Đề thi toán cao cấp 2 (Giải tích)

TOÁN CAO CẤP I (ĐẠI SỐ)
Câu I:
Chứng minh C
n
1
+ 2C
n
2
+ ……+ nC
n
n
= n2
n – 1
Câu II:
Chứng tỏ rằng tập các số nguyên Z với phép toán * xác định bởi:
a * b = a + b – 10
là một nhóm aben.
Câu III:
Chứng tỏ rằng vành Z
p
các số nguyên môđulô p là một trường khi và
chỉ khi p là một số nguyên tố.
Câu IV:
Trên tập hợp các số nguyên Z, xét các quan hệ hai ngôi T sau:
yxxTyZyx −⇔∈∀ ,,
là số chẳn.
T có phải là một quan hệ tương đương hay không? Nếu T là quan hệ
tương đương, hay tìm các lớp tương đương và tập hợp thương.
TOÁN CAO CẤP II (GIẢI TÍCH)
Câu I:
Cho hàm số

)1ln()(
2
xxxf ++=
.
a) Tìm miền xác định và khảo sát tính chẵn lẻ của hàm số.
b) Chứng minh
Rxxfxf ∈∀>+ ,0)(')("
Câu II:
Tìm giới hạn sau đây:
a)
2
0
cos
2
lim
x
xe
x
x
−
→

b)
xx
xx
x
+
−−+
→
2

4
3 2
0
211
lim
Câu III:
Tính các tích phân sau đây:
a)
dx
xx
arctgx
∫
+ )1(
22
. b)
dx
x
x
∫
−
2
2
1
.
c)
∫
−
2
1
2

1
dx
x
x
. d)
∫
+∞
0
sin xdxx
.
Câu IV:
Giải các phương trình vi phân sau:
a)
11' −+=++ yxyxy
.
b)
329'6"
2
+−=+− xxyyy
.