chuyên đề lương giác ôn tâp thi thpt quốc gia

:
LƯƠNG GIÁC
CHUYÊN ĐỀ
2
LƯƠNG GIÁC
II/ PHẦN 2: BÀI TẬP
Giải
sin 2 1 6sin cos2x x x+ = +
⇔
(sin 2 6sin ) (1 cos 2 ) 0x x x
− + − =
⇔
( )
2
2sin cos 3 2sin 0x x x
− + =
⇔
( )
2sin cos 3 sin 0x x x
− + =
sin 0
sin cos 3( )
x
x x Vn
=

⇔

+ =


⇔
x k
π
=
. Vậy nghiệm của PT là
,x k k Z
π
= ∈
Bài 1: Giải phương trình
sin 2 1 6sin cos 2x x x+ = +
.
Bài 2. Giải phương trình:
05sin82cos2 =−+ xx
.
:
Giải
05sin82cos2 =−+ xx
05sin8)sin21(2
2
=−+−⇔ xx
03sin8sin4
2
=+−⇔ xx






=

=
⇔
2
1
sin
)(
2
3
sin
x
x lo¹i
π
π
π
π

= +

⇔ ∈


= +


Z
2
6
( )
5
2

6
x k
k
x k
Giải
sin cos 0
sin cos 1 0
x x
x x
+ =

⇔

− + =

+
sin cos 0 ,
4
x x x k k Z
π
π
+ = ⇔ = − + ∈
+
( )
2
1
sin cos 1 0 sin
3
4
2

2
2
x k
x x x k Z
x k
π
π
π
π
=

 

− + = ⇔ − = − ⇔ ∈
 ÷

= +
 

Giải
a.
sin 3 3cos3x 2sin 0x x+ − =
1 3
sin 3 cos3x sin
2 2
x x⇔ + =
sin 3 sin
3
x x
π

 
⇔ + =
 ÷
 
.
Suy ra phương trình có các nghiệm:
6
x k
π
π
= − +
;
6 2
x k
π π
= +
(với
k ∈¢
).
Giải
Đặt sinx + cosx = t (
2t
≤
).
⇒
sin2x = t
2
- 1
⇔
2

2 2 6 0t t
− − =
⇔
2t
= −
(t/m)
+Giải được phương trình sinx + cosx =
2−
…
⇔

os( ) 1
4
c x
π
− = −
+ Lấy nghiệm
Kết luận :
5
2
4
x k
π
π
= +
( k
∈
Z
) hoặc dưới dạng đúng khác .
Giải

+ Ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng víi ph¬ng tr×nh
( ) ( )
sin cos 1 cos sin 0x x x x+ − + =
Bài 3 Giải các phương trình sau:
cos os2 sinx 0x c x− + =

:
Bài 4: Giải phương trình:
sin3 3cos3 2sin 0x x x+ − =
.
Bài 5: Giải phương trình:
sin 2 2 2(sinx+cosx)=5x
−
Bài 6: Giải phương trình:
1 cos 7
sin 2 sin 2
tan 4
x
x x
x
π
−
 
+ = +
 ÷
 
.
1 cos 7
sin 2 sin 2 (1)
tan 4

x
x x
x
π
−
 
+ = +
 ÷
 
.
Đk:
{
( )
sin 0
sin 2 0
cos 0
2
k
x
x x k
x
π
≠
⇔ ≠ ⇔ ≠ ∈
≠
¢
( ) ( )
2
(1) 1 cos cos sin sin sin 2 cos 2x x x x x x⇔ − + = −
( )

cos2 cos sin 1 0x x x⇔ + − =
cos2 0
1
sin
4
2
x
x
π
=


⇔
 
+ =

 ÷
 

+)
( )
cos 2 0
4 2
k
x x k
π π
= ⇔ = + ∈¢
+)
( )
( )

2
1
sin
2
4
2
2
x k l
x
x k l
π
π
π
π
=

 

+ = ⇔
 ÷

= +
 

. Vậy (1) có nghiệm
( )
4 2
k
x k
π π

= + ∈¢
.
Giải
( )
2
3sin 2 cos2 4sin 1 2 3sin cos 1 cos2 4sin 0
2 3sin cos 2sin 4sin 0 2sin 3 cos sin 2 0
sin 0
sin 0
, .
sin 1
2
3 cos sin 2
3
6
x x x x x x x
x x x x x x x
x
x k
x
k
x
x k
x x
π
π
π
π
− = − ⇔ + − − =
⇔ + − = ⇔ + − =

=

=

=



⇔ ⇔ ⇔ ∈

 


+ =
= +
+ =
 ÷



 

¢
Giải
Bài 7: Giải phương trình sau:
3sin 2 cos2 4sin 1x x x− = −
.
Bài 8: Giải phương trình
cos2 cos cos sin 2 sinx x x x x
+ =

Bài 9: Giải phương trình:
0)cos)(sincos21(2cos =−++ xxxx
Giải
PT
( )
0)1sin(coscossin0)cos)(sincos21(2cos =+−−⇔=−++ xxxxxxxx






+=+=
+=
⇔






=






−
=







−
⇔



=+−
=−
⇔
πππ
π
π
π
π
π
2,2
2
4
1
4
sin2
0
4
sin2
01sincos

0cossin
kxkx
kx
x
x
xx
xx
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm:
( )
, 2 , 2
4 2
x k x k x k k
π π
π π π π
= + = + = + ∈Z
Giải
Điều kiện:
sin 1 (*)x ≠ −
PT tương đương với
2
cos 0
cos cos
cos 1
x
x x
x
=

= ⇔


=

Hay
sin 1
sin 1 ( )
cos 1
x
x l
x
=


= −


=

Vậy nghiệm của phương trình là:
2 ; 2 , ( ).
2
x k x k k
π
π π
= + = ∈¢
Giải
a) 4sinx + cosx = 2 + sin2x (1)

⇔
4sinx + cosx = 2 + 2 sinx.cosx
⇔

2sinx(2 –cosx) – (2 – cosx) = 0

⇔
(2 – Cosx) ( 2Sinx -1) = 0

⇔





=
=−
2
1
)(02
Sinx
VNCosx
⇔
)(
2
6
5
2
6
zk
kx
kx
∈







+=
+=
π
π
π
π
Kết luận
Giải
Bài 10 Giải phương trình
cos
1 sin .
1 sin
x
x
x
= −
+
:
Bài 11: Giải phương trình 4sinx + cosx = 2 + sin2x
Bài 12 Giải phương trình
cos2 cos cos sin 2 sinx x x x x
+ =
:
ĐK:
sin 2 0

2
cos 0
tan 1
4
x
x k
x
x k
x
π
π
π

≠

≠

 
≠ ⇔
 
 
≠ − +
≠ −



Với ĐK pt
tan 2 tan
2 4
x x

π π
   
⇔ − = −
 ÷  ÷
   
2
2 4
x x k
π π
π
⇔ − = − +
Kết hợp ĐK, ta có nghiệm:
,
4
x k k
π
π
= + ∈
¢
Giải

sin 2 cos sin 1 x x x− + =
(1)
(1) ⇔
(sin cos )(1 sin cos ) 0x x x x
− + − =
sin cos 0
1 sin cos 0
x x
x x

− =

⇔

+ − =


4
( )
3
2 2
2
x k
k Z
x k x k
π

= + π

⇔ ∈

π

= π∨ = + π


Giải
Bài 13: Giải phương trình
1 tan
cot 2

1 tan
x
x
x
−
=
+
Bài 14: ) Giải phương trình :
sin 2 cos sin 1 ( )x x x x R
− + = ∈
Bài 15:
2
10. 7. 6 0
3 3
cos x cos x
π π
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
b) Đặt t =
3
cos x
π
 
+
 ÷
 
, điều kiện :
1 1t

− ≤ ≤
. Ta có :
2
1/ 2( )
10 7 6 0
6 / 5( )
t nhan
t t
t loai
=

+ − = ⇔

= −


Với
1
2
t =
ta có
3
cos x
π
 
+
 ÷
 
( )
2

2
1
3 3
2
2 3
2
2
3
3 3
x k
x k
cos k Z
x k
x k
π π
π
π
π
π
π π
π
π

=
+ = +



= = ⇔ ⇔ ∈



= − +

+ = − +



Giải
Khi đó , phương trình tương đương với :
( )
2
os2 cos 2 3cos 2 0
4 4
2 2
os2 0
cos 1 ( )
2
os2 3cos 2 0
2cos 3cos 1 0
1 2
cos 2
2 3
c x x x
x k x k
x k
c x
x x k k
c x x
x x
x x k

π π
π π
π
π
π
π
π
⇔ + + =
 
= + = +
 

= +
=
 


⇔ ⇔ ⇔ = − ⇔ = ∈
 


+ + =

 
+ + =


= − = ± +
 
 

¢
Vậy nghiệm phương trình là:
2
; 2
4 3
x k x k
π π
π π
= + = ± +
Giải
PT (1)
sin 2 cos 2 3sin cos 2x x x x
⇔ + = + +


2
2sin cos 3sin 2cos cos 3 0x x x x x
⇔ − + − − =
.

( ) ( ) ( )
( ) ( )
2cos 3 sin cos 1 2cos 3 0
sin cos 1 2cos 3 0
x x x x
x x x
⇔ − + + − =
⇔ + + − =

3
cos ( )
2
sin cos 1
x VN
x x

=

⇔

+ = −


2
1
sin
2
4
2
2
x k
x
x k
π
π
π
π π

= − +

 

⇔ + = − ⇔
 ÷

 
= +

(k 
¢
)
Phương trình có các nghiệm:
2 , 2
2
x k x k
π
π π π
= − + = +
(k 
¢
).
Bài 16:
2
2 os 2 3cos3 4cos 2 3cos 0c x x x x+ + + =
Bài 17:
2 sin 2 3sin cos 2
4
x x x
π
 

+ = + +
 ÷
 
Bài 18: Giải phương trình:
1 tan
cot 2
1 tan
x
x
x
−
=
+
.
Giải
ĐK:
sin 2 0
2
cos 0
tan 1
4
x
x k
x
x k
x
π
π
π


≠

≠

 
≠ ⇔
 
 
≠ − +
≠ −




Với ĐK pt
tan 2 tan
2 4
x x
π π
   
⇔ − = −
 ÷  ÷
   
2
2 4
x x k
π π
π
⇔ − = − +
Kết hợp ĐK, ta có nghiệm:

,
4
x k k
π
π
= + ∈
¢
Giải
Ta có:
+ = +
2
(sinx cosx) 1 cosx

⇔ + = +1 2sinxcosx 1 cosx

⇔ =cosx(2sinx-1) 0

=

⇔



cosx 0
1
sinx=
2
π
π
π

π
π
π

= +



⇔ + ∈


= +


x k
2
x= k2 (k Z).
6
5
x k2
6
Giải
+ Biến đổi được
2
1
2cos 1
A
α
=
−

+ Thay
4
cos
5
α
=
, ta được
25
7
A =
Lưu ý. HS có thể tính
sin
α
, suy ra
tan ,cot
α α
, thay vào A.
Bài 19: Giải phương trình:
+ = +
2
(sinx cosx) 1 cosx
.
Bài 20: Biết
4
cos
5
α
=
và
0 0

0 90
α
< <
. Tính giá trị của biểu thức
cot tan
cot tan
A
α α
α α
+
=
−
.
Giải
2
3 3 3
1
tan
sin
cos
sin 3cos tan 3
P
α
α
α
α α α
= =
+ +
=
2 2

3 3
(1 tan ) tan (1 2 )2 10
tan 3 2 3 11
α α
α
+ +
= =
+ +
-
Giải
( )
3 3
2 3
3sin 2cos 3tan 2
5sin 4cos
cos 5tan 4
A
α α α
α α
α α
− −
= =
+
+
( )
2
3
3tan 2 70
1 tan
5tan 4 139

α
α
α
−
= + =
+
Giải
Ta có: sin a +cosa= 1,25
25
1 sin 2
16
aÞ + =
9
sin 2
16
aÞ =
2
5 7
cos2 1 sin
16
a aÞ =- - =-
(vì
2
2
a
p
< <p
)
9 7
tan 2

35
aÞ =-
Giải
α − α + α
=
α − α
3 3
3
8cos 2sin cos
A
2 cos sin
=
− α + + α
+ α − α
3 2
2 3
8 2 tan (1 tan )
2(1 tan ) tan
Bài 21: Biết
4
cos
5
α
=
và
0 0
0 90
α
< <
. Tính giá trị của biểu thức

cot tan
cot tan
A
α α
α α
+
=
−
.
Bài 22: Cho
tan 3
α
=
. Tính
3 3
3sin 2cos
5sin 4cos
A
α α
α α
−
=
+
Bài 23: Cho sin a +cosa= 1,25 và
π π
< a <
4 2
. Tính sin 2a, cos 2a và tan2a.
Bài 24: Cho góc
α

thỏa mãn
tan 2
α =
. Tính
3 3
3
8cos 2sin cos
A
2 cos sin
α − α + α
=
α − α
3 2 3 2
2 3 2 3
9 2 tan tan 9 2.2 2 3
2(1 tan ) tan 2(1 2 ) 2 2
α α
α α
− + − + −
= = =
+ − + −
Giải
Ta có
2
os2
1 2sin
1 os 1 cos
c
A
c

a
a
a a
-
= =
- -
2 2
16 9 3 3
os 1 sin 1 os os ( )
25 25 5 5 2
c c c do
π
α α α α α π
= − = − = ⇔ = ± ⇒ = − < <
Thay
4 3
sin , os
5 5
c
α α
= = −
vào ta được
7
40
A
= −
Giải
2 2
4
cos 1 sin

5
( ; )
2
2
5
neân cos <0
Do ñoù cos
Do
α α
π
α π α
α
= − =
∈
= −
5( 3 2)
sin( ) sin .cos sin .cos
6 6 6 10
π π π
α α α
−
+ = + =
a
Giải
a) Vì
2
π
α π
< <
nên

sin 0; cos 0
α α
> <
ta có
2 2 2
9
sin os 1 cos
25
c x
α α
+ = ⇒ =
Bài 25: Cho góc
a
thỏa mãn
2
p
a p< <
và
4
sin
5
a =
. Tính
os2
1 os
c
A
c
a
a

=
-

Bài 26: Cho góc
( ; )
2
π
α π
∈
mà sin
1
5
α
=
. Tính sin(
6
π
α
+
)
Bài 27) Cho góc
α
thỏa mãn
2
π
α π
< <
và
4
sin

5
α
=
. Tính
1 tan
sin 2
A
α
α
+
=
.:
lại có
3
cos
5
x = −
( vì
cos 0
α
<
)
Suy ra
4 5
sin
1 .
1
1 tan 25
5 3
cos

4 3
sin 2 2sin .cos 72
2. .
5 5
A
α
α
α
α α α
 
+ −
+
 ÷
+
 
= = = =
 
−
 ÷
 
Giải
16
7
16
9
1sin1sincos
222
=−=α⇔=α+α
. Vì
π<α<

π
2
2
3
nên
.
4
7
sin0sin −=α⇒<α
.
8
213
4
7
.
2
3
4
3
.
2
1
sin
3
sincos
3
cos
3
cos
−

=−=α
π
+α
π
=






α−
π
Bài 28) Cho góc α thỏa:
π<α<
π
2
2
3
và
4
3
cos =α
. Tính
.
3
cos







α−
π