Tóm tắt công thức toán 12

Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 1
CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 12

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MP
 VÉCTƠ
Cho 2 vectơ
);(
21
aaa =
,
);(
21
bbb =




=
=
⇔=
22
11
ba
ba
ba

);(
2211
bababa ±±=±

);(.

21
kakaak =

2
2
1
1
//
b
a
b
a
ba
=⇔

2211
. bababa +=

0
2211
=+⇔⊥ bababa

2
2
2
1
aaa +=

2
2

2
1
2
2
2
1
2211
),cos(
bbaa
baba
ba
++
+
=
 Cho 3 điểm A(x
A
;y
A
) , B(x
B
;y
B
) ,
M(x
M
;y
M
)
Ta có:


);(
ABAB
yyxxAB −−=

22
)()(
ABAB
yyxxAB −+−=
M chia đoạn AB theo tỉ số k≠ 1
M:







−
−
=
−
−
=
k
kyy
y
k
kxx
x
BA

M
BA
M
1
1
M là trung điểm của đoạn AB
M:





+
=
+
=
2
2
BA
M
BA
M
yy
y
xx
x
 3 điểm A, B, C thẳng hàng
AC//AB
⇔

 Cho 3 điểm A(x
A
;y
A
) , B(x
B
;y
B
) ,
C(x
C
;y
C
)
 G là trọng tâm của ∆ ABC

PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KG
 VÉCTƠ
Cho 2 vectơ
);;(
321
aaaa =
,
);;(
321
bbbb =







=
=
=
⇔=
33
22
11
ba
ba
ba
ba

);;(
332211
babababa ±±±=±


);;(.
321
kakakaak =

3
3
2
2
1
1
//

b
a
b
a
b
a
ba
==⇔

332211
. babababa +++=

0
332211
=++⇔⊥ babababa

2
3
2
2
2
1
aaaa ++=

2
3
2
2
2
1

2
3
2
2
2
1
332211
),cos(
bbbaaa
bababa
ba
++++
+++
=
 Cho 3 điểm A(x
A
;y
A
;z
A
) , B(x
B
;y
B
;z
B
) ,
M(x
M
;y

M
;z
M
)
Ta có:

);;(
ABABAB
zzyyxxAB −−−=

222
)()()(
ABABAB
zzyyxxAB −+−+−=
M chia đoạn AB theo tỉ số k≠ 1
M:









−
−
=
−
−

=
−
−
=
k
B
kz
A
z
M
z
k
B
ky
A
y
M
y
k
B
kx
A
x
M
x
1
1
1
M là trung điểm của đoạn AB
M:










+
=
+
=
+
=
2
2
2
B
z
A
z
M
z
B
y
A
y
M
y

B
x
A
x
M
x

G:





++
=
++
=
3
3
CBA
G
CBA
G
yyy
y
xxx
x
 H là trực tâm của ∆ ABC







⊥
⊥
ACBH
BCAH
⇔





=
=
0.
0.
ACBH
BCAH
TRƯỜNG PTTH THỚI LONG
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 2
 I là tâm của đường ngoại tiếp ∆ ABC




=
=
22

22
ICIA
IBIA
 Diện tích ∆ ABC

ACAB
ACAB
ABC
yyyy
xxxx
S
−−
−−
=
∆
2
1
 ĐƯỜNG THẲNG
PT tổng quát của đường thẳng (∆):
A(x-x
o
) + B(y-y
o
) = 0
Hay: Ax + By + C = 0
VTPT
);( BAn =
> VTCP
);( ABa −=
 Khoảng cách từ điểm M

0
(x
o;
y
o
) đến
đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0

22
00
0
),(
BA
CByAx
Md
+
++
=∆
 PT tham số của đường thẳng (d):




+=
+=
tayy
taxx
20
10
t∈R

Với M
0
(x
o;
y
o
)∈(d) , VTCP
)a;a(a
21
=
 vị trí tương đối của 2 đường thẳng
(d
1
) : A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
(d
2
) : A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
22

11
BA
BA
D =
;
22
11
CB
CB
D
X
=
;
22
11
AC
AC
D
Y
=
* D ≠ 0 ⇔ (d
1
) cắt (d
2
)
* D = 0 , D
x
≠0 hoặc D
y
≠0 ⇒(d

1
) song
song (d
2
)
* D = D
x
= D
y
= 0 (d
1
) trùng với (d
2
)
 Góc giưã 2 đường (d
1
) và (d
2
)

2
2
2
2
2
1
2
1
2121
cos

BABA
BBAA
++
+
=
ϕ
 ĐƯỜNG TRÒN (C)
Dạng 1: (x-a)
2
+(y-b)
2
=R
2
Tâm I(a;b) bán kính R
 Tiếp tuyến với (c) tại điểm M
0
(x
o
;y
o
)∈(c)

 Tích có hướng
Cho 3 vectơ
);;(
321
aaaa =
,
);;(
321

bbbb =
,

);;(
321
cccc =

[ ]








=
21
21
;
13
13
;
22
32
,
bb
aa
bb
aa

bb
aa
ba

[ ]
0.,
=
cba

cba ,,⇒
đồng phẳng

[ ]
ACAB
ABC
S ,
2
1
=
∆

[ ]
AAADABV
DCBAABCD
.,
''''.
=

[ ]
ADACABV

ABCD
.,
6
1
=
( ABCD : tứ diện )
 MẶT PHẲNG
PT tổng quát của mặt phẳng (α):
A(x - x
o
) + B(y - y
o
) + C(z - z
o
) = 0
Hay Ax + By + Cz +D = 0 VTPT
);;( CBAn =
 Khoảng cách từ điểm M
0
(x
o;
y
o
) đến mp(α)

222
000
0
)(,(
CBA

DCzByAx
Md
++
+++
=
α
 Vị trí tương đối của 2 mp
(α): A
1
x + B
1
y + C
1
z +D
1
= 0
(β): A
2
x + B
2
y + C
2
z +D
2
= 0
+
2
1
2
1

2
1
C
C
B
B
A
A
≠≠
(α) cắt (β)
+
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==
(α) song song với (β)
+

2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
===
(α) trùng với (β)
 ĐƯỜNG THẲNG
 PT tham số của đường thẳng (d) :

Rt
tazz
tayy
taxx
o
o
o
∈






+=
+=
+=
3
2
1
VTCP
);;(
321
aaaa =
 PT tổng quát của đường thẳng (d) :




=+++
=+++
0 D zC y B x A
0 D zC y B x A
2222
1111
 PT tổng quát của đường thẳng (d)

a
zz
a

yy
a
xx
0
2
0
1
0
−
=
−
=
−
 MẶT CẦU (S)
 Dạng 1: (x-a)
2
+(y-b)
2
+(z-c)
2
=R
2
Tâm I(a;b;c) bán kính R
(x
o
- a)(x - a)+(y
o
- b)(y - b)=R
2
 Dạng 2 : x

2
+y
2
+2Ax +2By+C = 0
( ĐK: A
2
+B
2
-C > 0)
 Tiếp tuyến với (c) tại điểm M
0
(x
o
;y
o
)∈(c)
x
o
x + y
o
y + A(x
o
+x) + B(y
o
+y) + C = 0
Tâm I(-A;-B) bán kính
CBAR −+=
22

 ELIP

 Phương trình (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
( a > b )
với c
2
= a
2
– b
2
TRƯỜNG PTTH THỚI LONG
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 3
+ Toạ độ các đỉnh:
A
1
(-a;0) , A
2
(a;0) , B
1
(0;-b) , B
2
(0;b)

+ Tiêu điểm: F
1
(-c;0) , F
2
(c;0)
+Tâm sai :
a
c
e =
+Tiêu cự: F
1
F
2
= 2c
+ ĐDTL: A
1
A
2
= 2a
+ ĐDTN: B
1
B
2
= 2b
+ Bán kính qua tiêu điểm:
M(x;y)∈(E):






−=
+=
M
M
x
a
c
aMF
x
a
c
aMF
2
1
 Đường chuẩn
∆
1
:
e
a
x −=
∆
2
:
e
a
x =
 Phương trình tiếp tuyến tại M
0

(x
o
;y
o
)∈(E)

1
22
=+
b
yy
a
xx
oo
 ĐK để đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0
tiếp xúc với (E) : a
2
A
2
+ b
2
B
2
= C
2
 HYPEBOL
 Phương trình (H):
1
2
2

2
2
=−
b
y
a
x

với c
2
= a
2
+ b
2
+ Toạ độ các đỉnh:
A
1
(-a;0) , A
2
(a;0)
+ Tiêu điểm: F
1
(-c;0) , F
2
(c;0)
+Tâm sai :
a
c
e =
+Tiêu cự: F

1
F
2
= 2c
+ ĐDTT: A
1
A
2
= 2a
+ ĐDTA: B
1
B
2
= 2b
+ Bán kính qua tiêu điểm:

Dạng 2 : x
2
+y
2
+z
2
+2Ax +2By+2Cz+D = 0
( ĐK: A
2
+B
2
+C
2
-D > 0)

Tâm I(-A;-B;-C) bán kính

DCBAR
−++=
222


 ELIP
 Phương trình (E):
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
( a < b )
với c
2
= b
2
– a
2
+ Toạ độ các đỉnh:
A
1
(-a;0) , A

2
(a;0) , B
1
(0;-b) , B
2
(0;b)
+ Tiêu điểm: F
1
(0;-c) , F
2
(0;c)
+Tâm sai :
b
c
e =
+Tiêu cự : F
1
F
2
= 2c
+ ĐDTL : B
1
B
2
= 2b
+ ĐDTN: A
1
A
2
= 2a

+ Bán kính qua tiêu điểm:
M(x;y)∈(E):





−=
+=
M
M
y
b
c
bMF
y
b
c
bMF
2
1
 Đường chuẩn
∆
1
:
e
b
y −=
∆
2

:
e
b
y =
 Phương trình tiếp tuyến tại M
0
(x
o
;y
o
)∈(E)

1
22
=+
b
yy
a
xx
oo
 ĐK để đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0
tiếp xúc với (E) : a
2
A
2
+ b
2
B
2
= C

2
 HYPEBOL
 Phương trình (H):
1
2
2
2
2
=−
a
x
b
y

với c
2
= a
2
+ b
2
+ Toạ độ các đỉnh:
B
1
(0;-B) , B
2
(0;B)
+ Tiêu điểm: F
1
(0;-c) , F
2

(0;c)
+Tâm sai:
b
c
e =
+Tiêu cự: F
1
F
2
= 2c
+ ĐDTT: B
1
B
2
= 2b
+ ĐDTA: A
1
A
2
= 2a
+ Bán kính qua tiêu điểm:
M(x;y)∈nhánh phải :





+−=
+=
M

M
x
a
c
aMF
x
a
c
aMF
2
1
M(x;y)∈nhánh trái :





−=
−−=
M
M
x
a
c
aMF
x
a
c
aMF
2

1
 Đường chuẩn
∆
1
:
e
a
y −=
∆
2
:
e
a
y =
 phương trình 2 đường tiệm cận
x
a
b
y ±=

 Phương trình tiếp tuyến tại M
0
(x
o
;y
o
)∈(H)
TRƯỜNG PTTH THỚI LONG
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 4

1
22
=−
b
yy
a
xx
oo
 ĐK để đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0
tiếp xúc với (H) : a
2
A
2
- b
2
B
2
= C
2

 PARABOL
Phương trình y
2
=2px
(x ≥ 0)

 Trục đối xứng Ox
 Tiêu điểm
)0;
2

(
p
F

 Bán kính qua tiêu điểm
2
p
M
xFM +=
 Đường chuẩn
2
:
p
x −=∆

 Phương trình tiếp tuyến tại y
o
y=p(x
o
+x)
điểm M
o
(x
o
;y
o
) ∈(P)
 ĐK để (P) tiếp xúc với đường B
2
p =2AC

thẳng (∆): Ax + By + C = 0
M(x;y)∈nhánh trên:





+−=
+=
M
M
y
a
c
bMF
y
a
c
bMF
2
1
M(x;y)∈nhánh dưới :





−=
−−=
M

M
y
a
c
bMF
y
a
c
bMF
2
1
 Đường chuẩn
∆
1
:
e
b
x −=
∆
2
:
e
b
x =
 phương trình 2 đường tiệm cận
x
a
b
y ±=

 Phương trình tiếp tuyến tại M
0
(x
o
;y
o
)∈(H)

1
22
=−
a
xx
b
yy
oo
 ĐK để đường thẳng (∆): Ax + By + C = 0
tiếp xúc với (H) : a
2
A
2
- b
2
B
2
= -C
2
y
2
=-2px x

2
=2py x
2
=-2py
(x ≤ 0) (y ≥ 0) (y ≤ 0)
Ox Oy Oy
)0;
2
(
p
F −

)
2
;0(
p
F

)
2
;0(
p
F −

2
p
M
xFM +−=

2

p
M
yFM +=

2
p
M
yFM +−=
2
:
p
x =∆

2
:
p
y −=∆

2
:
p
y =∆
y
o
y=-p(x
o
+x) x
o
x=p(y
o

+y) x
o
x=-p(y
o
+y)
B
2
p =-2AC A
2
p =2BC A
2
p =-2BC

ĐẠO HÀM
(c)’=0 (với c là một hằng số)
(x)’=1

x
x
2
1
)'( =
(x>0) ;
'.
2
1
)'( u
u
u =
(u>0)

(u
1
± u
2
± ± u
n
)’=u
1
’± u
2
’±…………± u
n
’
(uv)’=u’v+uv’

2
,
''
v
uvvu
v
u −
=






( với v≠0)

2
,
'1
v
v
v
−=






( với v≠0)
(x
α
)’=αx
α
-1
;

(u
α
)’=αu
α
-1
.u’
(sinx)’=cosx
(cosx)’=-sinx

(tgx)’=
x
2
cos
1
(ĐK:
Zkkx ∈+≠ ,
2
π
π
)
(cotgx)’=
x
2
sin
1
−
(ĐK:
Zkkx ∈≠ ,
π
)
(sinu)’=cosu.u’
TRƯỜNG PTTH THỚI LONG
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 5
(cosu)’=-sinu.u’
(tgu)’=
'.
cos
1
2

u
u
(ĐK:
Zkku ∈+≠ ,
2
π
π
)
(cotgu)’=
'.
sin
1
2
u
u
−
(ĐK:
Zkku ∈≠ ,
π
)
(e
x
)’=e
x

(e
u
)’=e
u
.u ‘

(a
x
)’=a
x
.lna ( với 0 <a≠1 )
(a
u
)’=a
u
.lna.u ’ ( với 0 < a≠1 )
(lnx)’=
x
1
(với x>0)
(lnu)’=
u
1
.u ‘ (với u>0)
(log
a
x)’=
ax ln
1
(với x>0, 0<a≠1)
(log
a
u)’=
au ln
1
.u ‘ (với u>0, 0<a≠1)

2
)(
'
dcx
bcad
y
dcx
bax
y
+
−
=⇒
+
+
=

2
11
111
2
1
11
2
)(
'
bxa
cabbxabxaa
y
bxa

cbxax
y
+
−++
=⇒
+
++
=
NGUYÊN HÀM

∫
+= Cxdx

∫
+= Cx
x
dx
ln

∫
++=
+
Cbax
a
dx
bax
dx
ln
1
)(

∫
+
+
=
+
C
x
dxx
1
1
α
α
α

∫
+
+
+
=+
+
C
na
bax
dxbax
n
n
)1(
)(
)(

1
n≠-1

∫
+= Cedxe
xx

∫
+=
++
Ce
a
dxe
baxbax
1

∫
+= C
a
a
dxa
x
x
ln

∫
+−= Cxxdx cossin

∫
+= Cxxdx sincos

∫
++−=+ Cbax
a
dxbax )cos(
1
)sin(

∫
++=+ Cbax
a
dxbax )sin(
1
)cos(

∫
+= Ctgxdx
x
dx
2
cos

∫
+−= Cgxdx
x
dx
cot
sin
2

∫
+
+
−
=
−
Cx
ax
ax
a
ax
dx
ln
2
1
22

∫
++++
−
=
++
Cbxbaxa
babxax
dx
lnln(
1
))((
DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH

∫
=
b
a
dxxfS )(
( y=f(x) ; ox ; x=a ; x=b )

∫
−=
b
a
dxxfxfS )()(
12

( y=f
1
(x) ; y=f
2
(x) ; x=a ; x=b )

∫
=
b
a
dxyV
2
π
( Hình phẳng quay quanh ox)

∫

=
b
a
dyxV
2
π
( Hình phẳng quay quanh oy)
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
1. Đổi biến:
Dạng 1: Tính
∫
b
a
dxxf )(
+ Đặt t=u(x) ⇒ dt= ?
+ Đổi cận
bx
ax
=
=
⇒
)(
)(
2
1
but
aut
=
=
+ Thay vào

∫ ∫
=
b
a
t
t
dttutufdxxf
1
2
)(')]([)(
2. Tích phân từng phần:

[ ]
∫ ∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
Phương pháp:
 Đặt: u=? du=?
dv=? V=?
GIẢI TÍCH TỔ HỢP

!nP
n
=

(Hoán vị n ptử)
TRƯỜNG PTTH THỚI LONG
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 6

)!(
!
kn
n
A
k
n
−
=
(Chỉnh hợp chập k của n ptử)

!)!(
!
kkn
n
C
k
n
−
=
(Tổ hợp chập k của n ptử)

kn
n
k
n

CC
−
=
;
1
11
−
−−
+=
k
n
k
n
k
n
CCC

∑
=
−
=+
n
k
kknk
n
n
baCba
0
)(
(Công thức NIUTƠN)

0!=1 ; 1!=1 ; n!=n(n-1)(n-2)(n-3)…3.2.1


 Dạng 2: Tính
∫
b
a
dxxf )(
+ Đặt x=ϕ(t) ⇒ dx= ?
+ Đổi cận
bx
ax
=
=
⇒
)
)
2
1
β
α
=
=
t
t
+ Thay vào
∫ ∫
=
b
a

t
t
dttgdxxf
1
2
)()(
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

2
2cos1
sin
2
x
x
−
=
;
2
2cos1
cos
2
x
x
+
=

x
xtg
2
2

cos
1
1 =+
;
x
xg
2
2
sin
1
cot1 =+

[ ]
)cos()cos(
2
1
coscos
βαβαβα
−++=

[ ]
)cos()cos(
2
1
sinsin
βαβαβα
−−+−=

[ ]
)sin()sin(

2
1
cossin
βαβαβα
−++=
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

tgb.tga1
tgbtga
)ba(tg
−
+
=+
;
tgbtga
tgbtga
batg
.1
)(
+
−
=−
Bang giá trị đặc biệt:

Góc
GTLG
0

0
0
30
0
6
π
45
0
4
π
60
0
3
π
90
0
2
π
180
0
π
270
0
2
3π
360
0
2π
sinα
0

2
1
2
2
2
3
1 0 - 1 0
cosα
1
2
3
2
2
2
1
0 - 1 0 1
tgα
0
3
1
1
3
|| 0 || 0
cotgα
||
3
1
3
1
0 || 0 ||

Chú ý:
1/Một số cách đặt trong tích phân từng phần
DẠNG1:
∫










+
+
+
b
a
x
dx
x
x
e
xP
)cos(
)sin()(
βα
βα
βα

→ Đặt u=P(x) , dv=
dx
x
x
e
x










+
+
+
)cos(
)sin(
βα
ββ
βα
DẠNG2:
∫







+
+
+
b
a
x
dx
x
x
e
)cos(
)sin(
βα
βα
βα
→ Đặt u=e
α
x+
β
, dv=
dx
x
x







+
+
)cos(
)sin(
βα
βα
TRƯỜNG PTTH THỚI LONG
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 7
DẠNG3:
∫
+
b
a
dxxxP )ln().(
βα
→ Đặt u=ln(αx+β) , dv=P(x)
( Trong P(x) là một đa thức )
2/Một số cách đặt trong tích phân đổi biến dạng 1
Nếu trong biểu thức dưới dấu tích phân có các dạng sau:
Sinx.dx  Đặt t= cosx → dt=? ,
x
dx
2
cos
 Đặt t= tgx → dt=?

Cosx.dx  Đặt t= sinx → dt=? ,
x
dx

2
sin
 Đặt t= cotgx → dt=?

x
dx
 Đặt t= lnx → dt=?

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA 2 ĐƯỜNG THẲNG:

Cho 2 đường thẳng
321
:)(
a
zz
a
yy
a
xx
d
ooo
−
=
−
=
−
và
321
'
'

'
'
'
'
:)'(
a
zz
a
yy
a
xx
d
ooo
−
=
−
=
−
*/ Đường thẳng (d) và (d’) đồng phẳng :
[ ]
0.', =
o
MMaa

 (d) cắt (d’)
⇔
[ ]
0.', =
o
MMaa

và
3
3
2
2
1
1
'''
:
a
a
a
a
a
a
≠≠


 (d) song song (d’)
⇔

3
3
2
2
1
1
'''
:
a

a
a
a
a
a
==
và
oooooo
zz
a
yy
a
xx
a
−
≠
−
≠
− '''
:
3
21

 (d) trùng với (d’)
⇔

3
3
2
2

1
1
'''
:
a
a
a
a
a
a
==
và
oooooo
zz
a
yy
a
xx
a
−
=
−
=
− '''
:
3
21

*/ Đường thẳng (d) và (d’) chéo nhau :
[ ]

0.', ≠
o
MMaa

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG:
Cho đường thẳng (d):
321
:)(
a
zz
a
yy
a
xx
d
ooo
−
=
−
=
−
và mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0
 (d) cắt (α)
0
≠++⇔
CcBbAa


 (d) song song (α)




≠+++
=++
⇔
0
0
DCzByAx
CcBbAa
ooo


 (d) nằm trên mp(α)



=+++
=++
⇔
0
0
DCzByAx
CcBbAa
ooo

 (d)⊥(α)
321
a
C
a

B
a
A
==⇔
TRƯỜNG PTTH THỚI LONG
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 8
KHOẢNG CÁCH:

 Khoảng cách từ điểm M(x;y;z) đến đường thẳng (∆)
Cho đường thẳng
321
:)(
a
zz
a
yy
a
xx
ooo
−
=
−
=
−
∆
và điểm M(x;y;z) thì k/c từ điểm M đến
đường thẳng (d) là
[ ]
a
aMM

Md
,
))(,(
0
=∆
M
0
(x
0
;y
0
;z
0
)∈(∆) , VTCP
);;(
321
aaaa =

 Khoảng cách 2 đường thẳng chéo nhau:
Cho 2 đường thẳng chéo nhau :

321
:)(
a
zz
a
yy
a
xx
ooo

−
=
−
=
−
∆
và
321
'
'
'
'
'
'
:)'(
a
zz
a
yy
a
xx
ooo
−
=
−
=
−
∆

khoảng cách được tính:

[ ]
[ ]
',
'.',
)',(
00
aa
MMaa
d =∆∆

GÓC:
 Góc của 2 đường thẳng:
321
:)(
a
zz
a
yy
a
xx
ooo
−
=
−
=
−
∆
và
321

'
'
'
'
'
'
:)'(
a
zz
a
yy
a
xx
ooo
−
=
−
=
−
∆



2
3
2
2
2
1
2

3
2
2
2
1
'
33
'
22
'
11
'''
cos
aaaaaa
aaaaaa
++++
++
=
ϕ


 Góc giữa đường thẳng:
321
:)(
a
zz
a
yy
a
xx

ooo
−
=
−
=
−
∆
và mp(α): Ax + By + Cz + D=0


2
3
2
2
2
1
222
321
sin
aaaCBA
CaBaAa
++++
++
=
ϕ

 Góc giữa 2 mặt phẳng : (α): A
1
x + B
1

y + C
1
z +D
1
= 0 và (β): A
2
x + B
2
y + C
2
z +D
2
= 0


2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
cos
CBACBA

CCBBAA
++++
++
=
ϕ



( Mong các thầy cô đồng nghiệp đóng góp ý kiến cho tài liệu được hoàn chỉnh hơn ! )
TRƯỜNG PTTH THỚI LONG
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Văn Tùng Trang 9
TRƯỜNG PTTH THỚI LONG