n
n
x
x



   


1
1

22.3 24
2 , 1
11.3 10
n
n n
n
u x n


 
     



Kết quả 1.10: Cho dãy
 
1
1
1
:
.
, 2
.
n
n
n
n
u
u
p u q

u n
r u s








  




Để tìm công thức tổng quát của dãy
 
n
u
ta làm như sau:
Đặt:
n n
u x t 
, thay vào công thức truy hồi của dãy ta có:
   
2
1
1
1 1
.

. .
n
n
n
n n
p rt x rt p s t q
p x pt q
x t
r x rt s r x rt s


 
    
 
  
   

Ta chọn
 
2
: 0
t rt p s t q
    
.
Khi đó
1
1 1
.
n n
a b

x x

 
.
Từ đây ta tìm được công thức
1
n
x
, suy ra
n
u
.


Ví dụ 1.19: Tìm công thức tổng quát của hai dãy


24
   
1 1
2 2
1 1
1 1
2, 1
, : 2 , 2
2 . , 2
n n n n n
n n n
u v
u v u u v n

v u v n
 
 
 


   


  


Giải:
Ta có
2 2
1 1
1 1
2
2 2 2 .
n n n
n n n
u u v
v u v
 
 

 







 
 
2
1 1
2
1 1
2 2
2 2
n n n n
n n n n
u v u v
u v u v
 
 

  




  

 
 
1
1
2

1 1
2
1 1
2 2
2 2
n
n
n n
n n
u v u v
u v u v



  




  


 
 
1
1
2
2
2 2 2
2 2 2

n
n
n n
n n
u v
u v



  




  

   
   
1 1
1 1
2 2
2 2
1
2 2 2 2
2
1
2 2 2 2
2 2
n n
n n

n
n
u
v
 
 

 
   

 
  


 

   
 

 



Nhận xét: Từ
2 2
1 1
1 1
2 , 2
2 . , 2
n n n

n n n
u u v n
v u v n
 
 

   


  



2
1
2 2
1
1 1
1 1
1
1
2
2
2
2
n
n
n n n
n n n
n

n
u
v
u u v
v u v
u
v


 
 


 

 

 
  
 
 
 

Do vậy ta nếu ta đặt
n
n
n
u
x
v


, ta được dãy
 
1
2
1
1
2
:
2
, 2
2
n
n
n
n
x
x
x
x n
x







  






Ví dụ 1.20: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
1
2
1
1
2
:
2
, 2
2
n
n
n
n
x
x
x
x n
x








  



Giải:


25
Xét hai dãy
   
1 1
2 2
1 1
1 1
2, 1
, : 2 , 2
2 . , 2
n n n n n
n n n
u v
u v u u v n
v u v n
 
 
 


   



  


Ta chứng minh
n
n
n
u
x
v

(1) bằng phương pháp quy nạp
Cho
2
2
2
2 2 2
u
n x n
v
     
đúng
Giả sử
2 2 2
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1
2 2
2 2 .

n n n n n
n n
n n n n n
u x u v u
x x
v x u v v
   
 
   
 
    


(1) đúng
Vậy theo Ví dụ 1.19 ta có
   
   
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2 2 2 2
, 1
2 2 2 2
n n
n n
n
x n
 
 

 
  
 
 
  
 
  
 
 


Kết quả 1.11:

1)Từ hai ví dụ trên ta có được cách tìm công thức tổng quát của hai dãy
   
 
1 1
2 2
1 1
1 1
,
, : , 2 0
2 . , 2
n n n n n
n n n
u v
u v u u av n a
v u v n
 
 

 
 


    


  


Giải:
Ta có
 
 
2
2 2
1 1
1 1
2
1 1
1 1
2 .
n n n n
n n n
n n n
n n n n
u av u av
u u av
av au v
u av u av

 
 
 
 

  

 
 

 




  


 
 
 
 
1 1
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
n n
n n

n n n n
n n n n
u av u av u av a
u av u av u av a
 
 
 
 
 
     
 
 
 
 
     
 

   
   
1 1
1 1
2 2
2 2
1
2
1
2 2
n n
n n
n

n
u a a
v a a
   
   
 
 

 
   

 
  


 

   
 

 



2) Áp dụng kết quả phần trên ta tìm được công thức tổng quát của dãy


26
 
1

2
1
1
:
, 2
2
n
n
n
n
x
x
x a
x n
x








  



Xét hai dãy
   
1 1

2 2
1 1
1 1
, 1
, : , 2
2 . , 2
n n n n n
n n n
u v
u v u u av n
v u v n

 
 
 


   


  


Ta có
   
   
1 1
1 1
2 2
2 2

, 1
n n
n n
n
n
n
a a a
u
x n
v
a a
 
 
 
 
 
  
 
 
   
 
  
 
 

Ví dụ 1.21: Tìm công thức tổng quát của dãy
 
1
2
1 1

1
:
5 24 8, 2
n
n n n
u
u
u u u n
 




    



Giải:
Ta có
2 3 4
9, 89,u 881
u u
  

Giả sử
1 2
. . , 3
n n n
u xu yu n
 

   
9 89 10
89 9 881 1
x y x
x y y
  
 
 
 
   
 

Ta chứng minh:
1 2
10 , 3
n n n
u u u n
 
   

Từ công thức truy hồi của dãy ta có
2
1 1
5 24 8
n n n
u u u
 
  

 

2
2
1 1
5 24 8
n n n
u u u
 
   

2 2
1 1
10 . 8 0
n n n n
u u u u
 
    
(1)
Thay
n
bởi
1n 
ở (1) ta được
2 2
1 1 2 2
10 . 8 0
n n n n
u u u u
   
    
(2)

Từ (1) và (2)
2
,
n n
u u


là nghiệm của phương trình :
1
2 2
1
10 . 8 0
n
n
t u t u


   

Theo định lý Vi-ét ta có :
2 1
10
n n n
u u u
 
  
đpcm
Vậy
1 2 1 2
10 10 0

n n n n n n
u u u u u u
   
     

Ta có phương trình đặc trưng của dãy
 
2
5 2 6
: 10 1 0
5 2 6
n
x
u x x
x

 
   

 



   
5 2 6 5 2 6
n n
n
u
 
    

27
Do
1 2
1, 9
u u
 
nên giải ta tìm được
,
 
, từ đó ta nhận được công thức tổng quát
của dãy
 
n
u
là:
   
1 1
6 2 6 2
5 2 6 5 2 6 , 1
2 6 2 6
n n
n
u n
 
 
     

Kết quả 1.12:

1) Dãy
 
1
2
1 1
1
:
5 8, 2
n
n n n
u
u
u u au n
 




    


là dãy nguyên
24a 

Thật vậy
 
2

5 8 5 8u a t t a       


 
 
2
2
3
5 8 5 8
u t t
     

 
 
 
2
2 2
3
8 5 8u f t t t m
         

Mà
 
 
 
2 2
2 2
5 4 5 14
t t f t t t     

Do
 
f t
là số chẵn nên ta suy ra
2
5m t t x  
với
 
6,8,10,12
x 

Thử trực tiếp ta thấy
4t 
là thỏa mãn. Vậy
24a 
.

2)Với dãy số
 
 
1
2
2
1 1
: 1
, 2
n
n n n
u
u a b

u au bu c n

 



 

    



,ta xác định công thức tổng quát của dãy như sau:
Từ công thức truy hồi
 
2
2 2 2
1 1 1 1
2 0
n n n n n n n
u au bu c u au u u c
   
        

Thay
n
bởi
1n 
, ta có
2 2

1 1 2 2
2 0
n n n n
u au u u c
   
   

2 1
2
n n n
u u au
 
  


3)Với dãy
 
 
1
2
1
2
1 1
: 0, 1, 1
, 2
n
n
n
n n
u

u
u a a b
u n
au cu b



 



   

  

 


,ta xác định công thức tổng quát như sau:
Ta viết lại công thức truy hồi dưới dạng:
2
1 1
1
n n n
a b
c
u u u
 
  

Đặt
1
n
n
v
u

, khi đó ta có
2
1 1n n n
v av bv c
 
  
là dãy mà ta đã xét ở trên.