Bài tập về véc tơ cho học sinh giỏi

Newton Grammar School

Th.S. Phạm Hồng Phong (Sưu tầm)
1

BÀI TẬP ÔN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 10 – VECTƠ
Bài 1. Cho tam giác
ABC
và điểm
M
. Chứng minh
M
là trung điểm của
BC
khi và chỉ khi


1
2
AM AB AC
 
  
.
Bài 2. Cho tam giác
ABC
và điểm
G
. Chứng minh các khẳng định sau tương đương
1)
G
là trọng tâm tam giác

ABC
.
2)
GA GB GC 0
  
   
.
3)
MA MB MC 3MG
  
   

M

.
Bài 3. Chứng minh hai tam giác
ABC
,
A'B'C'
có cùng trọng tâm khi và chỉ khi
AA' BB' CC' 0
  
   
.
Bài 4. Cho
M
,
N
,
P

,
Q
,
R
,
S
lần lượt là trung điểm các cạnh
AB
,
BC
,
CD
,
DE
,
EF
,
FA
của
lục giác
ABCDEF
. Chứng minh hai tam giác
MPR
và
NQS
có cùng trọng tâm.
Bài 5. Cho tam giác đều
ABC
với tâm là.
H

là một điêm bất kỳ nằm bên trong tam giác. Gọi
A'
,
B'
,
C'
lần lượt là các điểm đối xứng với
H
qua các cạnh
BC
,
CA
,
AB
. Chứng minh rằng hai tam
ABC
và
A'B'C'
có cùng trọng tâm.
Bài 6. Nếu
M
,
N
theo thứ tự là trung điểm của các đoạn
AD
,
BC
thì





1 1
2 2
MN AB DC AC DB
   
    
.
Bài 7. Cho tứ giác
ABCD
. Các điểm
M
,
N
theo thứ tự thay đổi trên các cạnh
AD
,
CB
sao cho
CN
AM
AD CB

. Tìm quỹ tích trung điểm
I
của
MN
.
Bài 8. Cho ngũ giác
ABCDE

. Các điểm
M
,
N
,
P
,
Q
,
R
,
S
lần lượt là trung điểm các đoạn
EA
,
AB
,
BC
,
CD
,
MP
,
NQ
. Chứng minh
RS / /ED
và
1
4
RS ED


.
Bài 9. Cho tam giác
ABC
.
M
là một điểm bất kỳ thuộc cạnh
BC
. Chứng minh rằng
MC
MB
BC BC
AM AB AC
 
  
.
Bài 10. Cho tam giác
ABC
. Chứng minh nếu
I
là tâm đường tròn nội tiếp tam giác thì
aIA bIB cIC 0
  
   
.
Điều ngược lại có đúng không?
Bài 11. Cho tam giác
ABC
ngoại tiếp đường tròn tâm
I

. Đường tròn


I
tiếp xúc với các cạnh
BC
,
CA
,
AB
của tam giác lần lượt tại
D
,
E
,
F
. Chứng minh
aID bIE cIF 0
  
   
.
Newton Grammar School

Th.S. Phạm Hồng Phong (Sưu tầm)
2

Bài 12. (Định lý con nhím) Cho đa giác lồi
1 2 n
A A A
và các vectơ đơn vị

i
e

(
i 1,2, ,n

) lần lượt
vuông góc với
i i 1
A A


(xem
n 1 1
A A

 ). Chứng minh rằng
1 2 1 2 3 2 n 1 n
A A e A A e A A e 0
   
   
.
Bài 13. Cho tứ giác
ABCD
ngoại tiếp đường tròn


I
. Hai điểm
E

,
F
lần lượt là trung điểm của
AC

và
BD
. Chứng minh
I
,
E
,
F
thẳng hàng.
Bài 14. Về phía ngoài tam giác
ABC
, dựng các tam giác đồng dạng
XBC
,
YCA
,
ZAB
. Chứng minh
rằng các tam giác
ABC
,
XYZ
có cùng trọng tâm.
Bài 15. Cho tam giác
ABC

.
M
là một điểm bất kỳ thuộc cạnh
BC
. Chứng minh rằng






S MBC SA S MCA SB S MAB SC 0
  
   
.
Bài 16. Cho tam giác đều
ABC
tâm
O
.
M
là điểm bất kỳ trong tam giác.
D
,
E
,
F
lần lượt là hình
chiếu của
M

lên
BC
,
CA
,
AB
. Chứng minh
3
2
MD ME MF MO
  
   
.
Bài 17. [HSG10V1-Hà Nội-1992] Cho tam giác
ABC
nội tiếp đường tròn tâm
O
và có trực tâm
H
.
Chứng minh
1)
OA OB OC OH
  
   
.
2)
sin2A.OA sin 2B.OB sin2C.OC 0
  
   

(với giả thiết tam giác
ABC
nhọn)
Bài 18. [HSG10V1-Hà Nội-1993] Cho tam giác
ABC
và một điểm
M
bất kỳ.
1) Chứng minh vectơ
3MA 5MB 2MC
 
  
không phụ thuộc vào vị trí của điểm
M
.
2) Chứng minh nếu điểm
H
thỏa mãn hệ thức
OA OB OC OH
  
   
(
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác
ABC
) thì
H
là trực tâm tam giác.
3) Tìm tập hợp điểm

M
sao cho
3MA 2MB 2MC MB MC
   
    
.
Bài 19. [HSG10V1-Hà Nội-1993] Cho tam giác
ABC
với
H
là trực tâm,
O
là tâm đường tròn ngoại
tiếp. Gọi
G
,
0
A
,
0
B
,
0
C
lần lượt là trọng tâm các tam giác
ABC
,
HBC
,
HCA

,
HAB
. Chứng minh
0 0 0
OA OB OC 5OG
  
   
.