SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TOÁN HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG

Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 1



























SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I. THÔNG TIN CÁ NHÂN:
1. H Đậu Thế Tâm
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH







SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM



HÀNG ĐIỂM ĐIỀU HÒA

VÀ ỨNG DỤNG





Đậu Thế Tâm

-  
-  
- 

Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN
     nh  







 2013 - 2014



Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 2

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I. THÔNG TIN CÁ NHÂN:
H Đậu Thế Tâm
- 03  1974
Chc v: P. Hing
  Vinh

II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
: Th
Tt nghip: 2003

III. KINH NGHIỆM KHOA HỌC
Ging d
 trong nh
1. Bng thc  
2. ng d- 
3. ng dng s phc  
4. ng d Ptoleme - 
5. ng dng - 
6.   

Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 3

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI



II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Cơ sở lý luận


                 



HSGQG.
III. NỘI DUNG
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Hàng điểm và tý số kép:


:
CA DA
CB DB


:
CA DA
CB DB
.

( D) :
a c a d
ABC
b c b d




2. Các tính chất
 (ABCD) = (CDAB) = (BADC) = (DCAB)

11
( D)
( D) ( D )
ABC
BAC AB C


 (ABCD) = 1 - (ACBD) = 1- (DBCA)
 
 
3. Hàng điểm điều hòa:
 Định nghĩa 1: (ABCD) = -
, , ,A B C D
.

( D) 1
CA DA
ABC
CB DB
    
(1)
A
DBC

 Biểu thức tọa độ: A(a), B(b), C(c), D(d)
-

( D) 1 2( d) ( )( )
a c a d
ABC ab c a b c d
b c b d

         


- 
OA

2 1 1 2 1 1
( D) 1ABC
b d c
AB AD AC
       
(Descartes)
- 
OI
:
2
2
( D) 1 d . DABC a c IA IC I     
(Newton)
Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 4

Hệ thức này và định nghĩa là hai dấu hiệu phổ biến nhất để chứng minh 4 điểm là
một hàng điểm điều hòa.

- (Descartes) 
.AC AD ABAJ
(Maclaurin)




Định lí 3.1: Cho
( ) 1ABCD 

AOB


AOB
.
D
A
O
B
C


*Nhận xét: Từ đó suy ra
0
90COD
do đó định lí này có ý nghĩa thực sự quan trọng
trong những bài chứng minh vuông góc. Mặt khác cũng có điều ngược lại tức nếu
0
90COD
thì OC là phân giác trong và OD là phân giác ngoài của

AOB
điều này có ý
nghĩa quan trọng cho những bài chứng minh yếu tố phân giác.
Định lí 3.2:


( ) 1TEBC 

Chứng minh:
F
A
K
B
C
T
E




. . 1
EB FC KA
EC FA KB

(1)
 
. . 1
TC KB FA
TB KA FC


(2)
Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 5


TB EB
TC EC



( ) 1TEBC 
.

Định lí 3.3: 

-1

Định lí 3.4: Cho
( ) 1ABCD 





*Nhận xét: Định lí này rất có ý nghĩa đối với các bài toán chứng minh trung điểm và song
song.

I

F
E
B
C
O
D
A

4. Chùm điều hòa:
Định nghĩa:

( ) 1ABCD 


( , , , ) 1OA OB OC OD 
.
A
D
O
B
C


Định lí 4.1: . d  
c
Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 6

Chứng minh.

- 
- -

Định lí 4.2: Cho
( , , , ) 1OA OB OC OD 


( ) 1EFGK 

K
F
G
A
D
O
BC
E

5. Phép chiếu xuyên tâm
Định nghĩa 1: 



Định lí 5.1. 
Chứng minh.

Bổ đề .


CA'

(ABCD)
CB'



CA DA AC DB CA' DS CA'
(ABCD) : : :
CB DB AD CB DS CB' CB'
   

Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 7

:
1
1 1 1 1
1
C A''
CA'
(ABCD) (A B C D )
CB' C B''
  
(d.p.c.m)
  
 
Hệ quả 5.1.
 

Hệ quả 5.2

1

,
2


1
A,B,C
,
2
A',B',C'
. Khi

(OABC) (OA'B'C') AA',BB',CC'

Chứng minh.

BO CO B'O C'O
::
BA CA B'A C'A
(OABC) (OA'B'C')




AA' BB' S,SC C"   
.

(OA'B'C') (OABC) (OA'B'C")
(OA'B'C') (OA'B'C")

C' C''





Định nghĩa 2: 


sin(OA,OC) sin(OB,OC)
(abcd) (ABCD) :
sin(OA,OD) sin(OB,OD)




Tính chất 

a' a A,b b' B,c c' C     

   
abcd a’b’c’d


II. BÀI TẬP:
Bài 1: Cho A nằm ngoài đường tròn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC trong đó B,C là hai
tiếp điểm . AO cắt đường trong tại hai điểm E,F và cắt cạnh BC tại K. Chứng minh rằng
( ) 1AKEF 

Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 8

EK
O
A
C
B
F

Giải:

2
.OB OK OA


2 2 2
OB OE OF
(2)

22
.OE OF OK OA

 suy ra đpcm
Bài 2: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). M,N,P,Q lần lượt là các tiếp
điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn; khi đó ta có MP,NQ,AC,BD đồng quy tại một
điểm.
Giải:
P
A

I
D C
O
N
B
M
Q
E


//CE AB


MOP OPM BMP CPM CE CP       


IA AM AM
IC EC PC

(1)

'I

'
'
I A AQ
I C NC

(2)


'II
suy ra MP, NQ, 
(3)
 NQ, 


Bài 3: Cho đường tròn (O). Lấy một điểm A ngoài đường tròn (O), từ A ta kẻ hai tiếp
tuyến AK,AN và một cát tuyến ACD bất kì đối với đường tròn trên. Hai tiếp tuyến qua C và
D đối với đường tròn cắt nhau tại M. Khi đó ta có K, M, N thẳng hàng.
Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 9

O
N
A
K
M
D
C

Giải: 
KC NC
k
KD ND

(1)

'
'

NC
k
ND

(2)

DNC

  .
 



'NN
đpcm

Bài 4: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). M,N,P,Q lần lượt là các tiếp
điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn. Chứng minh rằng MQ,NP và DB đồng quy tại
một điểm.
Giải:
P
D C
O
N
B
A
K
Q
M

DB


. . 1
MA KB QD
QA
MB KD

(1)
Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 10


MA NC
MB NB


QD PD
QA PC



. . 1
NC KB PD
PC
NB KD


 đpcm

Bài 5: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). M,N,P,Q lần lượt là các tiếp
điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn. Gọi K là giao điểm của MQ với NP. Chứng minh
rằng
OK AC
.
Giải:
P
F
E
D C
O
N
B
A
K
Q
M



 

'KK
.
y ra
KO EF
hay
KO AC
(đpcm)

Bài 6: Cho tam giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm (O). M,N,P,Q lần lượt là các tiếp
điểm của AB,BC,CD,DA với đường tròn. Gọi K là giao điểm của MQ với NP và I là giao
điểm của MP với QN. Chứng minh rằng
( ) 1DBIK 
.
Giải:
Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 11

P
I
D
C
O
N
A
B
K
M
Q



. . 1
KB QD MA
KD QA MB

hay

KB MB
KD QD



MB IB
QD ID

(2)

KB IB
KD ID



KB IB
KD ID



( ) 1DBIK 
(đpcm)
Bài 7: Cho A nằm ngoài đường tròn (O), từ A kẻ hai tiếp tuyến AB,AC trong đó B,C là hai
tiếp điểm . Kẻ cát tuyến AMN bất kì trong đó N nằm giữa A và M. AO cắt đoạn BC và cung
nhỏ
BC
lần lượt tại K và E. Chứng minh rằng ME là phân giác của
KMA

EK

O
A
C
B
F
M
N

Giải :
  
( ) 1AKEF 


0
90FME
3.đpcm.
Nhận xét: MA 

Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 12

Bài 8: 
IAB IBC

IAC ICB
IAC ICB  

0
90BVC



ABI

ACI
.
Giải:
V
B
A
C
E
I
T



IBE EAB
(g.g)
Suy ra
2
.EB EI EA
(1)

2
.EC EI EA
(2)


2 2 2

EV ET EB
(3)

22
.EV ET EI EA

3.
( ) 1AEIT 


0
90VBT

3.2 suy ra 
ABI

T
ACI
.

Bài 9: Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác. AM, BM, CM theo thứ tự cắt BC, CA,
AB tại A’, B’, C’. CMR: M là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi M là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác A’B’C’
Bổ đề:  

  AHF AHE AI BC
.
Chứng minh bổ đề:
A
B

C
H
I
F
E

Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 13




'EHF

'
'
QA F A
QB F B


 ch
'
. . 1 . . 1
'
HP EC QA HB EC F A
HC EA QB HC EA F B
   



, , 'AH BE CF

Cách 2:   
( ) 1KHBC 
(1)
 

( , , , ) 1AK AH AB AC 
suy ra
( , , , ) 1K L F E 


0
90LHK 

F
L
I
A
B
C
K
E
H

Trở lại bài toán: 
' ' ' ' '
'
' ' ' '
AA BC AA B AA C

BB CA
BB C BB A




  








Bài 10: Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AC, AB tại E, F. Gọi K là
giao điểm của BI và EF. CMR góc
0
90BKC 
.
Giải:
E
B
L
A
I
C
D
F
K


Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 14

.


. . ( )( )( ) . . 1
DB EC FA DB EC FA FA DB EC
DC EA FB EA FB DC
DC EA FB
       


--1 (1)

KBD KBF  
. Suy ra
BKD BKF
(2)
 
0
90BKC 


Bài 11: (VMO-2010) Cho đường tròn (O). Hai điểm B, C cố định trên đường tròn, BC
không phải đường kính. Lấy A là một điểm trên đường tròn không trùng với B, C. AD, AE
là các đường phân giác trong và ngoài của góc BAC. I là trung điểm của DE. Qua trực

tâm tam giác ABC kẻ đường thẳng vuông góc với AI cắt AD, AE tại M,N.
a) Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm vị trí điểm A sao cho diện tích tam giác AMN lớn nhất.
Giải.   
0
- .

 

-
=>
ICIBID .
2


=>
ICIBIA .
2


=> IA  OA (2)
  

OAC = (180
0
-AOC)/2 = 90
0
- ABC = BAC.
 
OAH => (AO; AH; AD; AE) = -

Suy ra S
AMN
= 2S
AHN
= HA.HN.sin(AHN).
 


AMN

2
cos
2
 khi AHN = 90
0
. 
AOX = 90
0



Bài 12: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) . Gọi E,F lần lượt là giao điểm AC
với (O). Hạ
OH DB
. Chứng minh rằng
AHE CHF

Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 15

N
M
Q
I
F
H
E
P
O
L
K
A
D
B
C

Giải:

L MN QP
,
K QM PN

I DK AL


EHK FHK  



AHC
.
 
( ) 1ACIL 
3.2 suy

AHC
(đpcm)
Bài 13: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) và M,N,P,Q lần lượt là các tiếp
điểm của AB, BC, CD, DA. Đặt
K AD BC
,
L AB DC
,
E QM PN
,
F QP MN
.
Chứng minh rằng 4 điểm K, L, E, F cùng nằm trên một đường thẳng.
I
B
O
K
D
C
L
E'
T
A
M

N
Q
P

Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 16

Giải:


( ) 1TAKD 
suy ra
( , , , ) 1CT CA CK CD 


( ' ) 1E IBD 
 
( ) 1EIBD 


'EE
suy ra E, K, 
 K, 
đpcm
Bài 14: Cho tứ giác MNPQ nội tiếp đường tròn (O) có
QM PN K
,
MN QP L
,

MP QN I
.Chứng minh rằng I là trực tâm của tam giác KOL

N
M
Q
I
P
O
L
K
A
D
B
C

Giải:
 N, P, 
 
 
BD OL

 5  B, 
Suy ra
KI OL


LI KO

đpcm

Bài 15 (IMO Shortlist 1994) Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là tiếp điểm trên BC,
CA, AB của đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi X là một điểm bên trong tam giác ABC sao
cho đường tròn nội tiếp tam giác XBC tiếp xúc với BC tại , tiếp xúc với XB, XC theo thứ
tự tại Y, Z. Chứng minh E, F, Y, Z đồng viên.
Giải:
Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 17

Y
F
B
C
A
X
J
D
E
Z

G  EF, YZ BC . 
 AD, BE, CF  (JDBC) = -1 

 -1, suy ra . Suy ra .
JD ABC, XBC JE.JF
= JD
2
= JY.JZ
E, F, Y, Z 
Bài 16: (IMO 2003)Cho đường tròn nội tiếp (O) của tam giác . Gọi M là trung điểm

của BC. AM cắt (O) tại hai điểm K, L ( nằm giữa A, L). Qua K kẻ đường thẳng song
song với BC cắt (O) tại điểm thứ hai là X. Qua L, kẻ đường thẳng song song với BC cắt
(O) tại điểm thứ hai là Y. AX, AY cắt BC tại Q, P. Chứng minh M là trung điểm của PQ.
Giải
Bổ đề : ABC (O)(O) BC, CA, AB 
D, E, FM BCAM, EF, OD 
Chứng minh bổ đề :
J
F
I
E
B
C
A
O
D
S
M

I OD EFAI M BC

Qua A BC OD JEFS.
 A, F, O, E, J 
Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 18

JI   
 (JF, JE, JI, JS) = -1 (AB, AC, AI, AS) = -1(AB, AC,
AI, AS)  BC// AS AI M BC

Quay trở lại bài toán :
B
R
W
K
L
E
A
O
P
C
D
F
M
Y
X
Q

R YL AQ
 AM, OD, EF W hay KL, OD, EF W
XKYL OD OD KL W W 
XY.
(AWKL) = -1  (XA,XW,XK,XL)
=(XR,XY,XK,XL) = -1  XK//RY L RYYL = LR
Thales:
YL AL LR
MP MQ
PM AM MQ
   
 M PQ.


Bài 17: Cho tam giác ABC và điểm O nằm trong tam giác. Các tia BO, CO lần lượt cắt
AC, AB tại E, F . Gọi là giao điểm của AO, EF. Gọi là hình chiếu của I trên BC.
Chứng minh rằng
Giải:

O
I
A
B
F
E
C
J
H

Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 19

J AO BC. S EF BC
 (BCJS) = -1 
Suy ra H(EFIS) = -1 HI 


 (BCJS) = -1  (FB, FC, FJ, FS) = -1 => (FO, FA, FJ, FI) = -1=> H(OAJI) = -1
   .




Bài 18 (China TST 2002) Cho tứ giác lồi ABCD, gọi E, F, P lần lượt là giao điểm của AD
và BC, AB và CD, AC và BD. Gọi O là chân đường vuông góc hạ từ P xuống EF. Chứng
minh rằng
Giải :
B
P
E
D
F
A
C
I
J
O

 BD  EF  J EP CD.
 (DCJF) = - 1  E(DCJF) = - 1
E(DCJF) = - 1 => E(DBPI) = - 1 => O(DBPI) = -1
 OP 



Bài 19 : Cho tam giác ABC, ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi I, K lần lượt
là chân đường vuông góc hạ từ D, A xuống EF. Chứng minh rằng KH đi qua trung điểm M
của ID.
Giải:
Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 20

N
H
B
C
A
D
E
F
I
K
M

N AD EF
FECB FHDB  .
FH FND FA 
FND.
(AHND) = -1 
 K(AHND) = -1 KA// ID  ).
KH   .
Bài 20: Cho tam giác ABC ngoại tiếp (I), D là điểm tiếp xúc của (I) với BC. Gọi M là một
điểm thuộc đoạn AD. Đường thẳng BM, CM theo thứ tự cắt (I) tại B
1
, B
2
, C
1
, C
2
sao cho
BB

1
< BB
2
, CC
1
< CC
2
. Chứng minh rằng BC, B
1
C
1
, B
2
C
2
đồng quy.
Lời giải :
C
1
B
1
M
X
F
C
2
W
L
C
A

I
B
D
E
B
2
C
0

E, F (I) CA, AB.
L EF, BCW AD (I)WFDE 
LW (I)LB
1
AD,
(I) X, C
0
.
Ta (LXB
1
C
0
) = -1  => (ML,MD,MB,MC
0
)= -1 (1)
AD, BE, CF Gergonne ABC 
(LDBC
1
)= - 1  (ML,MD,MB,MC
1
)= - 1 (2)

suy ra (ML,MD,MB,MC
0
)= (ML,MD,MB,MC
1
) =>
01
MC MC


0 1 0 1
( ), ( )C I C I C C   
B
1
C
1
.
Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 21

 B
2
C
2

Vậy BC, B
1
C
1
, B

2
C
2
 .
Bài 21: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Các tiếp điểm với (O) trên BC, CA,
AB lần lượt là D, E, F. Gọi S là giao điểm của EF với BC. Gọi I, J lần lượt là giao điểm
của đường thẳng SOvới (O). Chứng minh rằng AD, BI, CJ đồng quy.
Giải :

F
Y
I
X
S
C
A
O
B
D
E
J

X AD (O) Y SO AD.
ng XFDE SX 
X(O).
SX, SD (O) X, D (SYIJ) = -1 
AD, BE, CF Gergonne ABC 
(SDBC) = - 1 
Suy ra (SYIJ)= (SDBC)YD, BI, CJ AD, BI, CJ 
Bài 22 Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. EF cắt BC tại G.

Đường tròn tâm K đường kính BC cắt đường trung trực của BC tại L. Đường tròn ngoại
tiếp tam giác GDL có tâm Ncắt tia CL tại điểm thứ hai M. MK cắt (N) tại P, CN cắt (K) tại
Q. Chứng minh M, P, Q, C đồng viên.
Giải.
Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 22


-K CD 

22
.KB KD KG KL

 KL (N)
KB KD
.

2
.KP KM KL

PKC CKM
(c.g.c)
KCL KPC
.

NL KL
NL  (K)
2
.NQ NC NL

suy ra
NQL NLC
.

0
180NLC NLM NLC NML   

0
180NQL NML
NQLM 

LNQ LMQ
(1).
NL// BC KL
LNQ NCB PCK PCQ
(2).

LMQ KMC QMP
(3).

PCK CKM

KMC KCP
(4).
(1), (2), (3)  (4) ta suy ra
QMP QCP
MQPC M, P, C, Q

Bài 23 (Balkan MO 2007) Cho tam giác ABC vuông tại . và đối xứng với
qua , là giao điểm của đường thẳng qua vuông góc với và đường . Chứng

minh rằng AF, DE, BC đồng quy.
Giải.
Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 23


K DF AE, I lBC AE.
 BMFK 
0
90BMK BFK

MBI IKF
. Ta suy ra
BMI KFI
(g.g) 
2
BM MD MI MK MA
. 
(AEIK) = -1.
 (AEIK) = -1 hay (KIEA) = -1 
KE IE
KA IA

.
AEC 
AF, DE, BC 

Bài 24: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có
' ' , ' ' , ' 'B C BC X C A CA Y A B AB Z     

Chứng minh rằng X, Y, Z thẳng hàng khi và chỉ khi AA’, BB, CC’ đồng quy hoặc song
song.
A
B'
A'
C
S
Y
Z
C'
X
B

Giải. Gi s SB ct  .
 
Do
' ', ' ' , ' ' , ' 'BM B M BY B Y Y BA B A Z BC B C X      
X, Y, Z 

Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 24

Bài 25: Cho tứ giác ABCD, Trên cạnh AB lấy điểm P, trên
cạnh BC lấy điểm M. Giả sử AM cắt CD tại N, CP cắt AD tại Q, MP cắt QN tại E. Chứng
minh rằng S, K, E thẳng hàng.

R
P

M
A
Q
E
S
K
D
C
B
F


Giải. S dc . Suy ra

Do
, , ,MA NA MB NS S MK ND K MP NQ E      
 
Cách 2.   

Suy ra 
Bài 27: Cho tứ giác ABCD, O là giao của hai đường chéo. Một đường thẳng d đi qua O
cắt AD, BC, AB, CD tại M, N, P, Q. Giả sử và
. Chứng minh rằng X, Y, Z, T thẳng hàng.

Hàng điểm điều hòa và ứng dụng

Đậu Thế Tâm THPT Chuyên Lương Thế Vinh Page 25

M
P

E
R
O
A
S
K
C
D
B
N
X
F
G


Cách 1. Gi    G m ca
XO v         m ca KO v         
Do  
Cách 2. S d


ng quy. Vy
Cách 3. S dng t s 
 : . 