Đề và đáp án thi thử ĐH chuyên Vĩnh Phúc lần 2

S GD&T VNH PHC KTCL ễN THI I HC LN 2 NM HC 20132014
Mụn: TON Khi D
Thi gian lm bi: 180 phỳt, khụng k thi gian phỏt
I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im)
Cõu 1 (2,0 im). Cho hm s
( )
( )
3 2 2
3 3 2 1y x m m x m m = - + - + - + , trong ú
m
l tham s.
a) Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) vi 2m = .
b) Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m sao cho th hm s (1) ct ng thng 2y = ti ba im phõn bit cú
honh ln lt l
1 2 3
, ,x x x
v ng thi tha món ng thc
2 2 2
1 2 3
18x x x + + =
.
Cõu 2 (1,0 im). Gii phng trỡnh:
2 2
4 sin
cos cos
3 3 2
x
x x

p p
+

ổ ử ổ ử
+ + - =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
.
Cõu 3 (1,0 im). Gii h phng trỡnh:
( )
2 2 4
,
7 3 6
x y
x y
x y
ỡ
+ + - =
ù
ẻ
ớ
+ + + =
ù
ợ
Ă
Cõu 4 (1,0 im). Tớnh tớch phõn:
( )
1
2
0
2014
x
I x e dx = -

ũ
.
Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp
.S ABCD
cú ỏy
ABCD
l hỡnh thang vuụng ti A v B,
, , 2 .AB a BC a AD a = = = ng thng SA vuụng gúc vi mt phng ( )ABCD , gúc gia mt phng
( )
SCD
vi mt phng
( )ABCD
bng
0
60
. Tớnh theo a th tớch khi chúp
.S ABCD
v khong cỏch t nh
B n mt phng
( )
SCD
.
Cõu 6 (1,0 im ). Tỡm cỏc s thc dng ,x y tha món h phng trỡnh sau:
2 2
2 2
2 (4 1) 2 (2 1) 32
1
2
x x y y y
x y x y

ỡ
+ + + = +
ù
ớ
+ - + =
ù
ợ
II. PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc phn B)
A. Theo chng trỡnh Chun
Cõu 7.a (1,0 im). Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng thng ( ): 2 2 0d x y - + = v hai im
(46), (0 4)A B -
. Tỡm trờn ng thng
( )d
im M sao cho vộc t AM BM +
uuuur uuuur
cú di nh nht.
Cõu 8.a (1,0 im). Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho 4 im
( ) ( ) ( )
1 0 1 , 1 23 , 01 2A B C - -
v
( )
1 1 1 6D m m - +
. Tỡm m bn im , , ,A B C D cựng thuc mt mt phng.
Cõu 9.a (1,0 im ). Ly ngu nhiờn ln lt 3 ch s khỏc nhau t 5 ch s
{
0123 4}
v xp thnh hng
ngang t trỏi sang phi . Tớnh xỏc sut nhn c mt s t nhiờn cú 3 ch s.
B. Theo chng trỡnh Nõng cao
Cõu 7.b (1,0 i m ). Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc

ABC
cõn ti nh A, bit
( )
3 3A -
, hai
nh B, C thuc ng thng 2 1 0x y - + = , im
( )
3 0E
nm trờn ng cao k t nh C. Tỡm ta hai
nh B v C.
Cõu 8. b (1,0 im ). Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im (0 1 3), (30 3)A B - - - v mt cu
(S) cú phng trỡnh :
2 2 2
2 2 2 6 0x y z x y z + + + + + - = . Vit phng trỡnh mt phng ( )P i qua hai im
,A B v mt phng ( )P ct mt cu (S) theo mt ng trũn cú bỏn kớnh l 5
Cõu 9.b (1,0 im). Gii phng trỡnh:
( )
( ) ( )
2 2
2
3 3 3
2log 4 3 log 2 log 2 4x x x - + + - - =
.
Ht
Thớ sinh khụng c s dng ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm !
S GD&T VNH PHC KTCL ễN THI I HC LN 2 NM HC 20132014
Mụn: TON Khi D
HNG DN CHM
I. LU í CHUNG:
Hng dn chm ch trỡnh by mt cỏch gii vi nhng ý c bn phi cú. Khi chm bi hc sinh lm theo

cỏch khỏc nu ỳng v ý thỡ vn cho im ti a.
im ton bi tớnh n 0,25 v khụng lm trũn.
Vi Cõu 5 nu thớ sinh khụng v hỡnh phn no thỡ khụng cho im tng ng vi phn ú.
II. P N:
Cõu í Ni dung trỡnh by im
1 a
Kho sỏt s bin thiờn v v th ca hm s (1) khi
2m =
.
1,0
Khi
2m =
hm s (1) cú dng
3
3y x x = -
a) Tp xỏc nh D = Ă .
b) S bin thiờn
+) Chiu bin thiờn:
2
' 3 3y x = - , ' 0 1y x = = .
Hm s ng bin trờn cỏc khong
( )
1 -Ơ -
v
( )
1 + Ơ
.
Hm s nghch bin trờn khong
( )
11 - .

0.25
+) Cc tr: Hm s t cc i ti
1, 2
CD
x y = - =
.
Hm s t cc tiu ti 1, 2
CT
x y = = - .
+) Gii hn:
3 3
2 2
3 3
lim lim 1 lim lim 1
x x x x
y x y x
x x
đ-Ơ đ-Ơ đ+Ơ đ+Ơ
ổ ử ổ ử
= - = -Ơ = - = +Ơ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
.
0.25
+) Bng bin thiờn:
x
-Ơ 1 - 1 +Ơ
/
y
+ 0 - 0 +

y
2 +Ơ
-Ơ 2 -
0.25
c) th:
3
0 3 0 0, 3y x x x x = - = = =
.
th hm s ct trc Ox ti cỏc im
( )
( ) ( )
00 , 30 , 30 -
.
'' 0 6 0 0y x x = = = ị
th hm s nhn im
( )
00
lm im un.
0.25
b
Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca m sao cho th hm s (1) ct ng thng 2
y = ti
4
2
2
4
10 5
5 10
1
1

2
1
2
1
0
(ỏp ỏn cú 06 trang)
1.0
bađiểmphânbiệtc ó h o à n h độl ầ n l ư ợ t là
1 2 3
, ,x x x v à đồngthờithỏamãnđẳngthức
2 2 2
1 2 3
18x x x + + =
.
Phương trình h o à n h độgiao điểmc ủ a đồ thị h à m số( 1 ) v à đườngthẳng2y = :
( ) ( )
3 2 2 3 2 2
3 3 2 2 3 3 0x m m x m m x m m x m m - + - + - + = Û - + - + - =
0 . 2 5
( )
( )
( )
2
2
3 0
3 0 2
x m
x m x m x m
x mx m
=

é
Û - + - + = Û
ê
+ - + =
ë
Đ ồ thị h à m số (1)cắt đườngthẳng 2y = tại 3điểmphânbiệtk h i vàchỉ khi(2)có h a i
n g h i ệ m phânbiệtkhácm
( )
2 2
2
3 0
2
6
4 3 0
m m m
m
m
m m
ì
+ - + ¹
>
é
ï
Û Û
í
ê
< -
D = - - + >
ë
ï

î
0 . 2 5
G i ả sử
1 2 3
; ,x m x x = l à 2n g h i ệ m của ( 2 ) . Khi đót h e o địnhl í V i e t ta
được:
2 3
2 3
. 3
x x m
x x m
+ = -
ì
í
= - +
î
D o đó
( )
2
2 2 2 2
1 2 3 2 3 2 3
18 2 1 8x x x m x x x x + + = Û + + - =
0 . 2 5
( )
2 2 2
3
2 3 18 1 2 0
4
m
m m m m m

m
=
é
Û + - - + = Û + - = Û
ê
= -
ë
.
So sánh v ớ i điềuk i ệ n củam ta được 3m = thỏa mãn.
0 . 2 5
2
G i ả i phươngtrình:
2 2
4 sin
cos cos
3 3 2
x
x x

p p
+
æ ö æ ö
+ + - =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
1.0
Ta c ó :
2 2
4 sin
cos cos

3 3 2
x
x x

p p
+
æ ö æ ö
+ + - =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2 2
1 c o s 2 1 c o s 2
4 sin
3 3
2 2 2
x x
x

p p

æ ö æ ö
+ + + -
ç ÷ ç ÷
+
è ø è ø
Û + =
0 . 2 5
2 2 2
sin 2 cos 2 cos 2 0 sin 2 2cosc o s 2 0
3 3 3

x x x x x

p p p

æ ö æ ö
Û - - + + + - = Û - - + =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
0 . 2 5
2
sin 2 cos 2 0 2sinsin 3 0x x x x Û - - - = Û - - =
0 . 2 5
sin 1
3
sin ( )
2
x
x VN
= -
é
ê
Û
ê
=
ë
2
2
x k

p

p
Û = - + (kÎZ )
0 . 2 5
3
G i ả i h ệ phươngtrình:
2 2 4
7 3 6
x y
x y
ì
+ + - =
ï
í
+ + + =
ï
î
1,0
Đ i ề u kiện:
2
2
x
y
³ -
ì
í
³
î
. Ta c ó :
2 2 4 7 2 3 2 1 0
7 3 6 7 2 3 2 2

x y x x y y
x y x x y y
ì ì
+ + - = + + + + + + - =
ï ï
Û
í í
+ + + = + - + + + - - =
ï ï
î î
0 . 2 5
Đ ặ t 7 2u x x = + + + v à
( )
3 2 ; 0v y y u v = + + - > ,ta đượch ệ
1 0
5 5
2
u v
u v
+ =
ì
ï
í
+ =
ï
î
10 5
25 5
u v u
uv v

+ = =
ì ì
Û Û
í í
= =
î î
0 . 2 5
K h i đóta c ó h ệ
( )
( )
7 2 5 1
3 2 5 2
x x
y y
ì
+ + + =
ï
í
+ + - =
ï
î
0 . 2 5
G i ả i pt( 1 ) ta được:x = 2
G i ả i pt(2)ta được:y = 6.Khi đ ó
7 2 5
2
6
3 2 5
x x
x

y
y y
ì
+ + + =
=
ì
ï
Û
í í
=
+ + - =
î
ï
î
V ậ y n g h i ệ m củah ệ phươngtrình là: (x;y ) = ( 2 ; 6)
0 . 2 5
4
Tính tích phân:
( )
1
2
0
2014
x
I x e dx = -
ò
1,0
Đ ặ t
2
2

2014
1
2
x
x
d u dx
u x
v e
d v e d x
=
ì
= -
ì
ï
Þ
í í
=
=
î
ï
î
0 . 2 5
( )
1
2 2
0
1
1 1
2014
02 2

x x
I x e e dx Þ = - -
ò
0 . 2 5
2
2
1
2 0 1 3 1
1007
0
2 4
x
e
e = - + -
0 . 2 5
2
4 0 2 9 4 0 2 7
4
e -
=
0 . 2 5
5 C h o h ì n h chóp .S ABCDcó đáyABCD là h ì n h thang v u ô n g ở A v à B,
( )
, , 2 ,AB a BC a AD a SA ABCD = = = ^ , g ó c g i ữ a m ặ t phẳng
( )
SCD v ớ i mặtđáy
bằng
0
60. Tính theoathể tích k h ố i c h ó p .S ABCDv à k h o ả n g cách từ đỉnhBđếnmặt
phẳng

( )
SCD .
1,0
G ọ i O là trung điểmADta c ó ABCOl à h ì n h v u ô n g n ê n
·
0
90
2
AD
CO ACD = Þ =
0 . 2 5
D ễ thấy:
( )
CD SAC CDSC ^ Þ ^ , dođó g ó c g i ữ a (SCD)v à m ặ t đáylàgóc
·
SCA
·
3
0
.
1 6
6 0 6 . .
3 2 2
S A B C D
A D BC a
S C A SA a V A B SA
+
Þ = Þ = Þ = =
0 . 2 5
Trong

( )
mpSAC
k ẻ
( ) ( )
( )
,AH SC AH SCD AH d A SCD ^ Þ ^ Þ =
.
Trong tam giácv u ô n g SACta có:
( ) ( )
2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 3
A S 2
a 6 2
A H a
AH A C
a
= + = + Þ =
0 . 2 5
V ì
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 3 6
/ / , , ,
2 4
2 2

a a
B O SCD d B SCD d O SCD d A S C D Þ = = = =
0 . 2 5
6
Tìm
,x y
dươngt h ỏ a mãnhệphươngtrình s a u :
2 2
2 2
2 (41 ) 2 (21 ) 3 2
1
2
x x y y y
x y x y
ì
+ + + = +
ï
í
+ - + =
ï
î
1,0
O
A
D
B C
S
H
2 2
2 2

2 (41 ) 2 y (21 ) 3 2 ( 1 )
1
(2)
2
x x y y
x y x y
ì
+ + + = +
ï
í
+ - + =
ï
î
(2)
2 2
1 1
( ) ( ) 1
2 2
x y Û - + + =
. Đặt
2 2
1 1
, 1
2 2
x a y b a b - = + = Þ + =
1
1
a
b
ì £

ï
Þ
í
£
ï
î
0 . 2 5
(1)
3 2 3 2
8 1 4 8 4 4 30a a a b b Û + + + - =
2 2
(4a11 15)( 1 ) 2 ( 1 ) 0a a b b Û + + - + - = ( 3 )
V ì :
2
4 1 1 1 5 0
1 0
a a
a
ì
+ + >
í
- £
î
( d o
1a £
)
2
(4a11 15)( 1 ) 0a a Þ + + - £
và:
2

2 ( 1 ) 0b b - £
( do
1b £
)
0 . 2 5
Þ
(3)
0
1
1
0
1
b
a
b
b
a
ì =
é
=
ì
ï
ê
Û Û
=
í í
ë
=
î
ï

=
î
(vì
2 2
1a b + =
)
0 . 2 5
+Với
1 3
1
1
2 2
0 1 1
0
2 2
x x
a
b
y y
ì
ì
ì
- = =
ïïï
=
ïïï ïïï
Û Û
í í í
=
ï ï ï

+ = = -
ï
ï ï
î
î
î
(t h ỏ a mãn)
Kết luận : Hệphươngtrình có nghiệm
3 1
( ; ) ( ; )
2 2
x y =
0 . 2 5
7.a
Trongmặtphẳng với hệtọa độOxy,chođườngthẳng ( ) : 2 2 0d x y - + = và hai
điểm (4;6),B(0;4 )A - .Tìmtrên đường t h ẳ n g ( )d điểmM saocho véc tơ
AM BM +
u u u u r u u u u r
cóđộ dàinhỏ nhất.
1,0
0 0
( ;22)( )M x x d + Î
0 0
( 4 ; 2 4)AM x x Þ - -
u u u u r
,
0 0
(x;26)BM x +
u u u u r
.

0 . 2 5
0 0
(24 ; 4 2)AM BM x x Þ + = - +
u u u u r u u u u r
.
0 . 2 5
2
0
20 20 2 5AM BM x + = + ³
u u u u r u u u u r
0 . 2 5
AM BM +
u u u u r u u u u r
nhỏnhất
0
0x Û =
(0;2)M Û
0 . 2 5
8.a
Trong khôngg i a n v ớ i h ệ tọa độOxyz, cho 4điểm
( ) ( ) ( )
1 ; 0 ; 1 , 1 ; 2 ; 3 , 0 ; 1 ; 2A B C - -
v à
( )
1 ; 1 ; 1 6D m m - + . Tìm m đểbốnđiểm , , ,A B C D cùng thuộc m ộ t mặtphẳng.
1.0
Ta c ó
( ) ( )
0 ; 2 ; 4 , 1 ; 1 ; 3A B A C = - = -
u u u r u u u r

0 . 2 5
Suy ra
( )
, 1 0 ; 4 ; 2n AB AC
é ù
= = - - -
ë û
r u u u r u u u r
.
C h ọ n
( )
1
5 ; 2 ; 1n
u r
l à m vectơ pháptuyến củamặtphẳng( A B C )
0 . 2 5
( )
:5 2 4 0mpABC x y z Þ + + - = . Để A, B , C , D đ ồ n g phẳngthì
( )
D ABC Î
0 . 2 5
( ) ( )
5.1 2. 1 1 6 4 0 4 4 0 1m m m m Û + - + + - = Û + = Û = -
0 . 2 5
9.a
Lấyngẫunhiênlần l ư ợ t 3chữ s ố k h á c nhau t ừ 5chữs ố
}
{
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4
xếp t h à n h

hàngngangtừ trái s a n g phải .Tínhxács u ấ t để nhận đượcmột sốtự nhiên có3
chữ s ố .
1,0
{ }
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4X =
+Số cách lấy 3chữ s ố khác nhaubấtkỳtừ X và xếp chúng thành hàngngangtừ
trái sangphải :
3
A
5
60= (cách). Không gian mẫu: 60 W =
0 . 2 5
+Gọi A là biếnc ố : “ Nhận được 1s ố t ự nhiên có 3 chữ s ố k h á c nhau”
Giả sửs ố có 3chữ s ố khác nhau được tạot h à n h là: abc( 0)a ¹ .
0a ¹
nên
a
có4 cách c h ọ n
b có4cáchchọn
c
có 3cáchchọn
0 . 2 5
3.4.448
A
Þ W = =
0 . 2 5
V ậ y xác suấtcầntính là:
4 8 4
( )
60 5

A
P A
W
= = =
W
0 . 2 5
7.b
Trong mặtphẳngv ớ i h ệ tọa độOxy, c h o tamgiác
ABC
cân tạiđỉnhA,biết
( )
3 ; 3A -
,
h a i đỉnhB, C thuộcđườngthẳng 2 1 0x y - + = , điểm
( )
3 ; 0E
nằmtrên đườngc a o k ẻ
từ đỉnhC .Tìmt ọ a độ h a i đỉnhBv à C.
1,0
G ọ i Ilà trungđiểmBC,do
( )
2 1 ;I BC I m m Î Þ -
, màA(3;3)
( )
2 4 ; 3A I m m Þ = - +
u u r
D o
BC
AI u ^
u u r

r
, mà
( )
2 ; 1
BC
u
r
( ) ( ) ( )
2 2 4 3 0 1 1 ; 1m m m I Þ - + + = Û = Þ
0 . 2 5
( )
2 1 ; , .B BC B b b b Î Þ - Î ¡
. D o C đ ố i xứng v ớ i B quaI , s u y ra
( )
3 2 ;2C b b - - ,
( ) ( )
2 4 ; 3 , 2 ; 2AB b b CE b b = - + = -
u u u r u u u r
.
0 . 2 5
Do
A B CE ^
u u u r u u u r
n ê n tađược:
( ) ( ) ( )
3
2 2 4 2 3 0 2;
5
b b b b b b - + - + = Û = = -
0 . 2 5

V ớ i
( ) ( )
2 3 ; 2 , 1 ; 0b B C = Þ - .
V ớ i
3 11 3 2113
; , ;
5 5 5 5 5
b B C
æ ö æ ö
= - Þ - -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
.
0 . 2 5
8.b
Trongk h ô n g gian với hệt ọ a độ Oxyz, c h o haiđiểm
(0;1 ; 3 ) , ( 3 ; 0 ; 3 )A B - - -
vàmặt
cầu ( S)có phươngtrình :
2 2 2
2 2 2 6 0x y z x y z + + + + + - =
.Viết phươngtrình
mặtphẳng ( )P điqua haiđiểm,A B vàmặtphẳng( )P cắt mặtcầu( S)t h e o một
đường tròn có bánkính là
5
.
1,0
Mặtcầu ( )S có tâm ( 1 ; 1 ; 1 )I - - - ,bánkính
3R =
.

Giả sử( P ) cóvéc t ơ pháp t u y ế n
( ; ; )n a b c
r
,
2 2 2
( 0)a b c + + >
.
mp(P) điquaA nênphươngtrình mặtphẳng ( P ) là: ( 0 ) ( 1 ) ( 3 ) 0a x b y c z - + + + + =
3 0ax by c z b c Û + + + + =
( ):33 3 0 3B P a c b c b a Î - + + = Û = -
0 . 2 5
2 2
( ,()) 3 ( 5)2d I P = - =
2 2 2
3
2
a b c b c
a b c
- - - + +
Þ =
+ +
2 2 2 2 2
2 2 2 2 10a c a b c a c a c Û - + = + + Û - + = +
2
0
3 9 4 0
4
3 9
a
a a c

c
a
=
é
ê
Û + = Û
ê
= -
ë
0 . 2 5
Với 0a = thì 0b = .Tacó phươngtrình ( ) : 3 0P z + =
0 . 2 5
V ớ i
4
.
39
a c = - Chọn 39c = t h ì 4a = - 12b = .
Tađượcphươngtrình( ) : 4 1 2 3 9 129 0P x y z - - - =
0 . 2 5
9.b
G i ả i phươngtrình:
( )
( ) ( )
2 2
2
3 3 3
2log4 3 l o g 2 log 2 4x x x - + + - - =
.
1,0
Điều k i ệ n :

( )
( )
( )
(
]
( )
2
2
2
3
2
4 0
2 0
; 3 2 ;
l o g 2 0
2 0
x
x
x
x
x
ì
- >
ï
+ >
ïïï
Û Î -¥ - È +¥
í
+ ³
ï

ï
- >
ï
î
(*) 0 . 2 5
B i ế n đổiptđãcho ta được:
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2
3 3 3 3
2
4
log 3 l o g 2 4 0 l o g 2 3 log 2 4 0
2
x
x x x
x
-
+ + - = Û + + + - =
-
( 3 )
0 . 2 5
Đ ặ t
( ) ( )
2
3
log 2 0t x t = + ³ thì pt( 3 ) trở thành

( )
2
1
3 4 0
4
t
t t
t loai
=
é
+ - = Û
ê
= -
ë
( ) ( )
2 2
3
2 3 ( )
1 l o g 2 1 2 3
2 3
x loai
t x x
x
é
= - +
= Û + = Û + = Û
ê
= - -
ê
ë

0 . 2 5
V ậ y n g h i ệ m củaphươngtrình l à 2 3x = - - .
0 . 2 5
H ế t          