Chuyên đề bất phương trình logarit
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (160.17 KB, 10 trang )
1
Bất phương trình logarit
A. Tóm tắt lý thuyết
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Giải bất phương trình
2
2 2
log 16 log 4 11
x x .
1
Giải
1
2
16 4 11
4 11 0
x x
x
2
4 5 0
11
4
x x
x
5
1
11
4
x
x
x
5
x
.
Ví dụ 2. Giải bất phương trình
2log 1 . 5 log 5 1
x x
.
1
Giải
Điều kiện:
1 0
5 0
x
x
1 5
x
.
1
2
log 5 1 log 5 5
x x
2
5 1 5 5
x x
2
1 5
x x
2
4 0
x x
1 17
2
1 17
2
x
x
.
Kết hợp điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
1 17
;5
2
.
Ví dụ 3. Giải bất phương trình
1 2
2
log log 3 1 1
x
.
1
Giải
1
2 2
log log 3 1 1
x
2 2
log log 3 1 1
x
2
0 log 3 1 2
x
1 3 1 4
x
3 3
x
1
x
.
Ví dụ 4. Giải bất phương trình
2
log 5 8 3 2
x
x x
.
1
Giải
Điều kiện:
2
0 1
5 8 3 0
x
x x
3
0; 1;
5
x
.
2
1
2 2
2 2
3
0
5
5 8 3
1
5 8 3
x
x x x
x
x x x
2
2
3
0
5
4 8 3 0
1
4 8 3 0
x
x x
x
x x
2
2
3
0
5
4 8 3 0
1
4 8 3 0
x
x x
x
x x
3
0
5
1 3
2 2
1
1
2
3
2
x
x
x
x
x
1 3
2 5
3
2
x
x
.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1 3 3
; ;
2 5 2
.
Ví dụ 5. Giải bất phương trình
2
5 2
log 5 2 2log 2 3 0
x
x
.
1
Giải
Đặt
2
log 5 2
x
t
, suy ra
1
t
và bất phương trình
1
trở thành
2
3 0
t
t
2
3 2 0
t t
1 (
2 ( )
loaïi)
thoûa maõn
t
t
.
Thay
2
log 5 2
x
t
bất phương trình
2
t
, ta có
2
log 5 2 2
x
5 2 4
x
5 2
x
5
log 2
x .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
5
log 2;
.
Ví dụ 6. Giải bất phương trình
2
2
3
12
log 7 12
7
x x
x x x
x
.
1
Giải
Điều kiện:
2
12 0
7 0
x x
x
3
4
7
x
x
x
; 3 4;7
x
.
1
2 2
3 3
log 12 log 7 7 12
x x x x x x
2 2
3 3
12 log 12 7 log 7
x x x x x x
.
Xét hàm
3
log
f t t t
,
0
t
. Ta có
1
' 1 0
ln3
f t
t
0
t
, suy ra
f
đồng biến trên
0;
. Bất phương trình đã cho tương đương với
3
2
12 7fx
f x
x
2
12 7x x
x
22
4 49
12 1xx xx
37
13
x
.
Kết hợp với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là
37
; 3 4;
13
x
.
C. Bài tập
Bài 1. Giải các bất phương trình sau
1)
3
log 2 1
x
.
2)
3
2 3
log 1
1
x
x
3)
2 3
3
log log 3 0
x
.
4)
2
3 1
1
log 0
x
x
x
.
5)
0,5
0,5
log 2 1
log
5 2
2
0,08
x
x
x
x
.
6)
1 1
3 3
3
1
2
log log 1 1
x x
.
7)
1
4
log 2
x
x
.
8)
1
1
log 2 1
log
5 3
3
0,12
x
x
x
x
.
9)
1 log 2004 2
x
.
10)
3
log 35
log 5
3
a
a
x
x
.
11)
2
4 12.2 32 log 2 1 0
x x
x
.
12)
2
4 2
2
1
log
2
x
x
x
.
13)
3
1 1
2
2 2
4 2 2
32
2 2
8
log log 9log 4log
x
x
x x
.
14)
1
5
2
5
log 6 8 2log 4 0
x x x
15)
2
1 4
2
log log 5 0
x
.
16)
2
2
log 5 6 1
x
x x
.
17)
3
2
log
5 1
x
x
.
18)
3
log 3 1
1
1
x
x
.
Bài 2. Giải các bất phương trình sau
4
1)
2
2 2
log 1 log 2 2 0
x x x x
.
2)
2
3 2 3 2
4
log .log log log
x
x x x
.
3)
3
4 1
5
log 4 1 log 3
2
x
x
.
4)
2 2
2 log log
x x
.
Bài 3. Giải các bất phương trình
1)
2
2 2
log 2 log 3 0
x x x x
.
2)
2
3 3
3 log 2 4 2 log 2 16 0
x x x x
.
5
hệ phương trình mũ và hệ phương trình logarit
Giải các hệ phương trình:
1)
2 2
log 5 log
l g l g 4
1
l g l g3
x y x y
o x o
o y o
2)
3 3
4 32
log 1 log
x y
y x
x y x y
3)
2
5 51 10
1
5
x x
y
xy
4)
1
log 2
log 23 3
x
x
y
y
5)
2
2
2
2
2 1
9 6
y x
x y
x y
x y
6)
3
12
log 1
3
y
y x
x
7)
2
4
4
9 27.3 0
1 1
l g l g lg 4
4 2
xy y
o x o y x
8)
5
3 .2 1152
log 2
x y
x y
9)
2 2
l g 1 l g8
l g l g l g3
o x y o
o x y o x y o
10)
3
3 .2 972
log 2
x y
x y
11)
3
1 2log
5 5 5
3 48
2log 2 12 log log
y x
y x y x y x
12)
3 3 2 2
9 3 3
log log log
x y x y x y
6
13)
18
log log 2 log 1
2 20 0
a a
x y a
x y a
14)
5
5
3
27
3log
y x
x y
x y x y
15)
2 1
2 4 5
3 5
8
xy xy
x y x y
x y x y
16)
2
2
2 64
x 0
y
y
x
x
17)
5
2
2 2
1
log
log
12
1
2 5
3
x
y
x y
y x
18)
2
7 10
1
8
x 0
y y
x
x y
19)
2
1
2
2 log 2log 5 0
32
x
y
x y
xy
20)
1
l g 3 l g 5 0
4 4 8 8 0
y
xx y
o x o y
21)
log 3 2 2
log 2 3 2
x
y
x y
x y
29)
2
1
12
2 2log log 5
y
x
x y
x y
30)
2 2
16
1
2
x 0
x y
x
x y
31)
2
lg 1
lg lg lg2
x y
y x
32)
3
2
4 7.2 2
3
y
x
x y
y x
7
33)
3
3
2
2
5 .2 200
5 2 689
y
x
y
x
34)
2 2
1
l g 1,5
2
2
2
10 100 10
10
6
3
2 10 9
o x y
x y
x y
22)
2,5
1,5
64
y 0
x x
x
y y
y
23)
l g l g5 l g l g l g6
l g
1
l g 6 l g l g6
o x y o o x o y o
o x
o y o y o
24)
2
2
log log 1
log 1
xy y
y
x
x
y x
25)
2 2
log log 1
x y
x y x y
x y
26)
2
6
36
4 2 log 9
x y
x
x y x
27)
2 2
2 2
log log 1
2
u v u v
u v
28)
log
log
log
p q vµ pq 0
p q
a
a
a
x y
x
x
y y
35)
l g l g
l g4 l g3
3 4
4 3
o x o y
o o
x y
36)
2
2 2 2 2
lg lg 2,5lg
a 0
xy a
x y a
37)
8 8
log log
4 4
4
log log 1
y x
x y
x y
38 )
2
2
8
2 16
2 1
0,37 1
x xy
x y
x xy x
x y
39)
3 3
log log
3 3
2 27
log log 1
y x
x y
y x
8
40)
2 2 5
2 4
x y
x y
41)
8 10
2 5
x
x
y
y
42)
2 2
2 2
0,5log log 0
5 4 0
x y
x y
43)
log
log
2
16
y
x
x
y
x
y
44)
log log
log log
log
log
512
8
2 2
y y
z z
xz
z z
x y
z
x
x z
y x
z y
45)
2
2
2
1 1
x x
x y
y
46)
9 9
2
1
x y x y
x y
x y
47)
2 .3 12
3 .2 18
x y
x y
48)
2
2
log 3
log
2 2
9 3 2
1 1 1
xy
xy
x y
49)
2cot sin
sin cot
9 3
9 81 2
x y
y gx
50)
1
2 2 2
x y
x y
51)
3 1 2 3
2
2 2 3.2
3 1 1
x y y x
x xy x
52)
log
2,5
3
log .log 2 1
y
x
y
yx x
y y x
phương trình và bất phương trình mũ chứa tham số
I) ứng dụng của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai:
(So sánh số với các nghiệm của phương trình bậc hai)
1) Giải và biện luận phương trình:
2 .2 5 .2 2 1 0
x x
m m m
9
2) Giải và biện luận phương trình:
3
3 5 3 5 2
x x
x
a
3) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
2
2
2 1
1
2 2 2 1 .2 2 6 0
x
x
m m m
4) Tìm m để phương trình:
3 .16 2 1 .4 1 0
x x
m m m
có hai nghiệm trái dấu
5) Cho phương trình:
1
4 .2 2 0
x x
m m
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
sao cho x
1
+ x
2
= 3
6) Giải và biện luận phương trình: a)
.3 .3 8
x x
m m
b)
2 .2 .2 0
x x
m m m
7) Xác định m để các phương trình sau có nghiệm:
a)
2
1 3 2 3 3 3 0
x x
m m m
b)
4 4 2 2 2 1 0
x x
m m m
8) Cho phương trình:
.16 2.81 5.36
x x x
m
a) Giải phương trình với m = 3
b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.
9) Cho phương trình:
3 2 2 3 2 2
tgx tgx
m
a) Giải phương trình với m = 6.
b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm
;
2 2
.
10) Xác định m để bất phương trình:
.4 2 1 .2 5 0
x x
m m m
nghiệm đúng với x < 0
11) Cho bất phương trình:
2 2 2
3 2 3 2 3
.9 6 16 1 4 0
x x x x x x
m m
(1)
a) Xác định m để mọi nghiệm của (1) thoả mãn bất phương trình 1 < x < 2 (2)
b) Xác định m để mọi nghiệm của (2) đều là nghiệm của (1).
12) Xác định các giá trị của m để bất phương trình:
2 2 2
2 2 2
9 2 1 6 1 4
x x x x x x
m m
0 nghiệm đúng với mọi x thoả mãn điều kiện
1
2
x
13) Cho bất phương trình:
1
1 4 2 1 0
x x
m m
a) Giải bất phương trình khi m = -1.
b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
14) Cho bất phương trình:
1
4 2 1 0
x x
m
a) Giải bất phương trình khi m =
16
9
.
b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x.
15) Xác định m để bất phương trình:
a)
2
.4 1 2 1 0
x x
m m m
nghiệm đúng với x.
b)
4 .2 3
x x
m m
0 có nghiệm.
10
c)
.9 2 1 6 .4
x x x
m m m
0 nghiệm đúng với x [0; 1]
16) Cho bất phương trình:
2 1
1 1
12
3 3
x x
(1)
a) Giải bất phương trình (1)
b) Xác định m để mọi nghiệm của (1) cũng là nghiệm của bất phương trình:
2x
2
+ (m + 2)x + 2 - 3m < 0
II) phương pháp điều kiện cần và đủ giải các bài toán mũ chứa tham số:
1) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2
1
2 1
3
x
m
2) Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
2 2
1
9 3 4 0
x x
2 1
4 .2 .4 1
x x
m m
3) Tìm m để hai phương trình sau tương đương:
1 4 2
4 2 2 16
x x x
2 1
9 .3 .9 1
x x
m m
4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
2
1
3 2
2
x
m
phương trình và bất phương trình logarit chứa tham số
I) ứng dụng của định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai:
1) Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm dương:
2
3 3
.log 3 3 5 log 2 2 1 0
x
x
m m m
2) Xác định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
1
;2
2
:
2
2 2
log log
2 2 2 6 2 1 0
x x
m m x m
3) Xác định m để bất phương trình:
2
2
2
2
log
log 1
x
m
x
nghiệm đúng với mọi x > 0.
