Đề giao lưu HSG Toán 8(Trường 2010-2011)

TRNG THCS NG LC
Giỏo viờn: o Cụng Cng
GIAO LU HC SINH GII
Mụn: Toỏn 8
Thi gian:
Bi 1: (4 im)
a) Chng minh rng: A= (n
2
+ n -1)
2
- 1 chia ht cho 24 vi mi s nguyờn n.
b) Tỡm tt c cỏc nghim nguyờn dng ca phng trỡnh sau: xy-2x-3y+1=0
Bài 2: ( 4 điểm) Cho biểu thức:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
P
a a a 3a 2 a 5a 6 a 7a 12 a 9a 20
= + + + +
+ + + +
a. Tìm điều kiện để P xác định và rút gọn P.
b. Tính giá trị của P biết a
4
-3a
3
+2a
2
+ 2a-4 = 0
Bài 3: ( 2 điểm): Tìm các số x,y, z thoả mãn:
2 2 2
x y z xy xz yz+ + = + +
(1) v

2010 2010 2010 2011
x y z 3+ + =
(2)
Bài 4: (8 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đờng cao AH (H

BC). Trên tia HC lấy
điểm D sao cho HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
1. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo
m AB
=
.
2. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC
đồng dạng. Tính số đo của góc AHM
3. Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh:
GB HD
BC AH HC
=
+
.
Bài 5: (2 điểm)
Cho a, b là hai số dơng, tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = ( a + b).
1 1
+
a b

ữ

Ht

HNG DN CHM
Bi 1: (4 im)
Cõu a) (2 im)
Phân tích đợc:A=(n-1).n.(n+1)(n+2) (0,5 im)
Chỉ ra A chia hết cho 3 (0,5 im)
Chỉ ra đợc A chia hết cho 8 (0,5 im)
Mà (3;8)=1 nên A chia hết cho 3.8=24 (0,5 im)
Cõu b) (2 im)
Thờm bt 5 v phõn tớch xy-2x-3y+1=0 thnh (x-3)(y-2)=5 (0,5 im)
Ch ra: x-3 = 5 => x = 8
y-2 = 1 => y = 3
Ch ra: x-3 = 1 => x = 4
y-2 = 5 => y = 7
0,25 im
0,25 im
Ch ra: x-3 = - 5 => x = -2
y-2 = -1 => y = 1
Ch ra: x-3 = - 1 => x = 2
y-2 = - 5 => y = -3
Kt lun ỳng: 0,5 im
Bài 2 ( 4 điểm)
Cõu a)
ĐKXĐ: (0,5 điểm)
Quy đồng mẫu đúng: (1 điểm)
+ Tìm mẫu chung: a.(a - 1).(a - 2).(a - 3).(a - 4).(a - 5) (0,25 điểm)
+ Quy đồng đúng: ( 0,75 điểm)
Phá ngoặc rồi thu gọn: (1 điểm)
+ Phá ngoặc đúng: ( 0,5 điểm)
+ Thu gọn đúng:
5

( 5)
P
a a
=

( 0,5 điểm)
b) Giải phơng trình:
a
4
-3a
3
+2a
2
+ 2a - 4 = 0

(a-2)(a+1)(a
2
-2a+2)=0 (0,75 điểm)

a = 2 hoặc a = -1 (do a
2
-2a+2 > 0)
a = 2 loại vì không thoả mãn ĐKXĐ (0,25 điểm)
Vậy a = -1 thoả mãn, từ đó tính đợc P=5/6 (0,5 điểm)
Bài 3 ( 2 điểm)
Ta cú: x
2
+ y
2

2xy
x
2
+ z
2


2xz (0,25đ)
y
2
+ z
2


2yz
Cng v vi v ta cú: x
2
+ y
2
+ z
2


xy + xz + yz
Du = xy ra khi x = y = z. (0,25đ)
Do ú t (1) suy ra
2 2 2
x y z xy xz yz+ + = + +

x = y = z.
Thay x = y = z vào (2) ta cú:
2010 2010 2010 2010
x 3.3x x+ + =
(0,5)
2010 2010
3. 3.3
2010 2010
3
3
3
x
x
x
x



=
=
=

=
=> x=y=z=3 (0,5đ)
x=y=z= - 3
Bài 4: (8 điểm)
a) + Vẽ hình đúng tới câu a)
(0,25 đ)
+ Hai tam giác ADC và BEC có:

Góc
à
C
chung.
0,25 im
0,25 im
(0,5)

CD CA
CE CB
=
(Hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) (1,75 đ)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c).
Suy ra:
ã
ã
0
135BEC ADC= =
(vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết).
Nên
ã
0
45AEB =
do đó tam giác ABE vuông cân tại A. Suy ra:
2 2BE AB m= =
(1 đ)
b) Ta có:
1 1
2 2
BM B E AD

BC BC AC
= ì = ì
(do
BEC ADC :
) ( 1 đ)
mà
2AD AH=
(tam giác AHD vuông vân tại H)
nên
1 1 2
2 2
2
BM AD AH BH BH
BC AC AC BE
AB
= ì = ì = =
(do
ABH CBA :
) ( 1 )
Do đó
BHM BEC :
(c.g.c), suy ra:
ã
ã
ã
0 0
135 45BHM BEC AHM= = =
( 1 )
c) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là phân giác góc BAC.
Suy ra:

GB AB
GC AC
=
, mà
( ) ( )
//
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
= = =:
( 1 )
Do đó:
GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HD HC BC AH HC
= = =
+ + +
( 1 )
Bài 5: (2 điểm)
+ Nhân đa thức với đa thức có: A =
a b
2+ +
b a

ữ

( 0,5 đ)
+ Xét biểu thức

a b a b
+ 2

b a b a
a b
+ 2
b a


g g
A

4
Dấu = xảy ra khi a = b = 1
+ Vậy Min A = 4 khi a = b = 1 ( 0,5 đ)
( 0,5 đ)
( 0,5 đ)