Tóm tắt công thức lượng giác

I. CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
1.Công thức cộng
1)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b+ = −
2)
cos( ) cos cos sin sina b a b a b− = +
3)
sin( ) sin cos cos sina b a b a b+ = +
4)
sin( ) sin cos cos sina b a b a b− = −
5)
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
6)
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b
a b
a b
−
− =
+
2. Công thức nhân

2.1. Công thức nhân đôi
1)
2 2
cos 2 cos sina a a= −
2)
sin 2 2sin cosa a a
=
3)
2
2 tan
tan 2
1 tan
a
a
a
=
−
2.1.1.Công thức hạ bậc:
1)
2
1 cos2
cos
2
a
a
+
=
2)
2
1 cos 2

sin
2
a
a
−
=
3)
2
1 cos 2
tan
1 cos 2
a
a
a
−
=
+
2.1.3 Công thức tính theo
tan
2
a
t=
1)
2
2
1
cos
1
t
a

t
−
=
+
2)
2
2
sin
1
t
a
t
=
+
3)
2
2
tan
1
t
a
t
=
−
2.2. Công thức nhân ba
1)
3
cos3 4cos 3cosa a a= −
2)
3

sin 3 3sin 4sina a a= −
3)
3
2
3tan tan
tan3
1 3tan
a a
a
a
−
=
−
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
1)
1
cos cos [cos( ) cos( )]
2
a b a b a b= + + −
2)
1
sin sin [cos( ) cos( )]
2
a b a b a b= − + − −
3)
1
sin cos [sin( ) sin( )]
2
a b a b a b= + + −
4. Công thức biến đổi tổng thành tích

1)
cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
2)
cos cos 2sin sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
3)
sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
4)
sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
Một số công thức cơ bản
1)

cos sin 2 cos( )
4
a a a
π
+ = −

2)
cos sin 2 sin( )
4
a a a
π
+ = +
3)
cos sin 2 cos( )
4
a a a
π
− = +
4)
cos sin 2 sin( )
4
a a a
π
− = − −
5)
4 4 2 2
cos sin 1 2sin cosa a a a+ = −
6)
6 6 2 2
cos sin 1 3sin cosa a a a+ = −

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Phương trình
2
sin sin ,( )
2
x a k
x a k
x a k
π
π π
= +

= ⇔ ∈

= − +

¢

a
là góc tính bằng radian, chẳng hạn
,
6 4
a a
π π
= =
;
1 sin 1a− ≤ ≤
2. Phương trình
2
cos cos ,( )

2
x a k
x a k
x a k
π
π
= +

= ⇔ ∈

= − +

¢
3. Phương trình
tan tanx a=
Điều kiện
,( )
2
x k k
π
π
≠ + ∈¢
tan tan ,( )x a x a k k
π
= ⇔ = + ∈¢
4. Phương trình
cot cotx a=
Điều kiện
,( )x k k
π π

≠ + ∈¢
cot cot ,( )x a x a k k
π
= ⇔ = + ∈¢
III. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
1. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác
Cách giải.
+ Đối với các phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta biến đổi về dạng phương trình
lượng giác cơ bản.
+ Đối với phương trình bậc hai, bậc cao đối với một hàm số lượng giác ta đặt ẩn phụ, sau đó giải
phương trình theo ẩn phụ.
Lưu ý: Nếu đặt
cost x=
hay
sint x=
thì điều kiện
1.t ≤
2. Phương trình bậc nhất đối với
sin x
và
cos x
Phương trình bậc nhất đối với
sin x
và
cos x
là Phương trình có dạng
sin cos ,a x b x c+ =
với
, ,a b c ∈¡
(1)

Cách giải.
Cách 1. Chia hai vế của (1) cho
2 2
a b+
ta được
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
(2)
Đặt
2 2 2 2
cos ,sin .
a b
a b a b
β β
= =
+ +
Khi đó (2) trở thành
2 2 2 2
cos sin sin cos sin( )
c c
x x x
a b a b
β β β
+ = ⇔ + =
+ +

(3)
(3) có nghiệm
2 2 2
2 2
1
c
a b c
a b
⇔ ≤ ⇔ + ≥
+
Cách 2. Chia hai vế của (1) cho
a
rồi đặt
tan
b
a
α
=
Ta được
sin tan cos sin cos sin cos cos
c c
x x x x
a a
α α α α
+ = ⇔ + =
sin( ) cos
c
x
a
α α

⇔ + =
. Phương trình này có nghiệm khi
cos 1
c
a
α
≤
3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với
sin x
và
cos x
Đó là Phương trình dạng
2 2
sin sin cos cos 0; , ,a x b x x c x a b c+ + = ∈¡
(2)
Cách giải.
Nếu
cos 0 ,( )
2
x x k k
π
π
= ⇔ = + ∈¢
thì thay vào (2) để xét
2
x k
π
π
= +
có là nghiệm của Phương

trình (2) hay không.
Nếu
cos 0 ,( )
2
x x k k
π
π
≠ ⇔ ≠ + ∈¢
thì chia cả hai vế của phương trình cho
2
cos 0x =
ta được
2
tan tan 0a x b x c+ + =
Lưu ý Nếu Phương trình có vế phải khác 0 như
2 2
sin sin cos cosa x b x x c x d+ + =
thì ta biến đổi như
sau
2 2 2 2
sin sin cos cos (sin cos )a x b x x c x d x x+ + = +
rồi chuyển vế phải sang trái
Ngoài ra ta cũng có thể giải được Phương trình (2) nhờ các công thức sau
2
1 cos2
cos
2
a
a
+

=
;
2
1 cos 2
sin
2
a
a
−
=
;
sin 2 2sin cosa a a
=
Đối với Phương trình bậc ba chỉ có
sin x
và
cos x
3 2 2 3
cos cos sin sin cos sin 0a x b x x c x x d x+ + + =
Ta cũng biến đổi đưa về dạng bậc ba đối với
tan x
4. Phương trình đối xứng đối với
sin x
và
cos x
Phương trình đối xứng với
sin x
và
cos x
là Phương trình có dạng

(sin cos ) sin cos 0; , ,a x x b x x c a b c+ + + = ∈¡
(3)
Cách giải. Đặt
sin cos 2sin ,
4
t x x x
π
 
= + = +
 ÷
 
điều kiện
2t ≤
Khi đó
2
2
1
1 2sin cos sin cos .
2
t
t x x x x
−
= + ⇒ =
Thay vào Phương trình (3) ta được
2
2
( 1)
0 2 (2 ) 0.
2
b t

at c bt at c b
−
+ + = ⇔ + + − =
(*)
Giải Phương trình (*) tìm
t
và chọn nghiệm thỏa
2t ≤
Lưu ý. Cách này cũng áp dụng được cho Phương trình
(sin cos ) sin cos 0a x x b x x c− + + =
Bằng cách đặt
sin cos 2 sin( )
4
t x x x
π
= − = −
;điều kiện
2t ≤
.
Khí đó
2
1
sin cos .
2
t
x x
−
=
IV. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC
Để giải các Phương trình này ta cần biến đổi về các Phương trình lượng giác đã biết cách giải

1. Sử dụng công thức hạ bậc, góc nhân đôi, góc nhân ba
2. Dạng phân thức, ta phải đặt điều kiện cho mẫu thức khác 0
3. Dạng chứa
tan x
và
cot x
, ta cần phải đặt điều kiện cho
tan x
và
cot x
xác định.