Chuyên đề Hình phẳng Oxy bài toán tam giác

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy
ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!



VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

- Tài liệu này hoàn toàn miễn phí trên Facebook cá nhân của thầy. Bạn nào phải mất phí mới down
được tài liệu thì em phải trách mình vì sự thiếu hiểu biết.
Câu 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi M là trung điểm của BC, G là
trọng tâm tam giác ABM, điểm
5 1
;
3 3
D
 
−
 
 
là
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đ
o
ạ

n MC sao cho
GA GD
=
. Tìm to
ạ
các
đỉ
nh c
ủ
a
tam giác ABC bi
ế
t A có hoành
độ
không d
ươ
ng và
đườ
ng th
ẳ
ng AG có ph
ươ
ng trình
2 0
y
+ =
.
Lời giải:
Gọi N là trung điểm của AB khi đó MN là trung trực của AB
Ta có:

GB GA GD G
= =
⇒
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABD. Khi đó:


0
2 90
AGD ABD AGD
= = ⇒ ∆ vuông cân tại G.
Phương trình đường thẳng
GD
là:
5 5
; 2
3 3
x G
 
= ⇒ −
 
 
.
Gọi
( )
( )
2
2 2
10
25 5 25

; 2
3
9 3 9
0
t l
A t GA GD t
t

=
 

− ⇒ = = ⇔ − = ⇔
 

 
=



Khi đó
(
)
0; 2
A
−
. Gọi K là trung điểm của MB ta có
5 5
2
5
2 ; 2

3 3
2
2
K
K
x
AG GK K
y

 
= −

 
 
= ⇔ ⇒ −
 

 
 

= −

 

PT đường thẳng BC là:
2 3 0
x y
+ − =
, gọi
( ) ( )

2
2
2 2
5 25
;3 2 5 2
3 9
B u u GB GA u u
 
− ⇒ = ⇔ − + − =
 
 

(
)
(
)
(
)
( )
3 3; 3 2; 1 1;1
5
3
u B M C
u B D loai
= ⇒ − ⇒ − ⇒


⇔

= ⇒ ≡




Kết luận: Vậy
(
)
(
)
(
)
0; 2 ; 3; 3 ; 1;1
A B C− −
là các điểm cần tìm.
Câu 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác ABC vuông tại B có phân giác trong AD với
15 1
;
2 2
D
 
 
 

thu
ộ
c BC .G
ọ
i E, F là 2
đ
i
ể

m l
ầ
n l
ượ
t thu
ộ
c các c
ạ
nh AB và AC sao cho
AE AF
=
.
Đườ
ng th
ẳ
ng EF c
ắ
t BC
t
ạ
i K. Bi
ế
t
đ
i
ể
m
11 3
;
2 2

F
 
 
 
, E có tung
độ
d
ươ
ng và ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
: 2 1 0
AK x y
− + =
. Tìm to
ạ

độ
các
đỉ
nh c
ủ
a tam giác ABC.
Lời giải:
DỰ ĐOÁN CÂU HÌNH OXY – BÀI TOÁN TAM GIÁC
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy
ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
Gọi I là giao điểm của AD và EF . Do tam giác AEF cân tại A có
phân giác AI nên: AI là phân giác đồng thời là đường cao và trung
tuyến.
Ta có:
KE AD
DE AK
AB KD
⊥

⇒ ⊥

⊥

. Do đó đương thẳng DE qua
15 1
;
2 2
D
 
 
 
và vuông góc v
ớ
i AK. Khi
đ

ó ta có ph
ươ
ng trình
31
: 2 0
2
DE x y
+ − =
.Vì E thu
ộ
c DE nên ta g
ọ
i
31
; 2
2
E t t
 
−
 
 

D
ễ
th
ấ
y
( )
2
2

15
15 2 5
2
DE DF t t
 
= ⇔ − + − =
 
 


( )
( )
( )
2
17 17 3
;
2 2 2
2 15 4
13 13 5
; 6;2 : 8 0
2 2 2
t E loai
t
t E I AD x y

 
= ⇒ −
 

 


⇔ − = ⇔

 
= ⇒ ⇒ ⇒ + − =

 
 


Khi đó
(
)
5;3 :3 18 0; : 3 14 0; :3 22 0
A AD AK A AC x y AB x y BC x y
= ∩ ⇒ ⇒ + − = + − = − − =

Do vậy
( ) ( )
20
5;3 ; 8;2 ; ; 2
3
A B C
 
−
 
 
là to
ạ

độ
các
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Câu 3:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ
a
độ
Oxy cho tam giác ABC vuông t
ạ
i A có
đ
i
ể
m
(
)

4;1
B
và I là tâm
đườ
ng tròn n
ộ
i ti
ế
p,
đườ
ng th
ẳ
ng qua C vuông góc v
ớ
i CI c
ắ
t
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác IBC t
ạ
i
(
)
7;7
K
, bi

ế
t
đ
i
ể
m C thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng
3 2 0
x y
− + =
. Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác
ABC.
Lời giải:
Chứng mình góc


0 0
135 45
BIC BKC=
⇒
= .
Gọi
(
)
;3 2

C t t
+
ta có:
(
)
(
)
3; 6 ; 7;3 5
= − − = − −
 
KB KC t t
Khi đó:
(
)
( ) ( )
0
2 2
3 7 17
. 1
cos45
.
2
45. 7 3 5
t
KB KC
KB KC
t t
− −
= = =
− + −

 

( )
( )
2
2
17
7
2 7 17 5 10 44 74
t
t t t

≤

⇔ ⇔


− = − +

2
17
1
7
3 16 13 0
t
t
t t

≤


⇔ =


− + =


Do vậy
(
)
1;5 :3 8 0; : 2 6 0
C IC x y IB x y
⇒ + − = + − =


(
)
2;2
I IB IC I⇒ = ∩ =
, phương trình BC:
(
)
4 3 19 0 ; 1
x y r d I BC
+ − = ⇒ = =

( ) ( ) ( )
2 2
: 2 2 1
⇒ − + − =
C x y

V
ậ
y
(
)
(
)
(
)
(
)
1;1 ; 2;2 ; 4;1 ; 1;5
A I B C ;
( ) ( ) ( )
2 2
: 2 2 1
C x y
− + − =

Câu 4:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
t
ọ

a
độ
Oxy cho tam giác ABC vuông t
ạ
i A có
đ
i
ể
m
(
)
1;7
C
và n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng
tròn
(
)
C
tâm
I
.
Đườ
ng th
ẳ

ng vuông góc v
ớ
i AI t
ạ
i A c
ắ
t
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác AIC t
ạ
i
đ
i
ể
m th
ứ
2
là
(
)
2;6
K
−
, bi
ế
t

đ
i
ể
m I có hoành
độ
d
ươ
ng và
đườ
ng th
ẳ
ng AI
đ
i qua
(
)
0;2
E . Tìm to
ạ

độ
các
đỉ
nh A, B.
Lời giải :
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2015 – Thầy
ĐẶNG VIỆT HÙNG [0985.074.831]
Facebook: LyHung95
Tham gia các khóa học trực tuyến môn Toán tại MOON.VN để đạt kết quả cao nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia 2015!
Dễ thấy tứ giác IAKC nội tiếp trong đường tròn ngoại tiếp của tam giác AIC.

Do có AI là phân giác góc BAC nên


0
45
IAC IKC
= = ( cùng chắn cung IC).
Khi đo ta có tam giác IKC vuông cân tại C.
Phương trình IC là :
(
)
3 10 0 ;10 3
x y I t t
+ − = ⇒ −
.
Lại có:
( )
(
)
( ) ( )
2
2 2;4
10 1 10
0 0;10
t I
IC CK t
t I loai
= ⇒
= ⇒ − = ⇔


= ⇒



Phương trình đường thẳng AI là:
(
)
2 0 : 4 0 1;3
x y AK x y A− + = ⇒ + − = ⇒
.
Khi đó:
: 3
AB y
=
. Ta có:
(
)
; 1
r d I AC
= =
.
Gọi
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
;3 1 ;4 : 4 1 1 7 0
⇒ = − ⇒ − + − − =

B u BC u BC x u y .
( )
(
)
( )
( )
2
2
2
4 3 1
1
; 1 1 2 17 3 7
4
16 1
u
u
d I AC u u u
u
u
− −
=

= ⇔ = ⇔ − + = − ⇒

=


+ −


Khi đó
(
)
(
)
1;3 ; 4;3
B A B≡ . Kết luận
(
)
(
)
1;3 ; 4;3
A B là các điểm cần tìm.
Câu 5: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A đường cao
: 3 16 0
AH x y
− − =
cắt phân giác
trong BD tại K, đường thẳng qua K song song với AC cắt cạnh huyền BC tại
(
)
3; 7
E
−
, biết điểm D thuộc
đường thẳng

: 12 0
x y
∆ − − =
và
3
A
x
>
. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải:
Do
/ /
KE AC AB
AH BC
⊥


⊥

. Do đó K là trực tâm tam giác ABE do vậy
BK AE
⊥
tại
I
là trung điểm của cạnh
AE
( phân giác đồng thời là đường
cao)
.

Lại có:






AKD BKH
AKD ADK
ADK BKH

=

⇒ =

=


do đó tam giác
AKD
cân tại
A

suy ra
I
là trung điểm của
KD.
Do vậy
K
và

D
đối xứng nhau qua
AE.

Khi đó
ADKE
là hình thoi
/ /
AH DE
⇒
.
Phươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng DE :
3 24 0
x y
− − =


Suy ra
(
)
6; 6
D DE D
= ∆∩ ⇒ −
. G
ọ

i
(
)
3 16;
A t t
+
ta có:
DA DE
=
( ) ( )
2 2
3 10 6 10
t t
⇒ + + + =

(
)
( )
7; 3
3
21
17 21
;
5
5 5
A
t
t
A loai
−

= −



⇔ ⇒
−
 


=
−
 


 


Ph
ươ
ng trình AB:
3 2 0; :3 24 0; :3 2 0
x y AC x y BC x y
+ + = − − = + − =
.