Các Bài Giảng Về Tổ Hợp_công thức khai triển Nhị thức Newton
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (187.55 KB, 15 trang )
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
1
Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn
PHẦN 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn
n
k n k k
n
k
n
0
a b C a b
,
n
.
2. Tam giác Pa-xcan
Từ công thức ta thấy
k
n
C
là hệ số của
n k k
a b
trong khai triển
n
a b
. Như vậy, với mỗi
n
cố
định thì hệ số của các lũy thừa trong khai triển là
0
n
C
,
1
n
C
, …,
n
n
C
. Ta xếp các hệ số của các lũy thừa
vào một bảng sao cho
+) dòng
n
là các hệ số của các lũy thừa trong khai triển
n
a b
,
+) cột
k
là hệ số của lũy thừa
n k k
a b
,
ta được một tam giác. Tam giác này được gọi là tam giác Pascal.
0
0
0 1
1 1
0 1 2
2 2 2
0 1 2 3
3 3 3 3
0 k k 1 n
n n n 0
0 k k 1 n n 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
C
C C
C C C
C C C C
C C C C
C C C C C
.
Theo công thức Pa-xcan, ta nhận thấy trong tam giác Pa-xcan tổng hai phần tử liên tiếp ở hàng
trên bằng phần tử cùng cột với phần tử thứ hai ở hàng dưới (
k k 1 k 1
n n n 1
C C C
). Hơn nữa, ta
thấy trong tam giác này, các phần tử nằm trên cột thứ nhất và trên cạch huyền bằng
1
. Từ các
nhận xét trên, ta có cách xác định nhanh các phần tử trong tam giác Pa-xcan.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
2
Ví dụ. Xét khai triển
5
a b
. Viết
6
dòng đầu tiên của tam giác Pa-xcan, ta có
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
.
Vậy
5
5 4 3 2 2 5 4 5
a b a 5a b 10a b 10a b 5ab a
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
3
PHẦN 2. CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Loại 1. Các đẳng thức suy ra trực tiếp từ công thức khai triển nhị
thức Niu-tơn
A. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Với
n
là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau.
1)
0 1 2 n
1 n n n n
S C C C C
,
2)
n
0 1 2 n
2 n n n n
S C C C 1 C
.
Giải
1) Ta có
n n
n
k k n k k n
1 n n
k 0 k 0
S C C 1 1 1 1 2
.
2) Ta có
n n
n
k k
k k n k n
2 n n
k 0 k 0
S 1 C C 1 1 1 1 0 0
.
Nhận xét: Kết quả ở câu 1) nhận được từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn khi cho
a b 1
. Kết quả ở câu 2) nhận được khi cho
a 1
,
b 1
.
Ví dụ 2. Rút gọn
1 1 1 1
S
0!2012! 1!2011! k! n k ! 2012!0!
.
Giải
Ta có
2012
k 0
1
S
k! 2012 k !
2012!S
2012
k 0
2012!
k! 2012 k !
2012
k
n
k 0
C
2012
k 2012 k k
n
k 0
C 1 1
2012
2012
1 1 2 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
4
2012
2
S
2012!
.
Ví dụ 3. Với
n
là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau:
0 2 4 2n
1 2n 2n 2n 2n
S C C C C
,
1 3 5 2n 1
2 2n 2n 2n 2n
S C C C C
.
Giải
Ta có
2n 2n
2n
k k 2n k k 2n
1 2 2n 2n
k 0 k 0
S S C C 1 1 1 1 2
.
1
2n 2n
2n
k k
k k 2n k 2n
1 2 2n 2n
k 0 k 0
S S 1 C C 1 1 1 1 0 0
.
1 2
S S
.
2
Từ
1
,
2
suy ra
2n
2n 1
2
1 2
2
S S 2
.
Ví dụ 4. Với
n
là số nguyên dương, hãy rút gọn biểu thức
0 1 2 n
2n 2n 2n 2n
S C C C C
.
Giải
Áp dụng công thức
k n k
n n
C C
ta có
2n 2n 1 2n 2 n n n 1 n 2 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n
S C C C C C C C C
2n 2n
2n
k k 2n k k 2n
2n 2n
k 0 k 0
2S C C 1 1 1 1 2
2n
2n 1
2
2
S 2
.
Ví dụ 5. Với
n
là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau:
1)
n
0 1 2 2 n n
1 n n n n
S C 2C 2 C 1 2 C
.
2)
2
n
0 1 2 n n
1 2 2
2 n n n n
n n 1 n 2
3 3 3
S C C C 1 2 C
.
Giải
1)
n n
n
k k n
k k n k
1 n n
k 0 k 0
S 2 C C 1 2 1 2 1
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
5
2)
n
n k n n
n
k n
k
5 5
1 1
2 n
3 3 3 3
k 0
S C 2 2 1
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
6
B. Bài tập
Bài 1. Giải phương trình
x 1 x 2 x 3 x 8 x 9 x 10
x x x x x x
C C C C C C 1023
.
Bài 2. Tính
k
2010 0 2009 1 2008 2 2010 k k 2010
2010 2010 2010 2010 2010
S 4 .C 4 .C 4 .C 1 4 C C.
.
Bài 3. Chứng minh
2004
0 2 2 4 4 2002 2002 2004 2004
2004 2004 2004 2004 2004
3 1
C 2 C 2 C 2 C 2 C
2
.
Bài 4. Tìm số nguyên dương
n
sao cho
1 3 5 2n 1
2n 2n 2n 2n
C C C C
2048
.
Bài 5. Rút gọn
1)
n 0 n 2 2 n 4 4 n
n n n n
S 2 C 2 C 2 C C
(
n
là số nguyên dương chẵn).
2)
n 1 n 3 n 3
n n
3 n
n
5
n
1
S 2 C 2 C 2 C C
(
n
là số nguyên dương lẻ).
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
7
Loại 2. Các đẳng thức thu được nhờ biến đổi số hạng tổng quát
A. Nội dung phương pháp
Ta đặc biệt quan tâm đến một số biến đổi sau đây.
*
n 1 !
k k 1
n!
n n 1
k! n k !
k 1 ! n 1 k 1 !
kC k n. nC
.
Tương tự ta cũng có
k k 2
n n 2
k k 1 C n n 1 C
, … .
*
k 1
k
C
n 1 !
C
n!
n 1 1 n 1
k 1 k 1 n 1 n 1
k! n k !
k 1 ! n 1 k 1 !
.
.
Tương tự ta cũng có
k 2
k
C
C
n n 2
k 1 k 2 n 1 n 2
, … .
B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Với
n
là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau:
1)
2 3 n
n
0 1 2 3 n
2 2 2
1 n n n n n
3 4 n 1
S C C C C 1 C
.
2)
n
2 3 4 n
1.2 2.3 3.4
2 n n n n
n 2 n 3 n 4
3 3 3
S C C C 1 n 1 nC
.
Giải
1)
n
k
2
k
1 n
k 1
k 0
S C
.
Với mọi
k 0
,
1
,
2
, …,
n
, ta có
n 1 !
k k 1
n!1 1 1 1
n n 1
k 1 k 1 n 1 n 1
k! n k !
k 1 ! n 1 k 1 !
C . . C
.
1
S
n
k
k 1
1
n 1
n 1
k 0
2 C
n 1
h 1
h
1
n 1
n 1
h 1
2 C
(
h k 1
)
n 1
h
h
1
n 1
n 1
h 1
2 C
n 1
h
h n 1 h
1
n 1
n 1
h 0
C 1 2 1
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
8
n 1
1 2 1
n 1
n
1 1
n 1
.
Vậy
n
1 1
1
n 1
S
.
2)
n
k
1 k k 1
k
2 n
n k
3
k 2
S C
.
Với mọi
k 2
,
3
,
4
, …,
n
ta có:
n 2 !
k k 2
n!
n n 2
k! n k !
k 2 ! n 2 n k !
k k 1 C k k 1 . n n 1 . n n 1 C
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
9
C. Bài tập
Bài 6. Tính
1)
0 2009 1 2008 k 2009 k 2009 0
2010 2010 2010 2009 2010 2010 k 2010 1
S C C C C C C C C
.
2) [ĐHB2003]
2 2 2
0 1 2 n
2 1 2 1 2 1
n n n n
2 3 n 1
C C C C
.
Bài 7. Với
n
là số nguyên dương, rút gọn
1)
1 2 n 1 n
n n n n
S C 2C n 1 C nC
.
2)
n 1 n
n n n n
0 1
S C 2C nC n 1 C
.
3)
n
2 3 n
n n n
S 2.1C 3.2C n n 1 1 C
.
4)
n
n n n
0 1
S 3.2C .3C n4
n 3 2 C
.
5)
1 2 n
0
n n n
n
C C C
S C
2 3 n 1
.
6)
1 2 n
n 0 n 1 n 2
n n n
n
C C C
S 2 C 2 2
2 3 n 1
.
Bài 8. Chứng minh
1)
0 2001 1 2000 k 2001 k 2001 0 2002
2002 2002 2002 2001 2002 2002 k 2002 1
C C C C C C C C 1001.2
.
2)
1 n 1 2 n 2 3 n 3 n n 1
n n n n
C 3 2C 3 3C 3 nC n4
(
n
nguyên dương).
3)
2n 2n 2n 2n 2n
0 1 2 3 2n
3 4 .C 2C C C
2n 0
C1
(
n
nguyên dương).
4) [ĐHA07]
1 3 5 2n 1
2n
2n 2n 2n 2n
C C C C
2 1
2 4 6 2n 2n 1
(
n
nguyên dương).
5)
0 1 2 n
2n 1
2n 2n 2n 2n
C C C C
2 1
3 6 9 3n 3 3n 3
(
n
nguyên dương).
Bài 9. [ĐHA05] Tìm số nguyên dương
n
sao cho
1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
C 2.2C 3.2 C 4.2 C 2n 1 .2 C 2005
. ĐS:
1002
.
THS. PHM HNG PHONG GV TRNG HXD D: 0983 0707 44 WEBSITE: violet.vn/phphong84
10
Loi 3. Cỏc bi toỏn v h s ca ly tha trong khai trin
A. Mt s vớ d
Vớ d 1. [HD04] Tỡm s hng khụng cha
x
trong khai trin
7
3
1
4
x
x
, vi
x 0
.
Gii
p dng cụng thc khai trin nh thc Niu-tn ta cú
7 k
28 7k
7 7
7 k
k k
3 3
1 1
12
7 7
4 4
x x
k 0 k 0
x C x C x
.
h s ca
28 7k
12
x
trong khai trin l
k
7
C
.
Ta cú
28 7k
12
0
k 4
s hng khụng cha
x
trong khai trin l
4
7
C 35
.
Vớ d 2. [HA12] Cho
n
l s nguyờn dng tha món
n 1 3
n n
5C C
. Tỡm s hng cha
5
x
trong khai trin nh thc Niu-tn ca
n
2
nx 1
14 x
,
x 0
.
Gii
* Ta cú
n 1 3
n n
5C C
n n 1 n 2
6
5n
n 1 n 2
6
5
(do
n
nguyờn dng)
2
n 3n 28 0
thoỷa maừn
loaùi
n 7
n 4
.
*
n 7
7 k
7 k
k
7 7
7 k
1 C2 2
k 3k 7
x 1 x 1 7
7
2 x 2 x k
2
k 0 k 0
C x
.
h s ca
3k 7
x
trong khai trin l
7 k
k
1 C
7
k
2
.
Ta
3k 7 5
k 4
h s ca
5
x
trong khai trin l
3
4
1 C
35
7
4 16
2
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
11
Tìm số hạng chứa
5
x
trong khai triển là
5
35
16
x
.
Ví dụ 3. [ĐHD07] Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển thành đa thức của
5 10
2
P x 1 2x x 1 3x
.
Giải
Hệ số của
5
x
trong khai triển thành đa thức của
P
là tổng các hệ số của
5
x
trong các khai triển
5
1
P x 1 2x
và
10
2
2
P x 1 3x
.
Hệ số của
5
x
trong khai triển
1
P
là hệ số của
4
x
trong khai triển
5
1 2x
.
Hệ số của
5
x
trong khai triển
2
P
là hệ số của
3
x
trong khai triển
10
1 3x
.
Áp dung công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có :
k k
5 k k
k 5 k k k
5 5
k 0 k 0
1 2x C 1 2x 2 C x
hệ số của
4
x
trong khai triển này là
4
4
5
2 C 80
1
.
10 10
10 k
k 5 k k k k
5 10
k 0 k 0
1 3x C 1 3x 3 C x
hệ số của
3
x
trong khai triển này là
3 3
10
3 C 3240
1
.
Từ
1
,
2
suy ra hệ số của
5
x
trong khai triển
P
là
80 3240 3320
.
Ví dụ 4. [ĐHA04] Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển thành đa thức của
8
2
1 x 1 x
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
12
Giải
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có
8 8
k 8 k k
8 8
k 0
8 k
k
2 2 2k
k 0
1 x 1 x x 1 x x 1 xC 1 C
1
.
Trong khai triển
k
2k
k
P x 1 x
lũy thừa bậc thấp nhất và bậc cao nhất lần lượt là
2k
x
và
3k
x
. Do đó muốn trong khai triển
k
P
có chứa
8
x
thì
2k 8 3k
8
3
k 4
k 3;4
.
+)
3
2 3 6 76
8 9
6
3
P x 1 x x 1 3x 3x x x 3x 3x x
hệ số của
8
x
trong khai triển
3
P
là
3
.
+)
4
2 3 4 8 9 10 11
4
8
12
8
P x 1 x x 1 4x 6x 4x x x 4x 6x 4x x
.
hệ số của
8
x
trong khai triển
4
P
là
1
.
Vậy hệ số của
8
x
trong khai triển ban đầu là
3 4
8 8
3C C 238
.
Ví dụ 5. Tìm lũy thừa có hệ số lớn nhất của đa thức
9
3x 2
.
Giải
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có
9 9
9 k
k 9 k k 9 k k k
9 9
k 0 k 0
3x 2 C 3x 2 3 .2 .C x
.
hệ số của
k
x
trong khai triển là
k 9 k k
k 9
a 3 .2 .C
(
k 0,1, ,9
).
Với mọi
k 0,1, ,8
, xét tỷ số
a
k 1
a
k
T
.
Ta có
k 1 8 k k 1
3 .2 .C
k! 9 k ! 3 9 k
9 3 9!
k 9 k k 2 9!
k 1 ! 8 k ! 2 k 1
3 .2 .C
9
T . .
.
T 1
3 9 k
2 k 1
1
k 5
k 0;1;2;3;4;5
, dấu bằng xảy ra
k 5
.
Từ đó suy ra:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a a a a a a a a a a
.
Vậy các lũy thừa số hệ số lớn nhất trong khai triển là
5
x
và
6
x
.
Ví dụ 6. Tìm
n
để đa thức
n
x 2
chỉ có một lũy thừa hệ có hệ số lớn nhất là
10
x
.
Giải
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
13
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có
n n
n
k k n k n k k k
n n
k 0 k 0
x 2 C x 2 2 C x
.
hệ số của
k
x
trong khai triển là
n k k
k n
a 2 C
(
k 0,1, ,n
).
Với mọi
k 0,1, ,n 1
, xét tỷ số
a
k 1
k
a
k
T
.
Ta có
n k 1 k 1
k! n k !
2 C
n!
n 1 n k
k
n k k 2 n!
k 1 ! n k 1 ! 2 k 1
2 C
n
T . .
.
Lũy thừa có hệ số cao nhất là
10
x
nên
9 10 11
a a a
a
10
a
9
a
11
a
10
1
1
9
10
T 1
T 1
n 9
20
n 10
22
1
1
n 29
n 32
n 30
n 31
.
Thử lại ta thấy cả hai giá trị tìm được của
n
đều thỏa mãn yêu cầu bài toán.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
14
B. Bài tập
Bài 1. [CĐAB08] Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
18
5
1
2x
x
, với
x 0
.
Bài 2. [ĐHB07] Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x
trong đa thức
n
2 x
, biết
n
n 0 n 1 1 n 2
n
2 n
n n n
3 C 3 C 3 C 1 C 2048
.
Bài 3. [ĐHA03] Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển
n
5
3
1
x
x
biết rằng
n 1 n
n 4 n 3
C C 7 n 3
.
Bài 4. [ĐHA06] Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển
n
7
4
1
x
x
, biết rằng
1 2 n 20
2n 1 2n 1 2n 1
C C C 2 1
.
Bài 5. Tìm hệ số của
15
x
trong đa thức
2 3 20
1 x 2 1 x 3 1 x 20 1 x
.
Bài 6. [ĐHA08] Giả sử
n
2 n
0 1 2 n
1 2x a a x a x a x
. Biết rằng
12
1 2 n
0
2 n
a a a
a 2
2
2 2
. Tìm số lớn nhất trong các số
0
a
,
1
a
,
2
a
, ,
n
a
.
Bài 7. [ĐHD03] Gọi
3n 3
a
là hệ số của
3n 3
x
trong khai triển thành đa thức của
n
2
n
x 1 x 2
. Tìm
n
để
3n 3
a 26n
.
Bài 8. Tìm số nguyên dương bé nhất
n
sao cho trong đa thức
n
1 x
có hai lũy thừa liên tiếp
có tỷ số các hệ số bằng
7
5
.
Bài 9. Khai triển biểu thức
n
1 2x
ta được đa thức có dạng
2 n
0 1 2 n
a a x a x a x
. Tìm
hệ số của
5
x
biết
0 1 2
a a a 71
.
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84
15
C. Đáp số
Bài 1
6528
. Bài 2
22
. Bài 3
495
.
Bài 4
210
. Bài 5
400995
. Bài 6
8
a
.
Bài 7
5
. Bài 8
21
. Bài 9
672
.
