Nhị thức newton Đại Số 11

T i li u ụn thi i hc Phm Quang Thnh
Nhị thức newton và ứng dụng
I Nhị thức newton
1 Công thức nhị thức Newton:
Với mọi cặp số a, b và mọi số nguyên dơng ta có:
(a + b)
n
= c
o
n
a
n
+ c
1
n
a
n 1
b + c
2
n
c
1
n 2
b
2
+ + c
n
n-1
ab
n 1
+ c

n
n
b
n
(*)
kkn
n
nk
k
n
baC

=

=
2 Các nhận xét về công thức khai triển:
+ Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n.
+ Các hệ số của khai triển lần lợt là:
C
0
n;
C
1
n
; C
2
n
; C
n-1
n

; C
n
n
; Với chú ý: C
k
n
= C
n
n
k
0 < k < n.
+ s hng = hng t v c kớ hiu l : T
k+1
= C
k
n
a
n-k
b
k
II CC DNG BI TP THNG GP
Dng 1: Tớnh tng
Vớ d 1 : Tính cỏc tng sau:
a: S
1
= C
0
6
+ C
1

6
+ C
2
6
+ + C
6
6
b: S
2
= C
0
5
+ 2C
1
5
+ 2
2
C
2
5
+ +2
5
C
5
5
c: S
3
= 3
17
. C

0
17
4
1
. 3
16
. C
1
17
+ 4
2
. 3
15
. C
2
17
4
3
.3
14
. C
3
7
+ -4
17
.C
17
17
d: S
4

= C
6
11
+ C
7
11
+ C
8
11
+ C
9
11
+ C
10
11
+ C
11
11
e:
0
1
2001
2002
2001
20022002
2000
2001
1
2002
2001

2002
0
20024
CCCCCCCCS
k
k
k
+++++=


Vớ d 2: Tìm số nguyên dơng n sao cho:
2 C
1
n
+ 4 C
2
n
+ + 2
n
C
n
n
= 242
Vớ d 3: Với n số nguyên dơng CMR
a) C
1
n +
2 C
2
n

+ + (n 1) C
n-1
n
+ n C
n
n
= n. 2
n-1
b) 2.1 C
2
n
+ 3.2 C
3
n
+ + n (n 1) C
n
n
= n (n 1) 2
n-2
c) S = 2 . 1 C
1
n
+ 3. 2 C
2
n
+ + n (n 1) C
n
n-1
+ (n + 1) n C
n

n
.
d)4
n
C
o
n
4
n-1
C
1
n
+ 4
n-2
C
2
n
+ + (-1)
n
C
n
n
.= C
o
n
+ 2 C
1
n
+ + n 2
n-1

C
n
n
+ + 2
n
C
n
n
.
e) C
1
n
+ 4 C
2
n
+ + n.2
n-1
C
n
n
= n. 4
n-1
C
o
n
(n-1) 4
n-2
C
1
n

+ (n-2) 4
n-3
C
2
n
+ + (-1)
n-1
C
n
n-1
.
Dng 2 . Tìm hệ số (tìm số hạng) trong khai triển
Ví dụ 1: Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào n biết.
C
n
n
+ C
n-1
n
+ C
n-2
n
= 79
Ví dụ 2: Cho biết ba số hạng đầu tiên của KT
Có các hệ số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển đó đã cho.


Ví dụ 3: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + x)
n
Ví dụ 4:Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển (a + b)

n
biết rằng tổng các hệ số bằng 4096
Ví dụ 5: Khai triển đa thức . P
x
= ( 1 + 2x)
12
Thành dạng P
(x)
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
20
x
10
Max (a
1
a
2
a
12
)
Vớ d 6: Tìm n của khai triển biết hạng tử thứ 9 có hệ số lớn nhất
1
( )

n
xxx
15/283
+
n
x
x )
2
1
(
4
+
n
x
)
5
2
5
( +
T i lià ệu ôn thi đại học Phạm Quang Thành
Ví dụ 7: T×m c¸c h¹ng tö lµ sè nguyªn trong khi khai triÓn.
19
3
( 3 2)+
Ví dụ 8 : a) Cho
0x >
v à
1 2 3 2 1 2 2 1 36
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2

n n n n n n
n n n n n n
C C C C C C
+ + + − +
+ + + + + +
+ + + + + + =
. Tìm số hạng không phụ
thuộc
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
5
1
n
x
x
 
−
 ÷
 ÷
 
.
b) Tìm hệ số của
6
x
trong khai triển thành đa thức của
( ) ( )
5 7
2
( ) 2 1 3 3 1 2P x x x x x= − − +
c) Tìm hệ số của x

5
trong khai triển biểu thức
( ) ( )
2
2
1 2 1 3
n n
P x x x x
= − + +
, biết rằng
2 1
1
5
n
n n
A C
−
+
− =
.
d) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
3
1
2
n
x
x
 
+
 ÷

 
, biết rằng
2 1
1
4 6
n
n n
A C n
−
+
− = +
.
e) Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển thành đa thức của biểu thức:
2 10
(1 4 )x x+ +
.
f) Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển biểu thức
3
2
n
x
x
 
−

 ÷
 
, biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức
6 2
4
454
n
n n
C nA
−
−
+ =
.
g) Tìm hệ số của x
7
trong khai triển nhị thức
n
x
x






+
3
4
1
2

,(
0x ≠
). Biết rằng n là số tự nhiên thỏa mãn
1122
22
=++ nAC
nn
h) Tìm hệ số của x
10
trong khai triển
n
xx )3(
2
−
, ( x > 0 , n nguyên dương) biết tổng tất cả các hệ số
trong khai triển bằng - 2048
i)Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển nhị thức NewTon
5
3
1
n
x
x
 
+
 ÷
 

, biết tổng các hệ số trong khai triển
trên bằng 4096 ( trong đó n là số nguyên dương và x > 0).
j)Tìm số hạng chứa
19
x
trong khai triển của biểu thức
n
P x x
9
(2 1) ( 2)= − +
. Biết rằng
n
n n n n
C C C C
0 1 2
2048+ + + + =
và n là số nguyên dương.
k ) Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển
x x x
3 2 6
( 2 2)− + −
.
l) Tìm hệ số của
x
8
trong khai triển nhị thức Niu–tơn của
( )

n
x
2
2+
, biết:
n n n
A C C
3 2 1
8 49− + =
(n ∈ N, n > 3).
m) Tìm hệ số x
3
trong khai triển
2
2
 
+
 ÷
 
n
x
x
biết n thoả mãn:
1 3 2 1 23
2 2 2
2
−
+ + + =
n
n n n

C C C
n) Tìm hệ số của
20
x
trong khai triển Newton của biểu thức
5
3
2
 
+
 ÷
 
n
x
x
.
Biết rằng:
0 1 2
1 1 1 1
( 1)
2 3 1 13
− + + + − =
+
n n
n n n n
C C C C
n
2