Đề thi học sinh giỏi huyện Khoái Châu môn toán 8 năm học 2014 - 2015(có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
HUYỆN KHOÁI CHÂU
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học: 2014 - 2015
Môn thi: TOÁN 8
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (1,5 điểm). Cho biểu thức : A=
)2
2
10
(:)
36
6
4
2
1
(
2
3
2
−+
+
−
−
+
−
+
+
x
x
x

x
xx
x
x

a) Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A khi
3
1
=x
.
c) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
Bài 2. (1,5 điểm).
a) Phân tích đa thức
2 2 2
( ) ( ) ( )a b c b c a c a b
− + − + −
thành nhân tử.
b) Cho a + b + c
≠
0 và a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. Tính giá trị của N =
( )
2015 2015 2015
2015

a b c
a b c
+ +
+ +
Bài 3. (1,5 điểm).
a) Tìm a, b sao cho đa thức
( )
3 2
f x ax bx 10x 4= + + −
chia hết cho đa thức
( )
2
g x x x 2= + −

b) Tìm số tự nhiên
n
để
2
4 2013n n+ +
là một số chính phương.
Bài 4. (1,0 điểm).
a) Giải phương trình:
40
)3(
9
2
2
2
=
+

+
x
x
x
b) Cho x, y, z đôi một khác nhau và
0
z
1
y
1
x
1
=++
.
Chứng minh rằng:
1
222
222
=
+
+
+
+
+ xyz
xy
xzy
xz
yzx
yz
Bài 5. (3,5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H. Từ A kẻ tia vuông góc với AB, từ

C kẻ tia vuông góc với BC, hai tia này cắt nhau tại I.
a) Chứng minh tứ giác AHCI là hình bình hành.
b) Gọi O, M, N lần lượt là trung điểm của BI, AC, BC. Chứng minh AB.OM = MN.HB
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh O, G, H thẳng hàng và HG = 2GO
Bài 6. (1,0 điểm). Cho a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
1
1)1(
2
1)1(
2
1)1(
2
222222
≤
+++
+
+++
+
+++ accbba
HẾT
Họ và tên thí sinh:
Chữ ký của giám thị 1:
Số báo danh: Phòng thi số:
ĐỀ CHÍNH THỨC
PHềNG GIO DC & O TO
HUYN KHOI CHU
HNG DN CHM
THI CHN HC SINH GII CP HUYN
Nm hc: 2014 - 2015
Mụn: TON 8

I. Hớng dẫn chung
1) Hớng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài làm,
thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.
2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần nh
hớng dẫn quy định.
3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn phải đảm bảo không sai
lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.
4) Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài phải giữ nguyên không đợc làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm
Bi ỏp ỏn im
Bi 1
(1,5 )
a) Với x

0, x


2 thì giá trị của biểu thức A đợc xác định
A=
)2
2
10
(:)
36
6
4
2
1
(
2

3
2
+
+


+

+
+
x
x
x
x
xx
x
x
=
)2
2
10
(:)
2
2
)2)(2(2
1
(
2
+
+

+
+
+
+
x
x
x
xxx
x
x
=
)
2
6
(:)
)2)(2(
)2(22
(
++
++
xxx
xxx
=
)
6
2
).(
)2)(2(

6
(
+
+
x
xx
=
x2
1
0,25
0,25
b)
3
1
=x
nên x =
3
1
hoặc x = -
3
1
(TMĐKXĐ)
Nếu x =
3
1
thì A =
5
3
Nếu x = -
3

1
thì A =
7
3
0,25
0,25
c) Để A có giá trị nguyên thì 2 - x phải là ớc của 1. Từ đó suy ra
2 - x = 1 hoặc 2 - x = -1 => x = 1 hoặc x = 3 ( TMĐKXĐ)
Vậy giá trị nguyên của x cần tìm là x = 1 ;x = 3
0,25
0,25
Bi 2
(1,5 )
a) Ta cú
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c b c a c a b a b c b c a c b c c a
+ + = + +
2 2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )b c a c c a b c b c a c a c c a b c b c= + = + + +
( )( )( ) ( )( )( )b c a c a c b c b c a c a b= + =
0,25
0,25
0,25
b) Ta cú a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc

( )
3 3 3
3 3 3
3
3
2 2 2
2 2 2
3 0
3 ( ) 3 ( ) 3 0
3 ( ) 0
( )( 2 ) 3 ( ) 0
( )( ) 0
a b c abc
a b ab a b c ab a b abc
a b c ab a b c
a b c a ab b ac bc c ab a b c
a b c a b c ab ac bc
+ + =
+ + + + + =
+ + + + =
+ + + + + + + =
+ + + + =

a
2
+ b
2
+ c
2
ab ac bc = 0 ( vỡ a +b +c

0)

2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
2ab 2ac 2bc = 0

(a b)
2
+ (b c)
2
+ (c a)
2
= 0
Vỡ (a b)
2


0

a, b; (b c)
2


0

b,c; (c a)
2


0

a, c.
0,25
Nên (a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c – a)
2

≥
0
∀
a, b,c ;
Do đó (a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c – a)
2
= 0
Khi a – b = 0 và b – c = 0 và c – a =0
⇒
a = b = c
Mà a +b +c

≠
0
⇒
a = b = c
≠
0 (*)
Thay (*) vào N ta có: N =
( )
2015 2015 2015 2015
2015
2015 2014
3 1
(3 ) 3
a b c a
a
a b c
+ +
= =
+ +
0,25đ
0,25 đ
Bài 3
(1,5 đ)
a) Ta có :
( ) ( ) ( )
2
g x x x 2= x 1 x 2= + − − +
Vì
( )
3 2

f x ax bx 10x 4= + + −
chia hết cho đa thức
( )
2
g x x x 2= + −
Nên tồn tại một đa thức q(x) sao cho f(x)=g(x).q(x)
( ) ( ) ( )
3 2
ax bx 10x 4= x+2 . x-1 .q x→ + + −
Với
( )
x=1 a+b+6=0 b=-a-6 1→ →
Với
( )
x=-2 2a-b+6=0 2→
Thay (1) vào (2) . Ta có :
a=-4
và
b=-2
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b) Giả sử n
2
+ 4n + 2013 = m
2
(m
∈
N)
+ Suy ra

( ) ( )
2 2
2 2
2 2009 2 2009n m m n+ + = ⇔ − + =

( ) ( )
2 2 2009m n m n⇔ + + − − =
+ Mặt khác
2009 2009.1 287.7 49.41= = =
và
2 2m n m n+ + > − −
nên có
các trường hợp sau xảy ra:
TH1:
2 2009 1005
2 1 1002
m n m
m n n
+ + = =
 
⇔
 
− − = =
 
• TH1:
2 287 147
2 7 138
m n m
m n n
+ + = =

 
⇔
 
− − = =
 
TH3:
2 49 45
2 41 2
m n m
m n n
+ + = =
 
⇔
 
− − = =
 
Vậy các số cần tìm là: 1002; 138; 2.
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Bài 4
(1,0 đ)
a) ĐKXĐ:
3
−≠
x
Khi đó pt
⇔
40
3

3
.2)
3
3
(
3
3
.2
22
=
+
+
+
+
+
−
x
x
x
x
x
x
x
xx
⇔
40
3
6)
3
3

(
2
2
=
+
+
+
−
x
x
x
x
x
⇔
040
3
6)
3
(
2
2
2
=−
+
+
+ x
x
x
x
Đặt t =

3
2
+x
x
, ta có: t
2
+ 6t - 40 = 0
⇔
(t - 4)(t + 10) = 0
⇔



−=
=
10
4
t
t

+ Với t = 4, ta có:
3
2
+x
x
= 4
⇒
x
2
– 4x – 12 = 0

⇔



=
−=
6
2
x
x
+ Với t = -10, ta có:
3
2
+x
x
= -10
⇒
x
2
+ 10x + 30 = 0
⇔
(x+5)
2
+
5 = 0 (vô nghiệm)
0,25đ
0,25đ
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S =
{ }
6;2−

b)
0
z
1
y
1
x
1
=++
0xzyzxy0
xyz
xzyzxy
=++⇒=
++
⇒
⇒
yz = –
xy–xz
Nên x
2
+2yz = x
2
+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)

Tương tự: y
2
+2xz = (y–x)(y–z) ; z
2
+2xy = (z–x)(z–y)
Do đó:

1
))(())(())((
=
−−
+
−−
+
−−
yzxz
xy
zyxy
xz
zxyx
yz

0,25đ
0,25đ
Bài 5
G
N
M
C
I
O
H
B
A
0,25đ
a) AH // CI (cùng vuông góc với BC)
AI // CH (cùng vuông góc với AB)

Vậy AHCI là hình bình hành
1,25đ
b) Ta có:
2
1
==
AB
MN
AH
ON

∧∧
= ONMHAB
(cặp góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)
Nên
∆
HAB đồng dạng với
∆
ONM (c.g.c)
OM
HB
MN
AB
=⇒
Vậy AB.OM = MN.HB
1,0đ
c) G là trọng tâm của tam giác ABC thì G thuộc đoạn AN và
2
1
=

AG
GN

Chứng minh
∆
HAG đồng dạng với
∆
ONG (c.g.c)
Suy ra:
∧∧
= OGNAGH

∧
=⇒
0
180HGO
Nên H, G, O thẳng hàng và HG = 2 GO
1,0đ
Áp dụng BĐT x
2
+ y
2

≥
2xy, ta có:
1
1
222
2
22

2
1)1(
2
2222
++
=
++
≤
+++
=
+++
aabaab
ababa
Lập luận tương tự, ta được:
0,5đ
Baøi 6
(1,0 đ)
VT
≤

1
1
1
1
1
1
++
+
++
+

++ ccabbcaab
=
ababcabca
ab
aababc
a
aab ++
+
++
+
++ 1
1
=
aba
ab
aab
a
aab ++
+
++
+
++ 111
1
=1
Dấu bằng xảy ra
⇔
a = b = c = 1
0,5đ
HẾT