sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình vô tỉ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TRONG ĐỊNH
HƯỚNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Lĩnh vực/ Môn: Toán

Năm học: 2014 – 2015
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải
phương trình vô tỉ”
A - ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Phương trình vô tỉ là một chủ đề rất quan trọng trong các chủ đề toán
trung học phổ thông. Các bài toán về phương trình vô tỉ thường xuyên xuất
hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng và đề thi học sinh giỏi
Thành Phố Hà Nội những năm gần đây. Các bài toán này thường gây ra rất
nhiều khó khăn cho học sinh, trong đó quan trọng nhất là bước định hướng
tìm lời giải bài toán. Do đó, việc cần thiết là phải cung cấp cho học sinh các
phương pháp thường dùng khi giải phương trình vô tỉ và định hướng lựa
chọn phương pháp hợp lí qua các bài toán cụ thể. Trong quá trình giảng dạy
ôn tập cuối năm cho học sinh lớp 12 và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 tôi
nhận thấy học sinh rất hứng thú với cách sử dụng máy tính cầm tay để tìm
nghiệm phương trình vô tỉ từ đó đề xuất ra các giải pháp tốt nhất để giải bài
toán. Cách làm này sẽ giúp học sinh tích cực hơn khi tiếp cận các bài toán
phương trình vô tỉ và phát huy được tính chủ động, sáng tạo cho các em
trong giải toán.
Với những lí do trên, tôi xin hệ thống một số dạng toán về phương
trình vô tỉ, các phương pháp giải và cách tiếp cận lời giải những dạng toán
này thông qua việc nghiên cứu đề tài:
“Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình

vô tỉ”
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN SÁNG KIẾN KINH
NGHIỆM
Năm học 2013 - 2014, khi giảng dạy môn Toán ở lớp 12A4 của
trường THPT Tùng Thiện, tôi nhận thấy đa số học sinh giải thành thạo
2
phương trình vô tỉ dạng cơ bản hoặc đơn giản nhưng các bài tập nâng cao
khiến các em tỏ ra lúng túng và lo lắng khi chưa có định hướng làm bài.
Chính điều này phần nào đã thôi thúc tôi suy nghĩ tìm tòi để thực hiện sáng
kiến kinh nghiệm: “Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải
phương trình vô tỉ”
III. MỤC ĐÍCH
Với mong muốn giúp học sinh phát triển tư duy và khả năng sáng tạo
khi giải các bài toán nâng cao hoặc một số đề thi Đại học – Cao đẳng về
phương trình vô tỉ, tạo sự tự tin, hứng thú và niềm say mê sáng tạo cho các
em, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm : “Sử dụng máy tính cầm tay
trong định hướng giải phương trình vô tỉ” áp dụng cho khối 12 ôn thi Đại
học – Cao đẳng và bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 ở trường THPT Tùng
Thiện .
Sáng kiến kinh nghiệm của tôi được trình bày theo các ví dụ với cách
sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm hữu tỉ hoặc vô tỉ của phương trình
vô tỉ từ đó lựa chọn các phương pháp, đề xuất hướng giải quyết bài toán giúp
học sinh phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo và hiểu sâu sắc hơn các
phương pháp giải phương trình vô tỉ.
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
- Điều kiện của phương trình vô tỉ.
- Phương trình tương đương, phép biến đổi tương đương, phương trình hệ
quả, phép biến đổi hệ quả.
- Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ.
V. ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU

Học sinh khối 12 và đội tuyển học sinh giỏi khối 11 – 12 của
trường THPT Tùng Thiện trong hai năm liên tiếp
NĂM HỌC LỚP SĨ SỐ
2013 – 2014
12A4 43
Đội tuyển học sinh
giỏi 11
10
2014 – 2015 Đội tuyển học sinh 10
3
giỏi 12
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ trong các đề thi Đại
học, Cao đẳng những năm gần đây, các đề thi học sinh giỏi Thành phố Hà
Nội và một số tỉnh khác.
- Đưa ra trao đổi trước tổ, nhóm chuyên môn để tham khảo ý kiến và thực
hiện.
- Kiểm tra, đánh giá chất lượng của học sinh.
- Dạy thực nghiệm trên lớp 12A4 của trường THPT Tùng Thiện năm học
2013 - 2014 và trong lớp bồi dưỡng học sinh giỏi của nhà trường.
VII. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu về phương trình vô tỉ trong một số đề thi Đại học – Cao
đẳng và đề thi học sinh giỏi trong quá trình ôn tập cuối năm lớp 12 và bồi
dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường.
VIII. ĐIỀU TRA CƠ BẢN BAN ĐẦU
Khi chưa thực hiện đề tài thì thực tế là hầu hết học sinh đều khó khăn,
lúng túng khi giải các bài toán nâng cao về phương trình vô tỉ như:
• Không có lời giải.
• Có hướng giải nhưng lời giải chưa chặt chẽ.
• Không tự tin với lời giải của mình.

Cụ thể qua khảo sát tác giả tạm phân loại học sinh như sau:
• Loại A: Có lời giải chính xác, hoàn chỉnh.
• Loại B: Có lời giải nhưng chưa chặt chẽ đầy đủ.
• Loại C: Có lời giải nhưng lời giải sai.
• Loại D: Không có lời giải.
 Số liệu điều tra trước khi thực hiện đề tài:
Trước khi thực hiện đề tài, kết quả khảo sát bài toán ví dụ 6 trong đề
tài này đối với lớp 12A4 và đội tuyển học sinh giỏi lớp 11 của trường THPT
Tùng Thiện (năm học 2013 – 2014) như sau:
Lớp Tổng số
học
Loại A Loại B Loại C Loại D
TS % TS % TS % TS %
4
sinh
Đội tuyển học sinh giỏi
11 10 1 10 5 50 3 30 1 10
12A4 43 0 0 3 9,1 16 34,1 24 54,5

B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN HỌC SINH CẦN NẮM VỮNG
1) Phương trình vô tỉ dạng cơ bản:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
0g x
f x g x
f x g x
≥


= ⇔

=  

 


( ) ( ) ( ) ( )
3
3
f x g x f x g x= ⇔ =  
 

2) Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ:
5
3) Cách sử dụng máy tính cầm tay fx-570MS tìm nghiệm của
phương trình vô tỉ:
a) Tìm nghiệm hữu tỉ của 1 phương trình vô tỉ:
Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình:
3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + +

• Cách thực hiện:
Thao
tác trên
máy
Kết quả hiển thị Ý nghĩa
6
tính

(
(
ALPHA
(X
Viết ẩn X
)
+
(X+
3
(X+3
)
(X+3)
+
(X+3) +
(X+3)+
(
(X+3)+ (
3
(X+3)+ (3
ALPHA
(X+3)+ (3X
Viết ẩn X
)
+
(X+3)+ (3X+
1
(X+3)+ (3X+1
)
(X+3)+ (3X+1)
ALPHA

(X+3)+ (3X+1)=
Viết dấu
=
CALC
2
(X+3)+ (3X+1)=2
(X+3)+ (3X+1)=2
ALPHA
(X+3)+ (3X+1)=2 X
Viết ẩn X
)
+
(X+3)+ (3X+1)=2 X+
(X+3)+ (3X+1)=2 X+
(
(X+3)+ (3X+1)=2 X+ (
2
(X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2
ALPHA
(X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2X
Viết ẩn X
)
+
(X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2X+
2
(X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2X+2
)
(X+3)+ (3X+1)=2 X+ (2X+2)
SHIFT X? SOLVE
CALC

9
= X?
9
Chọn giá
trị tùy ý
SHIFT X=
1
Nghiệm
của
phương
trình là
x = 1
CALC
7
b) Kiểm tra số nghiệm hữu tỉ của một phương trình vô tỉ
Ví dụ: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình :
( ) ( )
2
1 2 2x x x x x− + + =
• Cách thực hiện:
Thao
tác trên
máy
tính
Kết quả hiển thị Ý nghĩa
Nhập
phương
trình
(X(X-1))+ (X(X+2))=2 X
2

SHIFT X? SOLVE
CALC
9
= X?
9
SHIFT X=
0
Nghiệm
của
phương
trình là
x = 0
CALC
SHIFT X?
CALC
2
= X?
2
SHIFT X=
1.125
Nghiệm
của
phương
trình là
x = 1.125
=
9
8

CALC

Chọn X giá trị khác và ấn liên tục SHIFT – CALC cũng chỉ được
hai nghiệm x = 0 ; x =
9
8
nên ta dự đoán phương trình có đúng
hai nghiệm và đề xuất phương pháp giải phương trình : nâng lũy
thừa hai vế hoặc trục căn thức tạo nhân tử chung hoặc chia
trường hợp của x trên tập xác định của phương trình để tách căn
thức và giải phương trình .
8
c) Tìm nhân tử của phương trình có nghiệm vô tỉ:
Ví dụ: Tìm nhân tử của phương trình:
2
4 14 11 4 6 10x x x+ + = +
( Sau khi
bình phương 2 vế phương trình sẽ được phương trình hệ quả là phương
trình bậc 4, cần tìm nhân tử của phương trình đó dạng x
2
- Sx + P với S, P
lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm và biến đổi phương trình bậc 4 về
dạng tích để giải phương trình đó).
• Cách thực hiện:
Thao
tác trên
máy
tính
Kết quả hiển thị Ý nghĩa
Nhập
phương
trình

(4X
2
+14X+11)
2
= 16(6X+10)
SHIFT X?
CALC
9
= X?
9
SHIFT X=
0.15138781
8
Nghiệm của
phương trình
là
x = 0.15
CALC
ALPHA X

0.151387818
)
SHIFT Gán cho X =
A
RCL

(-) X
→
A
Tìm nghiệm thứ 2 của phương trình và gán cho X giá trị B

Nhập
phương
trình
(4X
2
+14X+11)
2
= 16(6X+10)
SHIFT X?
CALC
-2
= X?
9
-2
SHIFT X=

-1.651387819
Nghiệm của
phương trình
là
x = -1.65
CALC
ALPHA X

-1.651387819
)
SHIFT Gán cho X =
B
RCL

O
’’’ X
→
B
ALPHA Nhập A
( - ) A
+ A +
ALPHA Nhập B
O
’’’ A + B
= A + B
-1.5
A + B = -
3
2

Nhập
phép
toán
A.B
-0.25
A.B = -
1
4

Nhân tử của phương trình đã cho là
( )
2 2
3 1
.

2 4
x A B x A B x x− + + = + −

II. Sử dụng máy tính cầm tay trong định hướng giải phương trình
vô tỉ
Để giúp các em học sinh phân tích hướng giải một phương trình vô tỉ
bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, tôi xin trình bày các ví dụ tiêu biểu sau
đây được chọn lọc trong các đề thi Đại học – Cao đẳng các năm gần đây và
một số đề thi học sinh giỏi của một số tỉnh, thành phố. Từ đó giúp các em
hiểu sâu sắc hơn về các phương pháp giải các phương trình vô tỉ, tự tin hơn
khi đứng trước các bài toán giải phương trình vô tỉ.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2 2 2 1 1 4x x x+ + + − + =
(1) ( Trích đề thi
Đại học khối D năm 2005)
10
• Phân tích hướng giải:
Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm
ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên x = 3 duy nhất
( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất một số
phương pháp giải.
• Một số cách giải:
Cách 1: Phương pháp nâng lũy thừa
Điều kiện: x
≥
- 1
( )
2 2 2 1 1 4
2 2 2 1 4 1
4 2 2 1 16 8 1 1

3 9
x x x
x x x
x x x x
x
+ + + − + =
⇔ + + + = + +
⇔ + + + = + + + +
⇔ =
3x⇔ =
(Thỏa mãn điều kiện )
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Cách 2: Phương pháp dùng hằng đẳng thức
Điều kiện: x
≥
- 1
( )
( )
2
2 2 2 1 1 4
2 1 1 1 4
2 1 1 1 4
1 2
x x x
x x
x x
x
+ + + − + =
⇔ + + − + =
⇔ + + − + =

⇔ + =
3x
⇔ =
(Thỏa mãn điều kiện )
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Cách 3: Phương pháp đặt ẩn phụ
Điều kiện: x
≥
- 1
Đặt
2
1 1t x x t= + ⇒ = −
,
0t ≥
, phương trình (1) trở thành:
( )
2
2 1 2 4
2 1 4
t t t
t t
+ + − =
⇔ + − =
2t
⇔ =
(Thỏa mãn điều kiện )
Với t = 2
1 2 3x x⇒ + = ⇔ =
(Thỏa mãn điều kiện )
11

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
2 1 3 1 0x x x− + − + =
(2) ( Trích đề thi Đại
học khối D năm 2006)
• Phân tích hướng giải:
Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm
ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên x = 1 ( Dùng nhiều
lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất một số phương pháp
giải.
• Một số cách giải:
Cách 1: Phương pháp nâng lũy thừa
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
4 3 2
2
2
2 1 3 1 0
2 1 3 1
3 1 0
2 1 3 1
3 5 3 5
;

2 2
6 11 8 2 0
3 5 3 5
;
2 2
1 4 2 0
1
2 2
x x x
x x x
x x
x x x
x
x x x x
x
x x x
x
x
− + − + =
⇔ − = − + −

− + − ≥

⇔

− = − + −



 

− +
∈

 
⇔

 

− + − + =


 
− +
∈

 

⇔
 


− − + =


=

⇔

= −


Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là:
{ }
1;2 2−
Cách 2: Phương pháp đặt một ẩn phụ
Điều kiện:
1
2
x ≥

Đặt
2
1
2 1, 0
2
t
t x t x
+
= − ≥ ⇒ =

Phương trình (2) trở thành:
12
( )
( )
2
2 2
4 2
2
2
1 1
3 1 0

2 2
4 4 1 0
1 2 1 0
1 ( )
1 2 ( )
1 2 (TM)
t t
t
t t t
t t t
t TM
t L
t
 
+ +
+ − + =
 ÷
 
⇔ − + − =
⇔ − + − =
=


⇔ = − −


= − +


+) Với t = 1

1x
⇒ =

+ Với t = - 1 +
2

( )
2
1 2 1
2 2
2
x
− + +
⇒ = = −

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là:
{ }
1;2 2−

Cách 3: Trục căn thức tạo nhân tử chung
Điều kiện:
1
2
x ≥

( )
( )
( )
( )
( )

2
2
2
2
2
2
2 1 3 1 0
2 1 2 1 0
2 1
1 0
2 1
1
1 1 0
2 1
1
2 1 1
1
1
2 1 1 2
1
2 2
x x x
x x x x
x x
x
x x
x
x x
x
x x

x
x
x x x
x
x
− + − + =
⇔ − − − − + =
− −
⇔ − − =
+ −
 
⇔ − − =
 ÷
+ −
 
=

⇔

− = −

=


≤
⇔





− = − +


=

⇔

= −

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là:
{ }
1;2 2−
• Nhận xét: Trong cách giải 3 học sinh sẽ gặp khó khăn nếu
thêm bớt để trục căn thức, tạo nhân tử chung (x – 1), do đó đòi
hỏi học sinh phải tư duy để thêm bớt tạo nhân tử chung (x-1)
2

thì bài toán trở nên đơn giản!
13
( Tổng quát lên khi dùng máy tính cẩm tay tìm được nghiệm
hữu tỉ x = a thì ta có thể có hướng thêm bớt, trục căn thức tạo
nhân tử chung là (x – a) hoặc (x –a)
n
với n > 1)
Cách 4: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
2
2 1 3 1 0− + − + =x x x
(2)
Đặt
2

2 1 2 1 (a)y x y x= − ⇒ = −

Từ phương trình (2)
2
3 1 (b)x x y⇒ = − −

Từ (a) và (b) ta có hệ phương trình:
2
2
2 1 (a)
3 1 (b)
y x
x x y

= −


= − −



Trừ 2 vế của (a) và (b)
( ) ( )
2 2
1 0
1
y x
y x y x y x y x
y x


=
⇒ − = − ⇔ − + − = ⇔

= −


+ Với y = x ta có
2
0
2 1 1
2 1 0
x
x x x
x x

≥
− = ⇔ ⇔ =

− + =

(thỏa mãn (2))
+ Với
2
1
1 2 1 1 2 2
4 2 0
x
y x x x x
x x


≤
= − ⇒ − = − ⇔ ⇔ = −

− + =

(thỏa
mãn (2)
Vậy phương trình (2) có tập nghiệm là:
{ }
1;2 2−
Ví dụ 3: Giải phương trình:
3
2 3 2 3 6 5 8 0x x− + − − =
(3) ( Trích đề thi Đại
học khối A năm 2009)
• Phân tích hướng giải:
Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm
ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên x = -2 duy nhất
( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất một số
phương pháp giải.
• Một số cách giải:
Cách 1: Phương pháp đặt 1 ẩn phụ
14
Điều kiện :
6
5
x ≤

Đặt
3

3
2
3 2
3
t
t x x
+
= − ⇒ =
Phương trình (3) trở thành:
( )
( )
( )
3
3
3 2
3 2
2
2
2 3 6 5. 8 0
3
3 8 5 8 2
4
24 15 64 32 4
4
15 4 32 40 0
4
2 15 26 20 0
2
t
t

t t
t
t t t
t
t t t
t
t t t
t
+
+ − − =
⇔ − = −
≤

⇔

− = − +

≤

⇔

+ − + =

≤


⇔

+ − + =



⇔ = −

Với t = -2
⇒
x = -2 (Thỏa mãn điều kiện )
Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = -2
• Nhận xét: Vì phương trình (3) có nghiệm nguyên x = -2 nên
nếu đặt
3
3 2t x= −
hoặc
6 5t x= −
và dùng phương pháp nâng
lũy thừa thì thu được phương trình bậc 3 có nghiệm nguyên và
bài toán trở nên đơn giản!
Cách 2: Phương pháp đặt 2 ẩn phụ
Điều kiện :
6
5
x ≤

Đặt
( )
3
3 2
3 2
3 2
2 6
0 5 3 8

3 5
6 5
a x
a b
b a b
b x

= −
+ −

≥ ⇒ = ⇔ + =

= −


. Ta có hệ
phương trình :
3 2
2 3 8
5 3 8
a b
a b
+ =


+ =


15
( )

( )
2
3
3 2
2
8 2
3
8 2
5 3 8
3
8 2
3
15 4 32 40 0
8 2
3
2 15 26 20 0
2
4 ( )
−

=


⇔

−
 

+ =
 ÷


 

−

=

⇔


+ − + =

−

=

⇔


+ − + =

= −

⇔

=

a
b
a

a
a
b
a a a
a
b
a a a
a
b TM
Với a = -2
2x
⇒ = −
(Thỏa mãn phương trình (3) )
Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất x = -2
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − =
(4)
( Trích đề thi Đại học khối B năm 2010)
• Phân tích hướng giải:
Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm
ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên x = 5 duy nhất
( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương
pháp giải: Phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung là
( x- 5)
• Giải: Điều kiện :
1
6
3
x− ≤ ≤

( ) ( )
( ) ( )
( )
2
2
3 1 6 3 14 8 0
3 1 4 6 1 3 14 5 0
3 1 16 6 1
5 3 1 0
3 1 4 6 1
3 1
5 3 1 0
3 1 4 6 1
5
x x x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
+ − − + − − =
⇔ + − − − − + − − =
+ − − −
⇔ − + − + =
+ + − +
 
⇔ − + + + =

 ÷
+ + − +
 
⇔ =
Vì
3 1 1
3 1 0,
3
3 1 4 6 1
x x
x x
+ + + > ∀ ≥ −
+ + − +
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5
16
• Nhận xét: Với bài toán này thì các phương pháp khác sẽ thực
hiện rất khó khăn. Nếu không sử dụng máy tính cầm tay tìm
nghiệm x = 5 thì rất khó định hướng cách giải!
Ví dụ 5: Giải phương trình:
2
3
5 1 9 2 3 1− + − = + −x x x x
(5)
( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2012 - 2013)
• Phân tích hướng giải:
Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm
ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên x = 1 duy nhất
( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương
pháp giải: phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung là
(x – 1)

• Giải:
Điều kiện:
1
5
x ≥

( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
3
2
3
2
3
3
2
3
3
5 1 9 2 3 1
5 1 2 9 2 2 3 5
5 1
1
1 2 5 0
5 1 2
9 2 9 4
5 1

1 2 5 0 (*)
5 1 2
9 2 9 4
− + − = + −
⇔ − − + − − = + −
−
−
⇔ + − − + =
− +
− + − +
 
 
⇔ − − − − =
 
− +
− + − +
 
x x x x
x x x x
x
x
x x
x
x x
x x
x
x x
Ta có:
1 5 5 5
5 0

5 2
5 1 2 5 1 2
x
x x
≥ ⇒ ≤ ⇒ − <
− + − +
( )
2
3
3
5 1 1
5 2 0,
5
5 1 2
9 2 9 4
⇒ − − − < ∀ ≥
− +
− + − +
x x
x
x x
Từ đó, phương trình (*)
1⇔ =x
Vậy phương trình (5) có nghiệm duy nhất x = 1
Ví dụ 6: Giải phương trình:
( )
2 2
2 2 5 4 1 3+ + = − +x x x x
(6)
( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2013 - 2014)

• Phân tích hướng giải:
17
S dng mỏy tớnh fx-570MS nhp phng trỡnh
( )
( )
( )
2
2
2 2
2 2 5 4 1 3x x x x+ + = +
ta tỡm c 2 nghim ( Nhp
phng trỡnh hai ln, dựng SHIFT CALC ) s dng lnh gỏn
X

A v X

B, ta tớnh c A + B =
4
3
; A.B = -
2
3
d oỏn
khi bỡnh phng 2 v phng trỡnh thỡ thu c phng trỡnh
h qu cú nhõn t bc hai cú dng
2
4 2
3 3
x x
hoc

2
3 4 2x x
t ú cú th xut phng phỏp gii: phng phỏp nõng ly
tha a v phng trỡnh h qu hoc phng phỏp khỏc (ũi
hi s linh hot, sỏng to ca hc sinh).
Mt s cỏch gii:
Cỏch 1: Phng phỏp nõng ly tha a v phng trỡnh
h qu
( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
4 2 3 2 2 2
4 3 2
2 2
2
2 2 5 4 1 3 (6)
4 4 25 8 20 20 16 8 1 3
12 16 25 44 22 0
3 4 2 4 11 0
3 4 2 0
2 10
(Thoỷa maừn phửụng trỡnh (6))
3
2 10
(Khoõng thoỷa maừn phửụng trỡnh (6) )
3
x x x x
x x x x x x x x
x x x x

x x x
x x
x
x
+ + = +
+ + + + + = + +
+ =
+ =
=

+
=





=



Vy phng trỡnh (6) cú nghim duy nht
2 10
3
x
+
=
Cỏch 2: Phng phỏp t n ph khụng ton phn
( )
( )

( )
2 2
2 2
2 2 5 4 1 3 (6)
2 3 2 1 4 1 3
x x x x
x x x x
+ + = +
+ + = +
t
2
3t x= +
, t
3
thỡ phng trỡnh (6) tr thnh:
18
( )
( ) ( )
2
2 4 1 2 1 0
2 1 2 1 0
1
2
2 1
t x t x
t t x
t
t x
− − + − =
⇔ − − + =


=

⇔

= −



+ Với
2 2
1 1 11
3
2 2 4
t x x= ⇒ + = ⇔ = −
: Vô nghiệm
+ Với
2 1t x= −
2
2 2 2
1 1
3 2 1
2 2
3 4 4
2 10
1 3 4 2 0
3
x x
x x x
x x x x x

 
≥ ≥
 
⇒ + = − ⇔ ⇔ ⇔ =
 
 
+ = − + − =
+
−
 

Vậy phương trình (6) có nghiệm duy nhất
2 10
3
x
+
=
Ví dụ 7: Giải phương trình:
4 2
1 1+ − =x x
(7)
( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2011 - 2012)
• Phân tích hướng giải:
Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm
ta dự đoán phương trình có ít nhất 3 nghiệm nguyên là x =
±
1
và x = 0 ( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất
phương pháp giải: phương pháp nâng lũy thừa hoặc phương
pháp khác.

• Một số cách giải:
Cách 1: Phương pháp nâng lũy thừa
( )
( ) ( )
( )
4 2 2 4
4
2 6 2
2 4 8
2 4 2
1 1 1 1
1 1
1 0
2 1 0
1 1 2
0
1 1
1
1 1 1 0
5 1
2
+ − = ⇔ − = −
− ≤ ≤


− ≥
 
⇔ ⇔
 
− + =

− = − +






=

− ≤ ≤



⇔ ⇔ = ±

+ − + − = 



−
= ±


x x x x
x
x
x x x
x x x
x
x

x
x x x x x
x
19
Vậy phương trình (7) có tập nghiệm là :
5 1
0; 1;
2
 
−
 
± ±
 
 
 

Cách 2: Phương pháp đặt 1 ẩn phụ.
Điều kiện :
1 1− ≤ ≤x
Đặt t =
2
1− x
, t ≥ 0, x
2
= 1 – t
2
phương trình (7) trở thành:
( )
( )
( )

2
2 4 2
2
1 1 2 0
0
1 1 0 1
5 1
2
t t t t t
t
t t t t t
t
− + = ⇔ − + =


=

⇔ − + − = ⇔ =


−

=



+ Với t = 0
2
1 0 1x x⇒ − = ⇔ = ±

+ Với t = 1
2
1 1 0x x⇒ − = ⇔ =
+ Với t =
5 1
2
−

2 2
5 1 5 1 5 1
1
2 2 2
x x x
− − −
⇒ − = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy phương trình (7) có tập nghiệm là :
5 1
0; 1;
2
 
−
 
± ±
 
 
 

Cách 3: Phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung
Điều kiện :
1 1− ≤ ≤x

(
)
( )
(
)
4 2 4 2
2
4 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
4 2
2 2
1 1 1 1 0
1
0 0
1 1 1 1
0
0
1 1 0
1 1 0
0 0 0
1 1 1
1 0
1
5 1
2
+ − = ⇔ + − − =
 
−

⇔ + = ⇔ − =
 ÷
− + − +
 
=

=


⇔ ⇔

− − − =
− − − =








= = =




⇔ = ± ⇔ = ± ⇔ = ±






+ − =

− =

−

= ±


x x x x
x
x x x
x x
x
x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x
x
20
Vậy phương trình (7) có tập nghiệm là :
5 1
0; 1;
2
 

−
 
± ±
 
 
 

Cách 4: Phương pháp đặt ẩn phụ lượng giác
Điều kiện :
1 1− ≤ ≤x
Đặt x = cost,
0;t
π
 
∈
 
thì phương trình (7) trở thành:
( ) ( )
( )
( )
4 2 4
2 2
2 2
2
3
1 cos 1 sin 1
1 cos 1 cos sin 0
sin 1 cos sin 0
sin sin 2 sin 1 0
sin 0

sin 0
sin 1
sin 2sin 1 0
5 1
sin (Dosint 0)
2
cos t t cos t t
t t t
t t t
t t t
t
t
t
t t
t
+ − = ⇔ + =
⇔ − + − =
⇔ + − =
 
⇔ − − =
 


=


=
⇔ ⇔ =



− + =


−

= ≥



+ Với sint = 0
⇒

0
1
t
x
t
π

=
⇒ = ±

=


+ Với sint = 1
⇒

0
2

t x
π
= ⇒ =

+ Với sint =
5 1
2
−
⇒

2
2
5 1 5 1 5 1
cos 1 cos
2 2 2
t x t
 
− − −
= − = ⇒ = = ±
 ÷
 ÷
 
Vậy phương trình (7) có tập nghiệm là :
5 1
0; 1;
2
 
−
 
± ±

 
 
 

Cách 5: Phương pháp đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Đặt a = x
2
;
2
1b x= −
(a ≥ 0; b ≥ 0)
2
1a b⇒ + =
(a)
Từ phương trình (7)
2
1a b⇒ + =
(b)
Trừ 2 vế của (a) cho (b) ta có:
( )
( ) ( )
2 2
0 1 0
1
b a a b b a a b
b a
b a
− + − = ⇔ − + − =

=

⇔

= −


21
+ Với b = a
2 2 4 2
5 1
1 1 0
2
x x x x x
−
⇒ − = ⇔ + − = ⇔ = ±
( thỏa mãn (7))
+ Với b = 1- a
2 2 4 2
0
1 1 0
1
x
x x x x
x

=
⇒ − = − ⇔ − = ⇔

= ±

( thỏa mãn (7))

Vậy phương trình (7) có tập nghiệm là :
5 1
0; 1;
2
 
−
 
± ±
 
 
 

Ví dụ 8: Giải phương trình:
2
3
2 3 7 3 4 4 0− + − + =x x x
(8)
( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2014 - 2015)
• Phân tích hướng giải:
Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm
ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên duy nhất x = 1
( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương
pháp giải: phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung hoặc
phương pháp khác.
• Một số cách giải:
Cách 1:
( )
( )
( )
( ) ( )

( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
3
2
3
3
2
2 2
3
3
2
2
2 2
3
3
2
2 2
3
3
2 3 7 3 4 4 0 (8)
2 1 5 3 4 4 0
5 27 4 4
2 1 0
5 3 5 4 4 9 4 4
1 17

2 1 0
5 3 5 4 4 9 4 4
17
1 2 0 (*)
5 3 5 4 4 9 4 4
− + − + =
⇔ − + + − + =
+ − +
⇔ − + =
+ + + + + +
− +
⇔ − + =
+ + + + + +
 
+
 
⇔ − + =
 
+ + + + + +
 
x x x
x x x
x x
x
x x x x
x x
x
x x x x
x
x

x x x x
Từ phương trình (8)
2
3
3 4 4 2 3 7x x x⇒ + = − +
mà
2
2 3 7 0,x x x− + > ∀
3
4 4 0 1x x⇒ + > ⇒ > −
( ) ( ) ( )
2 2
3
3
17
2 0, 1
5 3 5 4 4 9 4 4
+
⇒ + > ∀ > −
+ + + + + +
x
x
x x x x
22
Khi đó, phương trình (*)
1x⇔ =

Vậy phương trình (8) có nghiệm duy nhất x = 1.
• Nhận xét: Trong bài toán này học sinh sẽ gặp khó khăn nếu
thêm bớt để trục căn thức, tạo nhân tử chung (x – 1), do đó đòi

hỏi học sinh phải tư duy để thêm bớt tạo nhân tử chung (x-1)
2

và để ý giá trị của x suy ra được từ phương trình (8) thì bài
toán trở nên đơn giản!
Cách 2: Phương pháp đánh giá
( )
2
3
2
3
2 3 7 3 4 4 0 (8)
2 1 3 4 4 5 (*)
− + − + =
⇔ − = + − −
x x x
x x x
Từ phương trình (8)
2
3
3 4 4 2 3 7x x x⇒ + = − +
mà
2
2 3 7 0,x x x− + > ∀
3
4 4 0 1x x⇒ + > ⇒ > −
Ta chứng minh:
3
3 4 4 5+ − −x x
≤ 0,

1x∀ > −

Thật vậy,
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
3
3 4 4 5 0 5 27 4 4 1 17 0+ − − ≤ ⇔ + ≥ + ⇔ − + ≥x x x x x x
: luôn
đúng với mọi x > - 1.
Vậy ta có:
( )
2
3
2 1 0, 1
3 4 4 5 0, 1
x x
x x x

− ≥ ∀ > −



+ − − ≤ ∀ > −

nên phương trình
(*)
( )
2
3
2 1 0

1
3 4 4 5 0
x
x
x x

− =

⇔ ⇔ =


+ − − =


Vậy phương trình (8) có nghiệm duy nhất x = 1.
• Nhận xét: Khi sử dụng máy tính cầm tay dự đoán được phương
trình có nghiệm duy nhất thì ta có thể nghĩ đến phương pháp
đánh giá. Trong phương trình (8) có thể dễ dàng biến đổi vế
trái thành
( )
2
2 1x −
, từ đó định hướng chứng minh vế phải có
giá trị không dương.
Ví dụ 9: Giải phương trình:
5 3
15 11 28 1 3+ + = −x x x
(9)
23
( Trích đề học sinh giỏi Thành Phố Hà Nội năm 2006 - 2007)

• Phân tích hướng giải:
Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình và tìm nghiệm
ta dự đoán phương trình có nghiệm nguyên duy nhất x = - 1
( Dùng nhiều lần SHIFT – CALC ) từ đó có thể đề xuất phương
pháp giải: phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung hoặc
phương pháp khác.
• Một số cách giải:
Cách 1: Phương pháp trục căn thức tạo nhân tử chung.
Điều kiện:
1
1 3 0
3
x x− ≥ ⇔ ≤

( )
( )
( )
( )
5 3
5 3
4 3 2
4 3 2
15 11 28 1 3
15 11 26 1 3 2 0
3 3
1 15 15 26 26 26 0
1 3 2
3
1 15 15 26 26 26 0 (*)
1 3 2

+ + = −
⇔ + + − − − =
− −
⇔ + − + − + − =
− +
 
⇔ + − + − + + =
 ÷
− +
 
x x x
x x x
x
x x x x x
x
x x x x x
x

Ta có:
2
4 3 2 2 2
4 3 2
89 1
15 15 26 26 26 15 26 26 0,
2 4 3
3 1
15 15 26 26 26 0,
3
1 3 2
   

− + − + = − + − + > ∀ ≤
 ÷  ÷
   
⇒ − + − + + > ∀ ≤
− +
x
x x x x x x x x
x x x x x
x

Do đó, phương trình (*)
1
⇔ = −
x
(Thỏa mãn điều kiện )
Vậy phương trình (9) có nghiệm duy nhất x = -1
Cách 2: Phương pháp đánh giá
Xét hàm số
( ) ( )
5 3
1 1
15 11 28, ; 1 3 ,
3 3
= + + ≤ = − ≤f x x x x g x x x
Ta có f ’(x) = 75x
4
+ 33x
2
≥ 0,
1

3
∀ ≤x

⇒
f(x) đồng biến trên
1
;
3
 
+∞
÷

 


3 1
'(x) 0,
3
2 1 3
g x
x
−
= < ∀ <
−

⇒
g(x) nghịch biến trên
1
;
3

 
+∞
÷

 
+ Nếu x = -1 thì thỏa mãn phương trình (9)
24
+ Nếu
1x
< −
thì
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
f x f
g x g

< − =

⇒

> − =


phương trình (9) vô nghiệm.
+ Nếu
1
1
3

x− < ≤
thì
( ) ( )
( ) ( )
1 2
1 2
f x f
g x g

> − =

⇒

< − =


phương trình (9) vô nghiệm.
Vậy phương trình (9) có nghiệm duy nhất x = -1
Ví dụ 10: Giải phương trình:
2 2
5 10 60 24 5+ − = − −x x x x
(10)
( Trích đề học sinh giỏi Cần Thơ – Vòng 2 - năm 2008 - 2009)
• Phân tích hướng giải:
Sử dụng máy tính fx-570MS nhập phương trình
( )
2
2 2
5 10 60 24 5x x x x+ − = − −
ta tìm được 2 nghiệm ( Nhập

phương trình hai lần, dùng SHIFT – CALC ) sử dụng lệnh gán
X
→
A và X
→
B, ta tính được A + B =-4; A.B = - 10 dự đoán
khi bình phương 2 vế phương trình thì thu được phương trình
hệ quả có nhân tử bậc hai có dạng
2
4 10x x+ −

từ đó có thể đề xuất phương pháp giải: phương pháp nâng lũy
thừa đưa về phương trình hệ quả hoặc phương pháp khác (Đòi
hỏi sự linh hoạt, sáng tạo của học sinh).
• Một số cách giải:
Cách 1: Phương pháp nâng lũy thừa
25