Đề ôn thi Đại học số 13 của Math.VN 2011

DIỄN ĐÀN MATH.VN

Đề thi số: 13
THI THỬ ĐẠI HỌC 2011
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN CHUNG (7 điểm) Cho tất cả thí sinh
Câu I. (2 điểm)
Cho hàm số y =
x
1 −x
và điểm A(−1; 1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2 Tìm m để đường thẳng y = mx −m −1 cắt (C) tại hai điểm phân biệt M, N sao cho AM
2
+ AN
2
đạt giá trị nhỏ
nhất.
Câu II. (2 điểm)
1 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm


1 −2
√
1 −x
2
+

1 −2


1 −y
2
= m
x
2
+ y
2
+ x −

1 −y
2
= 1
2 Giải phương trình
√
3 sin2x(1 + 2 cosx) + cos 3x
1 + 2 cosx + cos 2x
= 1.
Câu III. (1 điểm)
Tính tích phân: I =

0
−ln 3
x +
3
√
e
x
−e
3x

e
3x
dx.
Câu IV. (1 điểm)
Cho hình lăng trụ đều ABC.A

B

C

có tất cả các cạnh đều bằng a .Gọi M là trung điểm của cạnh BB

. Tính thể tích
khối tứ diện B

ACM và bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A

B

C

.
Câu V. (1 điểm)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn
√
a
2
+ b
2
+

√
b
2
+ c
2
+
√
c
2
+ a
2
≤ 3
√
2 .
Chứng minh rằng
1
√
8
a
+ 1
+
1
√
8
b
+ 1
+
1
√
8

c
+ 1
≥ 1 .
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B
Phần A theo chương trình chuẩn
Câu VIa. (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC với đường cao AH có phương trình x = 3
√
3 , phương trình hai
đường phân giác trong góc

ABC và

ACB lần lượt là x −
√
3y = 0 và x +
√
3y −6
√
3 = 0 . Bán kính đường tròn nội
tiếp tam giác ABC bằng 3. Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh A có hoành độ dương.
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho A(1; 0; 0), B(−1;−2; 0), C(−1; 1;−3) , mặt phẳng (P) : 2x +y −2 = 0
và đường thẳng  :
x −2
1
=
y −3
−1
=
z −4

−1
. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A có tâm I thuộc mặt phẳng (P)
sao cho IB vuông góc với đường thẳng  và mặt cầu (S) cắt (ABC) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất.
Câu VIIa. (1 điểm)
Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
|
z
|
=
|
z + 4 −3i
|
và biểu thức A =
|
z + 1 −i
|
+
|
z −2 + 3i
|
có giá
trị nhỏ nhất.
Phần B theo chương trình nâng cao
Câu VIb. (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường tròn (C
1
) : (x−1)
2
+y
2

= 2 và (C
2
) :

x +
1
2

2
+

y −
√
3
2

2
= 2.
Gọi A là giao điểm có hoành độ dương của (C
1
) và (C
2
);  là đường thẳng đi qua A cắt hai đường tròn (C
1
) và (C
2
)
lần lượt tại M, N sao cho M nằm ngoài (C
2
) và N nằm ngoài (C

1
). Các tiếp tuyến của (C
1
) và (C
2
) tại M, N cắt nhau
tại P . Viết phương trình đường thẳng  khi bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP lớn nhất.
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d
1
:
x −1
1
=
y −2
1
=
z −4
1
, d
2
:
x
1
=
y −3
−1
=
z −2
2
và điểm A(0; 1;3) . Chứng minh A, d

1
, d
2
cùng nằm trong một mặt phẳng. Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác
ABC biết đường cao từ B nằm trên d
1
và đường phân giác trong góc C nằm trên d
2
.
Câu VIIb. (1 điểm)
Cho các số phức z
1
, z
2
thỏa mãn các điều kiện




2z
1
−i
2 + iz
1




= 1 và
|

z
2
−1 + i
|
=
|
z
2
−2 + 2i
|
.
Chứng minh
|
z
1
−z
2
|
≥
3
√
2 −2
2
.