CÁCH TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
Trong chương trình toán THPT học sinh đã được tiếp cận với giới hạn của dãy số và hàm số,
đã biết cách tìm giới hạn hàm số hữu hạn và vô hạn. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán về cách
tìm giới hạn rất phong phú và đa dạng, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về giới hạn hàm số mà
rất ít các em nhận biết phương pháp giải và đa số trình bày chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí
còn mắc một số sai lầm không đáng có.
Với lại trong chương trình SGK Đại số lớp 11 hiện hành bài toán tìm giới hạn hàm số còn
rất ít và hạn hẹp, chưa phân loại các dạng vô định khi tìm giới hạn và cả cách giải đối với từng dạng
vô định, điều này gây khó khăn cho nhiều em học sinh nhất là khi tiếp cận với một lí thuyết toán
học mới, đó là giới hạn, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế và chưa phân loại.
Qua nội dung của chuyên đề này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương
pháp và một số kỹ năng cơ bản, đồng thời giúp học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình
tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi tính giới hạn. Hy vọng chuyên đề nhỏ này sẽ giúp các em học
sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một lớp các bài toán về cách tìm giới hạn
dãy số và hàm số, qua đó các em học sinh sẽ có thêm tài liệu ôn tập chuẩn bị cho kì thi học kì II sắp
tới.
CHUYÊN ĐỀ : CÁCH TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ
VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
VẤN ĐỀ 1 : GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
A.Một số giới hạn thường gặp:

3
1 1
1.lim 0 ;lim 0
1 1
2.lim 0 ;lim 0
3.lim 0 , 1
4.lim ;
5.lim , 1
k
n

k
n
k
n n
n n
q q
n k
q q
+
+
= = ∀ ∈
= =
= <
= +∞ ∀ ∈
= +∞ >
¢
¢
B.Định lí:
• Nếu
lim
lim
n
n
u a
v
=


= ±∞


thì
lim 0
n
n
u
v
=
• Nếu
lim 0
lim
n
n
u a
v
= <


= +∞

thi
( )
lim .
n n
u v
= −∞
GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG
CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
• Nếu
0
lim 0

lim 0
0,
n
n
n
u a
v
v n n
= >


=


< ∀ >

thì
lim
n
n
u
v
= −∞
VD6: Tìm các giới hạn sau:
( )
2
3
3
) lim 4 1
2 2 1

) lim
3 3
a n n
n n
b
n n
− +
+ −
− +

( )
2
2
2
1
)lim
4 1 1
4 2 3
) lim
2 5.3
n n
n
n
n n n
c
n n
d
+
+
+ +

+ + −
+ +
− +

(
)
2
)lim 2 3e n n n+ + −
Giải:
( )
2 2
2
4 1
)lim 4 1 lim . 1a n n n
n n
 
 
− + = − + = −∞
 ÷
 
 
 
Vì
2
lim n
= +∞

2
4 1
lim 1 1 0

n n
 
− + = − <
 ÷
 
3
2 3
3
2 3
2 1
2
2 2 1 2
) lim lim
1 3
3 3 3
3
n n
n n
b
n n
n n
+ −
+ −
= =
− +
− +
2
2
2
2

2
2 2
1
1
)lim lim
1
4 1 1
4 1
1 1
1 1 1
2
lim lim
3
1 1 1
4 1 4 1
n n
n
n n n
c
n n
n n
n
n n
n n
n n
n n n
 
+ +
 ÷
+ +

 
=
+ + −
 
+ + −
 ÷
 
+ + + +
= = =
+ + − + + −
( ) ( )
2
1
4 2 3 4 2 9.3
) lim lim
2 5.3 2. 2 5.3
1 2
4 9
9
3 3
lim
5
2
2. 5
3
n n n n
n n
n n
n n
n

d
+
+
+ + + +
=
− + − − +
   
+ +
 ÷  ÷
   
= =
−
 
− +
 ÷
 
GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG
CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
(
)
2
2
2
2 3
)lim 2 3 lim
2 3
3
2
lim 1
2 3

1 1
n
e n n n
n n n
n
n n
+
+ + − =
+ + +
+
= =
+ + +
BÀI TẬP Dạng 1:
BT1: Tìm các giới hạn sau:
( )
( )
3
9
) lim 2 5 9
) lim 8 3 1
a n n
b n n
− − +
− +

( )
( )
4
2
) lim 6 1

) lim 2 3 7
c n n
d n n
− +
− +
Dạng 2:
BT2: Tìm các giới hạn sau:
3 2
3 2
2 3 3
3
2 1 5 2 1 7 3
) lim )lim ) lim
3 2 2 2
2 1 3 1 2 1
)lim ) lim )lim
3 3 3 2 5 3 4
n n n n n
a b c
n n n n
n n n n
d e f
n n n n
+ − + −
− + − +
+ − + − +
− + + − −
( ) ( )
( )
( )

( ) ( )
2
2
5 2
3
2 3
1 10
4 3
) lim )lim
3 2 1 4
1 3 3
n n
n n
g h
n n
n n
+ −
−
− −
+ −
BT3: Tìm các giới hạn sau:
( ) ( )
( ) ( )
3 3
2 1 3
8 2
) lim )lim
3 1 3 2
n n n
n n

a b
n n n
+ +
+
− + − −
2
2 1 3 5
) lim )lim
2
8 1
n n n n
c d
n
n
+ + + −
−
+
3
3
2
2
1 3 1 2 3 ... 2
) lim )lim
3 2
1
n n n n
e f
n n
n n
+ − + + + +

+ −
+ +
Dạng 3:
BT4: Tìm các giới hạn sau:
( )
( )
( )
1
1
1
1
2
1 2 1
2 3
3 4
) lim )lim
1 3.4
2 3
3 4.5
2 3 4.5
) lim )lim
2.4 3.5 2 3 5
n
n
n
n
n
n
n
n

n n n
n n n n n
a b
c d
+
+
+
+
+
+ + +
− +
+
+
− +
− −
− +
+ + +
Dạng 4:
BT5: Tìm các giới hạn sau:
GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG
CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
( )
( )
(
)
(
)
2
32 3 2
) lim 4 5 2 )lim 2 1

) lim 3 9 1 )lim 2
a n n n b n n
c n n d n n n
+ − + −
− + − −
BÀI TẬP TỔNG HỢP
BT6: Tìm các giới hạn sau:
( )
(
)
2 1
3 2
3 2
3 1 3 4
) lim 3 5 2 )lim 2 3 ) lim )lim
2 1 5
n n
n
n n
a n n b n n n c d
n n
+
+ + +
− + − + −
− + − −
( )
2 3 1
4
3 2 3
2

4 1 3 2 2 2 1 2 3 11
) lim )lim ) lim )lim 7 6 9
6 8 11 3 2 4
4
n n
n n
n n n n
e f g h n n
n n
n n n
+
+ +
+ − + − + − − +
− −
− + + −
+ +
( )
( )
2
3
2 3
2 3
2 1
4 1 3 2 1 8 3 1
) lim )lim ) lim )lim
2 2 3 3 1 2 3
n n n
n n n n
i j k l
n n n n n n

+ −
− − + − + −
+ + − − + +
( )
(
)
2 2 2
2
1 2
3
2 3
2 5
4 2 1 3 4 1
) lim )lim 2 1 1 ) lim )lim
3 5
9 2 27 3
n
n
n n
n n n n n
m n n n n o p
n n n n n
+ +
− −
+ − + + − +
+ − − +
+
+ − − +
*BT7: Tìm các giới hạn sau:
( )

( )
( )
( )
( )
( )
( )
10
3
1
4
1
5
2
2009
3
2010
2
3 2 1
3 2
) lim )lim
5 3
2 1 . 2 3
( 3 1). 2 2
) lim
5 1 . 3 4
1 1 1
)lim ...
1.2 2.3 1
n n
n n

n n
a b
n n
n n
c
n n
d
n n
+
+
+
+
+
− −
− + +
− −
 
+ + +
 
+
 
( ) ( )
2 2 2
1 1 1
) lim ...
1.3 3.5 2 1 2 1
1 1 1
) lim 1 1 .... 1
2 3
e

n n
f
n
 
+ + +
 
− +
 
 
    
− − −
 ÷ ÷  ÷
 
    
 
( )
2
1 2 3 4 ... 2 1 2
) lim
4 1
n n
g
n
− + − + + − −
+
(
)
2
) lim 3 5 9 1h n n− − +
(

)
3
3 2
) lim 8 1 4 5i n n n+ − − +

( )
) lim 4 2
n
n
j
 
+ −
 
VẤN ĐỀ 2: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 2.1: Tính giới hạn hàm bằng định nghĩa
Tìm
0
lim ( )
x x
f x
→
:
Phương pháp:
Giả sử
( )
n
x
là dãy số bất kì thỏa

0 0

;
n n
x x x x
≠ →
GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG
CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
Tìm
lim ( )
n
f x
Chú ý: Trường hợp
0 0
; ;x x x x x
+ −
→ → → ±∞
chứng minh tương tự.
BÀI TẬP
BT8: Áp dụng định nghĩa tìm các giới hạn sau:
( )
( )
2
2
1
2
2
2
5 4 2 3
) lim ) lim
2 3 1 5 4
1

)lim ) lim 1
2
x
x
x x
x x x
a b
x x x
x
c d x x
x
→−∞
→−
→ →+∞
+ + −
+ + −
+
+ −
−
VẤN ĐỀ 1.2: Một số dạng thường gặp
Dạng 1: Tính giới hạn hàm bằng phép thế

( )
0
0
lim ( )
x x
f x f x
→
=

BT9: Tìm các giới hạn sau:
( )
( )
2
3
0 1
2
2
4
1 7
2 3
) lim 5 4 2 ) lim
4 1
2 1
3 3
) lim ) lim
1 2
x x
x x
x x
a x x b
x
x x
x x
c d
x x x
→ →−
→ →
−
− − +

+
−
− −
+ + +
Dạng 2: Dạng vô định
0
0
Tìm
0
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→
(với
0 0
lim ( ) lim ( ) 0
x x x x
f x g x
→ →
= =
)
Phương pháp: Khử dạng vô định
• Chia tử và mẫu cho
0
x x
−
:

( )
( )
0 0 0
0 1
1
0 1 1
( )
( )( )
lim lim lim
( ) ( ) ( )
x x x x x x
x x f x
f xf x
g x x x g x g x
→ → →
−
= =
−
Nếu
0
1
1
( )
lim
( )
x x
f x
g x
→

có dạng
0
0
thì lại chia tử và mẫu cho
0
x x
−
và khử tiếp.
• Nếu
( )f x
hay
( )g x
có chứa biểu thức dưới dấu căn thì có thể nhân tử và mẫu với biểu thức
liên hiệp, trước khi chia tử và mẫu cho
0
x x
−
.
Chú ý:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
a b a b a b
a b a b a ab b
a b a b a ab b

− = − +
− = − + +
+ = + − +
• Đa thức
2
ax bx c
+ +
có hai nghiệm
1 2
;x x
thì
( ) ( )
2
1 2
ax bx c a x x x x
+ + = − −
• Dùng lược đồ Hoocner để phân tích đa thức thành nhân tử đối với những đa thức bậc cao.
Giới thiệu về lược đồ Hoocner:
GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG
CHUYÊN ĐỀ NĂM HỌC 2011-2012 TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
Công dụng:
Dùng để chia một đa thức bậc n có dạng cho biểu thức .
Lợi dụng khả năng chia đa thức nhanh chóng, lược đồ Hoocner thường được dùng nhiều nhất trong
việc phân tích đa thức thành nhân tử, đặc biệt là đa thức bậc 3 để giải phương trình bậc 3, khi ta đã
biết được một nghiệm của phương trình (đề cho hay tự nhẩm).
Cách chia:
Nếu không dùng lược đồ Hoocner, chúng ta vẫn có thể dùng phép chia đa thức bình thường đã học ở lớp 8
để thực hiện việc chia đa thức. Ngoài ra, nếu để ý kỹ, chúng ta sẽ khám phá ra một điều thú vị rằng lược đồ
Hoc-ne được hình thành từ cách chia đa thức kinh điển mà các em đã học.
Tổng quát: Cho đa thức có một nghiệm là , khi đó để phân tích

thành nhân tử, ta chia cho bằng lược đồ Hoocner như sau:
Khi đó, ta được:
Khi có nghiệm thì ta sẽ luôn thu được . Thật đơn giản phải không nào.
ví dụ : Giải pt:
Bấm máy, ta thấy pt (1) có 2 nghiệm lẻ và một nghiệm nguyên . (Vậy, để nhẩm nghiệm nguyên cho
một pt không có tham số, cách nhanh nhất là bấm máy). Khi đó, để giải được pt (1), chúng ta cần phân tích
vế trái thành nhân tử. Sử dụng lược đồ Hoocner:
Pt (*) trở thành:
Giải phương trình (2):
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm:
• Nếu
1 2 0
x x x
= =
thì
( )
2
2
0
ax bx c a x x
+ + = −
VD7: Tìm các giới hạn sau:
2
2
1 0
2 3 1 1 2 1
) lim ) lim
1 3
x x
x x x

a b
x x
→− →
+ + + −
−
Giải:
GIÁO VIÊN : LÊ THỊ HOÀI NGÂN TỔ TOÁN TRANG