LUyen thi DH chuyen de 5.He thuc luong trong tam giac

ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn
Bài 5: Hệ thức lợng trong tam giác
Một số kiến thức cần nhớ
*Một số phép biến đổi thờng dùng
+ Cung liên kết
+ Các công thức biến đổi.
*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ:
+
. 4 .
2 2 2
A B C
SinA SinB SinC Cos Cos Cos+ + =
+
. 1 4sin sin sin
2 2 2
A B C
CosA CosB CosC+ + = +
+ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
+
2
cot.
2
cot.
2
cot
2
cot
2
cot
2
cot

C
g
B
g
A
g
C
g
B
g
A
g
=++
+
1
222
.
22
.
2
=++
A
tg
C
tg
C
tg
B
tg
B

tg
A
tg
+ cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1
+
sCCosACosBCoCSinBSinASin 22.
222
+=++
+
CBACCosBCosACos sinsinsin21.
222
=++
+ Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC
+ Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC
Các ví dụ
Bài 1: Cho tam giác ABC, CMR
. . 1
2 2 2 2 2 2
A B B C C A
tg tg tg tg tg tg+ + =
Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR:
a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
b)
33
++
tgCtgBtgA
dấu = xảy ra khi nào?
HD: áp dụng BĐT côsi
3
..3 tgCtgBtgAtgCtgBtgA

++
lập phơng hai vế thay trở lại phơng trình đầu ta đợc đpcm.
Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có :
HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP.
VP= [cos(B-C) cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) cos(A+B)].cosC
=Cos(B-C).cosA + Cos
2
A + Cos(C-A).cosB +Cos
2
B + Cos(A-B).cosC + cos
2
C.
thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B, cos2C sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos
2
A, cos
2
B, cos
2
C suy
ra đpcm.
Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta có
( )
2 2 2
1 . 2. 1Cos A Cos B Cos C CosACosBCosC =
Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và chỉ khi
2.
222
<++
CSinBSinASin
Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:

1
ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn
2tgA = tgB + tgC
CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA
HD: xuất phát:


+
=+
tgCtgB
tgCtgB
CBtg
.1
)(
đpcm
Từ tgB.tgC = 3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*)
Mà cos(B - C) =2.cos[
)( CB


] khai triển suy ra đẳng thức (*).
Bài 6: CMR với mọi tam giác ABC ta có:






+++
=++

2
cot
2
cot
2
cot
2222
1
sin
1
sin
1
sin
1
A
g
A
g
A
g
C
tg
B
tg
A
tg
CBA
HD: thay
2
cot

2
cot
2
cot
2
cot.
2
cot.
2
cot
C
g
B
g
A
g
C
g
B
g
A
g
++=
áp dụng công thức nhân đôi.
Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có
CBABACCCosAB
CSinBSinASin
cossinsin2cossinsinsinsin2
.
222

++
=++
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C
thoả mãn đk 4A = 2B = C. CMR:
cba
111
+=
và
4
5
.
222
=++
CCosBCosACos
Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có:
CBA
R
r
coscoscos1
++=+
Bài 10: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
bc
aA
Sin
2
2
=
, CMR tam giác ABC cân
Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk
22

.
B
tg
A
tgtgBtgA
=
CMR tam giác ABC cân
Bài 12. CMR nếu tam giác ABC có

a
cb
CB
+
=+
coscos
thì tam giác vuông
Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b, AB=c
CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A khi và chỉ khi
2
CB
tg
cb
cb

=
+

Bài 14: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn đk:
3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15
CMR tam giác vuông

Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk
2
ễn thi H v C Thy Giỏo V Hong Sn
2
1
2
sin.
2
sin.
2
sin
2
cos.
2
cos.
2
cos
=
CBACBA
CMR tam giác ABC vuông.
Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
( )
( )






+

=
+
+=+
2
4
2
sin
cos1
1)(
22
3332
ba
ba
C
C
acbacba
CMR tam giác ABC đều.
Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:
gCgB
CA
cotcot3
sin
1
sin
1
2
+

+
CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk
2
sin
2
sin
2
sin.
CA
CosCCosBCosA
++=++
B
CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức:
9
22
.
2
222
=++
C
Cotg
B
Cotg
A
Cotg

Bài 20:CMR nếu trong tam giác ABC ta có
2
cos
2
cos
2
cossinsinsin
CBA
CBA
++=++
thì tam giác đều
Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
8(p-a)(p-b)(p-c)=abc
CMR tam giác đều
Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
gCgBgA
CBA
C
g
B
g
A
g
cotcotcot
2
cos
1
2
cos
1

2
cos
1
2
cot.
2
cot.
2
cot
++=










++
Bài 23:
CtgBtgtgACtgBtgAtg
22888
..9
++
Bài 24:
81
666
=++

CtgBtgAtg
Bài 25: Tìm GTNN biểu thức
CBA
M
2cos2
1
2cos2
1
2cos2
1

+
+
+
+
=
Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN của:
P= cosA+ cosB +cosC
Bài 27: <Dùng phơng pháp BĐ Lợng giác xuất hiện bình phơng một nhị thức>
Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm GTLN của biểu thức
)cos(cos3cos3 CABP
++=
Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
3
Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn
4
17
)coscos(sin3sin.sin.cos2
=+++
CBACBB

Hái tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g×? CM?
4
Ôn thi ĐH và CĐ Thầy Giáo Vũ Hoàng Sơn

5