Các phương pháp chứng minh hình học

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC
I.Phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
♦Phương pháp 1:
Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.
Ví dụ: Cho hình chóp SABCD.Tìm giao tuyến của hai mặt
phẳng (SAC) và (SBD).
Giải:
Trong mặt phẳng (ABCD):
AC cắt BD tại O.
Ta có O
∈
AC, AC
⊂
(SAC)
O
∈
BD, BD
⊂
(SBD)
Nên O là điểm chung của hai
mặt phẳng (SAC) và (SBD)
Mà S là điểm chung của hai
mặt phẳng (SAC) và (SBD)
Vậy SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD).
♦Phương pháp2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt
đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng
song song với hai đường thẳng đó(hoặc trùng với một trong
hai đường thẳng đó).

a // b
a (P)
c// a // b
b (Q)
(P) (Q) c


⊂

⇒

⊂


∩ =

Ví dụ: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành,M
thuộc SA.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (SAB)
Giải: Ta có AB // CD
Hai mặt phẳng (SAB) và (MCD) lần
lượt chứa hai đường thẳng AB//CD
thì giao tuyến của chúng là đường
thẳng đi qua điểm M song song
với AB cắt SB tại N.
Vậy MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (MCD).
♦Phương pháp3:
Sử dụng định lý: Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng
(P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt mặt phẳng (P) thì
cắt theo giao tuyến b song song với đường thẳng a.

(P) // a
a (Q) b // a
(P) (Q) b


⊂ ⇒


∩ =

Ví dụ: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang ABCD
(AB//CD), M thuộc cạnh AD. Mặt phẳng (P) qua M song song
với SA và AB. Xác đinh giao tuyến của mặt phẳng (P) với
(SBC).

Q
b
a
P
Giải:Gọi N:P;Q lần lượt là trung điểm của mặt phẳng (P) với
SD;
SC và BC.
Ta có

(P) //SA
SA (SAD) MN //SA
(P) (SAD) MN



⊂ ⇒


∩ =


(P) // AB
AB (ABCD) MQ // AB
(P) (ABCD) MQ


⊂ ⇒


∩ =

Hai mặt phẳng (P) và (SCD) lần lượt chứa NP // DC, nên giao
tuyến của chúng là NP song song với CD.
Ta có điểm P
∈
(P) và P
∈
(SBC)
Q
∈
(P) và Q
∈
(SBC)
Vậy PQ là giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng (SBC).

♦Phương pháp 4 :
Sử dụng định lý: Nếu mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng
song song (P) và (Q) lần lượt theo hai giao tuyến a và b thì
a//b.

(P) //(Q)
(R) (P) a a // b
(R) (Q) b


∩ = ⇒


∩ =


(P) //(Q)
(R) (P) a a // b
(R) (Q) b


∩ = ⇒


∩ =

II.Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song:
♦Phương pháp 1:
Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt đi
qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng

song song với hai đường thẳng đó(hoặc trùng với một trong
hai đường thẳng đó).



a // b
a (P)
c// a // b
b (Q)
(P) (Q) c


⊂

⇒

⊂


∩ =

♦Phương pháp2:
Sử dụng định lý: Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng
(P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa a mà cắt mặt phẳng (P) thì
cắt theo giao tuyến b song song với đường thẳng a.


(P) // a
a (Q) b // a
(P) (Q) b



⊂ ⇒


∩ =

♦Phương pháp 3:
Q
b
a
P
Sử dụng định lý: Nếu mặt phẳng (R) cắt hai mặt phẳng
song song (P) và (Q) lần lượt theo hai giao tuyến a và b thì
a//b.

(P) //(Q)
(R) (P) a a // b
(R) (Q) b


∩ = ⇒


∩ =

♦Phương pháp 5:
Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng cùng song song với
một đường thẳng thì giao tuyến của chúng(nếu có) song
song với đường thẳng đó.

(P) // a
(Q) // a b // a
(P) (Q) b


⇒


∩ =

III.Phương pháp chứng minh đường thẳng song song mặt
phẳng:
♦Phương pháp1:
Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
ta chứng minh đường thẳng đó không nằm trong mặt phẳng
và song song với một đường thẳng nào đó nằm trong mặt
phẳng.



a // b
b (P) a //(P)
a (P)


⊂ ⇒



⊄

Ví dụ: Cho tứ diện ABCD.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của
AB, AD.
Chứng minh MN song song với mặt phẳng (BCD).
Giải: Trong tam giác ABD có:
M trung điểm của AB
N trung điểm của AD.
Nên MN là đường trung bình
của tam giác ABD
Do đó MN // BD
Mà BD
⊂
(BCD)
MN
(BCD)⊄
Vậy MN // (BCD).
♦Phương pháp2:
Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P)
ta chứng minh đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (Q) mà
(Q) // (P)
Ví dụ: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. M; N tuỳ ý trên mặt
phẳng (ABCD).
Chứng minh MN // mặt phẳng (A’B’C’D’).

(ABCD) //(A'B'C'D')
MN (ABCD)
MN //(A'B'C'D')



⊂

⇒


♦Phương pháp 3:
Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng
(P), ta chứng minh đường thẳng a và mặt phẳng (P) không
có điểm chung cùng vuông góc với một đường thẳng b.

♦Phương pháp 4:
Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P),
ta chứng minh đường thẳng a và mặt phẳng (P) không có
điểm chung cùng vuông góc với một mặt phẳng (Q).
♦Phương pháp 5:
Muốn chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P),
ta chứng minh đường thẳng a song song với đường thẳng b
mà đường thẳng b song song với mặt phẳng (P)(a và (P)
không có điểm chung)

IV.Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song:
♦Phương pháp 1 :
Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta chứng
minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng
song song với mặt phẳng kia.

Nếu a // (Q)
b// (Q)
a,b

(P)⊂
a cắt b
Thì (P) // (Q)
Ví dụ: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành
ABCD,AC cắt BD tại O.Gọi M,N lần lượt là trung điểm của
SC,CD.Chứng minh (MNO) // (SAD).

Chứng minh:
Ta có MN là đường trung bình của tam giác SCD
Nên MN // SD
Mà SD
⊂
(SAD)
Và MN
⊄
(SAD)
Vậy MN // (SAD)
Ta có OM là đường trung bình của tam giác SAC
Nên OM // SA
Mà SA
⊂
(SAD)
Và OM
⊄
(SAD)
Vậy OM // (SAD)
Ta có

MN //(SAD)
OM //(SAD)

MN,OM (OMN)
MN OM M




⊂


∩ =

nên (MNO) // (SAD)
♦Phương pháp 2:
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung cùng
vuông góc một đường thẳng a thì chúng song song với nhau.

♦Phương pháp 3 :
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung cùng
vuông góc một mặt phẳng(R) thì chúng song song với nhau.
♦Phương pháp 4:
Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung cùng
song song một mặt phẳng(R) thì chúng song song với nhau.

P
Q
R
V. Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
♦Phương pháp 1:
Muốn chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau ta
chứng minh đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng

chứa đường thẳng kia.


d (P)
d a
a (P)
⊥

⇒ ⊥

⊂

♦Phương pháp 2:
Sử dụng định lý:Nếu đường thẳng a song song mặt phẳng
(P),
mà đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (P), thì d vuông
góc với đường thẳng a.


VI. Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc mặt
phẳng:
♦Phương pháp 1:
Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
(P),ta chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường
thẳng a và b cắt nhau nằm trong mặt phẳng (P)

d a
d b
d (P)
a,b (P)

a b I
⊥


⊥

⇒ ⊥

⊂


∩ =



♦Phương pháp 2:
Sử dụng tính chất:d //
∆
,mà
∆
⊥
(P) thì d
⊥
(P)

♦Phương pháp 3:
Sử dụng định lý: Nếu hai mặt phẳng (P),(Q) vuông góc với
nhau và cắt nhau theo giao tuyến x, đường thẳng nào nằm
trong mặt phẳng (P) mà vuông góc với giao tuyến x thì
vuông góc với mặt phẳng (Q).

♦Phương pháp 4:
Sử dụng tính chất:Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông
góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông
góc với mặt phẳng thứ ba đó.



(P) (R)
(Q) (R) a (R)
(P) (Q) a
⊥


⊥ ⇒ ⊥


∩ =

♦Phương pháp 5:
Sử dụng tính chất: Nếu hai mặt phẳng song song với nhau,
đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng này thì nó vuông
góc với mặt phẳng kia.
(P) //(Q)
a (Q)
a (P)

⇒ ⊥


⊥


♦Phương pháp 6:
Sử dụng tính chất:Nếu đường thẳng a song song với đường
thẳng b,mà đường thẳng a vuông góc mặt phẳng (P) thì
đường thẳng b cũng vuông góc với mặt phẳng (P).


a // b
b (P)
a (P)

⇒ ⊥

⊥


VII. Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
♦Phương pháp 1:
Muốn chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau ta
chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông
góc mặt phẳng kia.



a (P)
(P) (Q)
a (Q)
⊥


⇒ ⊥

⊂

♦Phương pháp 2:
Sử dung tính chất:

(P) //(Q)
(R) (Q)
(R) (P)

⇒ ⊥

⊥



♦Phương pháp 3:
Sử dụng tính chất: (P)
⊥
d , (Q) // d hoặc chứa d thì (P)
⊥
(Q)

VIII. Góc:
Cách xác định góc
− Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
o Tìm hình chiếu d
/

của d lên mặt phẳng (P)
o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d
/

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SA
vuông góc với (ABCD) và góc giữa SC với (ABCD)
bằng 45
0
. Hãy xác định góc đó.
Giải
Ta có :
=
( )ABCD
AC hc SC
⇒

·
·
·
= = =( ,( )) ( , ) 45
o
SC ABCD SC AC SCA
45
O
S
C
D
B
A
− Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) :

o Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
o Tìm trong (P) đường thẳng a
⊥
(d) , trong mặt phẳng (Q)
đường thẳng b
⊥
(d)
o Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và
b
Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình
vuông, và góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng 60
0
. Hãy
xác định góc đó.
Giải
Gọi M là trung điểm BC
Ta có :
(SBC)
∩
(ABCD) = BC
(ABCD)
⊃
AM
⊥
BC
(SBC)
⊃
SM
⊥
BC

( vì
( )
SM
ABCD
AM hc=
)

⇒

·
·
·
(( ),( )) ( , ) 60
o
SBC ABCD SM AM SMA= = =
60
M
O
S
A
B
C