Tài liệu Một số phương pháp chứng minh hình học cổ điển pdf

1


A. Một số phương pháp chứng minh hình học cổ điển.


1. Phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc với mp

a.

( )
( )
c a
c b
c
a b
a, b
⊥


⊥

⇒ ⊥ α

∩ ≠ ∅


⊂ α


b.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1
2
1 2
P P
p P a P
a P P
⊥ 

⊥ ⇒ ⊥


= ∩



P2
P1
P
a



2

. Phương Pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc


( )
( )
c
c a
a

⊥ α

⇒ ⊥

∀ ⊂ α




3. Cho
( )
α
∉O
, OH
( )
α
⊥
,
( )( )
α
∈H

, A;B
( )
α
∈
.Đoạn OH là đoạn vuông góc
cũng là đoạn ngắn nhất , OA;OB là các đường xiên, HA;HB là các hình chiếu
của các đường xiên.


HBHAOBOA =⇔=


HBHAOBOA >⇔>








4. Phương pháp chứng minh mp vng góc với mp
c
b
a
α
αα
α
H
O

B
A
α
αα
α
2
c
H
B
A
β
α


P1
P
a


( )
( )
( ) ( )

⊥

⇒
⊥

⊂



1
1
a P
P P
a P


5.
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
β
α
βα
βα
⊥⇒







⊥
⊂
∩=
⊥
a

ca
a
c


6.
Góc của ñường thẳng và mp


Góc giữa ñường thẳng a và mp
( )
α
là góc của a và hình chiếu
a
′
của a trên .
Kí hiệu
( )
( )

a, α

 Khi
( )
( )

0
a, 0α =
thì
( ) ( )

a hay aα ⊂ α
.
 Khi
( ) ( )
( )

a th× a,
2
π
⊥ α α =

Chú ý:







7. Góc của hai mặt phẳng

 Tìm giao tuyến c của hai mp .
 Dựng ñoạn thẳng AB có hai ñầu mút ở trên hai mặt và vuông góc với
một mặt .
 Tìm hình chiếu vuông góc H của A hay B trên c.


AHB
là góc phẳng của hai mp .

( ) ( )
( )

π
≤ α β ≤
0
0 ,
2


c
a
β
ββ
β
α
αα
α
( )
( )

0
0 a ,
2
π
≤ α ≤

a
a

α
H
O
3


Chú ý


 Nếu đã có sẳn đường thẳng d cắt hai mặt tại A , B và vng góc với giao
tuyến c , khi đó ta tìm hình chiếu vng góc của A (hay B hay 1 điểm
nào đó trên AB) trên c thành H .Khi đó

AHB
là góc của hai mp .




B. Một số hình thường gặp
1. Hình Chóp

2. Hình Chóp đều













Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau hay
hình chóp đều là chóp có đáy là đa giác đều và tâm của đáy trùng với tâm đường
tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
 S
xq
bằng tổng diện các mặt bên.
 S
xq
=
pd
2
1
với p là chu vi đáy,d là độ dài trung đoạn ( hình chóp đều ).



BhV
3
1
=
với B là diện tích đáy,h là chiều cao của hình chóp.
3. Hình lăng trụ.

Hình lăng trụ là hình đa diện có hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song gọi là
c
H
B
A
β
α


C
D
C
B
S
A
D
B
S
I
d
O

C
B
A
S
I
O
C
B
A
S
D
4
hai đáy và tất cả các cạnh không thuộc hai đáy đều song song với nhau.Hình lăng
trụ
ABCD
.
DCBA
′′′′


ABCD
,
DCBA
′′′′
là hai đáy.

:, BCBCABAB
′′′′
là các mặt bên.


......, BBAA
′′
là các cạnh bên.

BDBDACAC
′′′′
,
là các mặt chéo.
Trong hình lăng trụ:

 Các cạnh bên song song và bằng nhau .
 Các mặt bên và mặt chéo là các hình bình hành.

Hai đáy là hai đa giác bằng nhau có các cạnh tương ứng song song và bằng nhau.
 Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành gọi là hình hộp.

Hình hộp có tất cả các mặt bên và mặt đáy đều là hình chữ nhật gọi là hình hộp
chữ nhật.
 Hình hộp có tất cả các mặt bên và mặt đáy đều là hình vuông gọi là hình lập
phương.

Trong hình hộp các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lăng trụ đứng là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy.Trong lăng trụ đúng các
cạnh là
đường cao,các mặt bên là hình chữ nhật.

Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều,các mặt bên là các hình chữ
nhật bằng nhau.

 Hình hộp đứng là hình hộp có các cạnh bên vuông góc với đáy.
 Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.Ba độ dài của ba
cạnh xuất phát
từ một đỉnh gọi là ba kích thướt của hình hộp chữ nhật.

Đường chéo của hình hộp chữ nhật bằng
2222
cbad ++=
với d là đường chéo
a,b,c là ba kích thước.

Với hình lập phương cạnh a: d =
3
a .

V= B.h với B là diện tích đáy, h là độ dài chiều cao ( Hình lăng trụ ).

 V = a.b.c với a, b , c là ba kích thước (hình hộp chữ nhật ).
C
'
B
'
A
'
C
B
A
D
A
C
B
D
C
B
A
5
V = a
3
vụựi a laứ caùnh ( hỡnh laọp phửụng ).

C.
Bi Tp rốn luyn


Bi 1:
Cho hỡnh chúp tam giỏc ủu S.ABC cú cnh ủỏy bng a, cnh bờn bng 2a. Gi I l
trung ủim ca cnh BC.
a) CMR SA vuụng gúc vi BC.
b) Tớnh th tớch khi chúp S.ABI theo a ?

Bi 2:
Cho hỡnh chúp S.ABC cú ủỏy l tam giỏc ABC vuụng ti B, ủng thng SA vuụng
gúc vi mt phng (ABC). Bit AB = a, BC = a
3
, SA = 3a. Tớnh th tớch khi chúp
S.ABC.
Bi 3:
Cho hỡnh chúp S.ABC cú ủỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, AB = a, BC = 2a, SA =
2a, SA vuụng gúc vi mt phng (ABC). Gi M l trung ủim ca SC.
a) CMR tam giỏc MAB cõn ti M.
b) Tớnh th tớch khi chúp SABC v th tớch khi chúp S.AMB


D
C
A
B
D
C
B
A
D
C
A
B
D
C
B
A
D

C
A
B
D
C
B
A