Công thức LƯỢNG GIÁC 11

KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I.CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1.CÔNG THỨC CỘNG
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a - b) = sina.cosb - cosa.sinb
tan(a + b) =
tan(a - b) =
2.CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI
cos2a = cos
2
a – sin
2
a
= 2cos
2
a –1
= 1 – 2sin
2
a
sin2a = 2.sina.cosa
tan2a =
3.CÔNG THỨC HẠ BẬC
cos
2
a = sin
2
a =
4.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
cosa + cosb = 2.cos .cos

cosa - cosb = -2.sin .sin
sina + sinb = 2.sin .cos
sina - sinb = 2.cos .sin
5.CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
cosa.cosb = [cos(a + b) + cos(a - b)]
sina.sinb =
−
1
2
[cos(a + b) - cos(a - b)]
sina cosb = [sin(a + b) + sin(a - b)]
cosa.sinb = [sin(a + b) - sin(a - b)]
6.BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG ĐẶC BIỆT
x
rad
-π
- - - - - - -
0
π
độ -180
o
-150
o
-135
o
-120
o
-
90
o

-60
o
-45
o
-30
o
0 30
o
45
o
60
o
90
o
120
o
135
o
150
o
180
o
sin 0 -
2

2
−

2
−

3
-1

2
−
3
-
- 0 1 0
cos -1

2
−
3
2

2
−
- 0 1 0 -
2

2
−

2
−
3
-1
tan 0 1 || - -1
-
0 1 || - -1

-
0
cot || 1 0

−
1
3
-1 - || 1 0

−
1
3
-1 - ||
II.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Phương trình cơ bản
1.Phương trình sinx=a.( -1
≤
a
≤
1)
*sinx = a ( có nghiệm khi -1≤ a ≤ 1)
⇔
arcsina+k2
arcsina+k2
x
x
π
π π
=



= −

; k ∈ Z
*sinx = sinα (nếu a = sinα)
⇔
+k2
+k2
x
x
α π
π α π
=


= −

; k ∈ Z
*sinx = 0 ⇔ x = kπ; k ∈ Z
*sinx = 1 ⇔ x = + k2π; k ∈ Z
*sinx = -1 ⇔ x = -+ k2π; k ∈ Z
2.Phương trình cosx=a.( -1≤ a ≤ 1)
*cosx = a ⇔
arccosa+k2
arccosa+k2
x
x
π
π
=



= −

; k ∈ Z
*cosx = cosα ⇔
+k2
+k2
x
x
α π
α π
=


= −

; k ∈ Z ( a = cosα)
*cosx = 0 ⇔ x = + kπ; k ∈ Z
*cosx = 1 ⇔ x = k2π; k ∈ Z
*cosx = -1 ⇔ x = π+ k2π; k ∈ Z

3.Phương trình tanx=a.
TXĐ:
\ ,
2
k k
π
π
 

+ ∈
 
 
¢¡
*
t anx=a x=arctana+k ,k
π
⇔ ∈¢

*
tanx=tan x= +k ,k
α α π
⇔ ∈¢

tanx=1 x= ,
4
tanx=-1 x=- ,
4
t anx=0 x= ,
k k
k k
k k
π
π
π
π
π
⇔ + ∈
⇔ + ∈
⇔ ∈

¢
¢
¢
III.CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
THƯỜNG GẶP.
1.Phương trình a.sinx+bcosx=c (
2 2
0a b+ ≠
)

2 2 2 2 2 2
sinx+ osx=
a b c
c
a b a b a b
⇔
+ + +
đặt:
2 2
2 2
os =
sin
a
c
a b
b
a b
α
α



+



=

+

phương trình trở thành:
2 2
sinx os osx sin
c
c c
a b
α α
+ =
+
2 2
sin( )
c
x
a b
α
⇔ + =
+
*Chú ý
+Phương trình có nghiệm khi
2 2 2
c a b≤ +

+Nếu
. 0, 0a b c≠ =
thì:
sin cos 0 tan .
b
a x b x x
a
+ = ⇔ = −
4.Phương trình cotx=a.
TXĐ:
{ }
\ ,k k
π
∈¢¡
*
t x=a x=arccota+k ,kco
π
⇔ ∈¢

*
cotx=cot x= +k ,k
α α π
⇔ ∈¢

cotx=1 x= ,
4
cotx=-1 x=- ,
4
t x=0 x= ,
2

k k
k k
co k k
π
π
π
π
π
π
⇔ + ∈
⇔ + ∈
⇔ + ∈
¢
¢
¢
2.Phương trình :
2 2
asin sinxcosx+ccos 0x b x+ =
(1)
+Nếu
0a
=
: pt(1)
⇔
2
sinxcosx+ccos 0b x =

osx(bsinx+ccosx)=0c⇔

osx=0
bsinx+ccosx=0
c

⇔


+Nếu
0c
=
: pt(1)
⇔
2
asin sinxcosx=0x b+

sinx(asinx+bcosx)=0⇔


sinx=0
asinx+bcosx=0

⇔


+Nếu
0, 0,cos 0a c x≠ ≠ ≠
:
2 2
2 2 2
sin sinxcosx cos

(1) 0
cos cos cos
x x
a b c
x x x
⇔ + + =

2
tan tanx+c=0a x b⇔ +
*Chú ý:
Kiểm tra cosx = 0 có la nghiệm không