100 CÂU BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT CÓ LỜI GIẢI

100 CÂU BẤT ĐẲNG THỨC, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
Câu 1:Cho số thực x,y thỏa mãn các điều kiện 1≤ x ≤ 2 ; 1≤ y ≤ 2 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải:
Câu 2:Cho các số thực a,b,c không âm và thỏa mãn điều kiện (a + b)c >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải:
Câu 3:(1,0 điểm) : Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
+ z
2
= 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =
Lời giải:
Câu 4:Cho ba số x, y,z thuộc nửa khoảng (0;1] và thoả mãn: x + y ≥1+ z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P =
A. P
min
= -2
B. P
min
= 2
C. P
min
=
D. P
min
= -
Lời giải:
Do x, y ∊ (0;1] và x + y ≥ 1 + z => x ≥ z, y ≥ z

Ta có xy + z
2
≤ 2xy ≤ ≤ x + y do x + y ≤ 2
P ≥ = [(x+y) + ( y+z) +(z+x)] ( ) -3 ≥ - 3 =
=> P ≥
Dấu " = " xáy ra <=> x = y =z =1
Vậy P
min
= khi x = y =z =1
Câu 5:Cho các số thực không âm x, y thỏa mãn x
2
+ y
2
+ (3x − 2)(y −1) = 0.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x
2
+ y
2
+ x+ y+8
A. MaxP = 6+8√2
B. MaxP = 6-8√2
C. MaxP = 5+8√2
D. MaxP = 5- 8√2
Lời giải:
Ta có giả thiết x
2
+ y
2
+ (3x -2)(y-1) = 0 <= > (x+y)
2

– 3(x+y) + 2 = -xy – y
Vì x, y không âm nên –xy – y ≤ 0. Suy ra (x+y)
2
– 3(x+y) + 2 ≤ 0 <= > 1<x+y ≤2
Đặt t = x+y, khi đó t ∊ [1;2]
Ta có P = x
2
+ y
2
+ x +y + 8 ≤ (x+y)
2
+ (x+y) + 8 = t
2
+ t + 8
Xét hàm số f(t) = t
2
+ t + 8 với t ∊ [1;2]
Ta có f’(t) = 2t +1 - , với mọi t ∊ [1;2]
Chú ý rằng f’(t) > 3 - > 0 với mọi t ∊ (1;2)
Suy ra f(t) đồng biến trên [1;2]. Do đó maxf(t) = f(2) = 6+8√2
Suy ra P ≤ 6+8√2, dấu đẳng thức xảy ra khi . <= > x=2, y=0
Vậy giá trị lớn nhất của P là 6+8√2, đạt khi x=2, y=0
Câu 6:Cho x và y là hai số thực thay đổi thuộc nửa khoảng (0;1] và x+y= 4xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
P = x
2
y + xy
2
- ( )
A. MaxP = - ;MinP = -

B. MaxP = - ;MinP = -
C. MaxP = - ;MinP = -
D. MaxP = - ;MinP = -
Lời giải:
Ta cos 4xy = x+y ≥ 2 => xy ≥
x; y ∊ (0;1] => (1-x)(1-y) ≥ 0 => 1 - (x+y) + xy ≥ 0 => 1 -4xy +xy ≥ 0=> xy ≤
P = x
2
y + xy
2
- ( ) = xy(x+y) - [ = 4(xy)
2
+ -
Đặt t = xy thì P = 4t
2
+ - = f(t) với t ∊ [ ; ]
f'(t) = 8t - = < 0, với mọi t ∊ [ ; ]
* MaxP = - đạt được khi và chỉ khi x = y =
* MinP = - đạt được khi và chỉ khi x = 1; y = hoặc x = ; y=1
Câu 7:Cho x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện x
2
+ y
2
+z
2
=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P =
A. MaxP =
B. MaxP = -
C. MaxP =

D. MaxP =
Lời giải:
Do x, y, z > 0 và x
2
+ y
2
+ z
2
=1 nên x, y, z ∊ (0;1)
Ta có = -x
3
+ x
Khi đó P = (-x
3
+ x) + (-y
3
+ y)+ (-z
3
+ z)
Xét hàm số f(t) = -t
3
+ t, t ∊ (0;1)
f’(t) = -3t
2
+ 1
<=> <=> t =
Lập bảng biến thiên suy ra max f(t) =
P ≤ . Vậy giá trị lớn nhất của biếu thức P là đạt được khi x = y =
Câu 8:Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a +b+ c = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P =

A. MaxP = 4
B. MaxP = 5
C. MaxP = 8
D. MaxP = 3
Lời giải:
Ta chứng minh bất đẳng thức vơi mọi x ∊ [0;3]
Bình phương rồi biến đổi tương đương ta được 5x(x-3) ≤ 0 đúng với mọi x ∊ [0;3]
Lần lượt cho x = a; b ;c rồi cộng các vế của bất đẳng thức ta được
P ≤ = 8
Giá trị lớn nhất của P là 8 xảy ra khi chẳng hạn a=3, b=c=0
Câu 9:Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xz +yz +1 = xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
P =
A. maxP = -1
B. maxP =
C. maxP = 1
D. maxP = -
Lời giải:
Đặt a= ; b = ; c = z => ab + bc + ca = 1
1+a
2
= (a+b)(a+c); 1+b
2
= (a+b)(b+c); 1+c
2
(a+c)(b+c)

=
Ta có P ≤ = f(c)
=> f'(c) =
Vậy maxP = maxf(c) = f(√3) = đạt được khi x = y =2+√3 , z = √3

Câu 10:Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn c(a
2
+ b
2
) = a+b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
A. Pmin =-
B. Pmin =
C. Pmin = -
D. Pmin =
Lời giải:
Ta có c(a
2
+ b
2
) = a+b = > 2(a+b) = 2c(a
2
+ b
2
) ≥(a+b)
2
=> a+b ≤
= > (1+a)(1+b) ≤ (2+a+b
2
) ≤ (2+ )
2
= =>
Theo Cô- si: P ≥
=
Xét hàm số f(c) = , f'(c) = = 0 <=> c=

Lập bảng biến thiên: có f(c) ≥ f( ) =
Suy ra P ≥ f(c) ≥ => Pmin = <=> c= , a=b=5
Câu 11:Cho các số thực không âm x,y,z thoả mãn xz + yz + 1 = xy. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = + +
A.
B. -
C.
D. -
Lời giải:
Đặt a = ; b = ; c = z => ab + bc + ca = 1
1 + a
2
= (a + b)(a + c); 1 + b
2
= (a + b)(b + c), 1 + c
2
= (a + c)(b + c)
+ = + =
= ≤
Ta có P ≤ + = f(c)
=> f'(x) =
Vậy maxP = maxf(c) = f(√3) = đạt được khi x = y = 2 + √3, z = √3
Chú Ý : Có thể giải bài BPT theo phương pháp lượng giác hóa
= tan ; = tan ; z = tan , (A, B,C ∈ (0;π)) => A + B + C = π
Câu 12:Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn:2x + 4y + 7z = 2xyz.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x + y + z.
A. minf(x;y) = -4
B. minf(x;y) = -
C. minf(x;y) =
D. minf(x;y) = 4
Lời giải:

Từ giả thiết ta có: z =
Ta đưa bài toán về tìm min của f(x,y) = x+y+ , với x, y >0, 2x - 7 >0
Cố dịnh x, coi f(x,y) là hàm số theo biến y ta có:
f'(x,y) = 1 - , f'(x;y) = 0 <=> y
0
=
Xét dấu f'(x,y) ta được y
0
= là điểm cực tiểu
Do đó f(x,y) ≥ f(x, y
0
) = x+ = g(x)
Ta có: g'(x) = 1 - , g'(x) = 0 <=> x= 3
Xét dấu g'(x) ta được x=3 là diểm cực tiểu
Vậy minf(x;y) = g(3) =
Câu 13:Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 5( a + b + c) - 2 ab .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = a + b + c + 48 ( + )
A. minP = 56
B. minP = 58
C. minP = 59
D. minP = 57
Lời giải:
Ta có a
2

+ b
2
+ c
2
= 5(a + b + c) – 2ab ⇔ (a + b)2 + c
2
= 5(a + b + c)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
(a + b)
2
+ c
2
≥ (a + b + c)
2
=> (a + b + c)
2
≤ 5(a + b + c)
=> 0 < a + b + c ≤ 10
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có
= ; = .4 ≤ ( + 4)
= => ≥
= ≤ . =
=> ≥
=> P ≥ a = b +c + 48.12( + )
Áp dụng bất đẳng thức CauchySchwarz ta được
+ ≥
=> P ≥ a + b + c +
Đặt t = a + b + c => t ∈ (0;10] => P ≥ t + . Xét hàm f(x) = t + trên (0;10]
Ta có f'(t) = 1 - = => f'(t) ≤ 0 ∀t ∈ (0;10]
=> f'(t) nghịch biến trên (0;10] => f(t) ≥ f(10), ∀t ∈ (0;10] ; f(10) = 58 => P ≥ 58

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ⇔
Vậy minP = 58 đạt được khi
Câu 14:Xét các số thực a,b,c thỏa mãn a + b + c = 0; a +1 > 0; b +1 > 0; 2c +1 > 0 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = + +
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Lời giải:
P = + +
= 1 - + 1 - + - = - ( + + )
P ≤ - ( + ) = - ( + )
Xét f(c) = + với - < c < 2
f'(c) = - =
f'(c) = 0 khi c = 0
Vậy : P ≤ - = 0
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 0
Kết luận maxP = 0
Câu 15:Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 3.Tìm giá trị nhỏ nhất của
P = + +
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy ta có :
+ + ≥ 3 = a + b - c
=> ≥ a + b - -
Tương tự : ≥ b + c - -
≥ c + a - -

Suy ra P ≥ (a + b + c) - 1 = 1
P = 1 khi a= b = c = 1
Vậy MinP = 1 khi a = b = c = 1
Câu 16:Cho các số thực dương a, b, c : ab+bc+ca =3. Chứng minh rằng:
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:3 =ab+bc+ca ≥ 3 => abc ≤ 1.
Suy ra: 1+a
2
(b+c) ≥abc+a
2
(b+c) =a(ab+bc+ca) =3a =>
Tương tự
ta có: (2), (3)
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
≤

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc =1, ab+bc+ca = 3 => a=b=c=1, (a, b, c >0).
Câu 17:Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
Lời giải:
Đặt x= , y = , z = . Khi đó, VT (1) =
Theo Cô si ta có:
Cộng các BĐT trên vế với vế ta được VT (1) ≥
Mặt khác abc = 1 nên xyz = 1 do đó x+y+z ≥ 3 =3 nên từ đó suy ra đpcm
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Câu 18:Cho x và y là hai số thực dương thay đổi sao cho log
2
(x+y)= 3+log
2
x+log
2

y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=
A. -10
B.
C. -
D. 10
Lời giải:
Từ giả thiết log
2
(x+y)= 3+log
2
x+log
2
ysuy ra x+y = 8xy ≤ 2(x+y)
2
=> x+y ≥
Ta có P = = . Đặt t= 3
x+y
. Vì x+y ≥ nên t ≥ √3
Lúc đó: P = = f(t)
Xét hàm số f(t) = trên [√3; +∞). Ta có f’(t) = ; f’(t) = 0 < => t=3
Bảng biến thiên:
Vậy P ≥ . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hoặc
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là
Câu 19:Cho x,y là các số thực và thoả mãn x,y >1 .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
P=
A. minP =-5
B. minP =8
C. minP =-8
D. minP =5

Lời giải:
Đặt t=x+y, điều kiện t>2
Áp dụng bất đẳng thức 4xy ≤(x+y)
2
ta có xy ≤
P= do 3t-2 > 0 => -xy ≥ - nên ta có:
P ≥
Xét hàm số f(t) = trên (2;+∞)
Có f’(t) = => f’(t) =0 =>
f(t)= +∞; f(t)= +∞
f(t) =f(4) =8 => minP =8
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
Câu 20:Cho ba số thực x, y, z ∈ [1; 3]. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = + +
A. Min P = 7
B. Min P = 3
C. Min P = 1
D. Min P = 4
Lời giải: