ĐẠI SỐ CHƯƠNG 3 (BDHS GIỎI)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (84.13 KB, 3 trang )
Chuên đề:dãy số hàm số cấp số cộng cấp số nhân
Bài1 : Cho dãy số (U
n
) xác định bởi
=
=
+
n
n
n
U
U
U
U
1
2
1
1
a) C/m U
n
<0 với mọi n thuộc N
b) Đặt
n
n
n
U
U
V
1+
=
C/m V
n
là một cấp số cộng.Suy ra biểu thức của V
n
và U
n
Bài2 : Cho (U
n
) xác định bởi
Nn
U
U
U
n
n
+
=
=
+
5
8
1
1
1
Dãy số (V
n
) xác định V
n
=U
n
-2. C/m V
n
là cấp số nhân.Suy ra biểu thức của V
n
,U
n
Bài 3: Cho (U
n
)
Nn
UU
U
nn
+=
=
+
1
3
1
1
1
1
Xác định công thức tính U
n
theo n
Hớng dẫn Vì 3U
n+1
-U
n
=3 nên
3U
2
-U
1
=3
3U
3
-U
2
=3 => 9U
3
-3U
2
=9
3U
4
-U
3
=3 => 27U
4
-9U
3
=27
3U
n
-U
n-1
=3 => 3
n-1
U
n
-3
n-2
U
n-1
=3
n-1
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta đợc 3
n-1
U
n
-U
1
=3+9+ .+3
n-1
=3.
)13(
2
3
13
13
1
1
=
n
n
Từ đó suy ra đợc U
n
=
)
3
1
1(
2
3
n
. C/m công thức này bằng quy nạp
Bài 4: Cho U
n
+=
=
+
n
nn
UU
U
)
2
1
(
1
1
1
.Tìm U
n
,suy ra LimU
n
Hớng dẫn: Ta có U
1
=1 Cộng vế với vế từ đó suy ra U
n
=
n
2
1
22
U
2
=U
1
+
2
1
U
3
=U
2
+
2
)
2
1
(
U
4
=U
3
+
3
)
2
1
(
.
U
n
=U
n-1
+
1
)
2
1
(
n
Bài 5 Cho (U
n
)
+
=
==
+
+
2
1;0
1
2
21
nn
n
UU
U
UU
a) C/m U
n+1
=
1
2
1
+
n
U
b) XĐ U
n
, suy ra LimU
n
Hớng dẫn a) C/m bằng quy nạp b) Tơng tự Bài 3
Bài 6 Cho U
n
Nnn
UUU
UU
nnn
+=
==
;3
2
1;2
21
21
C/m 2U
n
+U
n-1
=4 (1) ; U
n
-U
n-1
=-
2
)
2
1
(
n
(2) . Suy ra LimU
n
Hớng dẫn C/m bằng quy nạp. Từ (1) và (2) suy ra U
n
Bài 7 Cho
2 222 ++++=
n
U
(n dấu căn). Hãy tìm LimU
n
Hớng dẫn C/m U
n
<2 với mọi n bằng quy nạp
C/m U
n
<U
n+1
với mọi n
Vậy (U
n
) là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi 2. Do đó tồn tại giới hạn LimU
n
=x
Ta có U
n+1
=
n
U+2
U
n+1
2
=2+U
n
=>LimU
n+1
2
=Lim(2+U
n
)=> x
2
=2+xx=2 .Vậy LimU
n
=2
Bài 8 Cho
+
>
<<
Nn
UU
U
nn
n
4
1
)1(
10
1
Tìm LimU
n
Hớng dẫn C/m U
n
là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên => tồn tại giới hạn LimU
n
=x
Từ
2
1
4
1
4
1
)1(
4
1
)1(
2
11
==>=>>
++
xxxULimUUU
nnnn
Bài 9 Tính các tổng sau
1) S=5+55+555+ +555555 5 (n số 5)
2) S=1+11+111+ +111 111
3) S=1+2.2+3.2
2
+4.2
3
+ +100.2
99
4) S=1+4.2+7.2
2
+10.2
3
+ +(3n-2).2
n-1
Bài 10 Tìm giới hạn của các dãy số
a) Lim
nn
nn
75.2
73.4
1
+
+
+
b) Lim
)
)1(
1
4.3
1
3.2
1
2.1
1
(
+
++++
nn
c) Lim
)
)2)(1(
1
4.3.2
1
3.2.1
1
(
++
+++
nnn
d) Lim
3
2222
321
n
n++++
e) Lim
)
1
1) (
4
1
1)(
3
1
1)(
2
1
1(
2222
n
Bài 11 Tìm giới hạn các hàm số
1)
x
xx
Lim
x
3
0
11 ++
2)
32
372
1
+
+
x
x
Lim
x
3)
x
xx
Lim
x
2
3
0
sin
coscos
4)
4
5
4
3
1
)1(
)1)(1)(1)(1(
x
xxxx
Lim
x
Bài 12 Sử dụng
x
x
Lim
x
sin
0
=1 Tính
1)
3
0
sintan
x
xx
Lim
x
2)
4
cos
4
2
2
x
x
Lim
x
3)
2
tan)1(
1
x
xLim
x
4)
2
0
cos1
x
ax
Lim
x
5)
2
0
3cos.2cos.cos1
x
xxx
Lim
x
6)
x
x
Lim
x
cos21
3sin
3
7)
x
x
Lim
x
2
0
tan
cos12 +
8)
xxx
x
Lim
x
cossin1
2
0
+
9)
x
xx
Lim
x
2sin12sin1
0
+
10)
)sin(tan
)cos
2
cos(
0
x
x
Lim
x
11)
)sin(
)sin(
1
n
m
x
x
x
Lim
12)
2
cos
2
x
x
Lim
x
13)
x
x
x
cot1
tan1
lim
4
14)
xxLim
x
tan)2cos1(
2
+
15)
x
xx
Lim
x
tan1
cossin
4
16)
2
0
2coscos1
x
xx
Lim
x
17)
)
6
cos(
tan3tan
3
3
+
x
xx
Lim
x
18)
x
x
Lim
x
cos21
)
3
sin(
3
19)
3
0
sin1tan1
x
xx
Lim
x
++
Bµi 13 Sö dông giíi h¹n d¹ng
1
1
0
=
−
→
x
e
Lim
x
x
;
1
)1ln(
lim
0
=
+
→
x
x
x
;
e
x
xLim
x
x
=+
+∞→
)
1
(
:
exLim
x
x
=+
→
1
0
)1(
1)
)ln(cos
)ln(cos
0
bx
ax
Lim
x→
2)
2
0
)ln(cos
x
x
Lim
x→
3)
ex
x
ex
−
−
→
1ln
lim
4)
)21ln(
)31ln(
x
x
x
Lim
+
+
−∞→
5)
)21ln(
2
3 43
0
x
xx
Lim
x
+
+
→
6)
)1ln(
)1ln(
10
2
++
+−
+∞→
xx
xx
Lim
x
7)
)3ln(
)2ln(
2
3
x
x
x
e
e
Lim
+
+
+∞→
8)
)1ln(
)1ln(
4
3
3
xx
xx
Lim
x
++
++
+∞→
9)
bx
ax
x
sin
)
4
tan(ln
lim
0
+
→
π
10)
x
x
x
x
Lim )
1
1
(
−
+
+∞→
11)
x
x
xLim
π
π
cot
1
)sin1( +
→
12)
x
x
x
x
Lim
sin
1
0
)
sin1
tan1
(
+
+
→
13)
ax
ax
a
x
−
→
1
)
sin
sin
(lim
14)
2
1
0
)
2cos
cos
(
x
x
x
x
Lim
→
15)
x
x
xLim
2tan
4
)(tan
π
→
16)
x
x
xLim
tan
2
)(sin
π
→
17)
x
x
xx
Lim )
1
cos
1
(sin +
+∞→
