Các phương pháp rút gọn hệ động lực rời rạc tuyến tính

Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1
1.1 Hệ tuyến tính điều khiển rời rạc . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Hệ tuyến tính rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Khái niệm về hàm truyền . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Tính điều khiển được, quan sát được, biểu diễn tối thiểu 3
1.2.1 Tính điều khiển được . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Tính quan sát được . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Biểu diễn tối thiểu của hệ . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Tính ổn định của hệ rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Định nghĩa tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 Phương trình Lyapunov rời rạc . . . . . . . . . 11
Chương 2: Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến
tính rời rạc 13
2.1 Bài toán rút gọn mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Phương pháp chặt cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời
rạc dựa vào Impluse Response Gramian . . . . . . . . . 19
2.3.1 Impluse Response Gramian (IRG) . . . . . . . . 19
2.3.2 Phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời
rạc dựa vào IRG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 Cải tiến phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến
tính rời rạc dựa vào IRG . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Thực hiện các thuật toán bằng ngôn ngữ lập trình Matlab39
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Lời nói đầu
1. Lý do chọn đề tài
Công việc thiết kế các bộ điều khiển cho một hệ thống kỹ thuật
có sẵn đòi hỏi nhiều hiểu biế t về hệ thống đó. Một trong những

phương pháp thường dùng là sử dụng mô hình toán học để mô tả
hệ thống. Tuy nhiên, trong nhiều hệ thống kỹ thuật, như trong
công nghệ robot, công nghệ hàng không, các mô hình toán học
mô tả các hệ thống này thường phức tạp và có bậc cao. Do vậy
mà việc thiết kế b ộ điều khiển cho mô hình bậc cao như thế đòi
hỏi một khối lượng lớn các tính toán và đôi khi không thực tế.
Để giải quyết điều này, các kỹ sư thường xấp xỉ các mô hình bậc
cao bằng các mô hình bậc thấp, đơn giản hơn. Điều quan trọng
là các mô hình bậc thấp này không làm mất đi đặc điểm vật
lý quan trọng của hệ thống, chẳng hạn như tính ổn định, tính
quan sát được, điều khiển được,. . . Trong những năm gần đây,
đã có rất nhiều phương pháp xây dựng mô hình rút gọn như các
phương pháp balacing, POD, Krylov subspace, Moment maching,
. . . , được đưa ra với mục tiêu rút gọn mô hình gốc. Để hiểu sâu
sắc hơn về vấn đề này, em xin chọn đề tài cho luận văn là “Các
phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc”.
2. Khái quát về nội dung nghiên cứu và cấu trúc của luận
văn
Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc có dạng:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) (1)
y(k) = Cx(k) + Du(k), k ∈ N (2)
trong đó A,B,C,D là các ma trận bất biến thực có kích thước
tương ứng là: n ×n , n ×m, r ×n, r ×m . Số n, kích thước của
A, được gọi là bậc của mô hình. Mục tiê u của đề tài là trình bày
các phương pháp xây dựng mô hình rút gọn bậc r, với r << n ,
sao cho mô hình rút gọn của hệ (1) là:
iii
Lời nói đầu
x
r

(k + 1) = A
r
x
r
(k) + B
r
u (k)
y
r
(k) = C
r
x
r
(k) + D
r
u(k), k ∈ N (3)
trong đó A
r
, B
r
, C
r
, D
r
là các ma trận thực c ó kích thướ c tương
ứng là r ×r , r ×m, p×r, p×m . Khi đó hàm truyền của hệ gốc
và hệ rút gọn tương ứng là G(z) = C(zI − A)
−1
B + D, G
r

(z) =
C
r
(zI − A
r
)
−1
B
r
+D
r
. Các phương pháp được xây dựng sao cho
hệ rút gọn được thỏa mãn các tính chất sau:
1. Sai số y − y
r
 nhỏ và bị chặn.
2. Các tính chất của hệ như tính điều khiển được, tính quan s á t
được và tính ổn định, vẫn đượ c bảo toàn.
3. Quá trình tính toán hiệu quả.
Luận văn bao gồm 2 chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các vấn đề sau:
1.1. Khái niệm hệ động lực tuyến tính rời rạc, xây dựng ma trận
hàm truyền và các phép toán đối với ma trận hàm truyền.
1.2. Khái niệm tính điều khiển được, quan sát được c ủa hệ động
lưc tuyến tính rời rạc, phát biểu và chứng minh các định l ý về
các tiêu chuẩn tương đương với các tính chất này. Từ đó đưa ra
khái niệm biểu diễn tối thiểu của một hệ động lực tuyến tính rời
rạc và nêu phương pháp đưa một biểu diễn bất kỳ về biểu diễn
tối thiểu (định lý Kalman) và định lý về điều kiện cần và đủ để

một biểu diễn là biểu diễn tối thiể u.
1.3. Khái niệm tính ổn định của hệ động lực tuyến tính rời rạc,
các tính chất của phương trình Lyapunov rời rạc, từ đó chứng
minh định lý về sự l iên hệ giữa hai khái niệm này.
Chương 2: Các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời
rạc dựa vào IRG
Chương này trình bày các vấn đề sau:
2.1. Phát biểu bài toán rút gọn mô hình.
2.2. Trình bày phương pháp trặt cân bằng cho bài toán rút gọn
mô hình
2.3. Trình bày các phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính
dựa vào IRG, trong đó:
2.3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của IRG.
2.3.2 Phương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tí nh rời rạc dựa vào
IRG.
2.3.3 Phương pháp cải tiến rút gọn hệ động lực tuyến tính rời rạc
dựa vào IRG.
2.4. Lập trình các thuật toán bằng Matlab.
iv
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Hệ tuyến tính điều kh iển rời rạc
1.1.1 Hệ tuyến tính rời rạc
Định nghĩa 1.1.1. Hệ tuyến tính rời rạc là hệ có dạng sau:
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), x(0) = x
0
, (1.1)
y(k) = Cx(k) + Du(k), (1.2)
trong đó:
• x(k) là một vectơ n chiều được gọi là vectơ trạng thái của hệ,

• x(0) là vectơ trạng thái ban đầu của hệ,
• u(k) là một vectơ m chiều được gọi l à vectơ đầu vào,
• y(k) là một vectơ r chiều được gọi là vectơ đầu ra,
• các ma trận A, B, C, D là ma trận thực, bất biến, và có kích thước
tương ứng là: n × n, n × m, r × n, r × m.
Định lý sau đây sẽ cho công thức nghiệm của hệ (1.1)-(1.2).
Định lý 1.1.2. Nghiệm của hệ rời rạc (1.1)-(1.2) có dạng như sau:
x(k) = A
k
x
0
+
k−1

i=0
A
k−i−1
Bu(k), x(0) = x
0
.
y(k) = CA
k
x
0
+

k−1

i=0
CA

k−i−1
Bu(i)

+ Du(k) (1.3)
Chứng minh. Từ
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
1
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
ta có
x(k) = A[Ax(k −2) + Bu(k − 2)] + Bu(k − 1)
= A
2
x(k − 2) + ABu(k − 2) + Bu(k −1)
= A
2
[Ax(k − 3) + Bu(k − 3)] + ABu(k −2) + Bu(k − 1)
.
.
.
= A
k
x
0
+
k−1

i=0
A
k−1−i
Bu(i).

Thay
x(k) = A
k
x
0
+
k−1

i=0
A
k−1−i
Bu(i)
vào (1.2) ta c ó điều phải chứng minh.
1.1.2 Khái niệm về hàm truyền
Định nghĩa 1.1.3. Biến đổi z hai phía của một dãy x(n) được định
nghĩa như sau:
X(z) = Z[x(k)] :=
∞

k=−∞
x(k)z
−k
.
Sau đây, ta sẽ xây dựng công thức hàm truyền cho hệ rời rạc. Gọi
X(z), Y (z), U(z) lần lượt là biến đổi z c ủa các dãy x(k), y(k), u(k).
Áp dụng biến đổi z vào phương trình x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) ta
có:
Z[x(k + 1)] = Z[Ax (k) + Bu(k)] (1.4)
= AZ[x(k)] + BZ[u(k)] (1.5)
= AX(z) + BU (z). (1.6)

Mặt khác
Z[x(k + 1)] = Z[x(k)]z = zX(z). (1.7)
Suy ra
zX(z) = AX(z) + BU (z).
Chuyển AX(z) sang vế trái và đặt X(z) làm nhân tử chung ta được:
(zI − A)X(z) = BU(z).
2
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Do đó,
X(z) = (zI − A)
−1
BU(z).
Tương tự ta áp dụng tính chất của biến đổi z vào phương trình y(k) =
Cx(k) + Du(k) ta có:
Y (z) = CX(z) + DU(z). (1.8)
Thay X(z) = (zI − A)
−1
BU(z) vào (1.8) ta có:
Y (z) = C(zI −A)
−1
BU(z) + DU(z)
= (C(zI −A )
−1
B + D)

 
=:G(z)
U(z).
Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.4. Ma trận G(z) = C(zI −A)

−1
B +D có kích thước
r ×m được gọi là ma trận hàm truyền.
Để thuận tiện cho tính toán, ma trận hàm truyền G(s) đôi khi sẽ
được viết theo cách sau:
G(z) =

A
B
C D

= C(zI −A)
−1
B + D.
Cặp các ma trận (A, B, C, D) được gọi là một biểu diễn không gian
trạng thái của hàm truyền G(z). Cặp các ma trận này không phải
là duy nhất, có thể tồn tại nhiều cặp các ma trận (A, B, C, D) cùng
biểu diễn một hàm truyền.
1.2 Tính điều khiển được, quan sát được, biểu diễn tối
thiểu
1.2.1 Tính điều khiển được
Định nghĩa 1.2.1. Hệ tuyến tính rời rạc
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k),
được gọi là điều khiển được nếu cho hai trạng thái x
0
, x
1
bất kỳ thì
luôn tồn tại một dãy các vectơ đầu vào {u

0
, u
1
, , u
N−1
} chuyển từ
trạng thái x
0
tại thời điểm k = 0 đến trạng thái x
1
tại thời điểm
k = N, tức là: x(0) = x
0
và x(N) = x
1
.
3
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chú ý 1.2.2. Để tránh nhầm lẫn và không mất tính tổng quát ta có
thể giả sử rằng x
0
= 0.
Định lý sau đây sẽ cho ta các tiêu chuẩn tương đương về tính điều
khiển được của hệ rời rạc.
Định lý 1.2.3. Cho A ∈ R
n×n
và B ∈ R
n×m
(m ≤ n). Khi đó các
mệnh đề sau đây là tương đương:

(i) Hệ (1.1)-(1.2) là điều khiển được.
(ii) (Tiêu chuẩn Kalman) Ma trận kích thước n × nm: C
M
=
(B, AB, A
2
B, , A
n−1
B) có hạng bằng n, rank(C
M
) = n.
(iii) Ma trận
W
C
=
N

k=1
A
k
BB
T
(A
T
)
k
là không suy biến với mọi N.
(iv) Nếu (λ, x) là một cặp giá trị riêng, véctơ riêng trái của A, tức là
x
T

A = λx
T
, thì x
T
B = 0.
(v) (Tiêu chuẩn Hautus) rank(A −λI, B) = n với mọi giá trị riêng
λ của A. Các giá trị riêng của A −BK có thể được gán một cách
tùy ý bằng cách chọn ma trận K thích hợp.
Chứng minh. Ta sẽ lần lượt chứng minh theo các sơ đồ sau.
• (i) → (ii).
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử rằng rank (C
M
) = n.
Ta có
x(k) = A
k
x
0
+
k−1

i=0
A
k−1−i
Bu(i).
Chuyển A
k
x
0
sang vế trái ta được:

x(k) − A
k
x
0
=
k−1

i=0
A
k−1−i
Bu(i)
Từ đó suy ra
x(k) = (A
k−1
Bu(0) + A
k−2
Bu(2) + + A
0
Bu(k − 1))
= Bu(k −1) + ABu(k −2) + + A
k−1
Bu(0)
Như vậy véc tơ x(k) là một tổ hợp tuyến tính của các cột
B, AB, , A
n−1
B. Khi rank (C
M
) = n các véc tơ cột không
4
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

thể tạo thành một cơ sở của không gian trạng thái. Bằng cách
chọn x
1
không nằm trong không gian vectơ sinh bởi các cột của
B, AB, , A
n−1
B, ta sẽ không thể tìm được k sao cho x(k) = x
1
.
Như vậy là hệ không điề u khiển được. Vậy điều giả sử là sai ta có
điều phải chứng minh.
• (ii) → (iii).
Ta sẽ chứng minh bằng phản chứng. Giả sử ranh (C
M
) = n,
nhưng ma trận
W
C
=
N

k=1
A
k
BB
T
(A
T
)
k

(1.9)
là suy biến với N > 1. Khi đó tồn tại vectơ v khác 0 là vectơ
riêng trái ứng với giá trị riêng 0 của W
C
, sao cho vW
C
= 0. Nhân
hai vế của phương trình với v
T
ta được vW
C
v
T
= 0, hay:
v

N

k=1
A
k
BB
T
(A
T
)
k

v
T

= 0.
Do đó,
N

k=1
vA
k
BB
T
(A
T
)
k
v
T
= 0,
hay,
N

k=1
c(k)c(k)
T
= 0.
với c(k) = vA
k
B. Ta thấy c(k)c(k)
T
> 0, ∀k nên để

N

k=1
c
T
(t)c(t) = 0 thì c(k) = 0, tức là vA
k
B = 0, k =
1, 2 , , n − 1. Khi đó v vuông góc với tất cả các cột của ma
trận C
M
. Mà ta giả sử rank( C
M
) = n nên v = 0. Điều này là vô
lý vì v = 0 nên điề u giả s ử là sai. Ta có điều phải chứng minh.
• (ii) → (i).
Do rank(C
M
) = n nên không gian sinh bởi các vectơ cột của
B, AB, , A
n−1
B sinh ra R
n
. Với x
0
, x
1
cho trước, luôn tồn tại
dãy {u
0
, u
1

, , u
n
} sao cho:
x
1
− A
n
x
0
= Bu
n−1
+ ABu
n−2
+ + A
k−1
Bu
0
.
Suy ra
x
1
= A
n
x
0
+ Bu
n−1
+ ABu
n−2
+ + A

k−1
Bu
0
= x(n).
5
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• (ii) → (iv).
Cho x = 0 là một véc tơ riêng của A
T
tương ứng với một giá trị
riêng λ nào đó. Khi đó
x
T
A = λx
T
.
Giả sử rằng x
T
B = 0. Ta c ó
x
T
C
M
= (x
T
B, λx
T
B, λ
2
x

T
B, . . . , λ
n−1
x
T
B) = 0 .
Do rank(C
M
) = n nên x = 0. Vậy điều giả sử là sa i. Ta có điều
phải chứng minh.
• (iv) → (ii).
Giả sử không có véc tơ riêng nào của A
T
là vuông góc với các cột
của ma trận B, nhưng rank (C
M
) = k < n. Trong trường hợp
này tồn tại một ma trận không suy biến T sao cho:
A = T AT
−1
=

A
11
A
12
0
A
22


,
B = T B =

B
1
0

,
trong đó
A
22
có kích thước n − k và k = rank(C
M
). Lấy v
2
là
véc tơ riêng của (
A
22
)
T
ứng với một giá trị riêng λ. Khi đó:
(A)
T

0
v
2

=


A
−T
11
0
A
−T
12
A
−T
22


0
v
2

=

0
A
−T
22
v
2

= λ

0
v

2

.
Do đó véc tơ

0
v
2

cũng là véc tơ riêng của (
A)
T
ứng với giá trị
riêng λ. Hơn nữa
(0, v
T
2
)
B = (0, v
2
)
T

B
1
0

= 0.
Như vậy véc tơ riêng


0
v
2

của (
A)
T
vuông góc với cá c vectơ cột
của
B. Điều này là vô lý với giả thiết.
• (iv) ↔ (v).
Ta có rank(λI −A, B) < n khi và chỉ khi tồn tại một vectơ v = 0
sao cho v
T
(λI −A, B) = 0. Điều này tương đương với: A
T
v = λv
và v
T
B = 0, tức là v là một véc tơ riêng của A
T
ứng với giá trị
riêng λ và nó vuông góc với véc tơ cột B. Vậy ta có điều phải
chứng minh.
6
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Ví dụ 1.2.4. Xét hệ được mô tả bởi phương trình sau:
x(k + 1) =





1 2 0 1
3 0 −1 2
2 5 3 1
1 2 1 3




x(k) +




1
2
3
4




u(k).
Các ma trận tương ứng của hệ là
A =





1 2 0 1
3 0 −1 2
2 5 3 1
1 2 1 3




, B =




1
2
3
4




.
Khi đó ta có:
AB =




9
8

25
20




, A
2
B =




45
42
153
110




, A
3
B =




239
202

869
612




.
Suy ra:
C
M
=




1 9 45 239
2 8 42 202
3 25 153 869
4 20 110 612




.
Hạng của ma trận C
M
, rank (C
M
) = 4, do đó hệ đã cho là điều khiể n
được.

1.2.2 Tính quan sát được
Định nghĩa 1.2.5. Hệ tuyến tính rời rạc
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k),
được gọi là quan sát được nếu tồn tại một chỉ số N mà trạng thái
ban đầu x
0
có thể xác định hoàn toàn từ dãy các vectơ đầu vào
{u
0
, u
1
, , u
N−1
} và dãy các vectơ đầu ra {y
0
, y
1
, , y
N
}.
Định lý sau đây sẽ cho ta các tiê u chuẩn tương đương về tính quan
sát được của hệ rời rạc.
7
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Định lý 1.2.6. Các điều kiện sau là tương đương
(i) Hệ (1.1)-(1.2) là quan sát được.
(ii) Ma trận quan sát O
M
:=







C
CA
CA
2
.
.
.
CA
n−1






có hạng bằng n.
(iii) Ma trận
W
O
=
N

k=1
(A

T
)
k
C
T
CA
k
là không suy biến với mọi N.
(iv) Ma trận

λI − A
C

có hạng bằng n với mọi giá trị riêng λ của A.
(v) Không có các véc tơ đặc trưng nào của A là trực giao với các hàng
của ma trận C, có nghĩa là, nếu (λ, y) là một cặp giá trị riêng,
vectơ riêng của A thì Cy = 0.
Ví dụ 1.2.7. Cho hệ mô tả bởi phương trình sau:
x(k + 1) =




1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1





x(k) +




1
2
0
8




,
y(k) =

1 1 2 0

x(k) + u(k).
Các ma trận hệ số của hệ là:
A =




1 0 0 0
2 1 0 0
3 2 1 0
4 3 2 1





, C =

1 1 2 0

.
Khi đó ta có:
CA =

9 5 2 0

,
CA
2
=

25 9 2 0

,
CA
3
=

49 13 2 0

.
8

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Suy ra:
O
M
=




C
CA
CA
2
CA
3




=




1 1 2 0
9 5 2 0
25 9 2 0
49 13 2 0





.
Ta đi tính hạng của ma trận O
M
, rank (O
M
) = 3 = 4. Do vậy hệ đã
cho không quan sát được.
1.2.3 Biểu diễn tối thiểu của hệ
Định nghĩa 1.2.8. Một biểu diễn (A, B, C, D) của G(z) được gọi là
biểu diễn tối thiểu nếu A là ma trận có số chiều nhỏ nhất, tức là, nếu
(A
′
, B
′
, C
′
, D
′
) là một biểu diễn nào đó của G(z) thì số chiều của A
′
là l ớ n hơn hoặc bằng số chiều của A. Số chiều nhỏ nhất của A còn
được gọi là bậc M cMillan của hệ.
Để tìm biểu diễn tối thiểu của hệ, ta xuất phát từ tính điều khiển
được và tính quan sát được của hệ. Giả sử rằng (A, B) là không điều
khiển được. Khi đó theo định lí sau đây ta c ó thể chia tách hệ thành
2 phần, phần điều khiể n được và phần không điều khiển được.
Định lý 1.2.9. Giả sử ma trận điều khiển C
M

của hệ có rank C
M
=
k. Khi đó sẽ tồn tại một ma trận T không suy biến sao cho:
¯
A = T AT
−1
=

¯
A
11
¯
A
12
0
¯
A
22

,
¯
B = T B =

¯
B
1
0

,

với
¯
A
11
,
¯
A
12
,
¯
A
22
,
¯
B
1
là các ma trận có số chiều tương ứng là k ×k, k ×
(n −k), (n −k) ×(n −k), k ×m. Hơn nữa cặp (
¯
A
11
,
¯
B
1
) là điều khiển
được.
Tương tự như vậy, nếu (A, C) không quan sát đượ c,ta cũng có thể
tách hệ thành 2 phần (phần quan sát được và phần không quan sát
được) bằng định lý sau:

Định lý 1.2.10. Nếu ma t rận quan sát được O
M
có rank(O
M
) =
k
′
< n, thì tồn tại một ma trận không suy biến T sao cho:
¯
A = T AT
−1
=

¯
A
11
¯
A
12
0
¯
A
22

,
¯
C = CT
−1
= (0,
¯

C
1
),
với cặp (
¯
A
11
,
¯
C
1
) là quan sát được và
¯
A
11
có bậc là k
′
.
Bằng cách kết hợp hai định lý trên ta có thể phân hoạch một hệ
bất kỳ thành 4 phần: phần điều khiển được và quan sá t được, phần
9
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
điều khiển được và không quan sát được, phần không điều khiển được
và quan sát được, và phần không điều khiển được cũng như không
quan sát được.
Định lý 1.2.11 (Định lý phân tích chính tắc Kalman). Đối với hệ
tuyến tính rời rạc bất kỳ
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k),
luôn tồn tại một phép biến đổi không suy biến ¯x = T x sao cho:





˙
¯x
c¯o
˙
¯x
co
˙
¯x
¯c¯o
˙
¯x
¯co




=




¯
A
c¯o
¯
A

12
¯
A
13
¯
A
14
0
¯
A
co
0
¯
A
24
0 0
¯
A
¯c¯o
A
34
0 0 0
¯
A
¯co









¯x
c¯o
¯x
co
¯x
¯c¯o
¯x
¯co




+




¯
B
c¯o
¯
B
co
0
0





(1.10)
y = (0,
¯
C
co
, 0,
¯
C
¯co
)




¯x
c¯o
¯x
co
¯x
¯c¯o
¯x
¯co




+ Du,
với ¯x

c¯o
là trạng thái điều khiển được nhưng không quan sát được,
¯x
co
là trạng thái điều khiển được và quan sát được,
¯x
¯c¯o
là trạng thái không điều khiển được và không quan sát được,
¯x
¯co
là trạng thái không điều khiển được nhưng quan sát được.
Hơn nữa ma trận hàm truyền
G(z) = C(zI − A)
−1
B + D
có thể biểu diễn bởi:
G(z) =
¯
C
co
(zI −
¯
A
co
)
−1
¯
B
co
+ D.

Chú ý 1.2.12. Các c ặ p ma trận (A, B, C, D) và (
¯
A
co
,
¯
B
co
,
¯
C
co
,
¯
D
co
)
cùng là các biểu diễ n của hàm truyền, tuy nhiên cặp
(
¯
A
co
,
¯
B
co
,
¯
C
co

,
¯
D
co
) có số chiều nhỏ hơn. Định lý phân tích chính tắc
Kalman còn cho ta biết rằng (
¯
A
co
,
¯
B
co
,
¯
C
co
,
¯
D
co
) là bi ểu diễn tối thiểu
của hệ (tức là biểu diễn có số chiều nhỏ nhất).
Đặc trưng của biểu diễn tối thiểu được cho bởi định lý sau:
Định lý 1.2.13. Một biễu diễn (A, B, C, D) của G(z) là là biểu diễn
tối thiểu nếu và chỉ nếu (A, B) điều khiển được và (A, C) quan sát
được.
10
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.3 Tính ổn định của hệ rời rạc

1.3.1 Đ ịnh nghĩa tính ổn định
Định nghĩa 1.3.1. Hệ tuyến tính rời rạc
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)
y(k) = Cx(k) + Du(k),
được gọi là ổn định nếu tất cả các gi á trị riê ng c ủa A nằm trong vòng
tròn đơn vị.
Ví dụ 1.3.2. Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc có phương trình trạng
thái như sau:
x(k + 1) =


2 1 1
1 2 1
4 0 2


x(k) +


1 2 0 1
3 0 −1 2
2 5 3 1


u(k).
Ta có:
A =


2 1 1

1 2 1
4 0 2


.
Tính các giá trị riê ng của ma trận A:
Eig(A) =


4.5616
0.4384
1.0000


.
Ta thấy ma trận A có tồn tại một giá trị riêng lớn hơn 1, một gi á trị
riêng bằng 1. Như vậy hệ là không ổn định.
1.3.2 Phương trình Lyapunov rời rạc
Định lý 1.3.3. Giả sử hệ tuyến tính rời rạc (1.1)-(1.2) là tiệm ổn
định tiệm cận. Khi đó nếu với bất kỳ ma trận xác định dương M luôn
tồn tại duy nhất một ma trận đối xứng X xác địn h dương thỏa mãn
phương trình Lyapunov rời rạc sau đây:
X −A
T
XA = M. (1.11)
Chứng minh. Cho ma trận X được xác định bởi công thức sau:
X :=
∞

k=0


A
T

k
MA
k
(1.12)
11
CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Do hệ là ổn định nên ma trận A c ó các giá trị riêng nằm trong đường
tròn đơn vị, do đó chuỗi trên l à hội tụ. Dễ dàng kiểm tra X là ma
trận đối xứng, xác định dương. Ta sẽ chứng minh X là nghiệm duy
nhất của phương trình Lyapunov. Thay X vào phương trình ta có
X −A
T
XA =
∞

k=0

A
T

k
MA
k
−
∞


k=1

A
T

k
MA
k
= M. (1.13)
Vậy X là nghiệm của phương trình Lyapunov. Tiếp theo ta s ẽ chứng
minh X là duy nhất. Giả sử rằng X
1
là nghiệm đối xứng xác định
dương của phương trình, tức l à
X
1
− A
T
X
1
A = M.
Khi đó, ta có:
X =
∞

k=0

A
T


k
MA
k
=
∞

k=0

A
T

k

X
1
− A
T
X
1
A

A
k
=
∞

k=0

A
T


k
X
1
A
k
−
∞

k=1

A
T

k
X
1
A
k
= X
1
.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
12
Chương 2
Các phương pháp rút gọn hệ
động lực tuyến tính rời rạc
2.1 Bài toán rút gọn mô hình
Xét hệ động lực tuyến tính rời rạc vớ i phương trình trạng thái
x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k),

y(k) = Cx(k) + Du(k).
Ta cần tìm hệ rút gọn có bậc r << n sao cho:
x
r
(k + 1) = A
r
x
r
(k) + B
r
u
r
(k),
y
r
(k) = C
r
x
r
(k) + D
r
u
r
(k).
Hệ rút gọn cần tìm phải thỏa mãn các tính chất sau:
• Có sai số y − y
r
 nhỏ nhất.
• Bảo toàn các tính chất của hệ gốc (như tính ổn định, điều khiển
được, quan sát được,. . . ).

• Quá trình tính toán hiệu quả.
2.2 Phương pháp chặt cân bằng
Định nghĩa 2.2.1. Cho ( A, B, C, D) là biểu diễn tối thiểu của G(z)
và W
c
và W
o
là các nghiệm đối xứng, xác định dương của các phương
trình Lyapunov tương ứng sau:
W
c
− AW
c
A
T
= BB
T
,
W
o
− A
T
W
o
A = C
T
C.
13
CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
Nếu W

c
= W
o
= Σ = diag(σ
1
, . . . , σ
n
) thì (A, B, C, D) được gọi là
biểu diễn cân bằng của G(z). Các giá trị σ
1
≥ ··· ≥ σ
n
> 0 được gọi
là các giá trị kỳ dị Hankel c ủa hệ.
Định lý 2.2.2. Nếu (A, B, C, D) là một biểu diễn tối thiểu bất kỳ của
G(z) thì luôn tồn tại ma trận T không suy biến để đưa (A, B, C, D)
về dạng biểu diễn cân bằng, tức là:
(

A,

B,

C,

D) = (T
−1
AT, T
−1
B, CT, D)

là biểu diễn cân bằng của G(z).
Thuật toán sau sẽ đưa một biểu diễn tối thiểu bất kỳ của hệ về
dạng biểu diễn cân bằng.
14
CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
Thuật toán 1:
• Đầu vào: A: ma trận cỡ n × n.
B: ma trận cỡ n × m.
C: ma trận cỡ r ×n.
D: ma trận cỡ r × m.
Giả sử (A, B) điều khiển đượ c, (A, C) quan sát được và A là ổn định.
• Đầu ra:
T : ma trận không suy biế n n × n.

A,

B,

C,

D là biểu diễn cân bằng của hệ, với:

A = T
−1
AT,

B = T
−1
B,


C = CT,

D = D.
T
−1
W
c
T
−T
= T
T
W
o
T = Σ: là ma trận đường chéo với các phần tử
trên đường chéo chính dương.
• Các bước thực hiện:
Bước 1: Tính W
c
và W
o
bằng cách giải lần lượt các phương trình
Lyapunov:
W
c
− AW
c
A
T
= BB
T

, (2.1)
W
o
− A
T
W
o
A = C
T
C. (2.2)
Bước 2: Tìm nhân tử Cholesky L
c
và L
0
của W
c
và W
o
.
W
c
= L
c
L
T
c
, (2.3)
W
o
= L

o
L
T
o
. (2.4)
Bước 3: Tìm các giá trị suy biế n của ma trận L
T
o
L
c
:
L
T
o
L
c
= U ΣV
T
Bước 4: Tính Σ
−
1
2
= diag

1
√
σ
1
,
1

√
σ
2
, ··· ,
1
√
σ
n

, trong đó Σ =
diag(σ
1
, σ
2
, ··· , σ
n
).
Bước 5: Tính T = L
C
V Σ
−
1
2
.
Bước 6: Tính ma trận của biểu diễn c ân bằng:

A = T
−1
AT,


B = T
−1
B,

C = CT,

D = D.
15
CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
Ví dụ 2.2.3. Xét hệ rời rạc cho bởi các ma trận (A, B, C) như sau:
A =


0, 0 010 1 1
0 0, 1 200 1
0 0 −0, 1000


, B =


1
1
1


,
C =

1 1 1


.
Bước 1: Tính W
c
và W
o
:
W
c
=


6, 0 507 3, 2769 0, 8101
3, 2 769 2, 2558 0, 8883
0, 8 101 0, 8883 1, 0101


,
W
o
=


1 1, 0 011 1, 0019
1, 0 011 2, 2730 3, 2548
1, 0 019 3, 2548 5, 4787


.
Bước 2: Nhân tử Cholesky của W

c
và W
o
là:
L
c
=


2, 4 598 0 0
1, 3 322 0, 6936 0
0, 3 293 0, 6482 0, 6939


,
L
o
=


1 0 0
1, 0 011 1, 1273 0
1, 0 019 1, 9975 0, 6963


.
Bước 3: Phân tích giá trị kỳ dị SVD của L
T
o
L

c
:
[U, Σ, V ] = svd(L
T
o
L
c
),
ta thu được Σ = diag

5, 3 574 1, 4007 0, 1238

,
V =


0, 8 598 −0, 5055 0, 0725
0, 4 368 0, 6545 −0, 6171
0, 2 645 0, 5623 0, 7 835


.
Bước 4:
Σ
−
1
2
= diag

2, 3 146 1, 1835 0, 3519


.
Bước 5: Tính ma trận:
T = L
c
V Σ
−
1
2
=


0, 9 137 −1, 0506 0, 50 68
0, 6 257 −0, 1854 −0, 9419
0, 3 240 0, 5475 0, 4759


.
16
CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
Bước 6: Biểu diễn cân bằng là:

A = T
−1
AT =


0, 5 549 0, 4098 0, 0257
−0, 4098 −0, 1140 0, 2629
0, 0 257 −0, 2629 −0, 4199



,

B = T
−1
B =


1, 8 634
0, 6 885
0, 0 408


,

C = CT =

1, 8 634 −0, 6885 0, 0408

.
Thử lại:
T
−1
W
c
T
−T
= T
T

W
o
T = Σ = diag

5, 3 574 1, 4007 0, 1238

.
Từ biểu diễn cân bằng (A, B, C, D) của hệ, để thu được hệ rút gọn,
ta chỉ cần bỏ đi các biến ứng với giá trị kỳ dị Hankel lớn. Việc bỏ đi
các giá trị kỳ dị Hankel lớn sẽ làm cho sai số giữa hệ rút gọn và hệ
gốc sẽ nhỏ theo. Hơn nữa hệ rút gọn sẽ bảo toàn các tính chất của hệ
gốc, như tính ổn định, tính điều khiển được, tính quan sát được. Tất
cả những điều này được đảm bảo nhờ vào định lý dưới đây:
Định lý 2.2.4. Cho (A , B, C, D) là biểu diễn cân bằng của G(z).
Giả sử rằng A, B, C, Σ được phân hoạch dưới dạng sau:
A =

A
r
A
12
A
21
A
22

, B =

B
r

B
2

, C =

C
r
C
2

, Σ =

Σ
r
0
0 Σ
2

.
Khi đó hệ
G
r
(z) =

A
r
B
r
C
r

D

là hệ rút gọn bậc r của G(z) và thỏa mãn các tính chất sau:
(a) Hệ rút gọn G
r
(z) = (A
r
, B
r
, C
r
, D) bảo toàn tín h ổn định (tức là
A
r
là có các giá trị riêng nằm bên trong đường tròn đơn vị).
(b) (A
r
, B
r
, C
r
, D) là biểu diễn cân bằng của G
r
(z).
(c) ||(G(z) − G
r
(z))||  2(σ
r+1
+ ··· + σ
n

).
Từ Định lý trên ta có thuật toán s au đây:
17
CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
Thuật toán 2: Tìm mô hình rút gọn bằng phương pháp chặt cân bằng.
• Đầu vào: Biểu diễn tối thiểu (A, B, C, D) của hệ với A là ma trận
ổn định.
• Đầu ra:
Hệ rút gọn G
r
(z) = (A
r
, B
r
, C
r
, D) thỏa mãn các tính chất
của Định lý trên.
• Các bước thực hiện:
Bước 1: Sử dụng Thuật toán 1, tìm biểu diễn c ân bằng (A, B, C, D)
của hệ.
Bước 2: Chọn r là bậc của m ô hình rút gọn.
Bước 3: Phân hoạch biểu diễn cân bằng tì m được ở Bước 1 dưới
dạng:
A =

A
r
A
12

A
21
A
22

, B =

B
r
B
2

, C =

C
r
C
2

, Σ =

Σ
r
0
0 Σ
2

.
Bước 4: Hệ rút gọn
G

r
(z) =

A
r
B
r
C
r
D

.
Ví dụ 2.2.5. Xét lại ví dụ trước với (A, B, C) được cho bởi:
A =


0, 0 010 1 1
0 0, 1 200 1
0 0 −0, 1000


, B =


1
1
1


, C =


1 1 1

.
Lấy kết quả của ví dụ trước ta có các ma trận cân bằng là:

A = T
−1
AT =


0, 5 549 0, 4098 0, 0257
−0, 4098 −0, 1140 0, 2629
0, 0 257 −0, 2629 −0, 4199


,

B = T
−1
B =


1, 8 634
0, 6 885
0, 0 408


,


C = CT =

1, 8 634 −0, 6885 0, 0408

.
Chọn r = 2, A
r
= 2 × 2 là ma trận con của

A và A
r
=

0, 5 549 0, 4098
−0, 4098 −0, 1140

. Các giá trị riêng của A
r
là: 0, 2204 + 0, 2368i
18
CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
và 0, 2204 − 0, 2368i, do đó A
r
là ổn định. Các ma trận B
r
, C
r
lần
lượt là: B
r

=

1, 8 634
0, 6 885

, C
r
=

1, 8 602 −0, 6885

.
2.3 Các p hương pháp rút gọn hệ động lực tuyến tính rời
rạc dựa vào Impluse Response Gramian
Phương pháp rút gọn mô hì nh dựa trên Impluse Response Gramian
(IRG) được Sreeram và Agathoklis đưa ra lần đầu tiên cho hệ động
lực tuyến tính trong [7] và cho hệ động lực tuyến tính rời rạc trong
[8]. Trong [7], mô hình rút gọn thu được bằng cách rút gọn bậc của
IRG và các tham số Markov của hệ tuyến tính liên tục gốc. Trong khi
đó, phương pháp được sử dụng trong [8] là bảo toàn các trạng thái
tương ứng với các trị riêng của IRG trong mô hình rút gọn. Phương
pháp rút gọn cho hệ động lực tuyến tính rời rạc tiếp tục được cải tiến
trong [9] bằng cách giữ nguyên các tính chất như trong [7]. Phương
pháp này cũng chỉ ra rằng mô hình rút gọn có các tính chất tương tự
như mô hình rút gọn được Anderson và Skelton xây dựng trong [10].
Gần đây, trong [6], Azou đã đưa ra khái niệ m IRG rời rạc mớ i và áp
dụng vào rút gọn mô hình cho hệ rời rạc. Trong phương pháp này,
đầu tiên tính các đặc tính của đa thức đặc trưng của hệ rút gọn được
tính bằng cách xấp xỉ các IRG bậc thấp, sau đó, hệ rút gọn nhận
được bằng cách kết hợp một số tham số Markov và time moment của

hệ ban đầu.
Dựa vào tính chất đệ quy của các IRG, phương pháp tiếp cận khác
được Younseok Choo và Jaeho Choi đưa ra trong [ 3]. Phương pháp
này chỉ ra rằng ma trận hệ số của hệ động lực tuyến tính rời rạc cũng
thu được bằng phương pháp đệ quy. Do đó, cũng có thể áp dung cho
bài toán rút gọn mô hình. Sau đó, phương pháp này tiếp tục được
Younseok Choo cải tiến trong [5] bằng cách bảo toàn các IRG bậc
thấp cùng với kết hợp giữa các tham số Markov và ti m e momet khác
nhau.
Trong phần này, mục 2.3.1 sẽ trình bày khái niệm IRG mở rộng và
cách tính chất của nó. Mục 2.3.2 sẽ nêu phương pháp rút gọn mô hình
được Azou nêu trong[6]. Mục 2.3.3 sẽ nêu các cải tiến phương pháp
IRG của Younseok Choo.
2.3.1 Impluse Response Gramian (IRG)
Xét hệ rời rạc tuyến tính SISO (một đầu vào, một đầu ra) ổn định
bậc n có biểu diễn tối thiểu (A, b, c) , A ∈ R
n×n
, b ∈ R
n×1
, c ∈ R
1×n
.
19
CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
Với mỗi hệ rời rạc, Impluse Response Gramian (IRG) bậc n + 1 được
định nghĩa như sau:
Định nghĩa 2.3.1.
W
q,n+1
:= [w

q+i−1,
w
q+j−1
]
i,j=1, ,n+1
, (2.5)
với q = −n, , 0 , và
w
0
[k] := h[k] = cA
k−1
b,
w
l+1
[k] := w
l
[k + 1] − w
l
[k], l ∈ N
+
,
w
l−1
[k] := −
∞

l
′
=k
w

l
[l
′
], l ∈ N
−
. (2.6)
Ở đây f, g :=
∞

k=1
f(k)g(k) là tích trong của hai hàm thực f(k) và
g(k).
Một số tính chất của IRG được trình bày trong Định lý sau đây
Định lý 2.3.2. (i) GIRG cấp n W
q,n
có thể viết dưới dạng
W
q,n
= C
T
q
W
o
C
q
,
W
q,n
= O
q

W
c
O
T
q
,
W
q,n
= O
q
W
co
C
q
, (2.7)
với W
c
, W
o
, W
co
tương ứng là các ma trận Gramian điều khiển,
Gramian quan sát và Cross Gramian của biểu diễn (A, b, c).
Trong đó, các ma trận C
q
, O
q
xác định bởi:
C
q

= [(A − I)
q
b, . . . , (A − I)
q+n−1
b],
O
q
= [(c(A − I)
q
)
T
, . . . , (c(A − I)
q+n−1
)
T
]. (2.8)
(ii) W
q,n
là nghiệm của phương trình Lyapunov:
W
q,n
−
ˆ
A
T
W
q,n
ˆ
A = ˆc
T

q
ˆc
q
, (2.9)
với (
ˆ
A,
ˆ
b
q
, ˆc
q
) được suy ra từ (A, b, c) bởi phép biến đổi tọa độ C
q
.
(iii) Biểu diễn (
ˆ
A,
ˆ
b
q
, ˆc
q
) có cấu trúc như sau:
20
CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
ˆ
A
q
=








1
0 . . .
0 −¯a
n
1 1
.
.
.
.
.
.
−¯a
n−1
0 1
.
.
.
0
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
1 −¯a
2
0 0 . . .
1 −¯a
1
+ 1







= C
−1
q
AC
,
q
(2.10)
ˆ
b
T

q
= [0, , 0

 
−q
, 1, 0, , 0

 
q+n−1
] = C
−1
q
b,
ˆc
q
= [ , − t
2
, −t
1

 
−q
, m
′
1
, m
′
2
,
  

q+n
] = cC
q
, (2.11)
với t
i
với i=1,2, là các time moment của hệ và
m
′
i
= c(A − I)
i−1
b là các tổ hợp tuyến tính của các tham
số Markov m
i
được xác định như sau
t
i
= c(I −A)
−i
b,
m
i
= cA
i−1
b,
m
′
i
=

i−1

j=0
(−1)
j

i − 1
j

m
i−j
. (2.12)
Trong đó {¯a
i
}
i=1, ,n
là các hệ số của phương trình đặc t rưn g của
(A − I).
Chứng minh. (i) Từ w
o
[k] = h [k] và (2.6) ta suy ra
w
l
[k] = c (A −I)
l
A
k−1
b = cA
k−1
(A − I)

l
b, ∀l ∈ N.
Mặt khác
w
q+i−1
, w
q+j−1
 =
∞

k=1
w
q+i−1
[k] .w
q+j−1
[k]
=
∞

k=1
cA
k−1
(A − I)
q+i−1
b.cA
k−1
(A − I)
q+j−1
b,
với i, j = 1, 2, , n, q = −n + 2, , 0, Do đó

W
q,n
= [w
q+i−1
, w
q+j−1
]
i,j=1, ,n
=


(A − I)
q
b
.
.
.
(A − I)
q+n−1
b


∞

k=1

A
T

k−1

c
T
cA
k−1

(A − I)
q
b (A −I)
q+n−1
b

= C
T
q
W
o
C
q
.
21
CHƯƠNG 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP RÚT GỌN HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH RỜI RẠC
Tương tự ta có
W
q,n
= O
q
W
c
O
T

q
= O
q
W
co
C
q
.
Do A ổn định tiệm cận ( A < 1 ) nên ma trận A −I không suy
biến. Do đó tồn tại {C
q
, O
q
} Vì {A, b} điều khiển được nên C
q
không suy biến.
(ii) Ta có W
q,n
= C
T
q
W
o
C
q
(theo chứng minh trên) Do W
o
là Gramian
quan sát được nên ta có: W
o

− A
T
W
o
A = c
T
c
Do đó
C
T
q
W
o
C
q
− C
T
q
A
T
W
o
AC
q
= C
T
q
c
T
cC

q
,
hay
C
T
q
W
o
C
q
−

C
q

C
−1
q
AC
q

T
W
o

C
q

C
−1

q
AC
q

= (cC
q
)
T
cC
q
Suy ra W
q,n
−
ˆ
A
T
W
o
ˆ
A = ˆc
T
ˆc. Vậy W
q,n
là nghiệ m của phương
trình (2.9).
(iii) Cho q = 0 và ¯p (z) =
n

i=0
¯a

i
z
n−i
là đa thức đặc trưng của (A −I)
Mặt khác một phép biến đổi tương đương sử dụng ma trận điều
khiển được chuẩn đưa đến một ma trận trạng thái dưới dạng ma
trận bạn
C
−1
AC = A =

0
I
n−1



−a
a
a

, C =

b Ab A
n−1
b

Với a
a
a

T
= [a
n
, , a
1
] và p (z) =
n

i=0
a
i
z
n−i
là đa thức đặc trưng
của A
Do đó
C
−1
0
(A − I)C
0
= (

A − I)
′
=

0
I
n−1





−
¯
a
a
a

Ở đây C
0
=

b (A − I)b (A − I)
n−1
b

Và
¯
a
a
a
T
= [¯a
n
, , ¯a
1
]
Do đó ta có (2.10).

Ta có
ˆ
b
q
= C
−1
q
b với b = [1 0 0]
T
Và C
q
=

(A − I)
q
b (A −I)
q+n−1
b

Do đó
ˆ
b
q
= [0 0 1 0 0]
T
Ta có: ˆc
q
= cC
q
nên ˆc

q
= [. , −t
2
, −t
1

 
−q
, m
′
1
, m
′
2
,

 
q+n
]
22